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**_FoX_** · 22/07/2007, 07:24:40

Re: Avelino va al casino

Pues, la probabilidad de acertar será menor a la de fallar.

Avelino tendrá 16/37 posibilidades de ganar otro euro con una apuesta y 17/37 de perder su euro al apostar a la ruleta en una jugada, por lo tanto es más probable que se vaya con el bolsillo solamente lleno de pañuelos con mocos.

Y no sé como seguir xD.

**PunkFolk77** · 25/07/2007, 23:43:35

Primera pista (no la leas hasta estar seguro/a de que la necesitas)

El caso es que os hable de 8 euros, no es casual, puse 8 porque es una potencia exacta de 2. Quería poner un número más alto que 8, lo que pasa es que si pongo 16 en lugar de 15, ó 32 en lugar de 30, ó 64, etc., entonces ya os habriais dado cuenta vosotros de que se trata de una potencia de 2 y os habría dado pistas, que es lo que yo quería evitar.

Se trata de que se resuelve y se demuestra muchísimo más fácil si se trata de una potencia exacta de 2, que si no lo es. Y ahora, con esto, a ver si se os ocurre algo nuevo. Si después de X tiempo no se os ha ocurrido, os pondré una segunda pista. Pero por favor, decidme que necesitáis una pista o algo, porque si no, yo me creo que simplemente no contestáis porque pasais del tema, y no porque necesitéis pistas y tal.

Saludos,
Carlos.

**NuezMoscada** · 27/07/2007, 17:02:13

Segunda pista

Este problema es harto dificultoso así que iremos dando pistas gradualmente. Primeramente, debéis saber qeu este problema se puede reducir al mismo razonamiento que utilizamos en el hilo Una resolución sorprendente. También debéis saber qeu para resolver un problema siempre es mejor analizar el caso más simple, en este caso cuando entra al casino con sólo 2€ en lugar de 8€. Es decir, vamos a centrarnos, por el momento, al caso en que entra al casino con 2€ y sale cuando pierde su capital o cuando tiene una ganancia de 2€. Vamos también a poner nombre a las probabilidades para no liarnos con la notación:

G: probabilidad de ganar un euro en una apuesta a color
P: probabilidad de perder un eruo en una apuesta a color
G(2): probabilidad de tener 2€ de ganancia según las condiciones del problema
P(2): probabilidad de perder 2€ según las condiciones del problema

Según esto nuestro objetivo final será encontrar G(8) y P(8), pero de momento centrémonos en el caso fácil. A ver si alguien puede decirnos qué valen G y P, para empezar.
Un saludo.

**Navegante-** · 29/07/2007, 08:59:17

Respuesta de "Avelino va al casino". Por Navegante-

Buenas, siguiendo las indicaciones de NuezMoscada, intentaré dar resolución al caso fácil. Daré primero los resultados así, en caso de haberme equivocado, no tendréis que seguir leyendo:

G=324/685, P=361/685, Y mi razonamiento es el siguiente:

Empezando con 2e, al cabo de una tirada estaremos con 3e con una probabilidad de 18/37 y estaremos con 1e con una probabilidad de 19/37.
En la segunda tirada (haceros un esquema de las dos tiradas), podremos estar con 4e si partiamos de 3e en la tirada anterior, y la probabilidad será (18/37)^2, la probabilidad de estar con 0e en dos tiradas seria (19/37)^2. Y por último, la probabilidad de volver a estar en la segunda tirada con 2 euros (el único caso posible que nos queda) será 1-(18/37)^2-(19/37)^2=684/1369.

Observemos ahora que a partir de la segunda tirada, en caso de no haber ni ganado ni perdido, estamos otra vez en las mismas condiciones que al principio y, de alguna forma, se deben repetir recursivamente los cálculos...

Para calcular la probabilidad de ganar lo haremos de la siguiente forma:
P(Ganar)=P(Ganar en exactamente 2 jugadas) + P(Ganar en exactamente 4 jugadas) + P(Ganar en exactamente 6 jugadas) + P(Ganar en exactamente 8 jugadas) + ... (*)

Para simplificar la notación Aj:={Ganar en exactamente j jugadas}.

