2o ciclo Ecuaciones de Einstein

[[Beto]]

Hola, problemas con los siguiente:

Tengo las ecuaciones de Einstein $G_{\mu\nu}=kT_{\mu\nu}$, me piden probar que para cuando $n=2$, las ecuaciones implican que $T_{\mu\nu}=0$.

Contrayendo índices llego a probar que la traza de $T$ es cero, pero nada más ... ¿se me está pasando algo y eso implicaría que $T_{\mu\nu}=0$?

[alejandrito29]

Re: Ecuaciones de Einstein

no te estaran pidiendo demostrar que el tensor de einstein y el tensor de energia momentum tienen divergencia nula?..
si calculas la traza recuerdo obtienes la ecuacion de einstein en otro formato pero no 0

[pod]

Re: Ecuaciones de Einstein

Este es un resultado muy importante: quiere decir que no hay gravedad en una dimensión espacial.

No recuerdo los detalles de la demostración, pero probablemente te ayude buscar información sobre el tensor de Weyl (es la parte del tensor de Riemman que no se puede escribir sabiendo únicamente el escalar de Ricci, y que en 2 y 3 dimensiones siempre es idénticamente nulo).

[alejandrito29]

Re: Ecuaciones de Einstein

pero la traza de que es 0 ?

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Re: Ecuaciones de Einstein

pero la traza de que es 0 ?

El tensor de Einstein, $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac12 g_{\mu\nu} R$, que es la parte izquierda de las ecuaciones de Einstein, siempre tiene traza cero por construcción en 2D. Como eso es igual al $T_{\mu\nu}$ por principio, este también tiene traza cero.

[alejandrito29]

Re: Ecuaciones de Einstein

El tensor de Einstein, $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac12 g_{\mu\nu} R$, que es la parte izquierda de las ecuaciones de Einstein, siempre tiene traza cero por construcción. Como eso es igual al $T_{\mu\nu}$ por principio, este también tiene traza cero. Eso es independiente de la dimensionalidad.

se que estoy en un error pero, la traza sería (en 4D por ejemplo)

$R - \frac{1}{2}4R= -R$,

¿y el escalar de Ricci sería cero?, se que no es cero, pero ahí mi confusión....

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Re: Ecuaciones de Einstein

se que estoy en un error pero, la traza sería (en 4D por ejemplo)

$R - \frac{1}{2}4R= -R$,

¿y el escalar de Ricci sería cero?, se que no es cero, pero ahí mi confusión....

Tienes toda la razón del mundo. La traza de G es (2-d)/2 R. En d=2 es cero, y junto con el hecho de que Weyl sea nulo en d=2 (y d=3 si no recuerdo mal, pero eso da igual), eso nos dice que no puede haber curvatura en d=2.

Me hago mayor.