Otras carreras Tensor métrico

[Aradan]

No se bien si va acá este post, pero lo estamos viendo en Mec Clásica.

Tengo que el tensor métrico se definió como $g_{ab} = \dfrac{\partial x'^j}{\partial x^a} \dfrac{\partial x'^j}{\partial x^b}$

Entonces, me piden calcular los símbolos de Christoffel para coordenadas cilíndricas, por lo cual tengo que encontrar el tensor métrico. Acá va mi pregunta

Si defino las coordenadas cilíndricas como $z=z$, $r=\sqrt{x^2 + y^2}$ y $\theta=\arctan (y/x)$ (supongo que están bien así)

¿ Estará bien hacer:

$g_{11} = \dfrac{\partial r}{\partial x}\dfrac{\partial r}{\partial x} + \dfrac{\partial \theta}{\partial x}\dfrac{\partial \theta}{\partial x} + \dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial z}{\partial x}$

?

Porque cuando hago los cálculos no llego a nada muy bueno como aparecen los tensores al buscar en google o en algun libro de física. La mayoría se limita a encontrar $ds^2$ y a partir de ahi deducir el tensor métrico, pero me gustaría saber cómo hacerlo derivando

Gracias

[pod]

Re: Tensor métrico

Parece que lo estás haciendo del revés, si quieres la métrica en cilíndricas debes derivar respecto de ellas, no respecto las cartesianas:

$$g_{11} = \left( \frac{\partial x}{\partial r} \right)^{\!2} + \left( \frac{\partial y}{\partial r} \right)^{\!2} + \left( \frac{\partial z}{\partial r} \right)^{\!2}= 1 \ .$$

Por otra parte, recuerda que la forma correcta de cambiar de base la métrica es

$$g'_{ab} = \frac{\partial x^i}{\partial {x^a}'} \frac{\partial x^j}{\partial {x^b}'} \ g_{ij}\ .$$

En el caso que has puesto, $g_{ij} = \delta_{ij}$, que es la métrica en cartesianas, y por eso se puede utilizar tu ecuación para definir la métrica de un cambio de variables a partir de cartesianas. La que yo te pongo se puede utilizar para definir la métrica entre dos variables cualesquiera, aunque no sean las cartesianas.

[Aradan]

Re: Tensor métrico

M... ok, entendi tu idea , no lo había pensado así
Pero si quiero encontrar el tensor métrico inverso ahora, ¿no habría que derivar igual respecto de las cartesianas?

[alespa07]

Re: Tensor métrico

No se bien si va acá este post, pero lo estamos viendo en Mec Clásica.

Tengo que el tensor métrico se definió como $g_{ab} = \dfrac{\partial x'^j}{\partial x^a} \dfrac{\partial x'^j}{\partial x^b}$

Entonces, me piden calcular los símbolos de Christoffel para coordenadas cilíndricas, por lo cual tengo que encontrar el tensor métrico. Acá va mi pregunta

Si defino las coordenadas cilíndricas como $z=z$, $r=\sqrt{x^2 + y^2}$ y $\theta=\arctan (y/x)$ (supongo que están bien así)

¿ Estará bien hacer:

$g_{11} = \dfrac{\partial r}{\partial x}\dfrac{\partial r}{\partial x} + \dfrac{\partial \theta}{\partial x}\dfrac{\partial \theta}{\partial x} + \dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial z}{\partial x}$

?

Porque cuando hago los cálculos no llego a nada muy bueno como aparecen los tensores al buscar en google o en algun libro de física. La mayoría se limita a encontrar $ds^2$ y a partir de ahi deducir el tensor métrico, pero me gustaría saber cómo hacerlo derivando

Gracias

Wenas. Para encontrar el tensor métrico en cilíndricas te recomiendo que uses la forma matricial que en este caso quedará:

$g_{i'j'}=(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)})^Tg_{ij}\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,z)}$

donde supongo que reconocerás la matriz jacobiana.
Saludos.

[alespa07]

Re: Tensor métrico

M... ok, entendi tu idea , no lo había pensado así
Pero si quiero encontrar el tensor métrico inverso ahora, ¿no habría que derivar igual respecto de las cartesianas?

Al ser coordenadas ortogonales te ha tenido que salir que el tensor métrico es una matriz diagonal así que en vez de derivar es mucho más sencillo invertir tu matriz y así obtienes directamente el tensor métrico inverso.

[pod]

Re: Tensor métrico

M... ok, entendi tu idea , no lo había pensado así
Pero si quiero encontrar el tensor métrico inverso ahora, ¿no habría que derivar igual respecto de las cartesianas?

¿A qué te refieres con el tensor métrico inverso? ¿El que tiene los índices arriba? Eso es tan sencillo como invertir la matriz.

Si lo que quieres hacer es encontrar el tensor de las coordenadas cartesianas (que será la matriz identidad) a partir del tensor en cilíndricas, si tienes que derivar al revés, sin olvidarte de que tienes el tensor original multiplicando (como te puse antes).

[Aradan]

Re: Tensor métrico

Sí, invertir la matriz sale bastante fácil, de hecho ya me puse a resolver el ejercicio.
Solo que quería comprobar las definiciones que habían deducido, como

$g^{ab} = \dfrac{\partial x^a}{\partial x'^j} \dfrac{\partial x^b}{\partial x'^j}$

y obtener el tensor derivando, en este caso, de las coordenadas cilíndricas y de hecho, salieron. Solo tenía mal pensado lo primero que había posteado.
Gracias por la respuestas