Anuncio

Colapsar
No hay ningún anuncio todavía.

Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

Colapsar
X
 
  • Filtro
  • Hora
  • Mostrar
Borrar todo
nuevos mensajes

  • Avanzado Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

    En la ecuación



    Se que
    es el tensor de Riemann contraído
    es la matriz que representa a la métrica y
    es el tensor de energía momento
    es la constante cosmológica
    es el escalar de Ricci

    Debido a la simetría de las matrices el sistema a resolver es de 10 ecuaciones, pero a la vez hay 4 grados de libertad relacionados osea tengo 6 componentes independientes.

    Ahora bien lo que quiero fijar es lo siguiente

    Los términos del lado izquierdo son puramente geométricos, los valores y las funciones que se obtienen, provienen únicamente de la métrica propuesta del espacio solución.

    El lado derecho tiene al tensor energía momento. Este tiene solo componentes distintas a 0 en la diagonal?
    o se lo representa así pues siempre se puede encontrar una rotación del sistema de referencia en el que las demás componentes se anulen y la causa de esto es la suposición de isotropía y homogeneidad. y de aquí proviene la relación de los 4 grados de libertad.

    Entonces en cualquier sistema no homogéneo y no isótropo, no sera posible aplicar las ecuaciones de Einstein? Creo que no es así , aquí viene lo que mas claro quiero me quede el concepto, si es aplicable, pero si tengo las diez ecuaciones pero mas complicadas de resolver, solo eso.

    En definitiva cuando se dice que se resuelven las ecuaciones de Einstein, lo que se esta haciendo es hallar la ecuación de la métrica de un espacio que cuya curvatura, sea la creada por la distribución de materia y energía , cuyos valores de densidad fueron asignados al tensor energía momento?.
    Última edición por Richard R Richard; 19/07/2015, 19:24:18.

  • #2
    Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

    Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
    En la ecuación



    El lado derecho tiene al tensor energía momento. Este tiene solo componentes distintas a 0 en la diagonal?
    En el caso del Universo sí, solo tiene componentes distintos de Cero en la diagonal:

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Porque los movimientos peculiares de los cúmulos de galaxias son despreciables frente al flujo de Hubble provocado por la expansión

    Porque debido a la Isotropía no existe presión anisótropa, (también llamada de cizalladura)

    Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
    Entonces en cualquier sistema no homogéneo y no isótropo, no sera posible aplicar las ecuaciones de Einstein?
    La ecuación de la Relatividad General la podrás aplicar siempre, lo que pasará es que si no hay restricciones simplificadoras, en general lo que no sabrás es cómo resolverla.
    Saludos.
    Última edición por Alriga; 19/07/2015, 22:39:46.
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

    Comentario


    • #3
      Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

      Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
      El lado derecho tiene al tensor energía momento. Este tiene solo componentes distintas a 0 en la diagonal?
      No has dicho nada de a qué sistema estás aplicando las ecuaciones, así que no puedes hacer ninguna suposición sobre el tensor de energia-momento. En general, todas las componentes pueden ser no-nulas.

      Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
      o se lo representa así pues siempre se puede encontrar una rotación del sistema de referencia en el que las demás componentes se anulen y la causa de esto es la suposición de isotropía y homogeneidad. y de aquí proviene la relación de los 4 grados de libertad.
      En general, es imposible encontrar una rotación del sistema de referencia que haga cero las componentes espacio-espacio fuera de la general en todo el espacio tiempo. Es posible encontrar una rotación que haga cero tales componentes en un punto concreto, pero eso no te simplifica nada: lo importante es que no las puedes anular en todo el espacio tiempo.

      Una rotación no cambiará las componentes espacial-temporales (01, 02, 03), para eso necesitarías un "boost". De nuevo, estás en las mismas; puedes conseguirlo en un punto, pero no en todo el espacio-tiempo.

      En algunos problemas es posible simplificar el tensor de energía-impulso con una elección astuta del sistema de referencia, pero en general no vas a poder.

      Por otra parte, lo que reduce los grados de libertad de 10 a 6 no tiene nada que ver con esto, sino con las identidades de Bianchi.

      Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
      Entonces en cualquier sistema no homogéneo y no isótropo, no sera posible aplicar las ecuaciones de Einstein? Creo que no es así , aquí viene lo que mas claro quiero me quede el concepto, si es aplicable, pero si tengo las diez ecuaciones pero mas complicadas de resolver, solo eso.
      Las ecuaciones de campo de Einstein tienen seis componentes independientes. Esto es cierto en cualquier problema, es un teorema totalmente general. Es perfectamente posible aplicarlas a sistemas que no sean máximamente simétricos (es decir, que no sean homogéneos e isótropos respecto de cada punto). Piensa, por ejemplo, en las métricas de agujeros negros: son soluciones exactas de las ecuaciones y desde luego no son simétricas ni isótropas. (Por ejemplo, la métrica de Schwarchild es isótropa respecto del origen, pero no es isótropa respecto de cada punto como la de FRW; y desde luego no es homogénea).

      Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
      En definitiva cuando se dice que se resuelven las ecuaciones de Einstein, lo que se esta haciendo es hallar la ecuación de la métrica de un espacio que cuya curvatura, sea la creada por la distribución de materia y energía , cuyos valores de densidad fueron asignados al tensor energía momento?.
      Resolver las ecuaciones de Einstein (en el caso más general) implica dos cosas: por una parte eso, por la otra resolver el movimiento de todas las partículas o cuerpos descritos por el tensor de energía impulso.

      Hay mucho escrito respecto este punto. Se suele citar que la RG es diferente en este aspecto al resto de teorías: por ejemplo, en gravedad de Newton tenemos una ecuación para describir el campo () y otra para el movimiento de los cuerpos (). Mientras que las ec. de Einstein lo aúnan todo en una sóla ecuación tensorial, y se suele citar que son capaces de hacer las dos cosas a la vez debido a ser no lineales. Por otra parte, la dificultat matemática de las ecuaciones hace que casi nunca se pueda resolver así; a menudo se pone en el tensor de energía impuslo sólo un cuerpo y se resuelve solamente el campo (la métrica); luego, se calcula como se mueven el resto de objetos del universo dentro de esa métrica, pero sin afectarla (es lo que se llama "aproximación de la partícula de prueba). Esto es lo que más se ve en los libros, porque es lo que se puede resolver factiblemente de forma analítica, y por eso se tiene la idea muchas veces que resolver las ecuaciones es obtener una métrica y ya esta. Pero no, eso es una aproximacion. La solución completa tiene tanto la métrica como el movimiento de todas las partículas del universo. A menudo esa solución solo se puede obtener de forma simulada o mediante métodos numéricos.
      La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
      @lwdFisica

      Comentario


      • #4
        Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

        Yo tengo apuntada otra ecuacion:



        R_(alfa,beta) es el tensor de Ricci
        g_(alfa,beta) es el tensor geometrico
        R es el escalar de Ricci
        T_(alfa,beta) es el tensor Energia-Momento

        RyR escribe una ecuacion y habla del tensor de Riemann contraido...R_(uv).
        Alriga escribe una ecuacion parecida a esta pero no dice si R_(uv) es el tensor
        de Riemann o de Ricci...

        Dos preguntas.
        Cual es la buena?
        Que dimensiones tienen estos terminos y cada uno de los tensores?
        (Porque veo G, c y Lambda en las ecuaciones)

        Un saludo.

        P.S. Esta ecuación no tiene porque ser dimensional pero las ecuaciones derivadas de esta SI deben ser dimensionales?
        Última edición por FVPI; 19/07/2015, 20:37:55.

        Comentario


        • #5
          Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

          Escrito por FVPI Ver mensaje
          Yo tengo apuntada otra ecuacion:



          Cual es la buena?
          La ecuación que tú escribes y la que he escrito yo:



          es la misma.
          -Yo la he escrito en las unidades del Sistema Internacional.
          -Tú la has escrito en las unidades de Planck, G=c=1. https://es.wikipedia.org/wiki/Unidades_de_Planck
          Saludos.
          "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

          Comentario


          • #6
            Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

            Gracias FVPI he corregido la errata volviendo a la fuente , Alriga la supuso y agrego creo, comparala nuevamente.

            Escrito por pod Ver mensaje
            No has dicho nada de a qué sistema estás aplicando las ecuaciones, así que no puedes hacer ninguna suposición sobre el tensor de energia-momento. En general, todas las componentes pueden ser no-nulas.
            Perfecto, supongamos dos esferas de masas M y m en el vacio, Separadas por una Distancia D entre centros y ambas con Radio R y r Pero teniendo en cuenta lo que me aclaras aqui

            Escrito por pod Ver mensaje
            Por otra parte, la dificultat matemática de las ecuaciones hace que casi nunca se pueda resolver así; a menudo se pone en el tensor de energía impuslo sólo un cuerpo y se resuelve solamente el campo (la métrica); luego, se calcula como se mueven el resto de objetos del universo dentro de esa métrica, pero sin afectarla (es lo que se llama "aproximación de la partícula de prueba).
            Esto me viene como anillo al dedo para repreguntar , supongamos ahora por aproximación newtoniana que nos encontramos en el punto donde las aceleraciones con respecto a M y m son iguales y de sentido contrario osea la resultante da 0.

