1r ciclo Tiempo en eje imaginario

[guibix]

Hola a todos,

Desde hace tiempo he oído sobre uso de un eje imaginario para describir el tiempo, pero no ha sido hasta hace poco que no he visto que esto es lo que hace precisamente la métrica Minkowsky. Si partimos de una métrica espacio-tiempo euclidiana $\dd \tau^2=\dd t^2+\dd x^2+\dd y^2+\dd z^2$ y multiplicamos la coordenada temporal por la unidad imaginaria, nos da precisamente la métrica Minkowsky: $-\dd \tau^2=-\dd t^2+\dd x^2+\dd y^2+\dd z^2.$

En realidad no me sorprende, lo que sí me sorprende es que esto no sea de lo primero que se enseñe en RE cuando se hable del espacio Minkowsky, a lo sumo se dice que está en el cuerpo de los complejos y ya. Más que nada lo digo porqué creo que da respuesta a muchas de las confusiones típicas en RE.

Lo primero que advertí es que las funciones trigonométricas son perpendiculares a las hiperbólicas en el plano complejo ($\cos xi=\cosh x\, ,\sin xi=i\sinh x\, ,\cosh xi=\cos x\,,\sinh xi=i\sin x$). Eso da una buena explicación de porqué el espacio-tiempo es hiperbólico y que una aceleración tangencial es en realidad una aceleración normal al eje imaginario provocando una "rotación" hiperbólica. Cosa que implica que el tiempo solo puede ir hacia "adelante" o hacia atrás, pero no puede pasar de uno a otro, porqué la rotación hiperbólica de ese espacio-tiempo está limitada a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] o sea, la velocidad de la luz.

Además, si tenemos en cuenta que el tiempo es una dimensión en la cual solo podemos ver una coordenada, la unidad imaginaria explicaría esto asumiendo que solo podemos ver simultaneamente el plano real y el pasado y futuro quedarían fuera de él.

Bueno, pues mi duda es si hay motivos por los cuales no se explica esto en los fundamentos base de la RE. A mi solo se me ocurren dos:

1-La mayoría de los profesores no dan importancia a este hecho y lo pasan por alto (esto solo se explica en niveles más avanzados de RE y en RG).

2-Existen otros motivos de peso para descartar el tiempo imaginario, interpretándolo como un simple cambio de signo en la métrica y que el cuerpo de los complejos solo está para "acoger" las soluciones no físicos de los cálculos (al igual que en la métrica euclidiana cuando se busca los puntos que cortan un círculo para una línea que no corta dicho círculo, que da un resultado imaginario).

Gracias y un saludo.

[pod]

Re: Tiempo en eje imaginario

El cambio $t \to i t$ se llama rotación de Wick. Sin ir más lejos, mi primer artículo de investigación publicado se basaba esencialmente en realizar una doble rotación de Wick en dos variables (de forma que volvía a una métrica con la signatura correcta).

De hecho, creo que históricamente la versión con la "i" compleja es anterior al espacio de Minkosky. Aunque no puedo asegurarlo. Lo que sí puedo decir es que en textos antiguos se utilizaba más que ahora.

Fíjate que si estamos en el espacio Euclidiano la variable temporal tiene que ser imaginaria pura, no un complejo genérico. Así que el cuerpo sobre el que se basa el espacio vectorial siguen siendo los reales. No obstante, para operar con él es necesario la aritmética de los números complejos. Es una mezcla bastante rara, muy poco intuitiva. Es como si tuviéramos una quinta dimensión que no utilizamos para nada.

Además, si la métrica tuviera componentes tiempo-espacio cruzadas (como, por ejemplo, la métrica del agujero negro de Kerr), entonces algunas componentes serían imaginarias. La métrica se supone que mide cantidades físicas que, al final del día, se tienen que poder medir con reglas, relojes y compases. Físicamente, suena muy raro que un objeto sea imaginario.

Así las cosas, el uso de la rotación de Wick en relatividad no parece aportar muchos beneficios. Sólo hacer parecer que el espacio-tiempo es euclídeo. Por otro lado, su uso es muy importante en otros campos de la física. Por ejemplo, la física de partículas y la física estadística están relacionadas entre si por una rotación de Wick, y gracias a ello muchos avances en QFT se han podido pasar a materia condensada de forma sencilla.

[guibix]

Re: Tiempo en eje imaginario

El cambio $t \to i t$ se llama rotación de Wick. Sin ir más lejos, mi primer artículo de investigación publicado se basaba esencialmente en realizar una doble rotación de Wick en dos variables (de forma que volvía a una métrica con la signatura correcta).

