Otras carreras Sobre producto vectorial

[manumelito]

Hola a todos amigos!!! Alguien que me pueda brindar un empujoncito con esta pregunta para análisis del libro sears zemanski del capitulo uno sobre vectores la cual dice así: Considere los dos productos vectoriales sucesivos Ax(BxC) y (AxB)xC, De un ejemplo que ilustre la regla general de que estos dos productos no tienen la misma magnitud ni dirección. ¿Puede escoger los vectores A,B y C de modo que esos dos productos si sean iguales? Si puede, de un ejemplo.
En primer lugar tendría que utilizar para los vectores sus componentes de manera general y operar realizando el producto vectorial y así demostrar que no son iguales???
Y en la segunda pregunta para que estos dos productos vectoriales sean iguales lo que esta entre paréntesis tendría que ser igual a lo que esta fuera del paréntesis???
jajja no entiendo como se hace ayuda gente por favor!!!
Gracias!!!

[pod]

Re: Sobre producto vectorial

Dar un ejemplo de que ser iguales es muy sencillo. Por ejemplo, se me ocurre probar directamente $\vec A = \hat\imath$, $\vec B = \hat\jmath$, $\vec C = \hat k$. Comprúevalo y veras que da lo mismo (el vector nulo).

A ver ahora si se te ocurre una modificación de este ejemplo donde ya no dé lo mismo. PISTA: 3 vectores con una sola componente (como los que he puesto antes) no te servirán.

[Al2000]

Re: Sobre producto vectorial

Hola a todos amigos!!! Alguien que me pueda brindar un empujoncito con esta pregunta para análisis del libro sears zemanski del capitulo uno sobre vectores la cual dice así: Considere los dos productos vectoriales sucesivos Ax(BxC) y (AxB)xC, De un ejemplo que ilustre la regla general de que estos dos productos no tienen la misma magnitud ni dirección. ¿Puede escoger los vectores A,B y C de modo que esos dos productos si sean iguales? Si puede, de un ejemplo.
En primer lugar tendría que utilizar para los vectores sus componentes de manera general y operar realizando el producto vectorial y así demostrar que no son iguales???
Y en la segunda pregunta para que estos dos productos vectoriales sean iguales lo que esta entre paréntesis tendría que ser igual a lo que esta fuera del paréntesis???
jajja no entiendo como se hace ayuda gente por favor!!!
Gracias!!!

Es posible hacerlo a fuerza bruta. Si haces los dos doble productos e igualas las componentes, terminarás con un sistema de tres ecuaciones con nueve parámetros, las nueve componentes. Es posible resolver para cualesquiera tres en función de las otras seis.

Si se sigue ese camino un tanto laborioso, al final llegarás a la conclusión de que ambos productos serán iguales si A y C son paralelos, lo cual se puede ver sin hacer el desarrollo en componentes si caes en cuenta de que los productos de BxC y AxB serían vectores paralelos (en realidad antiparalelos, pero la cosa se compensa al invertir el orden de dos multiplicaciones). Como el módulo del vector resultante dependerá del producto de los módulos de los tres vectores, no importan los módulos de A y C, siempre llegarás al mismo resultado.

Cuando hice el cálculo (usando el computador para resolver el sistema) pude obtener alguna posible condición para B, cuando se determina en función de A y C, pero no me entretuve en detallarlo, pues ya había apreciado lo que te comento arriba.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Re: Sobre producto vectorial

Hola manumelito, bienvenido a La web de Física, como nuevo miembro lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

... Considere los dos productos vectoriales sucesivos Ax(BxC) y (AxB)xC, De un ejemplo que ilustre la regla general de que estos dos productos no tienen la misma magnitud ni dirección...

Tal como yo veo el tema, como solo te piden un ejemplo, puedes probar a calcular:

$[(1,0,0)\times (1,0,1)]\times (0,1,1)$

Y verás como te da distinto de:

$(1,0,0)\times [(1,0,1)\times (0,1,1)]$

... ¿Puede escoger los vectores A,B y C de modo que esos dos productos si sean iguales? Si puede, de un ejemplo ...