            Si planteo los dos sistemas de ecuaciones de RG por separado, una para M y una para m (con la métrica de Schwardchild) y luego las sumo miembro a miembro.

            Puedo o no de aquí extraer la siguiente conclusión?,

            [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
            +
            [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
            -----------------------------------------------------------------------------------------------
            [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

            la no linealidad de que manera afecta?

            aun asi, la curvatura en el punto que yo escogi será 0, no? o aqui debo suponer que debe ser 0.

            Es justamente por la segunda cita que siempre me pregunte como se armaría el tensor Energia Momento teniendo en cuenta a las dos masas a la vez y para luego generalizar en N masas.

            Escrito por pod Ver mensaje
            En general, es imposible encontrar una rotación del sistema de referencia que haga cero las componentes espacio-espacio fuera de la general en todo el espacio tiempo. Es posible encontrar una rotación que haga cero tales componentes en un punto concreto, pero eso no te simplifica nada: lo importante es que no las puedes anular en todo el espacio tiempo.
            me refiero a simplificar la busqueda de una solución exacta y general para todo el espacio-tiempo. Si pudiera anularla con una rotación en todo el espacio es porque T =0 y no es lo que pregunto.


            Escrito por pod Ver mensaje
            Por otra parte, lo que reduce los grados de libertad de 10 a 6 no tiene nada que ver con esto, sino con las identidades de Bianchi.
            Lei algo de las identidades de Bianchi son una relacion entre los simbolos Christofels, pero pense que era por la eleccion del sistema de referencia. Voy a volver a leer.

            Escrito por pod Ver mensaje
            Las ecuaciones de campo de Einstein tienen seis componentes independientes. Esto es cierto en cualquier problema, es un teorema totalmente general. Es perfectamente posible aplicarlas a sistemas que no sean máximamente simétricos (es decir, que no sean homogéneos e isótropos respecto de cada punto). Piensa, por ejemplo, en las métricas de agujeros negros: son soluciones exactas de las ecuaciones y desde luego no son simétricas ni isótropas. (Por ejemplo, la métrica de Schwarchild es isótropa respecto del origen, pero no es isótropa respecto de cada punto como la de FRW; y desde luego no es homogénea).
            No habia prestado atención o pensado las situaciones de esa manera nunca. Gracias

            Comentario


            • #7
              Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

              Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
              me refiero a simplificar la busqueda de una solución exacta y general para todo el espacio-tiempo. Si pudiera anularla con una rotación en todo el espacio es porque T =0 y no es lo que pregunto.
              En un problema general, que no tenga suficientes simetrías, no puedes encontrar un sistema de referencia donde T sea diagonal. No es cierto que haya un sistema de referencia donde T sea diagonal en todo el espacio. Sólo puedes conseguir que lo sea en una región.
              La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
              @lwdFisica

              Comentario


              • #8
                Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

                Porque no nos centramos en un caso concreto? Por ejemplo, deducir las
                ecuaciones de Friedmann a partir de la ecuacion de Einstein?
                Yo solo tengo que el tensor Energia-Momento vale para este caso:

                [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

                Creo que nos haria falta saber como es el tensor de Riemann de 256 componentes
                y 20 componentes independientes.
                Creo que el tensor de Riemann se deduce de la métrica FLRW.
                Luego, creo, se puede calcular el tensor de Ricci y el escalar de Ricci a partir del
                tensor de Riemann.
                Y creo que la incognita es el tensor geometrico.
                Un saludo.

                P.S.
                Voy a hacer una pequeña especulacion:
                Como veo que solo hay 2 ecuaciones de Friedmann. Y veo que hay
                3 terminos en el tensor Energia-Momento que tienen la misma
                estructura...
                Deduzco que el tensor geometrico tiene 3 componentes iguales:
                g_11 = g_22 = g_33 y los demas, excepto g_00, deben ser = 0.
                Y el tensor de Ricci debe tener 3 componentes iguales:
                R_11 = R_22 = R_33 y los demás, excepto R_00, deben ser = 0.
                Si?
                Y una pregunta:
                El tensor geometrico tiene todas sus componentes iguales a 1 ó 0?
                Un saludo.
                Última edición por FVPI; 10/08/2015, 20:31:42.

