e^pi (e elevado a pi)

[carroza]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Pues yo diría que tendrán 2,3 y b soluciones respectivamente, pero no acabo de ver que pasa cuando el exponente és irracional.
Tal vez podriamos considerar que enrealidad lo podemos aproximar cada vez mejor con racionales cuyas soluciones tienden a ser infinitas numerables?

Exacto.

Pi lo puedes aproximar muy bien por 355/113; por tanto, tendrias 113 soluciones para e^(355/113), que serian 23.14 exp(2 pi i n/113).

Para el caso de un exponente irracional, podemos poner

$e^\pi = \left( |e| \exp (i 2 \pi n) \right)^\pi = |e|^\pi \exp (i 2 \pi^2 n)$

Lo cual nos da infinitos números complejos, de modulo 23.14 , y todas las posibles fases.

Asi que, curiosamente, tenemos que i^i son infinitos numeros reales y positivos, y
e^pi son infinitos numeros complejos, con el mismo módulo.

Estas son las cosas que hacen que los matemáticos necesiten introducir hojas de Riemann en el plano complejo.

Re: e^pi (e elevado a pi)

Pues yo diría que tendrán 2,3 y b soluciones respectivamente, pero no acabo de ver que pasa cuando el exponente és irracional.
Tal vez podriamos considerar que enrealidad lo podemos aproximar cada vez mejor con racionales cuyas soluciones tienden a ser infinitas numerables?

[carroza]

Re: e^pi (e elevado a pi)

Os voy a dar mas pistas:

¿Cuantas soluciones tiene e^(0.5)?

¿Cuantas soluciones tiene e^(1/3)?

¿Cuantas soluciones tiene e^(a/b), donde a y b son enteros primos entre sí?

Re: e^pi (e elevado a pi)

No he dicho que haya más soluciones, solo he dicho que, existen una cantidad infinita numerable de numeros complejos, a saber, los de la forma z=Pi+2*k*Pi con K entero, que cumplen que e^z=e^Pi.

[pod]

Re: e^pi (e elevado a pi)

$\eee{\pi} = \left( e\, \eee{2\pi i k} \right)^\pi = \eee{\pi}\Big( \cos(2\pi^2i k) + i \sin(2\pi^2 k) \Big)$. Dado que $\pi$ es irracional, el conjunto $\{2\pi^2 k\ \mathrm{mod}\ 2\pi \ |\ k\in\mathbb{N}\}$ tiene infinitos elementos, luego hay infinitas soluciones.

Re: e^pi (e elevado a pi)

No acabo de ver por donde vas exactamente, pero lo único que se me ocurre decir al respecto, es que como e^(a+b*I)=e^a*(cos(b)+sin(b)*I), entonces la función exponencial compleja és periódica con periodo 2*Pi*I. Por lo tanto e^Pi=e^(Pi+2*k*Pi*I) con k entero, es decir que habrá una cantidad infinita y numerable de numeros complejos, los de la forma Pi+2*k*Pi*I que elevados a e, darán como resultado e^Pi.

[carroza]

Hola.

Visto el caso de i^i, que resulta un conjunto numerable e infinito de numeros reales, os propongo otra cosa:

e^pi.

Pista: si lo haceis con la calculadora, os sale 23 y pico. Pero, ¿es la unica solución?