1r ciclo Espacio vectorial

[Visitante]

Hola,

El otro día en clase dimos la definición de espacio vectorial, sin embargo, no entiendo muy bien cómo las funciones pueden ser un espacio vectorial, y tampoco por qué lo es un polinomio. La verdad es que el libro no se explica muy bien ¿Conocen algún sitio donde pueda entender esto a la perfección? O si me lo explican con sus palabras os lo agradezco mucho.

[Zorak]

Re: Espacio vectorial

No hay mucho que explicar, simplemente con que cumplan los 10 axiomas son espacios vectoriales.Lo único que te queda para poder convencerte es buscar las demostraciones de que cumplen los axiomas..

[angel relativamente]

Re: Espacio vectorial

Es el espacio de las funciones y el de los polinomios los que son espacios vectoriales, si los dotas de un par de operaciones (la suma y el producto por escalares). Una función y un polinomio serían vectores de sus respectivos espacios.
Entiendo que tu duda no radica tanto en por qué lo son (que te lo habrán hecho probar), sino en cuál es su relación con $\mathbb{R}^n$. Si te quedas más tranquilo, existe una relación: Todo espacio vectorial de dimensión finita $n$ es isomorfo a $\mathbb{R}^n$. Por ejemplo, la aplicación que manda el polinomio de grado 4 $p(x)=x^4-x^3+x+2$ al vector de $\mathbb{R}{^5}\; \; v=(2,1,0,-1,1)$ es un isomorfismo, y con eso puedes trabajar más fácil. Pero no por ello has de olvidar que las funciones, los polinomios o las matrices son espacios vectoriales por sí mismos, con una operación suma definida interna y un producto externo por escalares de un cuerpo.

[Weip]

Re: Espacio vectorial

Hola Malevolex. Es posible que este hilo te ayude, lo empecé yo mismo porque en primero tenía problemas conceptuales con este tipo de espacios vectoriales. Ahora ya han pasado unos años y si ahora me replanteo la pregunta yo diría que la idea de vector visto como flecha es útil en $\mathbb{R}^n$ pero en otros espacios vectoriales yo sustituiría la idea de flecha por la de linealidad porque es más profundo (a mi modo de ver) y al fin y al cabo es el tema central del álgebra lineal (por eso lo lleva en el nombre). Aún así como te han por arriba como los espacios vectoriales de dimensión finita son isomorfos a $\mathbb{R}^n$ entonces puedes usar $\mathbb{R}^n$ para imaginar las propiedades que te presentan de forma más abstracta para todos los espacios vectoriales de dimensión finita.

[Visitante]

Re: Espacio vectorial

Entonces, si no he entendido mal ¿las funciones y polinomios son espacios vectoriales solo porque verifican los axiomas del espacio vectorial? Aún no entiendo muy bien la idea a pesar de haber leído el otro hilo ¿Qué utilidad tiene que las funciones o los polinomios sean espacios vectoriales? Si la función no es continua ¿No dejaría de ser un espacio vectorial?

[Penrose]

Re: Espacio vectorial

Entonces, si no he entendido mal ¿las funciones y polinomios son espacios vectoriales solo porque verifican los axiomas del espacio vectorial? Aún no entiendo muy bien la idea a pesar de haber leído el otro hilo ¿Qué utilidad tiene que las funciones o los polinomios sean espacios vectoriales? Si la función no es continua ¿No dejaría de ser un espacio vectorial?

Cuando he empezado este año a dar los espacios vectoriales me he quedado como tú. El problema viene de haber aprendido que un vector es una flecha con módulo, dirección y sentido. Pero al final hay que quedarse con que la definición de espacio vectorial es la que ha dicho angelrelativamente y que los elementos del conjunto que cumple la definición son vectores.