                Comentario


                • #9
                  Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

                  La verdad se me hace dificil el tema en el siguiente sentido, en la universidad tenias que estudiar un tema y cada tema tenia dos partes una teórica y una práctica. Como autodidacta he leido , releido y estoy volviendo a leer la RG y no he encontrado un caso practico como dilucidar los pasos para que resuelven la ecuación para una determinada distribución de materia y energia. Veo siempre un salto , aparace la metrica del espacio que lo resuelve todo, pero nunca el proceso creativo o intuitivo que llevo a su descubridor a plantearla y por sobre todo un caso practico, donde se modele una región y se logre un resultado similar a lo que se obtiene por mecánica newtoniana salvando las distancias claro.

                  Lo que tengo claro es que usando la conexión afin de Levi Civita, ya no molestan los tensores de torsión pues son 0 , el tensor de Einstein y el de Ricci son simetricos y que los símbolos Christofell los puedes calcular a partir de la métrica directamente y que las simetrias y antisimetrias del Riemman hacen que la operatoria se reduzca notablemente.
                  Los 20 terminos independientes salen de un calculo combinatorio de cuando las dimensiones N son 4


                  Pero como veras ya hable de la métrica y me la imagino como dato del problema y no como la "solución" por ej cuando se dice que es solución exacta.
                  Tu dices que resolver es hallar el Tensor de Riemann y para mi solo es un paso matemático, una vez que tienes la métrica el Riemann sale por calculo. Es como el huevo o la gallina, o desde la distribucion de materia llegas a la métrica o desde la métrica llegas distribución de materia, pero allí estoy estancado.

                  Escrito por FVPI Ver mensaje
                  Deduzco que el tensor geométrico tiene 3 componentes iguales:
                  g_11 = g_22 = g_33 y los demas, excepto g_00, deben ser = 0.
                  Y el tensor de Ricci debe tener 3 componentes iguales:
                  R_11 = R_22 = R_33 y los demás, excepto R_00, deben ser = 0.
                  Si?
                  Lo deduces por la isotropia espacial? si es asi para mi tendría sentido, y estaria coincidiendo en el interrogante.

                  Escrito por FVPI Ver mensaje
                  Y una pregunta:
                  El tensor geometrico tiene todas sus componentes iguales a 1 ó 0?
                  creeria que no , lo he visto en algunos ejemplos basicos componentes negativas e incluso dependientes de alguna variable de la métrica, tambien al Ricci.
                  Última edición por Richard R Richard; 11/08/2015, 03:30:11.

                  Comentario


                  • #10
                    Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

                    Voy a ver si me aclaro porque llevo todo el dia pensando y estudiando
                    este tema.

                    1.- Definimos una metrica. Esto es un dato conocido. Y la metrica queda
                    definida por su tensor geometrico (g).
                    Del tensor geometrico obtenemos los simbolos de Christoffel, despues, el tensor de
                    Riemann, despues, el tensor de Ricci y despues, el escalar de Ricci.
                    Y con todo ello, ya tenemos el primer termino de la ecuacion de Einstein.
                    Definimos un tensor Energia-Momento. Esto tambien es un dato conocido.
                    Y ya tenemos el segundo termino de la ecuacion de Einstein.
                    Resolviendo la ecuacion de Einstein obtendremos unas ecuaciones que nos van
                    a decir como evoluciona la metrica y la distribucion de Energia-Momento con
                    el tiempo o con el factor de escala.
                    Si?

                    2.- Por comparacion con la metrica de Minkowsky:



                    Y sabemos que el tensor geometrico es:



                    Y la metrica FLRW:



                    Deduzco que el tensor geometrico FLRW es:



                    Si?

                    3.- Dudo que las componentes del tensor Energia-Momento de mi mensaje
                    anterior sean exactamente asi porque según la ecuacion de Einstein:



                    deben faltar la constante de gravitacion (G) y la velocidad de la luz (c) por algun
                    sitio para que las ecuaciones resultantes sean dimensionalmente correctas.


                    Realmente es un tema duro para un aprendiz como yo. Ni se me explicó nada
                    cuando estudiaba Ingenieria ni usé nada de todo esto cuando trabajaba
                    ni he encontrado nada medianamente claro en libros y articulos sobre el tema.

                    Un saludo.