Desconocía el concepto, aunque había oído hablar de ello. Me lo miraré con detenimiento, gracias.

Fíjate que si estamos en el espacio Euclidiano la variable temporal tiene que ser imaginaria pura, no un complejo genérico. Así que el cuerpo sobre el que se basa el espacio vectorial siguen siendo los reales. No obstante, para operar con él es necesario la aritmética de los números complejos. Es una mezcla bastante rara, muy poco intuitiva. Es como si tuviéramos una quinta dimensión que no utilizamos para nada.

No sé si entiendo esto de la quinta dimensión. ¿No serían tres dimensiones reales y una de imaginaria (el tiempo)?

Tal y como lo veo (aunque podría equivocarme) para mi es más intuitivo tratar el tiempo como imaginario porqué caza dos pájaros de un tiro:

1- Implica que la métrica plana sea la de Minkowsky, o sea, una geometría hiperbólica. Y la métrica Minkowsky asimismo implica el límite de la velocidad de la luz y de la dirección del tiempo.

2-Y también implica que solo podamos medir el hiperplano en dónde la parte imaginaria es nula, o sea, "el presente". Y el pasado y futuro quedan en los puntos con la parte imaginaria no nula (y no vale decir que vemos el pasado, porqué lo que vemos son fotones de ahora creados en un tiempo que ya no existe ahora ).

Además, si la métrica tuviera componentes tiempo-espacio cruzadas (como, por ejemplo, la métrica del agujero negro de Kerr), entonces algunas componentes serían imaginarias. La métrica se supone que mide cantidades físicas que, al final del día, se tienen que poder medir con reglas, relojes y compases. Físicamente, suena muy raro que un objeto sea imaginario.

Así las cosas, el uso de la rotación de Wick en relatividad no parece aportar muchos beneficios. Sólo hacer parecer que el espacio-tiempo es euclídeo. Por otro lado, su uso es muy importante en otros campos de la física. Por ejemplo, la física de partículas y la física estadística están relacionadas entre si por una rotación de Wick, y gracias a ello muchos avances en QFT se han podido pasar a materia condensada de forma sencilla.

Supongo que lo que me ha ocurrido es que de golpe y porrazo todo me ha cuadrado con una simetría, elegancia y belleza que me ha deslumbrado (lagrimita incluida ).

No sé, parece algo importante y profundo, algo que da sentido físico al comportamiento del tiempo. Pero a lo mejor no es más que un espejismo matemático de estos tan habituales .

Gracias de nuevo y un saludo!

[pod]

Re: Tiempo en eje imaginario

No sé si entiendo esto de la quinta dimensión. ¿No serían tres dimensiones reales y una de imaginaria (el tiempo)?

Bueno, los espacios vectoriales se construyen a partir de un cuerpo (más un conjunto de "vectores" con operaciones definidas y todo eso). El único cuerpo que incluye los reales y los imaginarios puros es el cuerpo de los complejos. Así que si queremos tener reales e imaginarios a la vez y ser algebraicamente coherentes, tenemos que ir a todos los complejos.

Tal y como lo veo (aunque podría equivocarme) para mi es más intuitivo tratar el tiempo como imaginario porqué caza dos pájaros de un tiro:

1- Implica que la métrica plana sea la de Minkowsky, o sea, una geometría hiperbólica. Y la métrica Minkowsky asimismo implica el límite de la velocidad de la luz y de la dirección del tiempo.

La métrica de Minkowsky es plana. No confundas euclidea con plana.

2-Y también implica que solo podamos medir el hiperplano en dónde la parte imaginaria es nula, o sea, "el presente". Y el pasado y futuro quedan en los puntos con la parte imaginaria no nula (y no vale decir que vemos el pasado, porqué lo que vemos son fotones de ahora creados en un tiempo que ya no existe ahora ).

Lamento decirlo, pero encuentro tantos conceptos incorrectos en esta afirmación que no sé ni por donde empezar.

En primer lugar, recuerda que la relatividad va, sobre todo, de cambios de sistema de referencia. El hiperplano t=0 depende del sistema de referencia en el que se encuentre. Así que, un evento concreto está en hiperplanos t=0 diferentes según qué observador haga la medición. No es posible que el conjunto de eventos que puede afectar causalmente a un evento dado dependa del observador, ya que las relaciones causa-efecto deben quedar preservadas.