Yo creo que lo he empezado a entender mejor mediante ejemplos. Por ejemplo si tomas el conjunto de los polinomios de grado igual a 3 no tienes un espacio vectorial, ya que utilizando las operaciones de suma y multiplicación por escalares que definen un espacio vectorial, puedes llegar a polinomios de grado menor que 3, que no pertenecen a dicho conjunto.
Tomando el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a 3 sí que tienes un espacio vectorial ya que cumple la definición y simplemente basta con comprobarlo de forma general.

En cuanto a lo que mencionas de utilidad y lo de si dejaría de ser espacio vectorial al ser la función continua no puedo contestarte porque no tengo ni idea . Espero que alguien del foro lo pueda aclarar.
Un saludo

[HanT]

Re: Espacio vectorial

¿Qué utilidad tiene que las funciones o los polinomios sean espacios vectoriales?

Se podrían poner ejemplos concretos pero todo se resumiría a que interesa para aplicar cosas que ya sabes. Si tienes muy bien estudiado los espacios vectoriales y encuentras que cierto conjunto lo puedes dotar de la estructura de espacio vectorial puedes aplicar todo lo que sabes de álgebra a ese conjunto. Por ejemplo, esto es muy útil en cuántica, los estados cuánticos admisibles de un sistema (funciones de onda) forman un espacio vectorial y esto implica que muchos de los problemas que se resuelven se puedan reducir a problemas de álgebra lineal (autovalores y autovectores, por ejemplo). Llegado a cierto punto probablemente darás que se puede establecer un isomorfismo entre dos espacios vectoriales. Básicamente si tienes un isomorfismo entre dos espacios vectoriales diferentes verás que el estudio lo puedes reducir a uno de los dos y todo lo que pruebes matemáticamente en uno automáticamente está probado para el otro espacio vectorial. ¿Esto qué utilidad tiene? Pues la misma, ahorrar tiempo. Estudiado un espacio vectorial has estudiado muchos a la vez.

Si la función no es continua ¿No dejaría de ser un espacio vectorial?

No estoy seguro pero creo que sí podrías, todo depende de cómo definas el espacio vectorial. Por ejemplo se puede definir el espacio vectorial de las funciones continuas. Para eso todas tus funciones deben ser continuas, si tienes una que no lo sea al sumar una función continua con una no continua te daría una función no continua y la operación suma no sería cerrada (que quiere decir que no da otra función continua) por tanto ese conjunto no sería espacio vectorial. Esto se arreglaría imponiendo que en tu conjunto (que quieres ver si es EV) todas tus funciones sean continuas. Jugando con la definición tal vez puedas encontrar espacios vectoriales que incluyan funciones no continuas, aunque si me equivoco que me corrijan los matemáticos (en mi caso no recuerdo haberlos trabajado).

[Alriga]

Re: Espacio vectorial

... ¿Qué utilidad tiene que las funciones o los polinomios sean espacios vectoriales? ...

... En cuanto a lo que mencionas de utilidad ... no puedo contestarte porque no tengo ni idea ...

Los Polinomios de grado menor o igual que "n" con la suma y el producto por escalares forman un espacio vectorial de dimensión "n" como os ha explicado Ángel. Se empieza por lo fácil, estudiando esas propiedades y avanzando con los conceptos de producto escalar y norma.

Ese es el primer peldaño para lo que veréis el año que viene, una generalización del concepto de Espacio Vectorial en el que la dimensión es infinita, es el Espacio de Hilbert. Que los polinomios (o ciertas funciones) sean Espacio de Hilbert es utilísimo para obtener (entre otras muchas cosas) soluciones de ecuaciones diferenciales o aproximaciones tan cercanas como se quiera a otras funciones mucho más complicadas.

Leed este post que os puede resultar muy interesante: http://forum.lawebdefisica.com/threa...173#post173173

Y para finalizar un simpático vídeo sobre los símbolos matemáticos. Se pueden activar subtítulos en castellano:

Saludos.

[alexpglez]

Re: Espacio vectorial

Buenas!