Observemos que un requisito indispensable para ganar, por ejemplo, en la cuarta jugada, es que no se haya ni ganado ni perdido en la segunda jugada. Podemos por lo tanto escribir el suceso A4 como intersección de si mismo y el suceso anterior, es decir: A4={No haber ni ganado ni perdido tras la 2ª jugada} intersección A4. (Ya que si hubieramos ganado o perdido en la segunda jugada ya no podriamos ganar en exactamente 4 jugadas)

Para simplificar, notemos también Bj:={No haber ni ganado ni perdido tras la jª jugada}

Por lo tanto: P(A4)=P(A4 Intersec. B2). Y por la fórmula de la prob. condicionada:

P(A4 Intersec. B2)=P(A4|B2)*P(B2).
Y P(A4|B2)=P(A2) ya que para la 4ª jugada, si sabemos que no hemos ni ganado ni perdido tras la 2ª jugada, estamos en las mismas condiciones que al principio. Por lo tanto:

P(A4)=P(A2)*P(B2) = ((18/37)^2)*(684/1369).

Observemos ahora que A6=A6 intersección B4. (En general: A_n=A_n Intersec. B_(n-2) )
Y que:
P(A6)=P(A6 Intersec. B4) =P(A6|B4)*P(B4)=P(A2)*P(B4)
En general, P(A_n|B_(n-2))=P(A2). (1)

Y dado que B_2K=B2 Intersec B4 Intersec B6 ... Intersec. B_2k.
Entonces, por la fórmula de las probabilidades compuestas
P(B_2K)= P( B2 Intersec B4 Intersec B6 ... Intersec. B_2k )=
=P(B2)*P(B4|B2)*P(B6| B4 Intersec. B2)*...*P(B_2k | B_2(k-1) Int. .... Int. B2 ) =
=P(B2)*P(B2)*...*P(B2) (K veces) =P(B2)^k=(684/1396)^k (2)

Ahora, volviendo a la fórmula (*):
P(Ganar)=P(Ganar en exactamente 2 jugadas) + P(Ganar en exactamente 4 jugadas) + P(Ganar en exactamente 6 jugadas) + P(Ganar en exactamente 8 jugadas) + ...
=P(A2)+P(A4)+P(A6)+P(A8)+...=
=P(A2)+P(A4 Intersec. B2)+P(A6 Intersec. B4)+P(A8 Intersec. B6)+...=
Por la formula de la probabilidad condicionada=
=P(A2)+P(A4|B2)*P(B2)+P(A6|B4)*P(B4)+P(A8|B6)*P(B6)+...=
Por (1)=P(A2)+P(A2)*P(B2)+P(A2)*P(B4)+P(A2)*P(B6)+...=
Por (2)=P(A2)+P(A2)*P(B2)+P(A2)*(P(B2)^2)+P(A2)*(P(B2)^3)+...=
=P(A2)*(1+P(B2)+(P(B2)^2)+(P(B2)^3)+...)=
(Serie geométrica de razón P(B2) entre 0 y 1)=
=P(A2)/(1-P(B2))=(18/37)^2 / (1-(684/1369)) =(324/1369) : (685/1369)=324/685
Y simétricamente:
P(Perder)=(19/37)^2 / (1-(684/1369)) =(361/1369) : (685/1369)=361/685.
Observemos que, como era de preveer: P(Ganar)+P(perder)=1. (Hay juegos en los que esta ley no tiene porque cumplirse, pero no es el caso).

Un saludo y espero no haberos dado demasiado la bara.

**Navegante-** · 30/07/2007, 02:48:16

Re: Avelino va al casino

Una solución más breve al problema (versión fácil):

Si vemos el esquema:

0) 1) 2) ...

.........4
.....3
2........2
.....1
.........0

Observemos que en la jugada 2), ó hemos ganado los 4 euros, ó estamos a 0 euros, ó estamos a 2 euros igual que al principio, aprovechemos esa recursividad! :

P(G(2))=(p^2)+2p(1-p)*P(G(2)) =>P(G(2))=(p^2)/(1-2p(1-p))=(324/1369) : (685/1369)=324/685.

Y por lo tanto P(P(2))=1-(324/685)=361/685.

**NuezMoscada** · 30/07/2007, 03:25:28

Enhorabuena Navegante-

Muy bien, tiene mucho mérito, es un problema difícil.
PunkFolk77 está preparando un comentario a tu post.
No dejes de visitarnos que esto no acaba aquí

Un saludo.

**Navegante-** · 30/07/2007, 04:48:51

Re: Avelino va al casino

En cuanto a la solución del problema general, creo que es:

G(8)=11019960576/28003523617
Y por lo tanto P(8)=1-G(8)=16983563041/28003523617

No pondré aún la demostración por si alguien más quiere pensar el problema.

Un saludo.

**PunkFolk77** · 30/07/2007, 07:18:07

Bien, Navegante

Genial, las soluciones que ha dado el Navegante son las correctas, tanto para G(2) y P(2) como para G(8) y P(8). La verdad, estaba perdiendo la esperanza de que viniera alguien a resolverlo. Así que hizo efecto mi "provocación" (aquello de «a que nadie tiene huevos de resolver un problema de probabilidad...?»)... (tranquilos, el Navegante sabe de lo que hablo, jeje...).

