2o ciclo Lorentz vs Poincaré

[Nissan]

Solo una cosa, las transformaciones de Lorentz son las transformaciones que dejan invariante la metrica de Minkowski, por definicion, el grupo SO(3,1), o su recubridor. Puedes consultarlo en el libro Spinor Geometry, o en el arxiv Spinor Tools, o en el propio capitulo de spinores Lorentz del Wald. Esto es asi porque en cualquier problema minimamente complicado, las formulitas con las que aprendemos a hacer boost y tal y que si un SR se mueve a lo largo de un eje x o cosas asi, son totalmente inutiles; y es que de hecho constituyen una representacion concreta (vectorial) del grupo de Lorentz, nada m´´as. Pero hay mucho m´´as aparte de eso. Una rotacion espacial es una transformacion de Lorentz, y ademas importantisima!! es la que nos indica el spin de las particulas! (lo comento en mi post sobre spinores). Esto lo puedes consultar en el weinberg, tomo uno capitulo 2.

Recapitulando, si piensas en las transformaciones de Lorentz simplemente como transformaciones entre sistemas inerciales que se mueven a una velocidad dada, te estas perdiendo el 90% de la pelicula.

En cuanto a lo de que el punto de vista pasivo y activo es equivalente "matematicamente" pero no "fisicamente", es totalmente erroneo. Te remito de nuevo al wald, o al Saletan y Jose para mas referencias, pero no quiero entrar en esa discusion porque se nos hace eterno y no creo que lleguemos a ningun lado.

He sido honesto en todas las respuestas dandote referencias facilmente accesibles de todo lo que digo, a diferencia de ti. No obstante ahora pienso que las conversaciones contigo son infructuosas asi que abandono. Espero que en un futuro podamos tener conversaciones mas instructivas en otros hilos.

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Re: Lorentz vs Poincaré

las transformaciones de Lorentz son las transformaciones que dejan invariante la metrica de Minkowski, por definicion, el grupo SO(3,1), o su recubridor. Puedes consultarlo en el libro Spinor Geometry, o en el arxiv Spinor Tools, o en el propio capitulo de spinores Lorentz del Wald. Esto es asi porque en cualquier problema minimamente complicado, las formulitas con las que aprendemos a hacer boost y tal y que si un SR se mueve a lo largo de un eje x o cosas asi, son totalmente inutiles; y es que de hecho constituyen una representacion concreta (vectorial) del grupo de Lorentz, nada m´´as. Pero hay mucho m´´as aparte de eso. Una rotacion espacial es una transformacion de Lorentz, y ademas importantisima!! es la que nos indica el spin de las particulas! (lo comento en mi post sobre spinores). Esto lo puedes consultar en el weinberg, tomo uno capitulo 2.

Recapitulando, si piensas en las transformaciones de Lorentz simplemente como transformaciones entre sistemas inerciales que se mueven a una velocidad dada, te estas perdiendo el 90% de la pelicula.

Una referencia aún más accesible (a un sólo click de distancia): http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_group

Copio y pego:

The Lorentz group is a subgroup of the Poincaré group, the group of all isometries of Minkowski spacetime. The Lorentz transformations are precisely the isometries which leave the origin fixed.

El grupo de Lorentz es un subgrupo del de Poincareé, que es el grupo de todas las isometrías del espacio-tiempo de Minkowski. Las transformaciones de Lorentz son precisamente las isometrías que dejan el origen fijado.

Por lo tanto, en 1d el grupo de Lorentz sólo tiene un generador: el boost en el eje espacial, que viene dado por (c=1)

$$\begin{aligned}<br /> x' & = \gamma ( x - v t ) , \\<br /> t' & = \gamma ( t - x t ) ,<br /> & \gamma & := ( 1 - v^2 )^{-1/2} .<br /> \end{aligned}$$

Fuente: por ejemplo, aquí, aunque virtualmente, puedes usar cualquier texto de relatividad especial.

¿Qué esto es sólo una representación, y hay muchas más? Pues claro. Pero esta es la que nos importa físicamente cuando hablamos de tiempos y distancias. Es genial que, matemáticamente, se pueda generalizar todo a una teoría tan potente como la de grupos. Pero la relatividad ya existía antes que todo eso, y se podría haber desarrollado perfectamente sin ello (busca alguna referencia a la teoría de grupos en el artículo original de Einstein). Los árboles matemáticos no deben impedirnos ver el bosque físico.

