Otras carreras Notaciones relatividad restringida y pequeñas dudas

[alexpglez]

Hola, quiero empezar a iniciarme en el tema de relatividad especial bien, y tenía una duda acerca de la formulación. Según he leído en un libro que lo explica bastante bien, el espacio de Minkowsky y los cuadrivectores se representan.

$$r_{\mu}=(x,y,z,ict)$$

Pero según he leído existe otra formulación con que se trabaja evitando los números imaginarios, diferenciando dos diferentes formas del tensor.

$$dx^{\mu}=(cdt,dx,dy,dz)=(dx^0,dx^1,dx^2,dx^3)$$

Y:

$$dx_{\mu}=(dx_0,dx_1,dx_2,dx_3)=(-cdt,dx,dy,dz)$$

Eso se aplica a los demás tensores velocidad, etc.¿?
Y la métrica:

$$g_{\mu \nu} =<br /> \begin{pmatrix} <br /> -1 & 0 & 0 & 0 \\ <br /> 0 & 1 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 1 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 & 1<br /> \end{pmatrix}$$

Con la propiedad de:

$$x_{\mu}=g_{\mu \nu} x^{\nu}$$

Es así esto¿?
Y el tiempo propio entonces sería así¿?:

$$d\tau=\frac{1}{c^2}dx_{\mu}dx^{\mu}$$

Y sobre el intervalo, creía que era el módulo del cuadrivector anterior según mi libro:

$$ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2=dx_{\mu}dx^{\mu}$$

Pero según he visto por internet es:

$$-ds^2=dx_{\mu}dx^{\mu}=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$$

¿Cómo es entonces?

Finalmente sobre las derivadas con respecto a las coordenadas, se distinguiría también entre subíndices superíndices¿?, es decir:

$$\frac{\partial F_{\mu}}{\partial x_{\mu}}=-\frac{1}{c}\frac{\partial F_0}{\partial t}+\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}$$

$$\frac{\partial F^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=\frac{1}{c}\frac{\partial F^0}{\partial t}+\frac{\partial F^1}{\partial x}+\frac{\partial F^2}{\partial y}+\frac{\partial F^3}{\partial z}$$

Ese justo sería una cuadrivergencia, un laplaciano en 4D, creo que se llama d'alambertiano, sería¿?:

$$\frac{\partial^2 F}{\partial x^{\mu} \partial x_{\mu}}$$

Y el operador gradiente 4D, ¿existiría su análogo, cómo sería, así?:

$$\frac{\partial F}{\partial x_{\mu}}\hat e_{\mu}=-\frac{1}{c}\frac{\partial F}{\partial t}\hat e_0+\frac{\partial F}{\partial x}\hat e_1+\frac{\partial F}{\partial y}\hat e_2+\frac{\partial F}{\partial z}\hat e_3$$

$$\frac{\partial F}{\partial x^{\mu}}\hat e_{\mu}=\frac{1}{c}\frac{\partial F}{\partial t}\hat e_0+\frac{\partial F}{\partial x}\hat e_1+\frac{\partial F}{\partial y}\hat e_2+\frac{\partial F}{\partial z}\hat e_3$$

Y la notación vectorial, sería así como la he escrito¿?

PD: cómo sería el símbolo del d'alambertiano en Latex¿?

Un saludo, gracias

[pod]

Re: Notaciones relatividad restringida y pequeñas dudas

En relatividad existe cierta libertad a la hora de elegir algunos signos, y diferentes textos eligen convenciones diferentes. Recuerdo que había un libro (no se si era el Wald... no lo puedo asegurar) que resumía en una página o dos las elecciones habituales, si no recuerdo mal hay tres signos que uno puede escoger. Lo importante no es aprenderse las definiciones a pies juntillas, sino saber adaptarse a las convenciones de un texto y ser consistente con ellas. Por ejemplo, uno puede elegir que la métrica sea $g_{\mu\nu} = \text{diag}(-1,\ 1,\ 1,\ 1)$ o $g_{\mu\nu} = \text{diag}(1,\ -1,\ -1,\ -1)$. Ninguna es mejor que otra, y hay campos de la física donde la segunda, por rara que parezca, es la más habitual (p.ej, en materia condensada, si recuerdo bien). Igual que hay libros que ponen el tiempo primero, con índice 0; y otros que ponen el tiempo al final con índice 4 (y, en consideración a estos últimos, muchas veces al tratar con n-dimensiones nos saltamos el número cuatro incluso cuando tenemos el tiempo en el índice 0).

