MRUA forma relativista

[Richard R Richard]

Re: MRUA forma relativista

si son iguales a tiempo cero

Luego cambia , pero sigues calculandola en funcion de k



$a(t) = \dst \dfrac {k}{\left(1+\dfrac{k^2t^2}{c^2}\right)^{\frac 3 2}}$

[guibix]

Re: MRUA forma relativista

Lo que dice Al es cierto, no es lo mismo una fuerza constante que una aceleración constante. Como es obvio, una aceleración constante no puede mantenerse indefinidamente, una fuerza constante sí.

¿Cuál es la demostración de que la aceleración de una fuerza constante respecto al tiempo es esa ecuación que diste al principio?
La ecuación para la velocidad es considerando que parte del reposo ¿no?

Si hablamos de una fuerza constante, las ecuaciones de weip son las correctas para un objeto partiendo del reposo. Si quieres las ecuaciones para cualquier velocidad inicial solo hay que fijar correctamente los límites de integración. Básicamente es cambiar todos los $kt$ por $v_0\gamma_0+kt.$

Cabe destacar que la expresión

$\sqrt{1+\frac{k^2 t^2}{c^2}}$

es precisamente el factor gamma en función del tiempo.

Hay otra manera de describir la trayectoria de un objeto sometido a una fuerza constante y es en función del tiempo propio $\tau$ del objeto. Cualquier objeto en estas condiciones describe una hipérbola. Lo que se hace es elegir el SRI en donde la hipérbola esté centrada en el origen para simplificarlo matemáticamente.

En este caso en $t=0$ el objeto no pasará por el origen si no por una distancia $r$ que depende de la $k$ elegida.

Si elegimos la distancia $r,$ la trayectoria en función del tiempo propio viene dada por

$x=r\cosh\dfrac{c\tau}{r},$

$t=\dfrac r c \sinh\dfrac{c\tau}{r},$

La relación entre $k$ y $r$ es


$r=\dfrac {c^2} {k}.$

Por lo tanto, las trayectorias en función de $k$ son

$x=\dfrac {c^2} {k}\cosh\dfrac{k\tau}{c},$

$t=\dfrac c k \sinh\dfrac{k\tau}{c}.$

Por cierto, $k$ es la aceleración constante que se “siente” en el sistema de referencia acelerado.

Para la transformaciones de Lorentz ahora no lo sé, ya lo miraré cuando pueda. Pero es un poco raro porque en el sistema de referencia acelerado la posición de un evento en el espacio-tiempo cambia con el tiempo.

[arivasm]

Re: MRUA forma relativista

ya ves hay 1,476260952 mts de diferencia entre uno y otro

Yo apuesto porque esa diferencia se debe a las limitaciones de Excel (o a un error de cálculo!). En 120 s un móvil que acelere desde el reposo a 2 m/s^2 adquiere una velocidad de 240 m/s, que es una auténtica birria en comparación con la velocidad de la luz. Por tanto, es absolutamente imposible que los efectos relativistas se noten tanto como ese metro y medio de diferencia.

Dejando de lado que el problema es en sí mismo interesante, yo sugeriría o bien omitir valores numéricos (y optar por expresiones algebraicas) o bien modificarlos de manera que sí requieran de un cálculo relativista.

Con esto quiero trasladarle a Malevolex el mensaje de que lo primero ante un problema es evaluar en qué medida admite ser abordado con los procedimientos más sencillos que sea posible, es decir, que si se quiere matar una mosca no hace falta tirarle una bomba atómica.

[Richard R Richard]

Re: MRUA forma relativista

Yo apuesto porque esa diferencia se debe a las limitaciones de Excel (o a un error de cálculo!). En 120 s un móvil que acelere desde el reposo a 2 m/s^2 adquiere una velocidad de 240 m/s, que es una auténtica birria en comparación con la velocidad de la luz. Por tanto, es absolutamente imposible que los efectos relativistas se noten tanto como ese metro y medio de diferencia.

Claro arivasm, como a mi tambien me parecio demasiado lo aclaré, pues como revise el procedimiento y no hay error

este resultado es tan preciso tanto como lo puede hacer Excel

con la calculadora cientifica de mi pc me da $14399,999999997692808843767956192m$ que es $\notcien{2.307191156232043808}{-9}m$ de diferencia.

Para malevolex una guia de donde sale la integral la tienes aqui , la busque en el foro pero no la encontre...

[Weip]

Re: MRUA forma relativista

Por curiosidad ¿Cómo sería el procedimiento para la posición? Cuando puedas claro

También lo haré para la velocidad ya que sólo planteé la integral pero no la resolví. Vamos allá:

$adt=dv$

$\dst\int^{t}_{0} \dst\frac{kdt}{\left( 1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}\right)^{3/2}}=\dst\int^{v}_{0} dv=v$

Hacemos el cambio de variable $u=\tan^{-1} \dst\frac{kt}{c}$ de forma que $t=\dst\frac{c}{k} \tan u$. Derivando queda $dt=\dst\frac{c}{k} \sec ^2 u du$. Sustituimos en nuestra integral:

$v=k\dst\int^t_0 \dst\frac{\dst\frac{c}{k} \sec ^2 u}{\sec ^3 u}du=c\dst\int^t_0 \dst\frac{du}{\sec u}=c\dst\int^t_0 \cos u du=c \left[ \sin u\right]^t_0$

Deshacemos el cambio de variable:

$v=c \left[ \sin \tan ^{-1} \dst\frac{kt}{c}\right]^t_0$

Usamos la identidad $\sin \tan ^{-1} x=\dst\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$:

$v=\left[ \dst\frac{kt}{\sqrt{1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}}} \right]^t_0=\dst\frac{kt}{\sqrt{1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}}}$

Y ya está. Ahora la posición:

$dx=vdt$

$\dst\int^x_0 dx=\dst\int^t_0 \dst\frac{kt}{\sqrt{1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}}}dt$

$x=\dst\int^t_0 \dst\frac{kt}{\sqrt{1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}}}dt$

Hacemos el cambio de variable $u=1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}$. Derivando queda $du=\dst\frac{2k^2t}{c^2}dt$. Sustituimos en nuestra integral:

$x=k \dst\frac{c^2}{2k^2}\dst\int^t_0 \dst\frac{du}{\sqrt{u}}=\dst\frac{c^2}{2k}\left[ 2 \sqrt{u} \right]^t_0=\dst\frac{c^2}{k}\left[ \sqrt{u} \right]^t_0$

Deshacemos el cambio de variable:

$x=\dst\frac{c^2}{k}\left[ \dst\sqrt{1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}} \right]^t_0=\dst\frac{c^2}{k}\left( \dst\sqrt{1+\dst\frac{k^2 t^2}{c^2}}-1 \right)$

Y ya está. Si quieres que explique mejor algún paso en concreto o algo que me he olvidado dímelo, la verdad es que estas integrales son un aburrimiento.

En cuanto a la constante ¿$k=F/{m}_{0 }=\frac{dp}{dt }/{m}_{ 0}=(como {m}_{0 } es constante puede salir de la derivada y anularse)=\frac{dv\gamma}{dt } =a$? ¿Es la constante igual a la aceleración? Es que como hiciste k=2 m/s^2=a

No, estás usando una expresión de la fuerza que no es correcta. $F \neq m_0 a$ como estás presuponiendo. Aquí la tienes, en el apartado "Fuerza".

[Visitante]

Re: MRUA forma relativista

Vale, ya he aclarado la duda, esto es más bien para dinámica, por ejemplo, si en vez de acelerar 2 m/s^2 lo que hace es una fuerza constante de 2 N se aplicaría todo esto. Trataré de aplicarlo en el examen de dinámica que voy a tener dentro de poco.

¿Conocen algún libro que enseñe la teoría de la relatividad especial? Pero no lo básico que se da en 2º bach, sino cosas como la conservación del momento lineal en mecánica relativiste o directamente un libro de mecánica relativista si es que existe.

PD: Arivasm, sé que no hace falta tirar una bomba atómica a una mosca pero a veces lo más sencillo no es lo más evidente como dijo Bohr. :P

[Weip]

Re: MRUA forma relativista

Trataré de aplicarlo en el examen de dinámica que voy a tener dentro de poco.

No hombre no, esto tómatelo como un divertimiento pero no es nada que debas aplicar a problemas de mecánica clásica. Tu en tu próximo examen de dinámica usa la segunda ley de Newton y ves haciendo.

¿Conocen algún libro que enseñe la teoría de la relatividad especial? Pero no lo básico que se da en 2º bach, sino cosas como la conservación del momento lineal en mecánica relativiste o directamente un libro de mecánica relativista si es que existe.

Yo cuando me miré esto usaba "Relatividad Especial" de A. P. French, está en formato electrónico si lo buscas bien. Eso sí, es el único que conozco así que mejor espera a ver las recomendaciones de otros usuarios.

[Richard R Richard]

Re: MRUA forma relativista

Yo lo lei de los primeros capitulos del libro Relatividad General de Bert Jannsen , aunque pase del escepticismo a la credulidad aqui en el foro, tiene una base matematica donde debes saber de derivadas e integrales, entonces releyendolo fue muy claro en los conceptos, te dejo un enlace aqui.

Tambien te aconsejo que si el objetivo del curso de dinamica es que aprendas mecanica clasica, no deberias contestar usando mecanica relativista, aunque tu sepas que es mas precisa, no es lo que te exigen que sepas.

Saludos

[Visitante]

Re: MRUA forma relativista

No hombre no, esto tómatelo como un divertimiento pero no es nada que debas aplicar a problemas de mecánica clásica. Tu en tu próximo examen de dinámica usa la segunda ley de Newton y ves haciendo.


Yo cuando me miré esto usaba "Relatividad Especial" de A. P. French, está en formato electrónico si lo buscas bien. Eso sí, es el único que conozco así que mejor espera a ver las recomendaciones de otros usuarios.

Lo voy a intentar hacer porque es más divertido y preciso la forma relativista aunque la que me veré será la teoría especial porque la general es bastante compleja por lo que he oído.
Pd: Ya conseguí el libro de A. P. French y el vistazo rápido que le he dado me hace pensar que es bastante bueno y completo.