Divulgación Consulta sobre funciones de cuadrado integrable

[inakigarber]

Buenas noches;

Leyendo el Cohen en el apartado relativo a las herramientas matemáticas de la mecánica cuántica me encuentro con algo que no consigo entender;
Cuando dice
$\Psi_{r}=\lambda_{1}\Psi_{1}(r)+\lambda_{2}\Psi_{2}(r)\ \\in f$
donde $f$ es un subespacio de $L^2$
siendo $\lambda_{1}$y $\lambda_{2}$ dos constantes arbitrarias complejas.
Ahora bien, en el paso siguiente dice;
Con objeto de demostrar que $\Psi_{r}$ es una función de cuadrado integrable, expander $|\Psi_{r}|^2$
No entiendo el porque de los signos conjugados tanto de $\lambda*$ como de $\Psi*$ que aparecen en la expresión que da;
$|\Psi_{(r)}|^2=|\lambda_1|^2| \Psi_1(r)|^2+| \lambda_2|^2|\Psi_2(r)|^2+\lambda_1^* \lambda_2\Psi_1^*(r)\Psi_2(r)+\lambda_1 \lambda_2^*\Psi_1(r)\Psi_2^*$
Yo he intentado resolverlo por el binomio de Newton pero lo que obtengo es totalmente distinto.
A mi me sale;
$|\Psi_{x}|^2=|(\lambda_1\Psi_1(r))^2+2\lambda_1 \lambda_2 \Psi_1(r) \Psi_2(r)+(\lambda_1\Psi_1(r))^2|$
De manera que supongo que me falta algo, o que hay algo que aún no he conseguido comprender.

Saludos y gracias.

[pod]

Re: Consulta sobre funciones de cuadrado integrable

Por definición, el cuadrado del módulo de una cantidad compleja se obtiene multiplicando dicha cantidad por su conjugado:

$$\big| \Psi_r \big|^2 = \Psi_r^* \Psi_r .$$

Esto es diferente a lo que saldría elevando al cuadrado la función (que es lo que tú has hecho, $\Psi_r^2 \neq \big|\Psi_r \big|^2$, salvo que $\Psi_r \in \mathbb{R}$).

[inakigarber]

Re: Consulta sobre funciones de cuadrado integrable

Gracias por tu respuesta.

Por definición, el cuadrado del módulo de una cantidad compleja se obtiene multiplicando dicha cantidad por su conjugado:

$$\big| \Psi_r \big|^2 = \Psi_r^* \Psi_r .$$

Esto es diferente a lo que saldría elevando al cuadrado la función (que es lo que tú has hecho, $\Psi_r^2 \neq \big|\Psi_r \big|^2$, salvo que $\Psi_r \in \mathbb{R}$).

Es decir, que lo que yo he hecho solo valdría para el caso en que $\Psi_r$ fuera un número real, lo cual no es nuestro caso.
Luego el error de concepto mío ha sido considerar que $\Psi_r^2 \neq \big|\Psi_r \big|^2$.
De momento tendré que conformarme con asumir que $\big| \Psi_r \big|^2 = \Psi_r^* \Psi_r.^*$

Por tanto, el cuadrado de una cantidad compleja siempre dará un número real.
$\big| \Psi_r \big|^2 = \Psi_r^* \Psi_r \in \mathbb{R}$
Ahora me queda entender el porque.

[Alriga]

Re: Consulta sobre funciones de cuadrado integrable

Por tanto, el cuadrado de una cantidad compleja siempre dará un número real.
$\big| \Psi_r \big|^2 = \Psi_r^* \Psi_r \in \mathbb{R}$
Ahora me queda entender el porque

El módulo de un número complejo SE DEFINE como una aplicación de los complejos en los reales no negativos $\mathbb C \ \rightarrow \ \mathbb{R}_0^+$ tal que $\forall z \in \mathbb C$:

$|z|=+\sqrt{z \cdot z^*}$

Con esa definición resulta que que el módulo del complejo $z=a+b \ i$:

*Coincide con el módulo de un vector de dos dimensiones de componentes (a, b) Recuerda que el módulo del vector (a, b) es por definición la raíz cuadrada positiva del producto escalar euclídeo del vector por sí mismo.

*Coincide con el valor absoluto de la parte real del número complejo, cuando éste no tiene parte imaginaria.

*Coincide con el valor absoluto de la parte imaginaria del número complejo, cuando éste no tiene parte real.

Ello hace que esa definición sea bastante "natural" y dé idea del "tamaño" del número complejo sin importar su argumento. Pero en general, las definiciones no hay que "entenderlas", se crean para que sean útiles.

Saludos.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre funciones de cuadrado integrable

El módulo de un número complejo SE DEFINE como una aplicación de los complejos en los reales no negativos $\mathbb C \ \rightarrow \ \mathbb{R}_0^+$ tal que $\forall z \in \mathbb C$:

$|z|=+\sqrt{z \cdot z^*}$....

[FONT=Verdana]
Un buen día, podre reunir una gran parte de los hilos que llevo abiertos y hacer una buena antologia de las meteduras de pata que llevo cometidas. Creo que este hilo también refleja una de mis meteduras de pata. [/FONT]

Pongamos un numero complejo elegido al azar, por ejemplo;
$z_1=(1+7i)$
Su módulo sería $|z_1|=\sqrt{1^2+7^2}=\sqrt{50}$.
Por otra parte, el producto $z_1\cdot z_1^*$ sería $(1+7i)(1-7i)=1+49=50=|z_1|^2$

Supongo que no volveré a caer en este error.

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Re: Consulta sobre funciones de cuadrado integrable

Luego el error de concepto mío ha sido considerar que $\Psi_r^2 \neq \big|\Psi_r \big|^2$.

no es un error, por lo general correcta la expresión

$\Psi_r=a+bi$

$\Psi_r^2=(a+bi)(a+bi)=a^2-b^2+2abi$ es un número complejo

y $\big|\Psi_r \big|^2=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ es un número real

solo son iguales cuando $b=0$ o $\Psi_r \in \mathbb{R}$ como dice pod