Por otra parte, a menudo en relatividad tomamos unidades naturales donde $c = 1$. Esto nos permite ahorrarnos escribir todas esas c. Después, resultado final en mano, es sencillo añadir los factores c necesarios mediante análisis dimensional.

Como digo, lo importante es saber ser consistente. Por ejemplo, el cuadrado de un vector tipo tiempo tiene que tener el mismo signo que el elemento temporal de la métrica. Así, si cojo la métrica con un sólo signo negativo, un quadri-vector será tipo tiempo si $x_\mu x^\mu \le 0$. Si cojo la otra métrica, será al revés. Siguiendo esta misma línea de razonamientos, la definición de tiempo propio tendrá un signo menos o no según la métrica escogida.

En cuanto al intervalo, en este caso realmente no importa. Lo que importa del intervalo es que es un invariante, y tan es invariante es con signo o sin él.

Sobre los índices arriba y abajo, hay que tener en cuenta que un índice arriba y abajo son diferentes. Lo que antes se llamaban índices covariantes y contra variantes. Todo esto viene de la álgebra lineal, vectores y formas lineales... Algo que no sé si ya has estudiado a estas alturas.

Lo importante es que la métrica se puede utilizar para subir y bajar índices,

$$x^\mu = g^{\mu\nu} x_\nu , \qquad x_\mu = g_{\mu\nu} x^\nu .$$

Donde $g^{\mu\nu}$ es la matriz inversa de $g_{\mu\nu}$. Ahora bien, la gran ventaja de la relatividad especial es que la métrica es diagonal (muchas veces se escribe $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}$), y además todos los valores propios tienen valor absoluto 1. Esto significa que todas estas cosas son más sencillas que en otros casos, la métrica inversa es idéntica a la métrica directa, y subir y bajar índices se resuelve simplemente cambiando signos. En el caso de la métrica con tres signos positivos, $x_0 = - x^0$ y $x_i = x^i$ (por convención, los índices latinos recorren las dimensiones espaciales). Si cogiéramos la métrica al revés, pues sería al revés (la componente temporal no cambiaría de tiempo, las espaciales si).

Con las derivadas, tienes que considerar que un indice que aparece arriba en el denominador es como si en realidad estuviera abajo. Y un índice abajo en el denominador, es como si estuviera arriba. Por lo tanto, una cantidad como

$\frac{\partial f^\mu}{\partial x^\mu} = \frac{\partial f^0}{\partial x^0} + \frac{\partial f^1}{\partial x^1} + \cdots .$

Aquí no entra para nada la métrica, este es el criterio de sumación de Einstein. Lo que puedes hacer, si quieres usar la métrica, es bajar el índice de la $f^\mu$, y ahí tendrás el signo diferente.

En cuanto a la D'Alambertiana,

$$\Box f = \partial^\mu \partial_\mu f = g^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu f .$$

[alexpglez]

Re: Notaciones relatividad restringida y pequeñas dudas

Muchas gracias.

Sobre los índices arriba y abajo, hay que tener en cuenta que un índice arriba y abajo son diferentes. Lo que antes se llamaban índices covariantes y contra variantes. Todo esto viene de la álgebra lineal, vectores y formas lineales... Algo que no sé si ya has estudiado a estas alturas.

Lo de álgebra lineal, sé lo justo para poder entender esto, no tengo casi experiencia en matrices ni tensores, pero los sé leer perfectamente (aunque con algo de lentitud). Sobre los índices covariantes y contra contra variantes, es sinónimo de transponer la matriz o se relaciona con este concepto, (excepto en los vectores relacionados con la posición en el espacio-tiempo, que cambia el $x_0=-x^0$)¿?.

