Área y perímetro

[Jaime Rudas]

Ok doy mi solucion completa

¡Muy bien!

[carroza]

Ok doy mi solucion completa

Solución: 

¡Muy bien!, pero, aunque la respuesta es correcta, no estoy seguro de que la hayas justificado plenamente. Por ejemplo, ¿por qué no podrían ser perímetro 34 y área 70?

1) Paula (areas) dice que no puede obtener el perimetro.

Eso nos indica que el area solo puede venir dado por valores que se puedan obtener como productos en más de una forma. Por ejemplo, no pueden ser productos de primos.

Eso nos deja valores de areas A que pueden ser:

A = 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, etc

2) Sofia (perimetros) nos dice que eso ya los sabia. Por tanto, el perimetro que tiene sofia, debe ser siempre compatible con areas como las anteriores (se pueden expresar de más de una forma como productos). Desde ahora, perfiero hablar del semiperimetro (SP) que es la suma de los dos lados. El producto de los dos lados es el area A. Automaticamente, podemos descartar todos los SP pares, ya que, por la conjetura de Golbach, cualquier numero par mayor que dos se puede expresar
como suma de dos primos, y el producto de dos primos solo se puede expresar como producto de una unica manera. Los valores del SP aceptables, con las A correspondientes, son solo (no desarrollo hasta areas mayores que 100, que corresponden a los puntos supensivos)

SP(A) =
11(18, 24, 28, 30) ;
17(30, 42, 52, 60, 66, 70, 72);
23(42, 60, 76, 90, ....);
27(50, 72, 92, ...)
29(54, 78, 100, ...)
35(66, 96, ...)
37(70, ...)
41(78, ..)
47(90, ..)
51(98, ...)
53(...)

3) Paula (areas) nos dice que ya sabe la solucion del perimetro. Eso quiere decir que el valor de su area debe aparecer de una forma unica en la lista anterior. Eso nos deja las posibilidades de SP(A) siguientes:

11(18, 24, 28)
17(52)
23(76, ...)
27(50, 92, ...)
29(54, 100, ...)
35(96, ...)
37(...)
41 (...)
47 (...)
51 (98, ...)
53(...)

4) Sofia (perimetros) nos dice que ya sabe la solucion del area. Eso que el semiperimetro debe tener solo un area asignada.

Esto se cumple si el semiperimetro, que sofia conoce, es 17, que corresponde al area 52.

Puede haber otras soluciones 23(76), 35(96), 51(98), pero eso requeriria extender el análisis a areas mayores que 100, cosa que yo no he hecho.

Saludos

[Jaime Rudas]

Como Carroza ya dio con la solución, dejo también la mía (oculta, para quienes quieran seguir intentándolo):

Solución: 

La clave está en la primera afirmación de Sofía. ¿Cómo sabe que conociendo el área no se puede determinar el perímetro? Veamos:

El área es el producto de los lados y, si los dos lados son números primos, entonces, sabiendo el área, se saben los lados. Por ejemplo, si el área es 35, inmediatamente sabemos que los lados son 7 y 5 (y el perímetro es 24) porque ningún otro par de números dan 35.

Así las cosas, para llegar a la conclusión de que no se puede determinar el perímetro, Sofía determinó que ambos lados no pueden ser primos, o sea, determinó que la suma de los dos lados (o sea, la mitad del perímetro que le dieron) no es de la forma (p1+p2) donde p1 y p2 son números primos.

¿Cuáles son los números de la forma (p1+p2)? De la conjetura de Goldbach sabemos que los números pares (por lo menos, los que no son extraordinariamente grandes) son de la forma p1+p2. Por otra parte, los únicos impares de la forma p1+p2 son los de la forma 2+p1; de lo que concluimos que la suma de los dos lados (que Sofía conoce) es un número impar que no es de la forma 2+p1, o sea, no es uno los siguientes:

5, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 31, 33, 39, 43, 45, 49, 55, 61, 63, 69, 73, 75, 81, 85, 91, 99...

5, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 31, 33, 39, 43, 45, 49...

Por lo anterior, la suma de los dos lados es una de las siguientes: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47...

Ahora bien, si la suma de los dos lados es 11, entonces los lados son unos de los siguientes:

9 y 2 con un área de 18
8 y 3 con un área de 24
7 y 4 con un área de 28
6 y 5 con un área de 30

Analicemos cada una:
Para un área de 18, además de la opción 9x2, tenemos 6x3, pero para esta la suma es 9, que no está en la lista de las posibles sumas. Por tanto, si Paula tiene 18, ya sabe que los lados son 9 y 2.

