1r ciclo Operador asociado a determinados valores y vectores propios

[Ilcostritore]

Hola, es posible conociendo los vectores y valores propios asociados a un operador conocer la expresion de dicho operador? y si es asi cual es el procedimiento?

Ejemplo: Los valores propios asociados a una matriz A 2x2 (desconocida, y en base u1) son a1 y a2 ; y sus vectores propios v1= 1/sqrt{2} u1 + 1/sqrt{2} u2
y v2= 1/sqrt{2} u1 - 1/sqrt{2} u2 . Siendo los elementos de la matriz a,b,c,d he llegado a que a=d=(a1+a2)/2 y que b=c=(a1-a2)/2 [ lo he comprobad y esta bien] , pero el caso es que lo he echo a ojo y no con un procedimiento. Alguien sabria decirme cual es el procedimiento a seguir?

[Weip]

Re: Operador asociado a determinados valores y vectores propios

Hola Ilcostritore. El ejercicio está pensado para que hagas uso de la definición de valor y vector propio:

$Av_1=a_1v_1$

$Av_2=a_2v_2$

Te haré un poco el esquema a seguir. La primera condición es:

$\left(\begin{matrix}a & b \\c & d \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\\frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a_1 \frac{1}{\sqrt{2}} \\ a_1 \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix}\right)$

Haciendo el producto entre la matriz y el vector se llega a:

$a+b=a_1$

$c+d=a_1$

Si haces lo mismo con $Av_2=a_2v_2$ te saldrá:

$a-b=a_2$

$c-d=-a_2$

Así pues tienes dos sistemas de ecuaciones. El primero es:

$a+b=a_1$

$a-b=a_2$

Y el segundo es:

$c+d=a_1$

$c-d=-a_2$

Si los resuelves podrás comprobar que coindice con la solución que has encontrado antes.

Espero haberte ayudado.

[Alriga]

Re: Operador asociado a determinados valores y vectores propios

Hola Ilcostritore, bienvenido a La web de Física, como nuevo miembro lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Creo recordar que se podía hacer así:

A partir de los vectores propios construye la matriz de paso P, cada una de cuyas columnas es un vector propio. En tu ejemplo sería:

$P=<br /> \begin{pmatrix}<br /> 1/\sqrt 2 & 1/\sqrt 2 \\<br /> 1/\sqrt 2 & -1/\sqrt 2<br /> \end{pmatrix}$

A partir de los valores propios construye la matriz diagonal D formada por los valores propios en la diagonal. En tu ejemplo sería:

$D=<br /> \begin{pmatrix}<br /> a_1 & 0 \\<br /> 0 & a_2<br /> \end{pmatrix}$

La relación entre la matriz original A la matriz de paso P y la matriz diagonal D es:

$P^{-1} A P=D$

Multiplicando por $P$ por la izquierda y por $P^{-1}$ por la derecha se obtiene:

$$\boxed{A=P D P^{-1}}$$

Tienes A y tienes P, hay que calcular la inversa de P que me sale:

$P^{-1}=<br /> \begin{pmatrix}<br /> 1/\sqrt 2 & 1/\sqrt 2 \\<br /> 1/\sqrt 2 & -1/\sqrt 2<br /> \end{pmatrix}$

Que en este caso particular sale que coincide con P

$P^{-1}=P$

Calcula la expresión (1) y obtendrás la matriz A.

EDITADO: Veo que Weip y yo hemos contestado a la vez, saludos Weip

Saludos.

[Ilcostritore]

Re: Operador asociado a determinados valores y vectores propios

He comprobado ambos procesos y son correctos. El de la definicion de los vectores propios es el que estaba intentando pero no me salía, el otro de matriz de paso me lo enseñaron hace dos años y no me acordaba. Muchas gracias por la ayuda