En segundo lugar, si tenemos dos eventos que estan en el mismo plano t=0 para algun observador (separados una distancia), entonces es físicamente imposible que dichos eventos tengan relación causal. Es decir, ninguno puede ser causa del otro; ni uno puede observar al otro (si, en ese SR ocurren al mismo, no es posible que un fotón viaje de uno a otro evento; ni siquiera un fotón puede recorrer una distancia finita en tiempo 0). La estructura causal de un evento en relatividad es la siguiente: un cono con orientación 45º (lo que en el espacio-tiempo corresponde a la velocidad de la luz), centrado en el evento que queremos estudiar. Lo que queda dentro del cono por la parte de tiempos negativos reperesenta todos los eventos que han podido influir causalmente en el evento en cuestión; los eventos que están justo sobre la superfície del cono solo han podido influir enviado señales a la velocidad de la luz, los que estrictamente quedan dentro pueden interaccionar intercambiando cualquier partícula con masa. Esta es la zona del "pasado absoluto". Análogamente, lo que queda sobre o dentro del cono hacia el lado de tiempos positivos incluye todos los eventos que podrán ser influidos por el evento que estamos estudiando, es el futuro absoluto.

Finalmente, todos los puntos que quedan estrictamente fuera del cono no pueden tener conexión causal con el evento que estamos estudiando, ya que están separados en una distancia espacial que supera la distancia máxima que puede recorrer la luz. Esta zona recibe el nombre de presente absoluto. De hecho, la estructura causal de la relatividad es tan curiosa que dos eventos (A y B) que están en la zona del presente absoluto, existen sistemas de referencia en que A ocurre antes que B; y existen sistemas de referencia en que B ocurre antes que A. También existe un sistema de referencia (sólo uno, salvo traslaciones) en que ambos eventos ocurren al mismo tiempo.

Tercero, todo lo dicho es exactamente igual en el espacio con rotación de Wick. La única diferencia es que en el espacio con rotación de Wick tenemos que escribir un montón de i's por todas partes...

Supongo que lo que me ha ocurrido es que de golpe y porrazo todo me ha cuadrado con una simetría, elegancia y belleza que me ha deslumbrado (lagrimita incluida ).

No sé, parece algo importante y profundo, algo que da sentido físico al comportamiento del tiempo. Pero a lo mejor no es más que un espejismo matemático de estos tan habituales .

No creo que el espacio euclideo sea más profundo que el de Minkoswky. Eso suena más bien a prejuicio humano porque estamos acostumbrados en el día a día que las cosas sean euclideas. Pero no tenemos experiencia vital tratando el tiempo como una dimensión, así que ese prejuicio tiene poco valor en relatividad.

Lo de la rotación de Wick en relatividad es más una curiosidad que otra cosa. Si admites que los relojes miden números imaginarios, pues entonces tienes la ilusión de que la métrica es euclidea. Pero no es más que eso.

[guibix]

Re: Tiempo en eje imaginario

La métrica de Minkowsky es plana. No confundas euclidea con plana.

No no, digo precisamente que la métrica plana es la de Minkowsky, no que sea euclidiana.

Lamento decirlo, pero encuentro tantos conceptos incorrectos en esta afirmación que no sé ni por donde empezar.

En primer lugar, recuerda que la relatividad va, sobre todo, de cambios de sistema de referencia. El hiperplano t=0 depende del sistema de referencia en el que se encuentre. Así que, un evento concreto está en hiperplanos t=0 diferentes según qué observador haga la medición. No es posible que el conjunto de eventos que puede afectar causalmente a un evento dado dependa del observador, ya que las relaciones causa-efecto deben quedar preservadas.

En segundo lugar, si tenemos dos eventos que estan en el mismo plano t=0 para algun observador (separados una distancia), entonces es físicamente imposible que dichos eventos tengan relación causal. Es decir, ninguno puede ser causa del otro; ni uno puede observar al otro (si, en ese SR ocurren al mismo, no es posible que un fotón viaje de uno a otro evento; ni siquiera un fotón puede recorrer una distancia finita en tiempo 0). La estructura causal de un evento en relatividad es la siguiente: un cono con orientación 45º (lo que en el espacio-tiempo corresponde a la velocidad de la luz), centrado en el evento que queremos estudiar. Lo que queda dentro del cono por la parte de tiempos negativos reperesenta todos los eventos que han podido influir causalmente en el evento en cuestión; los eventos que están justo sobre la superfície del cono solo han podido influir enviado señales a la velocidad de la luz, los que estrictamente quedan dentro pueden interaccionar intercambiando cualquier partícula con masa. Esta es la zona del "pasado absoluto". Análogamente, lo que queda sobre o dentro del cono hacia el lado de tiempos positivos incluye todos los eventos que podrán ser influidos por el evento que estamos estudiando, es el futuro absoluto.