Es una discusión muy interesante. Yo al principio creo que estaba igual, pensaba que los únicos espacios vectoriales existentes eran los finitos cuyo cuerpo es real, es decir, los isomorfos a $\mathbb R^n$. Hay un comentario que creo que te han hecho por simplificar:

Todo espacio vectorial de dimensión finita $n$ es isomorfo a $\mathbb{R}^n$

Es cierto si el cuerpo base del espacio vectorial es $\mathbb R$.

Un espacio vectorial sobre un cuerpo $(\mathbb K,+,\cdot)$ es una 3-túpla $(V,+,\cdot)$, donde $+: V\times V \longrightarrow V$ es conmutativa, asociativa, con elemento neutro y opuesto, y $\cdot \mathbb K \times V \longrightarrow V$ es distributiva en las dos componentes, asociativa $\mu (\lambda v)=(\mu \lambda)v$ y cumple que $1v=v$.

Esta definición es puramente algebraica, no es una definición visual para nada. Aunque si existe una utilidad visual: cuando uno quiere demostrar o visualizar una definición algo complicado para espacios vectoriales, puede ayudarse con un dibujo como si se tratase de $\mathbb R^2$ (así hace muchas veces nuestro profesor de análisis). Por ejemplo (para espacios vectoriales $V$ reales), se dice que $B \subset V$ es convexo si $\forall x,x' \in B [x,x'] \subset B$ donde $[x,x']=\{x+\lambda(x'-x) | \lambda \in [0,1] \}$, es una definición que no es nada intuitiva en espacios de funciones pero que en $\mathbb R^2$ si: $[x',x]$ es el segmento rectilíneo que va de $x'$ a $x$ por tanto B es convexo si para cualesquiera puntos de B, el segmento que los une está contenido en B.

Hay muchas aplicaciones de espacios de dimensión infinita, al cálculo variacional (que utilizan los físicos en mecánica teórica), a ecuaciones diferenciales o a análisis de aplicaciones lineales (muy importante en mecánica cuántica). Por poner un ejemplo sencillo, considera la ecuación diferencial:

$$y''(x)+ay'(x)+by(x)=0$$

Donde a y b son constantes complejas. Como te han mencionado, las funciones forman un espacio vectorial (de dimensión infinita), es fácil ver que el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial es un subespacio vectorial, pues dados $\lambda, \mu \in \mathbb C$ y dos soluciones $y_1(x), y_2(x)$, también es solución la función $\lambda y_1(x)+ \mu y_2(x)$.
¿Qué ventajas tenemos a la hora de solucionar la ecuación diferencial, saber que el conjunto de soluciones es un subespacio vectorial? Te digo que además el subespacio de soluciones tiene dimensión 2, luego, para solucionar la ecuación, sólo debes de encontrar dos soluciones particulares linealmente independientes (para tener una base), y hacer una combinación lineal, puesto que todo vector es combinación lineal de la base, y determinar las componentes de la combinación lineal, según los valores iniciales (por ejemplo, imagina que son conocidos $y(0)=A$ y $y'(0)=B$, sólo debes encontrar los coeficientes que cumplan con esas condiciones).
¿Son o no útiles estos espacios vectoriales aunque nos reusemos a darle un sentido geométrico como a $\mathbb R^3$?

PD: Como Alriga te ha hecho un spoiler de análisis funcional, metiendo la palabreja "espacio de Hilbert", déjame que explique qué significa. Consideremos que $\mathbb K$ es un subcuerpo de los complejos.
Un producto interno o producto escalar es una operación que cumple:

$$\cdot : V \times V \longrightarrow \mathbb K \;\;\; x \cdot (y+z)=x \cdot y + x \cdot z \;\;\; x \cdot (\lambda y)=\lambda (x \cdot y) \;\;\; y \cdot x=(x \cdot y)^*$$

Donde * representa el elemento conjugado (el mismo para K subcuerpo de los reales).
Una norma es una operación:

$$||.|| : V \longrightarrow \mathbb R^+ \cup {0} \;\;\; ||x||=0 \leftrightarrow x=\vec 0 \;\;\; ||\lambda x||=|\lambda| ||x|| \;\;\; ||x+y|| \leq ||x||+ ||y||$$

Un producto interno induce una norma: es fácil ver que $||x||_2=\sqrt{x \cdot x}$ es una norma (llamada además norma euclídea).