[Nissan]

Re: Lorentz vs Poincaré

Una referencia aún más accesible (a un sólo click de distancia): http://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_group

Copio y pego:





Por lo tanto, en 1d el grupo de Lorentz sólo tiene un generador: el boost en el eje espacial, que viene dado por (c=1)

$$\begin{aligned}<br /> x' & = \gamma ( x - v t ) , \\<br /> t' & = \gamma ( t - x t ) , <br /> & \gamma & := ( 1 - v^2 )^{-1/2} .<br /> \end{aligned}$$

Fuente: por ejemplo, aquí, aunque virtualmente, puedes usar cualquier texto de relatividad especial.

Creo que no nos estamos entendiendo. Yo simplemente digo que el grupo de rotaciones espaciales SO(3) (d=4) es subgrupo del grupo de Lorentz, y esto es evidente de matematicamente. De hecho, fijate si es importante que SO(3) sea subgrupo del grupo de Lorentz que se complexifica el algebra so(3,1) de manera que es suma directa de sl(2) + sl(2), que es el algebra del recubridor de SO(3). Y este es el origen de la nomenclatura de espin en 4 dimensiones!. Lo puedes ver aqui, si prefieres leer algo menos tecnico que mi post:

http://en.wikipedia.org/wiki/Represe..._Lorentz_group

Evidentemente cuando la dimension espacial es 1, el grupo de rotaciones es trivial, y por eso en mi post de espinores escribo que la dimension del espaciotiempo tiene que ser mayor que 2.

Para aclararnos un poco mas, ¿estas de acuerdo con que el grupo de rotaciones es subgrupo del grupo de Lorentz?

Porque aqui dices que no (en realidad creo que lo cambiaste respecto a lo que escribiste originalmente, pero no pasa nada):

Las transformaciones de Lorentz son, por definición, las que no tienen velocidad cero. Los boosts "puros". Son las únicas que "mezclan" espacio y tiempo, dejando el intervalo relativista invariante. Luego, uno puede extender el grupo añadiendo las transformaciones que dejan invariante las dos partes del intervalo, pero sin mezclarlas (tranlaciones y rotaciones espaciales; más traslaciones temporales). Pero eso ya es el grupo de Poincaré, no el de Lorentz (que es sólo un subgrupo).

Y me parece un poco extraño que cometas ese error, asi que quiza ha sido un desliz. En concreto, no puedo dejar de comentar tu ultima frase ¿¿¿que las rotaciones espaciales son un subgrupo del grupo de Poincare pero no del de Lorentz???. Las rotaciones espaciales son subgrupo del grupo de Lorentz, y el grupo de Poincare solo es añadir las traslaciones al de Lorentz.

Bueno, en el caso de que pienses que el grupo de rotaciones espaciales no es subgrupo del grupo de Lorentz (aunque la demostracion es bastante trivial, y si la quieres me ofrezco a escribirtela) entonces dejamos ahi el asunto y que cada uno piense lo que quiera.

Bueno, voy a resaltar algo.

¿Qué esto es sólo una representación, y hay muchas más? Pues claro. Pero esta es la que nos importa físicamente cuando hablamos de tiempos y distancias. Es genial que, matemáticamente, se pueda generalizar todo a una teoría tan potente como la de grupos. Pero la relatividad ya existía antes que todo eso, y se podría haber desarrollado perfectamente sin ello (busca alguna referencia a la teoría de grupos en el artículo original de Einstein). Los árboles matemáticos no deben impedirnos ver el bosque físico

No es solo que matematicamente se pueda generalizar todo mediante la teoria de grupos. Es que es necesario para que exista la Teoria Cuantica de Campos, la Teoria de cuerdas o incluso el espin en Mecanica Cuantica, con lo que en este caso la matematica nos permite ver todo el bosque y cada arbol individualmente a la vez.Tengo la obra original de Einstein, y por no usar no usa casi ninguna herramienta matematica actual, pero eso no quiere decir nada; simplemente es logico ya que tiene un porron de años y nada de esto estaba desarrollado.

Quiero resaltar una cosa; Cuando tu hablas de transformaciones de Lorentz (si no me equivoco), hablas de las transformaciones que se obtienen al imponer que la velocidad de la luz sea constante en los distintos sistemas inerciales que se mueven con velocidad constante entre ellos. Cuando yo hablo de transformacion de Lorentz entiendo lo que actualmente se entiende en fisica teorica; una transformacion perteneciente al grupo Lineal General que actua sobre el tensor de Minkowsky (y por tanto actua en el producto tensorial de dos copias del fibrado) y que lleva asociado el correspondiente cambio de coordenadas en la variedad base. Todas las cosas que afirmo se ven de manera muchisimo mas sencilla desde mi punto de vista que desde el que tue stas adoptando.