Finalmente, todos los puntos que quedan estrictamente fuera del cono no pueden tener conexión causal con el evento que estamos estudiando, ya que están separados en una distancia espacial que supera la distancia máxima que puede recorrer la luz. Esta zona recibe el nombre de presente absoluto. De hecho, la estructura causal de la relatividad es tan curiosa que dos eventos (A y B) que están en la zona del presente absoluto, existen sistemas de referencia en que A ocurre antes que B; y existen sistemas de referencia en que B ocurre antes que A. También existe un sistema de referencia (sólo uno, salvo traslaciones) en que ambos eventos ocurren al mismo tiempo.

Tercero, todo lo dicho es exactamente igual en el espacio con rotación de Wick. La única diferencia es que en el espacio con rotación de Wick tenemos que escribir un montón de i's por todas partes...

Uff... Ya veo que no me he explicado nada bien. Pensarás "¿y ése tío da lecciones de RE a otros usuarios? ¡Si no se entera de nada!" Y lo peor de todo es que te he hecho escribir esta parrafada por no expresarme adecuadamente. No hablo de la relación causal ni de la distinta simultaneidad entre SRIs. Intentaré decirlo de otra manera.

Cuando creamos un SRI, elegimos el instante $t=0$ como un evento dado (dos relojes cruzándose en un punto en el espacio, por ejemplo). Esto sería situar el centro del cono de luz en ése evento para luego comparar ese evento con otros (o comparar otros eventos partiendo de este), medir tiempos, distancias y velocidades y transformarlas para hallar las medidas echas en cada SRI. Ahora bien, no tiene ningún significado distinguir $t=0$ de ningún otro tiempo y si nos situamos en un SRI, no para ver su historia, sino para "seguirlo en tiempo real", podemos decir que para todos los SRI, siempre se encuentran a si mismos en el vértice del cono de luz, o sea, siempre se encuentran en el presente (eso es lo que quería decir con $t=0$, aunque debería haberlo especificado mejor ya que esto se sale de la norma). Sería fijar el observador en el origen y hacer correr los eventos, de manera que cuando los eventos cruzan el plano $t=0$ es cuando ocurren para ese SRI. No se trata de describir trayectorias sino de "seguir en tiempo real." Éste gif animado de la wiki ilustra perfectamente lo que quiero decir, solo que este está en un SRA:

Donde quiero llegar es que en tiempo real e independientemente de la conexión causal, ése plano de $t=0$ es la única realidad de ese momento para ese SRI (aunque sea más tarde que se entere de ello por el principio de causalidad), el pasado y el futuro "propios" no existen en ése momento. El plano de simultaneidad se encuentra en el tiempo que quieras, pero es un "$t=0$" para ese momento y SRI. Aquí es donde veo que la unidad imaginaria adquiere sentido porqué pone al pasado y al futuro "fuera de nuestra realidad", quedando el plano de simultaneidad como única realidad presente. O sea, da sentido al hecho físico de que del tiempo como dimensión solo percibimos una coordenada simultáneamente, el presente.

Claro que algo parecido ocurre con el espacio. En realidad la única realidad presente también se encuentra en $s=0$ y mediante la causalidad podemos reconstruir los "presentes" del pasado cuando estos ya han ocurrido y sin poder interferir causalmente con ellos (las distancias de tiempo propio no pueden ser simultáneas para ningún SRI y distancias propias no pueden estar conectadas causalmente). Pero es que la métrica del espacio propio es así precisamente por el término $-dt^2.$ Sin él todos los sucesos podrían estar conectados causalmente y ser simultáneos para algún SRI.

O sea que podemos decir que nuestra realidad presente está en un punto, contiene la información de los eventos del cono pasado y toda esta información nos da la proyección de una perspectiva del espacio y el tiempo.

No creo que el espacio euclideo sea más profundo que el de Minkoswky. Eso suena más bien a prejuicio humano porque estamos acostumbrados en el día a día que las cosas sean euclideas

Estoy de acuerdo, pero resulta ser el espacio que sale como primera aproximación de cualquier otro espacio físicamente razonable cuando sus vectores tienden a cero. Seguramente no será más profundo ni más fundamental, pero sí parece tener algo especial que nos sirve de marco de referencia para cualquier otro espacio. No sólo es diferente por su "cotidianidad", sino también por sus atributos elementales.

