e^pi (e elevado a pi)

[Physicist]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Muy buenas!

No creo que mi mensaje sea muy útil pero nunca se sabe.
Buscando por ahi he encontrado que:

$\large{ e^{-i\pi} = e^{-2 i \int_{0}^{\infty}\frac{sin(t)}{t}dt}}$

Vale que esto siga siendo igual a -1, pero esta ese seno ahi que puede variar de 1 a -1 y la integral es de 0 a infinito, como el ciclo de la vida y bueno que me han parecido curiosas las analogías que se pueden hacer con esta igualdad xDD

(si alguien me puede decir como agrandar la fórmula, es que no lo consigo :P)

[InesIncinerate]

Re: e^pi (e elevado a pi)

[FONT=Noteworthy]Quizá me equivoque, pero creo que a lo que puede referirse galois_ es a la solución de alguna ecuación diferencial que que describa un ciclo vital, incorporando, claro está, una dependencia del tiempo. Como por ejemplo la de la vida media de un núcleo[/FONT][FONT=Noteworthy] antes de desintegrarse o la de la dinámica poblacional de un organismo. [/FONT][FONT=Noteworthy]En biología existen muchos modelos de ecuaciones diferenciales que incorporan todas las etapas del ciclo de vida de las poblaciones (en especial de bacterias) y sus interacciones con otros organismos, incorporando varios parámetros relacionados con su reproducción. Ahora bien, nunca he visto ninguno que incorpore números imaginarios...[/FONT]

[galois_]

Re: e^pi (e elevado a pi)

$\eee{-i\pi}$ es un valor fijo, igual a -1, no oscila. No creo que tenga ningún sentido equiparar un valor fijo a un ciclo.

ok, pero podrias ayudarme en lo q te digo? entonces era muy parecido, el caso es q formaba un ciclo de orden 4 o 5 (creo q tambien pasaba por 0) estoy realmente interesada en el tema, con lo cual agradeceria un monton cualquier tipo de ayuda, gracias!!!

[pod]

Re: e^pi (e elevado a pi)

hola!!! hace años lei que el ciclo de la vida podia expresarse como e elevado a menos pi por i, llevo un par de dias buscando sobre el tema y no encuentro nada, me preguntaba si vosotros sabiais algo del tema viendo vuestro conocimiento acerca de la ecuacion de euler, me acuerdo que el ciclo oscilaba de -1 a 1, de ahi que todos los seres de la naturaleza lo cumplamos, era bastante interesante, pero no encuentro nada, ademas cuando lo lei acababa de empezar la carrera y no comprendia bien todo asi que no recuerdo nada mas con lo que buscar, muchas gracias!! saludos

$\eee{-i\pi}$ es un valor fijo, igual a -1, no oscila. No creo que tenga ningún sentido equiparar un valor fijo a un ciclo.

[galois_]

Re: e^pi (e elevado a pi)

hola!!! hace años lei que el ciclo de la vida podia expresarse como e elevado a menos pi por i, llevo un par de dias buscando sobre el tema y no encuentro nada, me preguntaba si vosotros sabiais algo del tema viendo vuestro conocimiento acerca de la ecuacion de euler, me acuerdo que el ciclo oscilaba de -1 a 1, de ahi que todos los seres de la naturaleza lo cumplamos, era bastante interesante, pero no encuentro nada, ademas cuando lo lei acababa de empezar la carrera y no comprendia bien todo asi que no recuerdo nada mas con lo que buscar, muchas gracias!! saludos

[carroza]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Hola. Te ayudo, pero seria util que lo pusieras en otro hilo.

raiz de i tiene dos valores: $\pm(1/\sqrt{2} + i/\sqrt{2})$

Sin entrar en complicaciones, tendrías
$e^{+(1/\sqrt{2} + i/\sqrt{2})} = e^{1/\sqrt{2}} (\cos(1/\sqrt{2})+i \sin(1/\sqrt{2}))$

y algo similar para la raiz negativa.

Re: e^pi (e elevado a pi)

Hola Carroza, podria ayudarme con esto??

e^(raiz de i)

Gracias por anticipado

[carroza]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Hola.

Gracias por el interes en la cuestión de e^pi.

Por supuesto, una cosa es la función exponencial, exp(x), que es monovaluada, y que se puede definir como una serie de potencias, y otra cosa es el resultado de la operación
a^b, donde a y b son dos numeros, que pueden tomarse como e y pi.

Es claro que la función exp(x), cuando x=pi, es monovaluada y vale 23 y pico (real).

Otra cosa es el resultado de la expresion "e elevado a pi", como un caso particular de
"a elevado a b". Vamos por partes:

- Si b es entero, entonces "a elevado a b" esta perfectamente definido, y vale a*a ...*a.
Es monovaluado.


- Si b es racional, b=p/q, entonces "a elevado a b" corresponde a las soluciones
de la ecuación algebraica
$a^{p/q}=z ; \quad a^p = z^q$

Esta ecuacion tiene q soluciones.

- Si b es real, para hay que definir una serie de numeros racionales
$b_n = p_n/q_n$ que converjan a b; Imaginemos que usamos una serie
en la que $q_n=Q^n$, en la que Q es arbitrariamente grande, y $p_n$ es un numero primo con respecto a Q, de forma que
$b_n = p_n/q_n$ se aproxime lo mas posible a b.