Se dice que $(V,+,\cdot,\cdot)$ (o simplemente $(V, \cdot)$) es un espacio vectorial euclídeo (o euclídeo "a secas"), si $(V,+,\cdot)$ es un espacio vectorial y la última operación es un producto escalar.
Se dice que $(V,+,\cdot,||.||)$ (o simplemente $(V, ||.||)$) es un espacio vectorial normado (o normado "a secas"), si $(V,+,\cdot)$ es un espacio vectorial y la última operación es una norma.

Un espacio euclídeo es un espacio normado (con la norma señalada anteriormente), por ello todo lo demostrado para espacios normados vale para espacios euclídeos.

Un espacio normado se dice completo o de Banach, si toda sucesión de Cauchy es convergente. Un espacio euclídeo se dice de Hilbert si es completo: toda sucesión de Cauchy es convergente. Por tanto un espacio de Hilbert es de Banach.

Una sucesión $a_n$ es de Cauchy si: $\forall \epsilon>0 \exists N \in \mathbb N \;\; \forall n,m\geq N \; ||a_n-a_m||<\epsilon$. (No sé si ya te la han definido en clase). En otras palabras, una sucesión es de Cauchy si sus términos se pegan entre sí poco a poco... pareciendo que debería converger, pero no tiene por qué converger. Lo que si se cumple es que toda sucesión convergente es de Cauchy.
Por ejemplo, existen sucesiones de racionales convergentes a $\sqrt 2$ en R, pero que no convergen en Q, a pesar de que sean de Cauchy. Por ello del interés y utilidad de que los espacios que tratemos sean completos, para que aquellas sucesiones que "deberían" converger, ¡converjan!

Sin embargo, espacios euclídeos, normados, de Banach o de Hilbert. Se salen un poco del marco del álgebra, y caen dentro del análisis.

Ejemplos de espacios de Hilbert y de Banach bastante sencillos serían: $(\mathbb R^n, \cdot) \;\; x \cdot y=\sum_{i=1}^n x_i y_i$ y $(\mathbb R^n, ||.||_p) \;\; ||x ||_p=(\sum_{i=1}^n |x_i |^p)^{1/p}$ respectivamente.

Saludos

- - - Actualizado - - -

Si la función no es continua ¿No dejaría de ser un espacio vectorial?

No. Si E es un conjunto y F es un espacio vectorial de cuerpo base $\mathbb K$, entonces $F^E=\{ f | f: E \longrightarrow F \}$ es un $\mathbb K$ espacio vectorial con las operaciones $f+g$ y $\lambda f$ tales que:

$$\forall x \in E (f+g)(x)=f(x)+g(x) \;\;\; \forall x \in E (\lambda f)(x)=\lambda f(x)$$

Imagino que las hipótesis se podrán reducir un poco. Por cierto, supongo que estás pensando en $\mathbb R$, éste es un espacio vectorial de dimensión 1 con sus operaciones usuales, sería tratar de verlo como $\mathbb R^1$.

La continuidad es una propiedad que necesita de más estructura (para hablar de ella): que en E esté definida una distancia, y en F una norma. Pero no necesitamos de tanta estructura para hablar de espacios vectoriales de funciones.

