1r ciclo Aritmética modular, raíz cuadrada

[Visitante]

Supongamos que tengo que calcular $\sqrt{4}$ en ${Z}_{3 }$, sé que es 1, pero también se puede dar el caso de la clase del 2, pues: $[2][2]=4$ sin embargo 4=1 y no 4=2 ¿Qué estoy haciendo mal? ¿La raíz es 2 o 1?

[arivasm]

Re: Aritmética modular, raíz cuadrada

A falta de que alguien con más dominio de la cuestión que yo realice un aporte más valioso, permíteme que dé mi opinión: pienso que ambas soluciones son válidas, del mismo modo que en el álgebra ordinaria se cumple que $\sqrt{4}=\pm 2$

[Visitante]

Re: Aritmética modular, raíz cuadrada

Tal vez me equivoco, pero yo a la frase "calcular $\sqrt{4}$ en $\mathbb{Z}_{3 }$" no le encuentro sentido. Los elementos de $\mathbb Z_3$ son 0, 1, 2, 3. Por ello solo tiene sentido preguntar cual es

¿Pero el 3 no es el 0 en $\mathbb Z_3$? ¿no sería 0, 1 y 2?

[Alriga]

Re: Aritmética modular, raíz cuadrada

¿Pero el 3 no es el 0 en $\mathbb Z_3$? ¿no sería 0, 1 y 2?

Pues claro hombre, claro, he tenido un lapsus de la 1 de la madrugada son 0, 1 y 2

Y no 0, 1, 2 y 3

Saludos.

[Weip]

Re: Aritmética modular, raíz cuadrada

Buenas. Por añadir un poco más de información a lo que ha dicho arivasm, el que cada número tenga como mucho dos raíces en $\mathbb{Z}_3$ es porque $3$ es primo. Es decir, esto ocurre en todos los $\mathbb{Z}_p$ con $p$ primo. Si el módulo no es primo entonces esto no tiene porqué cumplirse y pueden haber números con más de dos raíces. Por ejemplo en $\mathbb{Z}_{12}$ tenemos que $1$, $5$, $7$ y $11$ son raíces de $1$.

Algunos comentarios respecto al mensaje de Alriga:

$\sqrt{1}=1$ en $\mathbb{Z}_{3 }$

Raíz de uno también es $2$ en $\mathbb{Z}_{3}$.

El 4 no es elemento de $\mathbb Z_3$, por lo tanto entiendo que no podemos preguntar cual es la $\sqrt{4}$ en $\mathbb{Z}_{3}$

Es que $4 \equiv 1 \mod 3$ de forma que hablar del $4$ es lo mismo que hablar del $1$. Esto es porque la congruencia módulo $n$ es una relación de equivalencia.

$\sqrt{4}=\pm 2 \ en \ \mathbb Z$ y tanto +2 como -2 se expresa como "2" en $\mathbb Z_3$

No, el $-2$ es el $1$ en $\mathbb Z_3$. La idea de fondo es que $\mathbb Z_3$ es un reloj con tres horas (0, 1 y 2) y si tenemos un número que "se sale" del reloj entonces basta ir sumando o restando $3$ hasta llegar a una de las horas permitidas. Como $-2+3=1$ entonces $-2 \equiv 1 \mod 3$.

Espero que este mensaje aclare un poco más el paisaje. ¡Saludos!

[Visitante]

Re: Aritmética modular, raíz cuadrada

Supongamos que ${x}^{ 2}+bx+({b}^{2 }-1)=0$, cuando aplico la fórmula de la ecuación de segundo grado, ¿tomo la raíz de 4 como 1 o como 2?

[HanT]

Re: Aritmética modular, raíz cuadrada

No sé si digo una barbaridad, si no lo es sigue siendo poco elegante, pero teniendo en cuenta que tienes una ecuación (que suponemos que tiene solución) y su solución solo puede ser $[0]$,$[1]$ o $[2]$ puedes sustituir cada uno en la ecuación y ver con qué valor de b se cumple la igualdad en lugar de solucionarla de forma directa.