Para un área de 24, además de la opción 8x3, tenemos 6x4 y 12x2, pero para estas, las sumas son 10 y 14 respectivamente, que no están en la lista de las posibles sumas. Por tanto, si Paula tiene 24, ya sabe que los lados son 8 y 3.

Para un área de 28, además de la opción 7x4, tenemos 14x2, pero para esta la suma es 16, que no está en la lista de las posibles sumas. Por tanto, si Paula tiene 28, ya sabe que los lados son 7 y 4.

Para un área de 30, además de la opción 6x5, tenemos 10x3 y 15x2. Para 10x3 la suma es 13 que no está en la lista de las posibles sumas; pero, para 15x2 la suma es 17 que sí está en la lista de las posibles sumas. Por tanto, si Paula tiene 30, no puede determinar si la suma es 11 o es 17.

En resumen: si Paula tiene 18, 24 o 28, podrá determinar que la suma de los lados es 11 (y el perímetro, 22); sin embargo, Sofía no podrá determinar cuál de los tres valores es el área, por lo que las suma no puede ser 11.

Probemos, entonces con el siguiente en la lista:

Si la suma de los dos lados es 17, entonces los lados son unos de los siguientes:

15 y 2 con un área de 30
14 y 3 con un área de 42
13 y 4 con un área de 52
12 y 5 con un área de 60
11 y 6 con un área de 66
10 y 7 con un área de 70
9 y 8 con un área de 72

Analicemos cada una:
Como vimos arriba, para un área de 30, además de la opción 15x2, tenemos 10x3 y 6x5. Para 10x3 la suma es 13 que no está en la lista de las posibles sumas; pero, para 6x5 la suma es 11 que sí está en la lista de las posibles sumas. Por tanto, si Paula tiene 30, no puede determinar si la suma es 11 o es 17.

Para un área de 42, además de la opción 14x3, tenemos 7x6 y 21x2. Para 7x6 la suma es 13 que no está en la lista de las posibles sumas; pero, para 21x2 la suma es 23 que sí está en la lista de las posibles sumas. Por tanto, si Paula tiene 42, no puede determinar si la suma es 17 o es 23

Para un área de 52, además de la opción 13x4, tenemos 26x2, pero para esta la suma es 28, que no está en la lista de las posibles sumas. Por tanto, si Paula tiene 52, ya sabe que los lados son 13 y 4.

Para un área de 60, además de la opción 12x5, tenemos 20x3 y otras 4 parejas. Para 20x3 la suma es 23 que sí está en la lista de las posibles sumas. Por tanto, si Paula tiene 60, no puede determinar si la suma es 17 o es 23.

Para un área de 66, además de la opción 11x6, tenemos 33x2 y 22x3. Para 33x2 la suma es 35 que sí está en la lista de las posibles sumas. Por tanto, si Paula tiene 66, no puede determinar si la suma es 17 o es 35.

Para un área de 70, además de la opción 10x7, tenemos 35x2 y 14x5. Para 35x2 la suma es 37 que sí está en la lista de las posibles sumas. Por tanto, si Paula tiene 70, no puede determinar si la suma es 17 o es 37.

Para un área de 72, además de la opción 9x8, tenemos 24x3 y otras 4 parejas. Para 24x3 la suma es 27 que sí está en la lista de las posibles sumas. Por tanto, si Paula tiene 72, no puede determinar si la suma es 17 o es 27.

En resumen: si Paula tiene 52 puede concluir, sin lugar a dudas, que los lados miden 13 y 4, y que el perímetro es 34. Además, si el perímetro es 34, Sofía sabe que la única forma en que Paula puede averiguarlo es si los lados son 13 y 4.

[Jaime Rudas]

Solución: 

OK,ya veo. Paula sabe la solucion de perimetro 11, tanto si tiene area 18, como si tiene 24 (ya que excluye perimetros 10 y 14), o si tiene area 28 (ya que excluye el perimetro 16). Asi que, aunque Paula anuncie, Sofia no sabria el area.

Solo nos queda la solucion de semiperimetro 17 y area 52.

Muy bonito el problema.

PS: a la hora de excluir los posibles semiperimetros, es muy util recordar que un numero par siempre se puede poner como suma de dos primos. Eso excluye los semiperimetros pares.

