Área y perímetro

[Jaime Rudas]

Paula y Sofía tienen gran habilidad para resolver problemas matemáticos.

A Paula le dan el área y a Sofía, el perímetro de un rectángulo cuyos lados tienen un número entero de centímetros mayor que uno.

Después de pensar durante un buen tiempo sobre el asunto, Sofía le dice a Paula: "Conociendo solo el área, no es posible deducir cuál es el perímetro".

Paula reflexiona sobre esto y dice: "Ahora ya sé cuál es el perímetro".

Y Sofía concluye: "Y ahora yo ya sé cuál es el área".

¿Cuánto miden los lados del rectángulo más pequeño para el cual estas deducciones resultan plenamente justificadas?

(Por supuesto, también hay que justificar cómo se llega al resultado).

[carroza]

Gracias, Jaime.

Ahi va mi intento. creo que me pierdo algo

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Mi argumento es el siguiente. Paula y Sofia saben que el area del rectangulo debe poder expresarse como producto de factores mayores que dos. El hecho de que Paula no resuelva inmediatamente el poblema limita las posibilidades a rectang ulos cuya area se pueda expresar de más de dos formas como producto de factores. Los casos más simples para valores de area son 12 (2x6,3x4), 16(2x8, 4x4), 18(2x9, 3x6), ... y los perimetros correspondientes son 14(3+3+4+4), 16 (4+4+4+4), 18(3+6+3+6), 20(2+8+2+8) .....

Sofia sabe esto. Si su perimetro fuera 14, deduciria un area 3x4=12, y resolvería. Como no lo hace, Paula deduce que el perimetro no es 14.
Paula sabe que el perimetro no es 14. Si su area fuera 12, deduciria 2x6, y resolvería. Como no lo hace, Sofía deduce que el area no es 12.
Sofia sabe que el area no es 12. Si su perimetro fuera 16, deduciria 4x4 y resolvería. Como no lo hace, Paula deduce que el perimetro no es 16.
Paula sabe que el perimetro no es 14 ni 16. Si su area fuera 16, deduciria 2x8, y resolveria. Como no lo hace, Sofia deduce que el area no es 16.
Sofia sabe que el area no es 12 ni 16. Si su perimetro fuera 20, deduciria 4x6 , y resolvería. Como no lo hace, Paula deduce que el perimetro no es 20


Todo esto pueden deducirlo Paula y Sofia antes de hablar, con lo que las opciones que les quedan son areas 18(2x9, 3x6), 20(2x10, 4x5) ,24(2x12, 3x8) ..., y perimetros 18(3+6+3+6), 22(2+9+2+9)

Ahora habla Sofia "conociendo el area, no es posible determinar el perimetro". La verdad es que encuentro redundante esa afirmación. Todas las opciones que no llevan a una resolucion inmediata cumplen eso. Quizas me pierdo algo.

A partir de ahi, no veo como paula puede deducir el perimetro a partir del area, ya que todas las opciones que le quedan tienen varios perimetros para cada area.

Saludos

[Jaime Rudas]

Ahi va mi intento. creo que me pierdo algo

Vas muy bien, Carroza.
Te dejo una pequeña pista que, más que pista, es una aclaración:

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El hecho de que Paula no resuelva inmediatamente el poblema limita las posibilidades a rectang ulos cuya area se pueda expresar de más de dos formas como producto de factores.
[...]
Ahora habla Sofia "conociendo el area, no es posible determinar el perimetro". La verdad es que encuentro redundante esa afirmación. Todas las opciones que no llevan a una resolucion inmediata cumplen eso. Quizas me pierdo algo.

Esta afirmación de Sofía está basada en los datos que conoce, no en el silencio de Paula ("ve tú a saber por qué calla Paula").

Saludos

[Alriga]

Hola Jaime, ¿es ésto correcto?

.. Sofía le dice a Paula: "Conociendo solo el área, no es posible deducir cuál es el perímetro".

¿No será Paula le dice a Sofía "Conociendo solo el área, no es posible deducir cuál es el perímetro"? Ya que es Paula la que conoce el área y a la que se le pregunta por el perímetro.

Gracias y saludos.

[Jaime Rudas]

Hola Jaime, ¿es ésto correcto?

¿No será Paula le dice a Sofía "Conociendo solo el área, no es posible deducir cuál es el perímetro"? Ya que es Paula la que conoce el área y a la que se le pregunta por el perímetro.