Pero no tenemos experiencia vital tratando el tiempo como una dimensión, así que ese prejuicio tiene poco valor en relatividad.

Exacto, Todo mi razonamiento está basado precisamente en que si asumimos que el tiempo es una dimensión ¿porqué no la vemos como tal, porqué solo vemos una coordenada simultáneamente? El solo hecho que sea una dimensión hiperbólica no es suficiente motivo para ello.

Bueno, tampoco quiero insistir mucho en el tema, pues ya me has dado las pistas suficientes para tenerme entretenido investigando por un tiempo. Eso sí, quería aclararlo para no dejar la confusión para la posteridad .

Salud.

[pod]

Re: Tiempo en eje imaginario

No no, digo precisamente que la métrica plana es la de Minkowsky, no que sea euclidiana.

Uhm... ambas son planas.

Donde quiero llegar es que en tiempo real e independientemente de la conexión causal, ése plano de $t=0$ es la única realidad de ese momento para ese SRI (aunque sea más tarde que se entere de ello por el principio de causalidad), el pasado y el futuro "propios" no existen en ése momento. El plano de simultaneidad se encuentra en el tiempo que quieras, pero es un "$t=0$" para ese momento y SRI. Aquí es donde veo que la unidad imaginaria adquiere sentido porqué pone al pasado y al futuro "fuera de nuestra realidad", quedando el plano de simultaneidad como única realidad presente. O sea, da sentido al hecho físico de que del tiempo como dimensión solo percibimos una coordenada simultáneamente, el presente.

Claro que algo parecido ocurre con el espacio. En realidad la única realidad presente también se encuentra en $s=0$ y mediante la causalidad podemos reconstruir los "presentes" del pasado cuando estos ya han ocurrido y sin poder interferir causalmente con ellos (las distancias de tiempo propio no pueden ser simultáneas para ningún SRI y distancias propias no pueden estar conectadas causalmente). Pero es que la métrica del espacio propio es así precisamente por el término $-dt^2.$ Sin él todos los sucesos podrían estar conectados causalmente y ser simultáneos para algún SRI.

O sea que podemos decir que nuestra realidad presente está en un punto, contiene la información de los eventos del cono pasado y toda esta información nos da la proyección de una perspectiva del espacio y el tiempo.

Está bien pero, ¿qué papel juega en todo esto la rotación de Wick? $i 0 = 0$.

Estoy de acuerdo, pero resulta ser el espacio que sale como primera aproximación de cualquier otro espacio físicamente razonable cuando sus vectores tienden a cero. Seguramente no será más profundo ni más fundamental, pero sí parece tener algo especial que nos sirve de marco de referencia para cualquier otro espacio. No sólo es diferente por su "cotidianidad", sino también por sus atributos elementales.

Tú lo has dicho: de cualquier espacio. Pero ahora estamos en el espacio-tiempo.

Exacto, Todo mi razonamiento está basado precisamente en que si asumimos que el tiempo es una dimensión ¿porqué no la vemos como tal, porqué solo vemos una coordenada simultáneamente? El solo hecho que sea una dimensión hiperbólica no es suficiente motivo para ello.

Hasta donde yo sé de álgebra, el número de dimensiones de un espacio vectorial se define por el número de vectores que tiene una base del mismo, y por definición de coordenada, eso es exactamente el número de coordenadas. Así que tratar el tiempo como una coordenada es lo mismo que decir que hay hay una cuarta dimensión.

Luego, la coordenada asociada con esa dimensión tiene algunas diferencias. Es obvio que, por lo menos en la escala humana, experimentamos el tiempo de forma diferente que la distancia. Y por eso tratamos esa coordenada de una forma un poco especial. ¿De qué forma? Pues o bien usamos números imaginarios, o bien usamos una signatura diferente en la métrica. Las dos cosas (vistas desde una perspectiva de finales del siglo XIX) son bastante raras. No creo que el signo en la métrica sea más extraño y menos profundo que usar la unidad imaginaria.

[guibix]

Re: Tiempo en eje imaginario

Uhm... ambas son planas.

Jejeje, parece que aún no lo he dicho bien. No digo nada nuevo. Lo que quería decir es simplemente que la métrica espacio-tiempo euclídea (plana) pasa a la de Minkowsky (también plana) con el tiempo imaginario, por lo que una geometría plana de un espacio-tiempo euclidiano con tiempo imaginario (más bien pseudo-euclídeo, supongo) es la de Minkowsky.

Está bien pero, ¿qué papel juega en todo esto la rotación de Wick? $i 0 = 0$.