[Weip]

Re: Aritmética modular, raíz cuadrada

Supongamos que ${x}^{ 2}+bx+({b}^{2 }-1)=0$, cuando aplico la fórmula de la ecuación de segundo grado, ¿tomo la raíz de 4 como 1 o como 2?

Las dos. Y si estás en $\mathbb{Z}_n$ en general, cogerías todas las raíces de $b^2-4ac$. Aunque parezca sorprendente en este contexto una ecuación de segundo grado puede tener más de dos soluciones. Y dejame decir también que si $1+1=0$ entonces no se puede aplicar la fórmula típica para resolver ecuaciones de segundo grado (no podrías hacer la división entre $2a$).

No sé si digo una barbaridad, si no lo es sigue siendo poco elegante, pero teniendo en cuenta que tienes una ecuación (que suponemos que tiene solución) y su solución solo puede ser $[0]$,$[1]$ o $[2]$ puedes sustituir cada uno en la ecuación y ver con qué valor de b se cumple la igualdad en lugar de solucionarla de forma directa.

No, no es una barbaridad y de hecho a la práctica si el módulo es pequeño, las ecuaciones se solucionan así, probando. Aunque obviamente en un examen te suelen poner módulos altos para que uses maquinaria de teoría de números y no el viejo "prueba y error".

[Richard R Richard]

Re: Aritmética modular, raíz cuadrada

Disculpen yo de mates se poco, pero segun https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero

Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita en «negrita de pizarra» como $\mathbb Z$ :

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,+1,+2,\dots \}} {\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,+1,+2,\dots \}}$

de aqui ${\displaystyle \mathbb {Z}_3 =\{-2,-1,0,+1,+2\}}$


entonces $\sqrt{4} \equiv \sqrt{1} \mod 3=\pm 1$???? o estan hablando de $\mathbb {N}_3?$

la ecuacion ${x}^{ 2}+bx+({b}^{2 }-1)=0$ lleva a

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{-3b^2+4}}{2}$

si $b\in \mathbb Z_3$

A)$b=0 \mapsto x=\pm\frac12 \mapsto \mathbb Q$

B)$b\pm2 \notin \mathbb Z_3\mapsto \mathbb C$

C)$b=1 \mapsto x_1=0 \, x_2=-1$

D)$b=-1 \mapsto x_1=1 \, x_2=0$


Si no tiene que ver con el tema perdon por la interferencia anticipadamente.

[Visitante]

Re: Aritmética modular, raíz cuadrada

Disculpen yo de mates se poco, pero segun https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero



de aqui ${\displaystyle \mathbb {Z}_3 =\{-2,-1,0,+1,+2\}}$


entonces $\sqrt{4} \equiv \sqrt{1} \mod 3=\pm 1$???? o estan hablando de $\mathbb {N}_3?$

la ecuacion ${x}^{ 2}+bx+({b}^{2 }-1)=0$ lleva a

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{-3b^2+4}}{2}$

si $b\in \mathbb Z_3$

A)$b=0 \mapsto x=\pm\frac12 \mapsto \mathbb Q$

B)$b\pm2 \notin \mathbb Z_3\mapsto \mathbb C$

C)$b=1 \mapsto x_1=0 \, x_2=-1$

D)$b=-1 \mapsto x_1=1 \, x_2=0$


Si no tiene que ver con el tema perdon por la interferencia anticipadamente.

-2=1 y -1 = 2 en $\mathbb Z_3$ por lo que queda 0, 1 y 2.

Weip me olvidé decir que para $\mathbb Z_3$. La cosa es que me piden demostrar que para todo b tiene solución en $\mathbb Z_3$. Cuando saco la raíz queda:
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{4}}{2}$
Si cojo por raíz 2 entonces no hay soluciones para todo b, pero si cojo 1 entonces si hay, esa es mi duda...