El planteamiento está bien (Sofía le dice a Paula: "Conociendo solo el área, no es posible deducir cuál es el perímetro"), sin embargo, dado que evidentemente se presta a confusiones, diré cuál fue la aclaración que le hice a Carroza:

Esto que dice Sofía lo deduce del dato numérico que tiene.

[Alriga]

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¿Es un rectángulo de 2x8?

A=16
P=20

Pero el argumento que hago aun no me convence

[Jaime Rudas]

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¿Es un rectángulo de 2x8?

A=16
P=20

Pero el argumento que hago aun no me convence

No, no es

[carroza]

Hola.

Ya creo que tengo la solución. Pero primero dejadme que reformule la conversacion de Paula (areas) y Sofía (perimetros):

Paula: No puedo obtener el perímetro.
Sofía: Ya sabía yo que no podias obtener el perímetro.
Paula. Pues ahora ya se el perímetro.
Sofía: Pues ahora ya se el area.

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Paula tiene un area que no pued eexpresarse de forma unica como producto de dos numeros mayores que dos. Su area no es 6 (2x3), ni 8(2x4), ni 10 (2x5) etc.

Sofía tiene un perimetro, cuya mitad (semiperimetro, suma de los dos lados), no puede ponerse como suma de dos numeros, cuyo producto solo pueda expresarse de una forma.
El semiperimetro no es 4 (2+2), ya que 4 solo se pune como 2x2. No es 6(4+2, o 3+3), ya que 8 y 9 solo se ponen como (2x4) y (3x3). No es 8 (6+2, 5+3, 4+4) ya que un caso, 3x5=15, solo se puede poner como 3x5, con lo que no Paula, a partir de un area 15, podría haber predicho el perimetro.
No es 9 (2+7,6+3, 4+5) porque un caso 2x7=14, solo se puede poner como 2x7.
No es 10 porque 3x7=21 solo se pone como 3x7.
Asi, podemos excluir todos los valores del semiperimetro hasta 11. Este valor se puede poner como 2+9, dando un area 18 que se puede poner como 3x6 o 2x9.
3+8, da 24 que es 2x12, 3x8 o 4x6.
4+7, da 28 que es 4x7 o 2x14
5+6, da 30 que es 5x6, 3x10, 2x15

Por tanto, si Sofia tiene 11, entonces puede deducir correctamente que Paula no podría haber averiguado los lados, y por tanto el perimetro, de ninguna forma.

Ahora es el turno de Paula. Del comentario de sofia, deduce que el perimetro debe ser 11 o mayor. No puede ser 9 o 10. Si su area es 18, descartaria 3x6, que lleva a semiperimetro 9, y se queda con semiperimetro 11. que es lo que anuncia.

Ahora es el turno de Sofia. Ella sabe, de la ronda anterior, que el area debe ser 18, 24, 28 o 30. Pero 24, 28 o 30 son compatibles con varios perimetros que sean 11 o mayores, con lo que esas areas no hubieran permitido a Paula hacer su anuncio , con lo que se queda con area 18

Saludos

[Jaime Rudas]

Hola.

Ya creo que tengo la solución. Pero primero dejadme que reformule la conversacion de Paula (areas) y Sofía (perimetros):

Paula: No puedo obtener el perímetro.
Sofía: Ya sabía yo que no podias obtener el perímetro.
Paula. Pues ahora ya se el perímetro.
Sofía: Pues ahora ya se el area.

De acuerdo, así queda más claro

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Paula tiene un area que no pued eexpresarse de forma unica como producto de dos numeros mayores que dos. Su area no es 6 (2x3), ni 8(2x4), ni 10 (2x5) etc.