                    Comentario


                    • #11
                      Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

                      FVPI, las ecuación que has puesto ya es dimensionalmente correcta. Lo que pasa es que y . Por otro lado lo estáis haciendo al revés: el dato conocido es el tensor de energía momento y lo que tenéis que encontrar es la métrica. Aquí tenéis la solución de Schwarzschild paso a paso. Fijaos que el tensor de energía momento viene dado de antemano, y es nulo.
                      \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epislon_0}

                      Comentario


                      • #12
                        Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

                        Disculpa FVPI me despiste con la expresion "tensor geometrico" entendi otra cosa, y no la metrica g que con c y G distinto de 1 es




                        El aporte de Weip me oriento hacia donde va el tema con la operatoria aunque me creo otras dudas.

                        En el articulo de wikipedia , es mejor leerlo en ingles ya que traducido deja mas dudas.


                        Hacen la suposicion de que pero luego aparece cuando lo llevan al limite newtoniano pero no me queda claro como, Pues si es cero de donde ha salido la materia de M? ,si bien comprendo que la ecuacion solo es aplicable a un r que se halle en el vacio dan unos pasos con la energia cinietica y potencial hasta alli entendibles, pero aparece un en la ecuación y no se si es una densidad o un diferencial del lagrangiano del cual tambien hablan, luego dan este link que me ha dejado anonadado pensaba que estaba cerca y otra vez se me escapa( entendi mas en la analogia del cuadrito a la derecha que en el texto). Menos aun cuando dicen haciendo que la velocidad de la luz sea infinita. Voy a releer con menos ansias o mas paciencia.

                        Comentario


                        • #13
                          Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

                          Creo que el planteamiento de Schwarzschild es diferente del planteamiento
                          de Friedmann.
                          En el primero, tomamos como dato la distribucion de Energia-Momento en una
                          esfera de radio R y buscamos el tensor geometrico fuera de la esfera. r > R.
                          Este es un sistema estatico.
                          En el segundo, tenemos un ´objeto´ geometrico, definido por su tensor geometrico
                          y una distribucion de Energia-Momento dentro del ´objeto´. Y buscamos la evolucion
                          del ´objeto´, es decir, por ejemplo, la evolucion del factor de escala con el tiempo.
                          Este es un sistema dinamico.

                          En cuanto al tensor ´g´ que escribe Richard, creo que no esta bien:
                          1.- Le falta la curvatura y ´a´que aparecen en las
                          ecuaciones de Friedmann. (Que es ´M´?)
                          2.- No veo como se deduce la formula FLRW:



                          a partir de este tensor ´g´.
                          (Y es que no cuadra ni tan solo con la métrica de Minkowsky)
                          (Es el tensor geométrico de Schwarzschild?)
                          De que estamos escribiendo?

                          Yo me referia a que G y c deben estar en el tensor Energia-Momento para
                          que las ecuaciones de Friedmann que resulten sean dimensionalmente correctas.
                          Ya sé que estan en algun sitio pero como se hace G=1 y c=1 no las veo.
                          Pero si veo que hay densidades, presiones y componentes del tensor geometrico
                          con dimensiones diferentes. Y tambien veo que en algunos sitios se escribe
                          la ecuacion de Einstein:



                          Si determinamos como es el tensor ´g´ y el tensor ´T´ correctamente,
                          ya solo nos falta que algun valiente matematico desarrolle los simbolos
                          de Christoffel, el tensor de Riemann, el tensor de Ricci y el escalar de Ricci.
                          Y ya tendremos las ecuaciones de Friedmann deducidas.
                          Y despues nos podremos dedicar a resolver la metrica de Schwarzschild
                          porque el procedimiento sera parecido.

                          Un saludo.
                          Última edición por FVPI; 12/08/2015, 21:20:00.

                          Comentario


                          • #14
                            Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

                            tienes razon me cerre en mi planteo con schwardchild y lo que tu hables es de las ecuaciones de Firedmann. la metodologia dede ser similar, poner todos chistofels en funcion de las componentes de la metrica, y luego por aproximación newtoniana o datos experimentales calcular esas componentes. y luego expoeresar la metrica en funcion de esas componentes...

                            la metrica que tu buscas es la FRLW



                            Aqui las incongnitas son a(t) y k que ya sabemos que para cada modelo es -1 0 o 1

                            Saludos

                            Comentario


                            • #15
                              Re: Términos de las ecuaciones de Einstein de la Teoria de la Relatividad General

                              He encontrado un blog que habla de todo esto que estamos intentando descifrar.
                              http://teoria-de-la-relatividad.blog...03/indice.html
                              Solo lo he visto ´por encima´ pero me ha parecido interesante, a la vez que matemáticamente complicado...
                              y a estudiar con tranquilidad.
                              Un saludo.

                              Comentario

                              Contenido relacionado

                              Colapsar

                              Trabajando...
                              X