[pod]

Re: Lorentz vs Poincaré

Para entendernos, lo primero que hay que hacer es fijar la dimensión. Porque todo esto se origina en que tú interpretas en d > 1 afirmaciones que había hecho en d = 1; así que al final ya no sabemos ni de qué estamos hablando. (Donde d es el número de dimensiones espaciales; las totales serán d+1).

La afirmación original era, siempre pensando en d = 1, que el grupo de lorentz sólo contiene "boosts", y que cualquier transformación cambia la noción de simultaneidad (excepto la identidad, si hay que especificarlo todo siempre...). De esto, creo que no hay grandes dudas.

¿Qué a ti no te gusta pensar en d = 1? Vale, me parece fetén. Pero para el problema que tratábamos, era suficiente. Interpretar lo que se estaba diciendo en d arbitrario es sacar la cosa de contexto.

¿Quieres hablar en d > 2? Pues vale, hagamoslo ahora.

Para aclararnos un poco mas, ¿estas de acuerdo con que el grupo de rotaciones es subgrupo del grupo de Lorentz?

Eso, es evidente. Los "boosts" sólo no cierran, es posible que la composición de dos boosts en direcciones diferentes puede no ser equivalente a otro boost, es posible que sea necesario componerlo con una rotación. Los boost por si solos no cierran un grupo.

Luego, aquí hay cierta ambigüedad en la literatura a la hora de poner nombres a las cosas. Yo uso el término "transformación de Lorentz" para indicar un boost puro, no un elemento general del grupo (y te puedo asegurar que soy un físico teórico de hoy en día). Así, por lo tanto, una rotación no es una transformación de Lorentz (que es lo que pretendía decir en el fragmento citado), aunque sí deben formar parte del grupo de Lorentz... para que sea un grupo.

Sí, es cierto que muchas veces uno dice "transformación de Lorentz" para referirse a cualquier elemento del grupo (más que nada, porque si algo es invariante bajo boosts, también es invariante ante rotaciones por fuerza, ya que dos boosts pueden dar una rotación). Pero pelearse por eso es como discutir si la métrica debe ser (-,+,+,+) o (+,-,-,-).

No es solo que matematicamente se pueda generalizar todo mediante la teoria de grupos. Es que es necesario para que exista la Teoria Cuantica de Campos, la Teoria de cuerdas o incluso el espin en Mecanica Cuantica, (...)

Es una discusión para el foro de filosofía, pero discrepo. En cualquier caso, es necesario para la forma en que nosotros, seres humanos, hemos desarrollado esas teorías. Puede que nunca lo sepamos, pero a lo mejor hay formas de desarrollar teorías equivalentes sin utilizar las herramientas matemáticas actuales; sino con otras herramientas.

De hecho, hay ejemplos históricos de esto. Recuerdo dos: La mecánica cuántica (inicialmente, hubo dos formulaciones matemáticamente muy diferentes; la de Heisemberg y la de Schödinger... Dirac demostró que eran equivalentes), y la relatividad general (oí hablar de una formulación que no usa el concepto de curvatura, ni la geometría riemanniana; obviamente nadie la usa, pero existe y es 100% equivalente).

Cuando tu hablas de transformaciones de Lorentz (si no me equivoco), hablas de las transformaciones que se obtienen al imponer que la velocidad de la luz sea constante en los distintos sistemas inerciales que se mueven con velocidad constante entre ellos. Cuando yo hablo de transformacion de Lorentz entiendo lo que actualmente se entiende en fisica teorica; una transformacion perteneciente al grupo Lineal General que actua sobre el tensor de Minkowsky

Ambas definiciones son físicamente equivalente.

Todas las cosas que afirmo se ven de manera muchisimo mas sencilla desde mi punto de vista que desde el que tue stas adoptando.

Eso, es relativo. Puede para ti (y mucha más gente, no lo niego) sea así.

[Nissan]

Re: Lorentz vs Poincaré

Bueno, me alegra ver que nos vamos entendiendo.

Para entendernos, lo primero que hay que hacer es fijar la dimensión. Porque todo esto se origina en que tú interpretas en d > 1 afirmaciones que había hecho en d = 1; así que al final ya no sabemos ni de qué estamos hablando. (Donde d es el número de dimensiones espaciales; las totales serán d+1).