[Visitante]

Re: Espacio vectorial

Voy a ir a la definición que me da el libro:
Un espacio vectorial es un objeto matemático formado por un conjunto $E$, un cuerpo $k$ y dos funciones, $E \times E$ en $E$ y $k \times E$ en $E$. Sin embargo, para el espacio vectorial de las funciones dice que algunos espacios vectoriales tienen como vectores cierto tipo de funciones de un cierto conjunto $I$ en $k$. Dadas funciones $f, g: I \to k$ y $\lambda \in k$se definen nuevas funciones de $I$ en $k$ por
$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
$(\lambda f) (x)= \lambda f(x)$

Lo que no entiendo es por qué es espacio vectorial, si te fijas en la definición que da para las funciones, las funciones son de $I$ en $k$, pero en la definición de espacio vectorial las funciones deberían de ser en I. Esta es la principal duda que tengo.

[HanT]

Re: Espacio vectorial

Edito: no estoy seguro de una cosa lo intentaré rectificar.

[alexpglez]

Re: Espacio vectorial

Lo que no entiendo es por qué es espacio vectorial, si te fijas en la definición que da para las funciones, las funciones son de $I$ en $k$, pero en la definición de espacio vectorial las funciones deberían de ser en I. Esta es la principal duda que tengo.

Disculpa, no entiendo cuando dices que las funciones deben "de ser en I". ¿Podrías detallarlo?

[Visitante]

Re: Espacio vectorial

Disculpa, no entiendo cuando dices que las funciones deben "de ser en I". ¿Podrías detallarlo?

En la definición de espacio vectorial, las dos funciones son en E, sin embargo, aquí son en K en vez de I... Si tomas I como el conjunto E.

[alexpglez]

Re: Espacio vectorial

Sigo sin entenderte. Quizá te estés haciendo un lío con los nombres, k, I y E... voy a escribir en el ejemplo que has dicho que es cada cosa:
$I$ es el conjunto que es el dominio de las funciones a considerar, $\mathbb K$ es el cuerpo. Por lo tanto E sería el conjunto de funciones de $I$ en $\mathbb K$.

$$E=\mathbb K ^I=\{f|f:I \longrightarrow \mathbb K \}$$

Definimos dos operaciones que nos llevan funciones de E a E**:

$$+:E\times E \longrightarrow E \;\;\; \forall x\in I (f+g)(x)=f(x)+g(x)$$

$$\cdot :\mathbb K \times E \longrightarrow E \;\;\; \forall x\in I (\lambda f)(x)=\lambda f(x)$$

Ahora, uno tendría que comprobar que estas operaciones cumplen que $(E,+,\cdot)$ es un espacio vectorial.

Quizá tu duda es si la suma (respectivamente el producto) eran operaciones de ExE a E (resp. KxE a E), y te liase con que la suma de dos funciones de I a K diese otra función de I a K.

** Si uno quiere ser formal, tendríamos que suponer dos funciones llevan funciones de E a un cierto conjunto (denoto con $V$ la clase de todos los conjuntos):

$$+:E\times E \longrightarrow V \;\;\; f+g=\{(x,y) \in I\times \mathbb K | y=f(x)+g(x) \}$$

$$\cdot :\mathbb K \times E \longrightarrow V \;\;\; \lambda f=\{(x,y) \in I\times \mathbb K | y=\lambda f(x) \}$$

En principio las imágenes de las aplicaciones no tiene por qué ser E, pues podría ser que la suma (tal como está definida en la línea anterior) de dos funciones diese algo que no es una función. Sin embargo es fácil demostrar que $Im(+),Im(\cdot)\subset E$, es decir que, si $f, g$ son funciones de I en K, y $\lambda \in K$, entonces $f+g$ y $\lambda f$ son funciones de I en K, es decir $f+g, \; \lambda f \in E$

[Visitante]

Re: Espacio vectorial

Sin embargo es fácil demostrar que $Im(+),Im(\cdot)\subset E$, es decir que, si $f, g$ son funciones de I en K, y $\lambda \in K$, entonces $f+g$ y $\lambda f$ son funciones de I en K, es decir $f+g, \; \lambda f \in E$

Mi duda es esa ¿Cómo lo demuestras?
Por ejemplo, la imagen de la función (f+g) sería un escalar, y eso no está en E, pues no es una función.