En ese caso, todas las secuencias
$a^{p_n/q_n}=z ; \quad a^{p_n} = z^{q_n}$

tiene, entre sus soluciones, numeros complejos con fase $m 2 \pi/Q$
donde m toma valores enteros entre 0 y Q.


No soy experto en matemáticas, pero ¿no sería ésto una prueba de que la exponenciación con exponente real tiene infinitas soluciones?

[mrwhite]

Re: e^pi (e elevado a pi)

El problema está en definir e^pi si se pretende hacerlo de forma distinta a exp(pi), por seguir con esta notación.

Si uno pretende hacerlo tomando sucesivas aproximaciones de pi, por ejemplo con una secuencia de convergentes de su fracción continua simple: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215 ,... y hayando el límite de la secuencia {e^3, e^(22/7), e^(333/106), e^(355/113), ...}(análogamente a como se hace en el caso real), se encontrará que sólo se puede definir el límite cuando se toma siempre la "raíz" con argumento nulo. En los demás casos uno se encuentra con bastantes problemas (por ejemplo, de las 105 posibilidades no reales para el tercer convergente cuáles son las nuevas y cuáles son las 6 del convergente anterior... ¿exactamente cuál es la secuencia de cauchy?).

Re: e^pi (e elevado a pi)

Sin embargo....
Una cosa es e^pi y otra distinta será exp(pi).
Me explico...
Supongamos que yo le pregunto cuantas soluciones complejas tiene la expresión e^(1/4). Obviamente existen 4 números complejos distintos que elevados a 4 nos dan como resultado el número e.
Ello no quita que exp(1/4) tenga solución única por los motivos que ha mencionado usted anteriormente.
Luego lo que dice Carroza no carece de sentido enrealidad, todo depende del ámbito en el que nos movemos.

[mrwhite]

Re: e^pi (e elevado a pi)

[...] un numero irracional es el limite de una sucesion de numeros racionales. Por ello, de la misma forma que hay $a$ potencias con un exponente irracional $b/a$, debe haber infinitas potencias con un exponente real pi, ya que pi puede aproximarse como una serie $b_n/a_n$, con $b_n , a_n$ cada vez más grandes.

Sin embargo al definir la operación así, tenemos que si $z_1=e^\pi$ es uno de los posibles valores, se debe verificar la operación inversa, i.e. $e=z_1^{1/\pi}$, pero por las mismas consideraciones, $1/\pi$ es irracional, así que $z_1^{1/\pi}$ consistirá también en todos los complejos de módulo $e$, por lo que la operación de exponenciación no cumpliriría las propiedades que se esperan. La única salida es identificar todos los números complejos de igual módulo con un único elemento, y operar con estos elementos. Pues bien, resulta que eso son los números reales positivos, en los que $e^\pi$ sólo tiene una solución.

[carroza]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Es muy reciente. Lo encuentras en cualquier libreria grande.

El libro es muy interesante, para físicos interesados en matemáticas o viceversa.

Product Details

• Hardcover: 1472 pages
• Publisher: Debate Editorial (September 30, 2006)
• Language: Spanish
• ISBN-10: 8483066815
• ISBN-13: 978-8483066812

Re: e^pi (e elevado a pi)

El libro que dices es antiguo o de reciente publicación?

[carroza]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Ummmm....... Veamos.... Ciertamente la variable compleja, como su nombre indica, és algo complejo. Por una parte es fácil ver que en efecto e^n=(|e|*exp(2*k*pi*i))^n=|e|^n*exp(2*k*n*pi*i), cuando n es natural, y no parece muy difícil extender la idea para un n racional. Sin embargo la extensión para un n irracional, se me antoja que se ha de hacer en forma de límite de alguna sucesión de racionales como deciamos. Lo digo porque, eso en si mismo ya es un tema delicado.
Pero resumiendo, me gustaría pedirle que nos hiciera una breve exposición de las propiedades que son validas cuando de exponenciación compleja se refiere. Para aclarar entuertos a más de uno.
Sin nada más me despido hasta otro post.
Un saludo.

Hola. No me considero capacitado para pontificar sobre matemáticas.

En el libro "El camino a la realidad: Una guía completa a las leyes del universo" de penrose habla del plano complejo, hojas de Riemann, etc.

Lo que si parece, de acuerdo con lo que dices, es que un numero irracional es el limite de una sucesion de numeros racionales. Por ello, de la misma forma que hay $a$ potencias con un exponente irracional $b/a$, debe haber infinitas potencias con un exponente real pi, ya que pi puede aproximarse como una serie $b_n/a_n$, con $b_n , a_n$ cada vez más grandes.

Re: e^pi (e elevado a pi)

Ummmm....... Veamos.... Ciertamente la variable compleja, como su nombre indica, és algo complejo. Por una parte es fácil ver que en efecto e^n=(|e|*exp(2*k*pi*i))^n=|e|^n*exp(2*k*n*pi*i), cuando n es natural, y no parece muy difícil extender la idea para un n racional. Sin embargo la extensión para un n irracional, se me antoja que se ha de hacer en forma de límite de alguna sucesión de racionales como deciamos. Lo digo porque, eso en si mismo ya es un tema delicado.
Pero resumiendo, me gustaría pedirle que nos hiciera una breve exposición de las propiedades que son validas cuando de exponenciación compleja se refiere. Para aclarar entuertos a más de uno.
Sin nada más me despido hasta otro post.
Un saludo.