Sofía tiene un perimetro, cuya mitad (semiperimetro, suma de los dos lados), no puede ponerse como suma de dos numeros, cuyo producto solo pueda expresarse de una forma.
El semiperimetro no es 4 (2+2), ya que 4 solo se pune como 2x2. No es 6(4+2, o 3+3), ya que 8 y 9 solo se ponen como (2x4) y (3x3). No es 8 (6+2, 5+3, 4+4) ya que un caso, 3x5=15, solo se puede poner como 3x5, con lo que no Paula, a partir de un area 15, podría haber predicho el perimetro.
No es 9 (2+7,6+3, 4+5) porque un caso 2x7=14, solo se puede poner como 2x7.
No es 10 porque 3x7=21 solo se pone como 3x7.
Asi, podemos excluir todos los valores del semiperimetro hasta 11. Este valor se puede poner como 2+9, dando un area 18 que se puede poner como 3x6 o 2x9.
3+8, da 24 que es 2x12, 3x8 o 4x6.
4+7, da 28 que es 4x7 o 2x14
5+6, da 30 que es 5x6, 3x10, 2x15

Por tanto, si Sofia tiene 11, entonces puede deducir correctamente que Paula no podría haber averiguado los lados, y por tanto el perimetro, de ninguna forma.

Hasta aquí, vas bien.

Ahora es el turno de Paula. Del comentario de sofia, deduce que el perimetro debe ser 11 o mayor. No puede ser 9 o 10. Si su area es 18, descartaria 3x6, que lleva a semiperimetro 9, y se queda con semiperimetro 11. que es lo que anuncia.

Fíjate que dices que debe ser 11 o mayor. ¿Cómo descartas que sea mayor? ¿Por ejemplo 23?

Saludos

[carroza]

Hola

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No descarto (Paula no descarta) que sea mayor. Descarta que sea menor. De hecho, he encontrado que un semiperimetro 17 tambien cumple las condiciones. Pero no es relevante para este caso, ya que un semiperimetro de 11 conocido por Sofia, y un area de 18 conocido por Paula llevan al intercambio anterior.

[Jaime Rudas]

Hola

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No descarto (Paula no descarta) que sea mayor. Descarta que sea menor. De hecho, he encontrado que un semiperimetro 17 tambien cumple las condiciones. Pero no es relevante para este caso, ya que un semiperimetro de 11 conocido por Sofia, y un area de 18 conocido por Paula llevan al intercambio anterior.

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Sí, ya veo. Fíjate que dices que descartas 24, 28 y 30 porque "son compatibles con varios perimetros que sean 11 o mayores, con lo que esas areas no hubieran permitido a Paula hacer su anuncio", sin embargo, si los lados son 15 y 2, el semiperímetro sería 17 y el área sería 30 y también cumpliría las condiciones, con lo que no se podría descartar.

[Abdulai]

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Este problema es conocido como Problema Imposible (no cliquear el link si no se quiere ver la solución)

[Jaime Rudas]

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Este problema es conocido como Problema Imposible (no cliquear el link si no se quiere ver la solución)

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Sí es ese problema. Notarás que cambié el planteamiento para evitar que fuera buscado como "sum and product"

[carroza]

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Sí, ya veo. Fíjate que dices que descartas 24, 28 y 30 porque "son compatibles con varios perimetros que sean 11 o mayores, con lo que esas areas no hubieran permitido a Paula hacer su anuncio", sin embargo, si los lados son 15 y 2, el semiperímetro sería 17 y el área sería 30 y también cumpliría las condiciones, con lo que no se podría descartar.

OK,ya veo. Paula sabe la solucion de perimetro 11, tanto si tiene area 18, como si tiene 24 (ya que excluye perimetros 10 y 14), o si tiene area 28 (ya que excluye el perimetro 16). Asi que, aunque Paula anuncie, Sofia no sabria el area.

Solo nos queda la solucion de semiperimetro 17 y area 52.

Muy bonito el problema.

PS: a la hora de excluir los posibles semiperimetros, es muy util recordar que un numero par siempre se puede poner como suma de dos primos. Eso excluye los semiperimetros pares.

[Jaime Rudas]

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OK,ya veo. Paula sabe la solucion de perimetro 11, tanto si tiene area 18, como si tiene 24 (ya que excluye perimetros 10 y 14), o si tiene area 28 (ya que excluye el perimetro 16). Asi que, aunque Paula anuncie, Sofia no sabria el area.

Solo nos queda la solucion de semiperimetro 17 y area 52.

Muy bonito el problema.

PS: a la hora de excluir los posibles semiperimetros, es muy util recordar que un numero par siempre se puede poner como suma de dos primos. Eso excluye los semiperimetros pares.

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¡Muy bien!, pero, aunque la respuesta es correcta, no estoy seguro de que la hayas justificado plenamente. Por ejemplo, ¿por qué no podrían ser perímetro 34 y área 70?