Bueno, únicamente quisiera replantear el razonamiento que le llevó a dar con las soluciones de G(2) y P(2), pero de una forma más sencilla y menos formal, sin entrar en el tema de series ni analizar las recursividades y todo eso (quiero decir... yo en el razonamiento del Navegante, he de reconocer que hubo un momento en que me perdí, no porque él lo explicara mal, que estoy segurísimo de que no fue así, sino porque yo soy un poco zope para entender explicaciones matemáticas complejas).

Bien, para entender la explicación que voy a dar a continuación, os sugiero que hagáis un paréntesis y leáis primero lo que a NuezMoscada le pareció "una resolución sorprendente". Una vez hecho este paréntesis, allá vamos:

Hacemos dos tiradas, y se pueden dar las cuatro situaciones siguientes:

A) GG (es decir, ganamos en las dos tiradas, con lo cual pasamos de tener 2 euros a tener 4 euros).

B) GP (es decir, ganamos la primera tirada y perdemos la segunda, con lo cual volvemos a estar en 2 euros y volvemos a empezar de nuevo).

C) PG (es decir, perdemos la primera tirada y ganamos la segunda, con lo cual volvemos a estar en 2 euros y volvemos a empezar de nuevo).

D) PP (es decir, perdemos las dos tiradas, con lo cual pasamos de tener 2 euros a tener 0 euros).

Pues bien, las situaciones B y C, nos llevan a la situación del 4º cuadrito de la "resolución sorprendente" que tanto entusiasmó a NuezMoscada. Es decir, iríamos hasta el infinito, con lo cual podemos "suprimir" las situaciones B y C del espacio de probabilidades (al igual que suprimimos el 4º cuadradito del juego de las monedas), y quedarnos con A y D.

Una vez que hemos suprimido los sucesos B y C y nos hemos quedado con A y D, la probabilidad de que ocurra A, será Prob(A) / [Prob(A) + Prob(B)]; y la probabilidad de que ocurra B, será Prob(B) / [Prob(A) + Prob(B)].

Sabemos que la probabilidad G de ganar es 18/37.
Sabemos que la probabilidad P de perder es 19/37

Por lo tanto, la probabilidad de que ocurra el suceso A (que será G(2)), será (18/37)^2 / [(18/37)^2 + (19/37)^2], que si simplificamos y mandamos el 37 a tomar por culo, se nos queda en 18^2 / (18^2 + 19^2).

Y por otro lado, la probabilidad de que ocurra el suceso D (que será P(2)), será 19^2 / (18^2 + 19^2).

Y así hemos hallado P(2) y G(2).

La resolución de G(8) y P(8) que ha hecho el Navegante, es perfecta. Pero para dejar un poco que piensen los demás, vamos a esperar un tiempo a ver si alguien sabe encontrar la demostración razonada (cuanto menos formal y más lógica sea, mejor).

Saludos,
Carlos.

**Machinegun** · 25/03/2010, 20:16:10

Re: Bien, Navegante

Espero que haya una manera más sencilla de explicar esto, pero mientras la encuentro, ofrezco esta:

Según las condiciones del problema, hay varias maneras para ganar 2 €, todas ellas constan de un número par de tiradas. O sea que pueden ser muchas o hasta infinitas tiradas. Pero no debemos asustarnos ante un infinito adverso, pues tal vez nos las ingeniemos para enfrentarle un infinito que lo contrarreste. Lo único que debemos advertir es que independientemente de cuántas tiradas se requieran para ganar esos 2 €, las tiradas que se ganen siempre serán 2 más que las que se pierdan; por ejemplo, si ganamos en 10 tiradas, habremos perdido 4 tiradas y ganado 6. Otra cosa curiosa es que forzosamente las dos últimas tiradas las debemos ganar si ganamos, o perder, si perdemos. Ahora, para calcular la probabilidad de un juego ganador tendríamos que multiplicar las probabilidades de cada tirada. Pero antes de hacer engorrosas operaciones aritméticas, notemos que las probabilidades que PunkFolk77 identificó como B (GP) y C (PG) son iguales:

Probabilidad de B = (18/37)(19/37)
Probabilidad de C = (19/37)(18/37)

PunkFolk77 eliminó estos sucesos porque no forman un juego. Es decir, cada juego es cada secuencia de tiradas que nos lleve a ganar dos euros o a perder dos, y como B y C no conducen a eso, entonces sólo hay dos posibilidades para un juego de dos tiradas: A o D, con las probabilidades que apunta PunkFolk77. (Al eliminar dos sucesos y quedarnos con dos, estamos cambiando las probabilidades, porque ahora tenemos que A + D = 1, pero si hacemos la suma vemos que no nos da uno, pues 18ˆ2 / 37ˆ2 + 19ˆ2 /37ˆ2 ≠ 1, ¿qué es lo que estamos haciendo entonces? Estamos considerando A + D como el 100% del que vamos a obtener una nueva probabilidad, que equivale a la proporción de ese 100% que corresponde a A y a D).