La verdad: ni idea . Creo que he entendido esta rotación como un simple producto de una o más coordenadas por la unidad imaginaria "girando" 90º los valores en el plano complejo.

Supongo que te refieres a porqué hago tal rotación si después solo estudio el punto 0. Pues precisamente porqué es el único punto "real" para el observador. Si el valor imaginario no es nulo, ése punto queda fuera de la realidad para ese observador e instante de tiempo propio.

Tú lo has dicho: de cualquier espacio. Pero ahora estamos en el espacio-tiempo.

Totalmente cierto, usé la palabra "espacio" en referencia a un espacio vectorial, no al espacio físico. Quiero decir que el espacio-tiempo Minkowsky mismo se aproxima a un espacio-tiempo euclídeo si por ejemplo la velocidad espacial de las trayectorias tiende a ser nula con respecto $c.$

Hasta donde yo sé de álgebra, el número de dimensiones de un espacio vectorial se define por el número de vectores que tiene una base del mismo, y por definición de coordenada, eso es exactamente el número de coordenadas. Así que tratar el tiempo como una coordenada es lo mismo que decir que hay hay una cuarta dimensión.

Luego, la coordenada asociada con esa dimensión tiene algunas diferencias. Es obvio que, por lo menos en la escala humana, experimentamos el tiempo de forma diferente que la distancia. Y por eso tratamos esa coordenada de una forma un poco especial. ¿De qué forma? Pues o bien usamos números imaginarios, o bien usamos una signatura diferente en la métrica. Las dos cosas (vistas desde una perspectiva de finales del siglo XIX) son bastante raras. No creo que el signo en la métrica sea más extraño y menos profundo que usar la unidad imaginaria.

Ya, esto es lo que me suponía, puedes cambiar el signo sin usar complejos y no hay ninguna diferencia. La diferencia esencial que le veo es más bien de naturaleza conceptual.

Si definimos el espacio-tiempo Minkowsky simplemente cambiando el signo de una métrica euclidiana, entonces entendemos el espacio-tiempo como un todo de valores reales. Las distancias de tiempo propio se miden dentro del cono luz y las distancias propias fuera de él, pero todo ello son valores reales, así como las coordenadas de los eventos, que también son reales. Al verlo así, podemos describir la historia real para cada SRI y las trayectorias y sucesos espacio-temporales de la historia del Universo, todo real.

Ahora bien si consideramos que el signo de la métrica cambia debido a que es un espacio-tiempo pseudo-eulcídeo con un tiempo imaginario, entonces las distancias y tiempos propios son valores reales (la historia y distancias son reales), pero los eventos pueden tener componente imaginaria. Por lo tanto, para el punto e instante de un observador situado en el vértice del cono luz, todos los eventos con componente imaginaria no nula, no son reales para él en ése momento. Lo fueron o serán cuando el evento tenga la parte imaginaria nula respecto del vértice "actual" del cono luz.

Además, algo parecido ocurre con el espacio debido al principio de causalidad. Los eventos simultáneos al tiempo actual están fuera del alcance del observador. Hasta que la información llegue al él no podrá observar esos eventos. Luego, en el momento en que un observador recibe información de un hecho pasado, lo único que hace es observar un evento del momento presente en el sitio actual y que está conectado causalmente con el evento original.

En definitiva la diferencia es clara. Con un cambio de signo directo, toda la historia del Universo junto con todos sus eventos ha sido, es y siempre será real. Con un un cambio de signo por la variable imaginaria significa que la única realidad simultánea de un observador está en los eventos del punto espacio-temporal en el que se encuentra, pero las historias y las distancias y tiempos que miden los observadores son valores reales.

Lo del tiempo lo veo más claro que lo del espacio, pero imagino que al medir distancias propias lo que hacemos es volver a rotar el sistema de coordenadas.

Se podría resumir en definir las métricas de espacio y tiempo propios de manera que lo único real sea el vértice del cono luz. Algo así como

$$(i\dd\tau)^2=(i\dd t)^2+\dd x^2+\dd y^2+\dd z^2$$

$$(i\dd s)^2=\dd t^2+(i\dd x)^2+(i\dd y)^2+(i\dd z)^2$$

Ahora seguro que con ésta última me cargo algo del álgebra por intercambiar la unidad imaginaria y me mandáis al carajo (¿o será esto una rotación de Wick?). Seguro que me estoy metiendo en un buen lío, pero es que... es tan bonito que no puedo evitarlo...