Solución: 

¡Muy bien!, pero, aunque la respuesta es correcta, no estoy seguro de que la hayas justificado plenamente. Por ejemplo, ¿por qué no podrían ser perímetro 34 y área 70?

[carroza]

Solución: 

Sí, ya veo. Fíjate que dices que descartas 24, 28 y 30 porque "son compatibles con varios perimetros que sean 11 o mayores, con lo que esas areas no hubieran permitido a Paula hacer su anuncio", sin embargo, si los lados son 15 y 2, el semiperímetro sería 17 y el área sería 30 y también cumpliría las condiciones, con lo que no se podría descartar.

OK,ya veo. Paula sabe la solucion de perimetro 11, tanto si tiene area 18, como si tiene 24 (ya que excluye perimetros 10 y 14), o si tiene area 28 (ya que excluye el perimetro 16). Asi que, aunque Paula anuncie, Sofia no sabria el area.

Solo nos queda la solucion de semiperimetro 17 y area 52.

Muy bonito el problema.

PS: a la hora de excluir los posibles semiperimetros, es muy util recordar que un numero par siempre se puede poner como suma de dos primos. Eso excluye los semiperimetros pares.

[Jaime Rudas]

Solución: 

Este problema es conocido como Problema Imposible (no cliquear el link si no se quiere ver la solución)

Solución: 

Sí es ese problema. Notarás que cambié el planteamiento para evitar que fuera buscado como "sum and product"

[Abdulai]

Solución: 

Este problema es conocido como Problema Imposible (no cliquear el link si no se quiere ver la solución)

[Jaime Rudas]

Hola

Solución: 

No descarto (Paula no descarta) que sea mayor. Descarta que sea menor. De hecho, he encontrado que un semiperimetro 17 tambien cumple las condiciones. Pero no es relevante para este caso, ya que un semiperimetro de 11 conocido por Sofia, y un area de 18 conocido por Paula llevan al intercambio anterior.

Solución: 

Sí, ya veo. Fíjate que dices que descartas 24, 28 y 30 porque "son compatibles con varios perimetros que sean 11 o mayores, con lo que esas areas no hubieran permitido a Paula hacer su anuncio", sin embargo, si los lados son 15 y 2, el semiperímetro sería 17 y el área sería 30 y también cumpliría las condiciones, con lo que no se podría descartar.

[carroza]

Hola

Solución: 

No descarto (Paula no descarta) que sea mayor. Descarta que sea menor. De hecho, he encontrado que un semiperimetro 17 tambien cumple las condiciones. Pero no es relevante para este caso, ya que un semiperimetro de 11 conocido por Sofia, y un area de 18 conocido por Paula llevan al intercambio anterior.

[Jaime Rudas]

Hola.

Ya creo que tengo la solución. Pero primero dejadme que reformule la conversacion de Paula (areas) y Sofía (perimetros):

Paula: No puedo obtener el perímetro.
Sofía: Ya sabía yo que no podias obtener el perímetro.
Paula. Pues ahora ya se el perímetro.
Sofía: Pues ahora ya se el area.

De acuerdo, así queda más claro

Solución: 

Paula tiene un area que no pued eexpresarse de forma unica como producto de dos numeros mayores que dos. Su area no es 6 (2x3), ni 8(2x4), ni 10 (2x5) etc.

Sofía tiene un perimetro, cuya mitad (semiperimetro, suma de los dos lados), no puede ponerse como suma de dos numeros, cuyo producto solo pueda expresarse de una forma.
El semiperimetro no es 4 (2+2), ya que 4 solo se pune como 2x2. No es 6(4+2, o 3+3), ya que 8 y 9 solo se ponen como (2x4) y (3x3). No es 8 (6+2, 5+3, 4+4) ya que un caso, 3x5=15, solo se puede poner como 3x5, con lo que no Paula, a partir de un area 15, podría haber predicho el perimetro.
No es 9 (2+7,6+3, 4+5) porque un caso 2x7=14, solo se puede poner como 2x7.
No es 10 porque 3x7=21 solo se pone como 3x7.
Asi, podemos excluir todos los valores del semiperimetro hasta 11. Este valor se puede poner como 2+9, dando un area 18 que se puede poner como 3x6 o 2x9.
3+8, da 24 que es 2x12, 3x8 o 4x6.
4+7, da 28 que es 4x7 o 2x14
5+6, da 30 que es 5x6, 3x10, 2x15

Por tanto, si Sofia tiene 11, entonces puede deducir correctamente que Paula no podría haber averiguado los lados, y por tanto el perimetro, de ninguna forma.