Si tomamos la proporción tenemos A/D = 18ˆ2 / 19ˆ2, lo cual significa que de cada 685 juegos de dos tiradas, esperaremos ganar 324 y perder 361. ¿Pero qué pasa con los juegos de más tiradas? Veamos el caso de 4 tiradas:

PGGG
GPGG

Estas son las dos únicas formas de ganar un juego de cuatro tiradas. Lo sabemos porque la única manera de ganar un juego de cualquier número de tiradas es ganando las dos últimas y que el resto de las tiradas sean el mismo número de ganadas que de perdidas.
Pero a cada una de estas dos formas de ganar le corresponde una y sólo una forma de perder simétrica:

a) GPGG = 4 €
a’) PGPP = 0 €

b) PGGG = 4 €
b’) GPPP = 0 €

Como estos son los únicos 4 casos, significa que P(a) + P(a’) + P(b) + P(b’) = 1. (Advirtamos que aquí ya suprimimos todos los sucesos que no forman un juego de 4 tiradas, como GGGG, por ejemplo). Pero sabemos que P(a) = P(b) y que P(a’) = P(b’), de modo que 2P(a) + 2P(a’) = 1
Si queremos saber cuál es la proporción de las probabilidades, dividimos la probabilidad de ganar entre la de perder: 2P(a) / 2P(a’), es decir P(a) / P(a’). Si llamamos g a la probabilidad de G, y p a la de P, tenemos que P(a) / P(a’) = gpgg / pgpp, pero una división de productos como ésta se puede fácilmente convertir en un producto de divisiones, como la que sigue:
P(a) / P(a’) = (g/p)(p/g)(g/p)(g/p), que podemos agrupar así: (gp/pg) (gg/pp). Ya vimos arriba que gp = pg (equivalen a la B y la C de PunkFolk77), por lo tanto gp/pg = 1 y por lo mismo se pueden eliminar del cálculo de la proporción de probabilidades. Así tenemos:
P(a) / P(a’) = gg/pp, es decir, A/D en la simbología de PunkFolk77. Lo cual significa que de 685 juegos de 4 jugadas, esperaremos ganar 324 y perder 361, o sea, igual que en el caso de dos tiradas. Así, sabemos que sin importar de cuántas tiradas conste el juego siempre vamos a poder aplicar un razonamiento como este para llegar a A/D y por lo tanto a la probabilidad calculada por PunkFolk77, NuezMoscada y Navegante.

En el caso de ganar (o perder) 8 €, podemos razonar de la misma manera y calcular la probabilidad de ganar (o perder) en 8 tiradas. Como sólo hay dos posibilidades:

a) GGGGGGGG
a’) PPPPPPPP

para saber cuál es la probabilidad de ganar, es decir, P(a), sacamos su proporción respecto a la probabilidad de perder, o sea:

P(a) / P(a’) = gggggggg /pppppppp

Y como g = 18/37 y p = 19/37, entonces

P(a) / P(a’) = [(18/37)ˆ8] / [(19/37)ˆ8],

que simplificando y mandando el 37 a donde dice PunkFolk77, se convierte en:

P(a) / P(a’) = 18ˆ8 / 19ˆ8

Y como P(a) + P(a’) = 100%, entonces 18ˆ8 + 19ˆ8 = 100%, por lo tanto

P(a) = 18ˆ8 / 18ˆ8 + 19ˆ8
P(a’) = 19ˆ8 / 18ˆ8 + 19ˆ8.

Lo que no entendí fue la pista que da PunkFolk77 respecto a las potencias de 2, porque, según yo (usando la simbología de NuezMoscada) tenemos:

G(3) =18ˆ3 / 18ˆ3 + 19ˆ3
P(3) = 19ˆ3 / 18ˆ3 + 19ˆ3

G(n) =18ˆn / 18ˆn + 19ˆn
P(n) = 19ˆn / 18ˆn + 19ˆn

Es decir, no se necesita una potencia de dos. Pero puedo estar equivocado, porque en esta materia el que no cae resbala.

Saludos

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