De nuevo, si solo te piden un ejemplo usa el que te ha explicado pod:

Calcula $[(1,0,0)\times (0,1,0)]\times (0,0,1)$

Y verás como sale lo mismo que calculando $(1,0,0)\times [(0,1,0)\times (0,0,1)]$

Saludos.

[Al2000]

Re: Sobre producto vectorial

Ese ejemplo que pones caería en la otra condición que mencioné de pasada arriba y es que B sea paralelo a AxC.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[manumelito]

Re: Sobre producto vectorial

Hola amigos la verdad me dejan sorprendido por su predisposición a colaborar con este principiante de la física!!!
Se los agradezco infinitamente!!!
Por otro lado haciendo los cálculos que me indicaban con los ejemplos dados por Alriga, pod y Al2000 que por cierto todos están en lo correcto con sus ejemplos, he llegado a la conclusión de que entonces la única manera de que Ax(BxC) y (AxB)xC sean iguales es cuando son perpendiculares (ortogonales o normales) entre sí ya que haciendo el producto vectorial entre dos de ellos (los que están entre paréntesis) me dará como resultado un vector que es paralelo o anti-paralelo al tercer vector (el que esta fuera del paréntesis) lo cual efectuando nuevamente el producto vectorial, este me daría como resultado el vector nulo! de ahí los ejemplos dados por ustedes
Estoy en lo correcto con mi razonamiento amigos??? "Gracias nuevamente"

[Al2000]

Re: Sobre producto vectorial

Sin pérdida de generalidad, para tres vectores cualesquiera siempre puedes elegir una orientación de ejes de referencia que faciliten los cálculos. De esa manera, si arbitrariamente elegimos que el vector $\boldsymbol A$ apunte según el eje X:

$$\boldsymbol A = \left (\begin{matrix} A_x \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right )$$

y el vector $\boldsymbol C$ esté contenido en el plano XY:

$$\boldsymbol C = \left (\begin{matrix} C_x \\ C_y \\ 0 \end{matrix}\right )$$

entonces los dos productos quedarían:

$$\boldsymbol A \times (\boldsymbol B \times \boldsymbol C) = \left (\begin{matrix} A_x \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right ) \times \left [\left (\begin{matrix} B_x \\ B_y \\ B_z \end{matrix}\right ) \times \left (\begin{matrix} C_x \\ C_y \\ 0 \end{matrix}\right ) \right ] = A_x \left (\begin{matrix} 0 \\ B_y C_x - B_x C_y \\ B_z C_x \end{matrix}\right )$$

$$(\boldsymbol A \times \boldsymbol B) \times \boldsymbol C = \left[\left (\begin{matrix} A_x \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right ) \times \left (\begin{matrix} B_x \\ B_y \\ B_z \end{matrix}\right )\right] \times \left (\begin{matrix} C_x \\ C_y \\ 0 \end{matrix}\right ) = A_x \left (\begin{matrix} - B_y C_y \\ B_y C_x \\ B_z C_x \end{matrix}\right )$$

A partir de aquí puedes analizar los distintos casos que hacen que los productos (1) y (2) sean iguales. Descartando el caso trivial de que uno o más de los vectores sea nulo, puede verse inmediatamente que si $C_y = 0$, ambos productos son idénticos. Pero decir que $C_y = 0$ es lo mismo que decir que $\boldsymbol A$ y $\boldsymbol C$ son paralelos.

Si $\boldsymbol A$ no es paralelo a $\boldsymbol C$ (es decir, si $C_y \neq 0$), entonces sería necesario que $B_y = 0$ para la igualdad de las componentes X de (1) y (2), lo cual obliga a que $B_x = 0$ para la igualdad de las componentes Y. En resumen, quedamos en que $\boldsymbol B$ sólo puede tener componente Z, o en otras palabras, debe ser perpendicular a $\boldsymbol A$ y $\boldsymbol C$ simultáneamente (o paralelo a $\boldsymbol A \times \boldsymbol C$, como prefieras).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[manumelito]

Re: Sobre producto vectorial

Gracias a todos amigos por ayudar!!!! Creo haber sacado todas mis dudas sobre mi consulta, ya estaré molestando nuevamente muy pronto jajaja Gracias a todos nuevamente por participar!!! muy buenos dias!!!