Con las derivadas, tienes que considerar que un indice que aparece arriba en el denominador es como si en realidad estuviera abajo. Y un índice abajo en el denominador, es como si estuviera arriba. Por lo tanto, una cantidad como



Aquí no entra para nada la métrica, este es el criterio de sumación de Einstein. Lo que puedes hacer, si quieres usar la métrica, es bajar el índice de la , y ahí tendrás el signo diferente.

Cómo? perdona no entendí del todo, cuando van derivando en el denominador se comportan justo al revés¿?, entonces las expresiones que puse arriba, desarrolladas a partir del criterio de sumación de einstein y sustituyendo la coordenada x_1 x x_2 y x_3 z etc., están con el signo bien o tengo que cambiar de signo la primera derivada¿?
PD: corrijo algunos fallos que escribí mal en estas, varios c^2 que no se por qué los escribí, la d'alambertiana y que escribí además $\frac{\partial f_{\mu}}{\partial x^{\mu}}$ y bueno te pregunto si está bien así escrito o son los dos índices arriba o los dos abajo¿? Qué diferencias hay entre esto:

$$\frac{\partial F_{\mu}}{\partial x_{\mu}}=\frac{\partial F_0}{\partial x_0}+\frac{\partial F_1}{\partial x_1} ...$$

$$\frac{\partial F^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=\frac{\partial F^{\mu}}{\partial x^{\mu}}+\frac{\partial F^1}{\partial x^1}...$$

$$\frac{\partial F^{\mu}}{\partial x_{\mu}}=\frac{\partial F^0}{\partial x_0}+\frac{\partial F^1}{\partial x_1} ...$$

$$\frac{\partial F_{\mu}}{\partial x^{\mu}}=\frac{\partial F_0}{\partial x^0}+\frac{\partial F_1}{\partial x^1}...$$

Y sobre escribir el cuadrigradiente así estaría bien¿?
Gracias

[pod]

Re: Notaciones relatividad restringida y pequeñas dudas

PD: corrijo algunos fallos que escribí mal en estas, varios c^2 que no se por qué los escribí, la d'alambertiana y que escribí además $\frac{\partial f_{\mu}}{\partial x^{\mu}}$ y bueno te pregunto si está bien así escrito o son los dos índices arriba o los dos abajo¿? Qué diferencias hay entre esto:

$$\frac{\partial F_{\mu}}{\partial x_{\mu}}=\frac{\partial F_0}{\partial x_0}+\frac{\partial F_1}{\partial x_1} ...$$

$$\frac{\partial F^{\mu}}{\partial x^{\mu}}=\frac{\partial F^{\mu}}{\partial x^{\mu}}+\frac{\partial F^1}{\partial x^1}...$$

$$\frac{\partial F^{\mu}}{\partial x_{\mu}}=\frac{\partial F^0}{\partial x_0}+\frac{\partial F^1}{\partial x_1} ...$$

$$\frac{\partial F_{\mu}}{\partial x^{\mu}}=\frac{\partial F_0}{\partial x^0}+\frac{\partial F_1}{\partial x^1}...$$

Y sobre escribir el cuadrigradiente así estaría bien¿?
Gracias

Para ser estrictos, la notación de Einstein sólo funciona cuando tienes un índice arriba y otro indice abajo. En efecto, cuando tienes un índice en el "denominador" de la derivada se comporta al revés, tiene que ver con la forma en que se transforma la derivada al cambiar de variables; usaríamos la matriz de cambio de base inversa, como si tuviera el índice al revés. Así, por lo tanto, la cantidad $\frac{\partial F_{\mu}}{\partial x^\mu}$ tiene dos índices abajo y no se suma automáticamente. Si la queremos sumar tendríamos que meter una métrica por ahí,

$$g^{\mu\nu} \frac{\partial F_{\mu}}{\partial x^{\mu}} = -\frac{\partial F_0}{\partial x^0} + \frac{\partial F_1}{\partial x^1} + \cdots .$$

Esto es equivalente a subirle el índice a la F y después aplicar la sumación.