[Richard R Richard]

Re: Aritmética modular, raíz cuadrada

Aun asi como llegas a

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{4}}{2}$

${x}^{ 2}+bx+({b}^{2 }-1)=0$ lleva a

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4(b^2-1)}}{2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4b^2+4}}{2} =\dfrac{-b\pm\sqrt{-3b^2+4}}{2}$

[Weip]

Re: Aritmética modular, raíz cuadrada

Weip me olvidé decir que para $\mathbb Z_3$.

No pasa nada, si cuando he dicho "las dos" me refería en el contexto de $\mathbb Z_3$. Lo del caso general es para lo que he escrito después.

La cosa es que me piden demostrar que para todo b tiene solución en $\mathbb Z_3$. Cuando saco la raíz queda:
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{4}}{2}$
Si cojo por raíz 2 entonces no hay soluciones para todo b, pero si cojo 1 entonces si hay, esa es mi duda...

Lo mejor será que pongas el enunciado entero. ¿A qué conjunto pertenece $b$? ¿A $\mathbb Z_3$? Porque entonces sería hacer tres casos dependiendo del valor de $b$ y se acabó.

Edito:

${x}^{ 2}+bx+({b}^{2 }-1)=0$ lleva a

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4(b^2-1)}}{2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4b^2+4}}{2} =\dfrac{-b\pm\sqrt{-3b^2+4}}{2}$

La cosa está en que -3=0 en $\mathbb{Z}_3$ y así el término $-3b^2$ se cancela.

[Richard R Richard]

Re: Aritmética modular, raíz cuadrada

Ahora entendi $3 \equiv 0 \mod 3$ disculpa la intromision

$\dfrac{-b\pm\sqrt{-3b^2+4}}{2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{4}}{2}$

si b=0 o b=2 el resultado de la raiz es 1 entonces el x esta fuera de los enteros

Raíz de uno también es $2$ en $\mathbb{Z}_{3}$.

asi cualquier los sos caso quedan dentro de $\mathbb{Z}_{3}$

Saludos

[Visitante]

Re: Aritmética modular, raíz cuadrada

Lo mejor será que pongas el enunciado entero. ¿A qué conjunto pertenece $b$? ¿A $\mathbb Z_3$? Porque entonces sería hacer tres casos dependiendo del valor de $b$ y se acabó.

Edito:


La cosa está en que -3=0 en $\mathbb{Z}_3$ y así el término $-3b^2$ se cancela.

Probar que en Z3 la ecuación [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] tiene solución para todo b ¿Son distintas las raíces en este caso? Supongo que b pertenece a Z3...

No hace falta distinguir los distintos casos de b, pues a ojo se ve que siempre tiene solución si cojo como raíz 1, pero no para 2, mi duda radica en qué coger como raíz cuadrada.

[Weip]

Re: Aritmética modular, raíz cuadrada

Probar que en Z3 la ecuación [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] tiene solución para todo b ¿Son distintas las raíces en este caso? Supongo que b pertenece a Z3...

Vaya, pues entonces tendremos que suponer que $b$ es de $\mathbb{Z}_3$, sí. Estate atento en clase para ver qué dice tu profesor/profesora.

No hace falta distinguir los distintos casos de b

Bueno, eso depende de cómo quieras resolver el ejercicio. Obligatorio no es, eso está claro, pero es una vía que si quieres se puede explorar.

pues a ojo se ve que siempre tiene solución si cojo como raíz 1

Aunque lo veas a ojo a la hora de escribir el ejercicio en el papel tienes que detallar todo el proceso, tenlo en cuenta.

pero no para 2, mi duda radica en qué coger como raíz cuadrada.

Si $b=0$ y coges las dos raíces entonces te queda como soluciones $1$ y $2$.

En vez de verlo a ojo vendría bien que indicaras paso a paso los razonamientos que estás haciendo para poder detectar los errores en los puntos concretos dónde se producen y así explicarte el porqué.