De alguna manera y a pesar de las diferencias entre espacio y tiempo, existe una simetría evidente entre ambos. Si bien son también evidentemente diferentes, cualquier observador en un punto espacio-temporal, con respecto a un evento lejano (tanto en el espacio como en el tiempo), está lejano de la "realidad" del evento.

Sea como sea, se podría concluir visto así, que los eventos que no ocurren dentro de la trayectoria espacio-temporal de un observador, no existen en la realidad de ese observador. Solo existen los que se encuentran en la trayectoria del observador y sólo en el momento del encuentro. Claro que el observador puede interpretar la información de los eventos que tocan su trayectoria para reconstruir los eventos del pasado para tomar medidas de espacio y tiempo entre eventos (medidas que son reales, claro).

La única motivación para la que insisto (perdonad mi ingenuidad en caso de estar en completo error), es que me parece razonable que la única realidad de un observador está en el aquí y el ahora de su trayectoria, pero que las historias y distancias del Universo son reales. Y todos los eventos que no están en la trayectoria de un observador son reconstrucciones imaginarias (permitidme el juego de palabras inocente ) a partir de eventos presentes, locales y por lo tanto reales, consecuencia por conexión causal de aquellos eventos situados dentro el cono pasado y por lo tanto, ya no reales para el observador.

¿No es acaso esto un hecho perfectamente coherente con nuestra experiencia?

¿Acaso no vivimos en un espacio-tiempo donde los observadores solo podemos ocupar un punto simultáneamente al que consideramos nuestra realidad propia?

Si nada de esto tiene sentido, tumbadme a la primera para no daros más trabajo . Y por cierto, no quiero insinuar nada relacionados con que los números imaginarios tengan nada que ver con la imaginación ni nada parecido, solo que asumo que que un resultado imaginario para una medida física es un resultado no-real para esa medida.

Salud!

[pod]

Re: Tiempo en eje imaginario

Jejeje, parece que aún no lo he dicho bien. No digo nada nuevo. Lo que quería decir es simplemente que la métrica espacio-tiempo euclídea (plana) pasa a la de Minkowsky (también plana) con el tiempo imaginario, por lo que una geometría plana de un espacio-tiempo euclidiano con tiempo imaginario (más bien pseudo-euclídeo, supongo) es la de Minkowsky.



La verdad: ni idea . Creo que he entendido esta rotación como un simple producto de una o más coordenadas por la unidad imaginaria "girando" 90º los valores en el plano complejo.

Supongo que te refieres a porqué hago tal rotación si después solo estudio el punto 0. Pues precisamente porqué es el único punto "real" para el observador. Si el valor imaginario no es nulo, ése punto queda fuera de la realidad para ese observador e instante de tiempo propio.



Totalmente cierto, usé la palabra "espacio" en referencia a un espacio vectorial, no al espacio físico. Quiero decir que el espacio-tiempo Minkowsky mismo se aproxima a un espacio-tiempo euclídeo si por ejemplo la velocidad espacial de las trayectorias tiende a ser nula con respecto $c.$



Ya, esto es lo que me suponía, puedes cambiar el signo sin usar complejos y no hay ninguna diferencia. La diferencia esencial que le veo es más bien de naturaleza conceptual.

Si definimos el espacio-tiempo Minkowsky simplemente cambiando el signo de una métrica euclidiana, entonces entendemos el espacio-tiempo como un todo de valores reales. Las distancias de tiempo propio se miden dentro del cono luz y las distancias propias fuera de él, pero todo ello son valores reales, así como las coordenadas de los eventos, que también son reales. Al verlo así, podemos describir la historia real para cada SRI y las trayectorias y sucesos espacio-temporales de la historia del Universo, todo real.

Ahora bien si consideramos que el signo de la métrica cambia debido a que es un espacio-tiempo pseudo-eulcídeo con un tiempo imaginario, entonces las distancias y tiempos propios son valores reales (la historia y distancias son reales), pero los eventos pueden tener componente imaginaria. Por lo tanto, para el punto e instante de un observador situado en el vértice del cono luz, todos los eventos con componente imaginaria no nula, no son reales para él en ése momento. Lo fueron o serán cuando el evento tenga la parte imaginaria nula respecto del vértice "actual" del cono luz.

Además, algo parecido ocurre con el espacio debido al principio de causalidad. Los eventos simultáneos al tiempo actual están fuera del alcance del observador. Hasta que la información llegue al él no podrá observar esos eventos. Luego, en el momento en que un observador recibe información de un hecho pasado, lo único que hace es observar un evento del momento presente en el sitio actual y que está conectado causalmente con el evento original.