El cuadrigradiente, simplemente sería

$$\partial_\mu f = \frac{\partial f}{\partial x^\mu} = \left( \frac{\partial f}{\partial x^0},\ \frac{\partial f}{\partial x^1}, \ldots \right) .$$

[alexpglez]

Re: Notaciones relatividad restringida y pequeñas dudas

El cuadrigradiente, simplemente sería

¿Cómo sabes si el resultado es un vector o tienes que sumar?

No lo acabo de entender del todo lo que quieres decir, podrías desarrollarme, si no es mucha molestia, cada un caso de lo anterior y así verlo mejor¿?
Lo que quieres decir con al revés, (lo escribo con símbolos porque no te estoy entendiendo y creo que yo tampoco me entiendo)
Como definimos en la nomenclatura que usaba:

$$dx^0=-dx_0=cdt$$

Para hallar la derivada con respecto a dx^0 y dx_0. Y según veo que escribiste en el cuadrigradiente, el subíndice $\partial _{\mu} F$ indica que en el denominador es superíndice $\frac{\partial F}{\partial x^{\mu}}$ es decir:

$$\partial _0 F = \frac{\partial F}{\partial x^0}=-\frac{1}{c}\frac{\partial F}{\partial t}$$

$$\partial ^0 F = \frac{\partial F}{\partial x_0}=\frac{1}{c}\frac{\partial F}{\partial t}$$

Quedaría así entonces¿?

Un saludo, gracias

[Weip]

Re: Notaciones relatividad restringida y pequeñas dudas

¿Cómo sabes si el resultado es un vector o tienes que sumar?

Esto es como el gradiente normal y corriente. Si su argumento es un escalar, te da un vector. Si es un vector, te dará un escalar en el caso de la divergencia y un vector en el caso de un rotacional. Por eso se escribe el gradiente suelto con componentes, porque lo puedes tratas intuitivamente como un vector y multiplicarlo por un escalar, por un vector...

[alexpglez]

Re: Notaciones relatividad restringida y pequeñas dudas

Esto es como el gradiente normal y corriente. Si su argumento es un escalar, te da un vector. Si es un vector, te dará un escalar en el caso de la divergencia y un vector en el caso de un rotacional. Por eso se escribe el gradiente suelto con componentes, porque lo puedes tratas intuitivamente como un vector y multiplicarlo por un escalar, por un vector...

Ok gracias entiendo, lo decía como no indicaba ningún símbolo de vector como se suele indicar en 3D, me resultó raro al verlo indicado así.

[Weip]

Re: Notaciones relatividad restringida y pequeñas dudas

Ok gracias entiendo, lo decía como no indicaba ningún símbolo de vector como se suele indicar en 3D, me resultó raro al verlo indicado así.

Usando la notación tensorial, tenemos que si una cantidad no lleva índices, es un escalar. Si lleva uno, es un vector. Si lleva más, es un tensor en general (el que sea). pod no ha añadido ningún índice a $f$ porque puede ser varias cosas.

[alexpglez]

Re: Notaciones relatividad restringida y pequeñas dudas

Usando la notación tensorial, tenemos que si una cantidad no lleva índices, es un escalar. Si lleva uno, es un vector. Si lleva más, es un tensor en general (el que sea). pod no ha añadido ningún índice a $f$ porque puede ser varias cosas.

No me refiero a f, me refiero al gradiente, como indiqué al principio del hilo algún símbolo como $\hat e_{\mu}$ para indicar que en la suma cada derivada parcial es componente de un vector. Como no me encontré ninguna marca de esas me sorprendí.

[Weip]

Re: Notaciones relatividad restringida y pequeñas dudas

No me refiero a f, me refiero al gradiente, como indiqué al principio del hilo algún símbolo como $\hat e_{\mu}$ para indicar que en la suma cada derivada parcial es componente de un vector. Como no me encontré ninguna marca de esas me sorprendí.

Ah vale vale. Bueno entonces como he dicho, te lo dice la $\mu$.