La afirmación original era, siempre pensando en d = 1, que el grupo de lorentz sólo contiene "boosts", y que cualquier transformación cambia la noción de simultaneidad (excepto la identidad, si hay que especificarlo todo siempre...). De esto, creo que no hay grandes dudas.

¿Qué a ti no te gusta pensar en d = 1? Vale, me parece fetén. Pero para el problema que tratábamos, era suficiente. Interpretar lo que se estaba diciendo en d arbitrario es sacar la cosa de contexto.

De acuerdo, ya que en 2 dimensiones (1 espacial) el grupo de rotaciones no existe. Aunque si tratas el grupo de Poincare las traslaciones (como ya dije en su momento) respetan la "simultaneidad".

¿Quieres hablar en d > 2? Pues vale, hagamoslo ahora.



Eso, es evidente. Los "boosts" sólo no cierran, es posible que la composición de dos boosts en direcciones diferentes puede no ser equivalente a otro boost, es posible que sea necesario componerlo con una rotación. Los boost por si solos no cierran un grupo.

Luego, aquí hay cierta ambigüedad en la literatura a la hora de poner nombres a las cosas. Yo uso el término "transformación de Lorentz" para indicar un boost puro, no un elemento general del grupo (y te puedo asegurar que soy un físico teórico de hoy en día). Así, por lo tanto, una rotación no es una transformación de Lorentz (que es lo que pretendía decir en el fragmento citado), aunque sí deben formar parte del grupo de Lorentz... para que sea un grupo.

Sí, es cierto que muchas veces uno dice "transformación de Lorentz" para referirse a cualquier elemento del grupo (más que nada, porque si algo es invariante bajo boosts, también es invariante ante rotaciones por fuerza, ya que dos boosts pueden dar una rotación). Pero pelearse por eso es como discutir si la métrica debe ser (-,+,+,+) o (+,-,-,-).

De nuevo, aclarado, aunque nunca habia leido ese convenio. De hecho me parece un poco incomodo, ya que, tengo un grupo, llamado grupo de Lorentz, pero en cambio no a todos los elementos del grupo de Lorentz les llamo transformaciones de Lorentz. Y es mas incomodo aun en los contextos en los que no sabes si hay parte de rotacion espacial o no en la transformacion, (por ejemplo en representaciones espinoriales). Yo en el contexto de espinores, Teoria de cuerdas, SUGRA, SUSY... (y en la literatura referida a ello), una transformacion de lorentz es un elemento del grupo de lorentz que usas en una representacion concreta. Porque tampoco tiene mucho sentido hacer la distincion que comentas. (Tener que preocuparse de si el elemento de la representacion que utilizas esta generado unicamente por los generadores del grupo de Lie de rotaciones... solo para saber si llamarlo transformacion de Lorentz o no...ufff que coñazo no?).

Es una discusión para el foro de filosofía, pero discrepo. En cualquier caso, es necesario para la forma en que nosotros, seres humanos, hemos desarrollado esas teorías. Puede que nunca lo sepamos, pero a lo mejor hay formas de desarrollar teorías equivalentes sin utilizar las herramientas matemáticas actuales; sino con otras herramientas.

Estoy de acuerdo en que la teoria de Grupos, Representaciones etc etc es necesaria para la forma en que hemos desarrollado esas teorias, y que pueden existir formas, mejores o peores, de desarrollarlas sin hacer uso de ello. Pero como de momento es lo que hay, pues me parece muy importante.

De hecho, hay ejemplos históricos de esto. Recuerdo dos: La mecánica cuántica (inicialmente, hubo dos formulaciones matemáticamente muy diferentes; la de Heisemberg y la de Schödinger... Dirac demostró que eran equivalentes), y la relatividad general (oí hablar de una formulación que no usa el concepto de curvatura, ni la geometría riemanniana; obviamente nadie la usa, pero existe y es 100% equivalente).

Dudo mucho que no use la geometria Riemanniana, aunque a saber, claro. Si no me equivoco te refieres a la RG formulada en el Weitzenbock spacetime, pero es una formulacion igualmente expresada en una variedad 4 dimensional y que hace uso de toda la geometria pseudoriemanniana (de hecho mas que la original).

Ambas definiciones son físicamente equivalente.

Bueno, globalmente son equivalentes, pero una es potencialmente mucho mas potente que la otra. Y por eso es la que se usa para poder introducir espinores, campos gauge (conexiones), espinores en espacios curvos...

Eso, es relativo. Puede para ti (y mucha más gente, no lo niego) sea así.

Ok.