En definitiva la diferencia es clara. Con un cambio de signo directo, toda la historia del Universo junto con todos sus eventos ha sido, es y siempre será real. Con un un cambio de signo por la variable imaginaria significa que la única realidad simultánea de un observador está en los eventos del punto espacio-temporal en el que se encuentra, pero las historias y las distancias y tiempos que miden los observadores son valores reales.

Lo del tiempo lo veo más claro que lo del espacio, pero imagino que al medir distancias propias lo que hacemos es volver a rotar el sistema de coordenadas.

Se podría resumir en definir las métricas de espacio y tiempo propios de manera que lo único real sea el vértice del cono luz. Algo así como

$$(i\dd\tau)^2=(i\dd t)^2+\dd x^2+\dd y^2+\dd z^2$$

$$(i\dd s)^2=\dd t^2+(i\dd x)^2+(i\dd y)^2+(i\dd z)^2$$

Ahora seguro que con ésta última me cargo algo del álgebra por intercambiar la unidad imaginaria y me mandáis al carajo (¿o será esto una rotación de Wick?). Seguro que me estoy metiendo en un buen lío, pero es que... es tan bonito que no puedo evitarlo...

De alguna manera y a pesar de las diferencias entre espacio y tiempo, existe una simetría evidente entre ambos. Si bien son también evidentemente diferentes, cualquier observador en un punto espacio-temporal, con respecto a un evento lejano (tanto en el espacio como en el tiempo), está lejano de la "realidad" del evento.

Sea como sea, se podría concluir visto así, que los eventos que no ocurren dentro de la trayectoria espacio-temporal de un observador, no existen en la realidad de ese observador. Solo existen los que se encuentran en la trayectoria del observador y sólo en el momento del encuentro. Claro que el observador puede interpretar la información de los eventos que tocan su trayectoria para reconstruir los eventos del pasado para tomar medidas de espacio y tiempo entre eventos (medidas que son reales, claro).

La única motivación para la que insisto (perdonad mi ingenuidad en caso de estar en completo error), es que me parece razonable que la única realidad de un observador está en el aquí y el ahora de su trayectoria, pero que las historias y distancias del Universo son reales. Y todos los eventos que no están en la trayectoria de un observador son reconstrucciones imaginarias (permitidme el juego de palabras inocente ) a partir de eventos presentes, locales y por lo tanto reales, consecuencia por conexión causal de aquellos eventos situados dentro el cono pasado y por lo tanto, ya no reales para el observador.

¿No es acaso esto un hecho perfectamente coherente con nuestra experiencia?

¿Acaso no vivimos en un espacio-tiempo donde los observadores solo podemos ocupar un punto simultáneamente al que consideramos nuestra realidad propia?

Si nada de esto tiene sentido, tumbadme a la primera para no daros más trabajo . Y por cierto, no quiero insinuar nada relacionados con que los números imaginarios tengan nada que ver con la imaginación ni nada parecido, solo que asumo que que un resultado imaginario para una medida física es un resultado no-real para esa medida.

Salud!

Yo creo que se te ha ido la olla.

Recuerda que uno puede pasar de una descripción a la otra simplemente haciendo una rotación de Wick. Por lo tanto, describen la misma realidad Física, no hay nada fundamental diferente entre ellas.

[guibix]

Re: Tiempo en eje imaginario

Yo creo que se te ha ido la olla.

Recuerda que uno puede pasar de una descripción a la otra simplemente haciendo una rotación de Wick. Por lo tanto, describen la misma realidad Física, no hay nada fundamental diferente entre ellas.

jeje, gracias pod. Fue bonito mientras duró .

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Solo una duda que tengo a modo de pregunta

¿Hay alguna razón fundamental para explicar porqué el tiempo (como dimensión) se observa de manera "puntual" o simplemente se describe lo que hace sin preguntar el porque lo hace?

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Re: Tiempo en eje imaginario

Solo una duda que tengo a modo de pregunta

¿Hay alguna razón fundamental para explicar porqué el tiempo (como dimensión) se observa de manera "puntual" o simplemente se describe lo que hace sin preguntar el porque lo hace?

Como tu has dicho en algún momento del hilo, las interacciones sólo son punto a punto, así que un observador sólo puede observar lo que colisiona con él en ese instante. Por lo tanto, tanto el tiempo como el espacio se observan de forma "puntual".

Ahora bien, como lo que observamos con nuestros es la luz que proviene de los objetos q nos envuelven (ya sea luz greada por ellos mismos o rebotada), nuestro cerebro se hace la construcción de que está viendo objetos que están más lejos del "aquí y ahora".