Edito:

Te he malinterpretado. Cuando haces la suma, el resultado es un escalar, así que no habrá ningún $\hat e_{\mu}$ (o si quieres ponle uno al final, pero raramente necesitas tratar un escalar como un vector).

[alexpglez]

Re: Notaciones relatividad restringida y pequeñas dudas

Ah vale vale. Bueno entonces como he dicho, te lo dice la $\mu$.

Edito:

Te he malinterpretado. Cuando haces la suma, el resultado es un escalar, así que no habrá ningún $\hat e_{\mu}$ (o si quieres ponle uno al final, pero raramente necesitas tratar un escalar como un vector).

Lo siento, no me debo explicar muy bien, a ver si me explico, no sé nada de como se debe escribir correctamente la notación, empiezo casi desde el 0,1 (un poco exagerado pero más o menos).
El gradiente es:

$$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} +\frac{\partial f}{\partial z}$$

O:

$$\nabla f=g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^i}\hat e_j$$

Yo entonces pensé que el cuadrigradiente podría ser escrito, aplicando una especie de suma:

$$\frac{\partial f}{\partial x^{\mu}}\hat e_{\mu}=\frac{\partial f}{\partial x^0}\hat e_0+\frac{\partial f}{\partial x^1}\hat e_1+\frac{\partial f}{\partial x^2}\hat e_2+\frac{\partial f}{\partial x^3}\hat e_3$$

Pero Pod escribió:

$$\frac{\partial f}{\partial x^{\mu}}=(\frac{\partial f}{\partial x^0},\frac{\partial f}{\partial x^1},...)$$

Y entonces me dijiste que o entendí que me dijiste que se sobreentendía:

Esto es como el gradiente normal y corriente. Si su argumento es un escalar, te da un vector. Si es un vector, te dará un escalar en el caso de la divergencia y un vector en el caso de un rotacional. Por eso se escribe el gradiente suelto con componentes, porque lo puedes tratas intuitivamente como un vector y multiplicarlo por un escalar, por un vector...

[Weip]

Re: Notaciones relatividad restringida y pequeñas dudas

Vamos a ver que aquí hay un lio gordo. Lo que has escrito como:

$\nabla f=\dst\frac{\partial f_x}{\partial x} + \dst\frac{\partial f_y}{\partial y} +\dst\frac{\partial f_z}{\partial z}$

No es un gradiente, es una divergencia. Un gradiente 3D es:

$\vec{\nabla}= \left( \dst\frac{\partial }{\partial x},\dst\frac{\partial }{\partial y},\dst\frac{\partial }{\partial z}\right)$

Ahora si el gradiente lo aplicas a un vector de cierta forma, te da una divergencia. A partir de aquí, el gradiente se generaliza de forma natural como te ha dicho pod:

$\dst\frac{\partial f}{\partial x^\mu} = \left( \dst\frac{\partial f}{\partial x^0},\dst \frac{\partial f}{\partial x^1}, \ldots \right)$

[alexpglez]

Re: Notaciones relatividad restringida y pequeñas dudas

Vamos a ver que aquí hay un lio gordo. Lo que has escrito como:

$\nabla f=\dst\frac{\partial f_x}{\partial x} + \dst\frac{\partial f_y}{\partial y} +\dst\frac{\partial f_z}{\partial z}$

No es un gradiente, es una divergencia. Un gradiente 3D es:

$\vec{\nabla}= \left( \dst\frac{\partial }{\partial x},\dst\frac{\partial }{\partial y},\dst\frac{\partial }{\partial z}\right)$

Ahora si el gradiente lo aplicas a un vector de cierta forma, te da una divergencia. A partir de aquí, el gradiente se generaliza de forma natural como te ha dicho pod:

$\dst\frac{\partial f}{\partial x^\mu} = \left( \dst\frac{\partial f}{\partial x^0},\dst \frac{\partial f}{\partial x^1}, \ldots \right)$

Ups, me dejé los vectores unitarios ...
Sí, eso es lo que preguntaba, entiendo, gracias.