Hasta aquí, vas bien.

Ahora es el turno de Paula. Del comentario de sofia, deduce que el perimetro debe ser 11 o mayor. No puede ser 9 o 10. Si su area es 18, descartaria 3x6, que lleva a semiperimetro 9, y se queda con semiperimetro 11. que es lo que anuncia.

Fíjate que dices que debe ser 11 o mayor. ¿Cómo descartas que sea mayor? ¿Por ejemplo 23?

Saludos

[carroza]

Hola.

Ya creo que tengo la solución. Pero primero dejadme que reformule la conversacion de Paula (areas) y Sofía (perimetros):

Paula: No puedo obtener el perímetro.
Sofía: Ya sabía yo que no podias obtener el perímetro.
Paula. Pues ahora ya se el perímetro.
Sofía: Pues ahora ya se el area.

Solución: 

Paula tiene un area que no pued eexpresarse de forma unica como producto de dos numeros mayores que dos. Su area no es 6 (2x3), ni 8(2x4), ni 10 (2x5) etc.

Sofía tiene un perimetro, cuya mitad (semiperimetro, suma de los dos lados), no puede ponerse como suma de dos numeros, cuyo producto solo pueda expresarse de una forma.
El semiperimetro no es 4 (2+2), ya que 4 solo se pune como 2x2. No es 6(4+2, o 3+3), ya que 8 y 9 solo se ponen como (2x4) y (3x3). No es 8 (6+2, 5+3, 4+4) ya que un caso, 3x5=15, solo se puede poner como 3x5, con lo que no Paula, a partir de un area 15, podría haber predicho el perimetro.
No es 9 (2+7,6+3, 4+5) porque un caso 2x7=14, solo se puede poner como 2x7.
No es 10 porque 3x7=21 solo se pone como 3x7.
Asi, podemos excluir todos los valores del semiperimetro hasta 11. Este valor se puede poner como 2+9, dando un area 18 que se puede poner como 3x6 o 2x9.
3+8, da 24 que es 2x12, 3x8 o 4x6.
4+7, da 28 que es 4x7 o 2x14
5+6, da 30 que es 5x6, 3x10, 2x15

Por tanto, si Sofia tiene 11, entonces puede deducir correctamente que Paula no podría haber averiguado los lados, y por tanto el perimetro, de ninguna forma.

Ahora es el turno de Paula. Del comentario de sofia, deduce que el perimetro debe ser 11 o mayor. No puede ser 9 o 10. Si su area es 18, descartaria 3x6, que lleva a semiperimetro 9, y se queda con semiperimetro 11. que es lo que anuncia.

Ahora es el turno de Sofia. Ella sabe, de la ronda anterior, que el area debe ser 18, 24, 28 o 30. Pero 24, 28 o 30 son compatibles con varios perimetros que sean 11 o mayores, con lo que esas areas no hubieran permitido a Paula hacer su anuncio , con lo que se queda con area 18

Saludos

[Jaime Rudas]

Solución: 

¿Es un rectángulo de 2x8?

A=16
P=20

Pero el argumento que hago aun no me convence

No, no es

[Alriga]

Solución: 

¿Es un rectángulo de 2x8?

A=16
P=20

Pero el argumento que hago aun no me convence

[Jaime Rudas]

Hola Jaime, ¿es ésto correcto?

¿No será Paula le dice a Sofía "Conociendo solo el área, no es posible deducir cuál es el perímetro"? Ya que es Paula la que conoce el área y a la que se le pregunta por el perímetro.

El planteamiento está bien (Sofía le dice a Paula: "Conociendo solo el área, no es posible deducir cuál es el perímetro"), sin embargo, dado que evidentemente se presta a confusiones, diré cuál fue la aclaración que le hice a Carroza:

Esto que dice Sofía lo deduce del dato numérico que tiene.

[Alriga]

Hola Jaime, ¿es ésto correcto?

.. Sofía le dice a Paula: "Conociendo solo el área, no es posible deducir cuál es el perímetro".

¿No será Paula le dice a Sofía "Conociendo solo el área, no es posible deducir cuál es el perímetro"? Ya que es Paula la que conoce el área y a la que se le pregunta por el perímetro.

Gracias y saludos.