Paradoja de los gemelos

[arivasm]

Re: Paradoja de los gemelos

¿ Por qué a Einstein le costó tantos años resolver la paradoja de los gemelos ?

¿ Por qué Einstein tuvo primero que formular la relatividad general para poder luego resolver la paradoja de los gemelos ?

Por lo que leo (fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Histor...d_twin_paradox) la paradoja fue formulada y resuelta, en 1911, por Langevin, aunque la relacionaba con el concepto de éter. En 1913 Laue introduce la explicación de que uno de los gemelos se encuentra en su viaje en dos sistemas de referencia inerciales, mientras que el otro sólo lo está en uno.

A similar situation was created by Paul Langevin in 1911 with what was later called the "twin paradox", where he replaced the clocks by persons (Langevin never used the word "twins" but his description contained all other features of the paradox). Langevin solved the paradox by alluding to the fact that one twin accelerates and changes direction, so Langevin could show that the symmetry is broken and the accelerated twin is younger. However, Langevin himself interpreted this as a hint as to the existence of an aether. Although Langevin's explanation is still accepted by some, his conclusions regarding the aether were not generally accepted. Laue (1913) pointed out that any acceleration can be made arbitrarily small in relation to the inertial motion of the twin, and that the real explanation is that one twin is at rest in two different inertial frames during his journey, while the other twin is at rest in a single inertial frame. Laue was also the first to analyze the situation based on Minkowski's spacetime model for special relativity – showing how the world lines of inertially moving bodies maximize the proper time elapsed between two events.^[97]

Recordemos que la primera publicación de Einstein sobre Relatividad general es de 1915.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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"A Einstein le costó resolver la paradoja de los gemelos unos cuantos años, hasta que formuló la relatividad general."

Consideremos dos gemelos: Pepe (que siempre es inercial) y Juan (que siempre es no inercial)





Juan realiza (con módulo de velocidad constante) un movimiento circular uniforme (M.C.U.) con respecto a Pepe.

Pepe (basándose en la relatividad especial) resuelve la paradoja de los gemelos aplicando solamente la siguiente ecuación:


$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle J} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle P} \; {\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}$


donde $\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle J}$ es la variación del tiempo de Juan, $\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle P}$ es la variación del tiempo de Pepe, $v$ es la velocidad de Juan con respecto a Pepe y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío.

Ahora:

¿ Acaso Einstein desconocía que podía utilizar la ecuación de arriba en un movimiento circular uniforme (M.C.U.) para poder resolver la paradoja de los gemelos ?

Claro que no, Einstein conocía la ecuación de arriba y de hecho la utilizó en varias ocasiones.

Entonces:

¿ Por qué a Einstein le costó tantos años resolver la paradoja de los gemelos ?

¿ Por qué Einstein tuvo primero que formular la relatividad general para poder luego resolver la paradoja de los gemelos ?

Saludos.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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Sobre el video puesto por Richard R Richard en el post#121


1) "La paradoja de los gemelos es un experimento mental que analiza la distinta percepción del tiempo entre dos observadores."

2) "En la formulación más habitual de la paradoja, se toma como protagonistas a dos gemelos: el primero de ellos hace un largo viaje a una estrella en una nave espacial a velocidades cercanas a la velocidad de la luz y el otro gemelo se queda en la Tierra."

3) "Para dilucidar la aparente paradoja es necesario realizar los cálculos desde el punto de vista del gemelo que permanece en la Tierra y desde el punto de vista del gemelo viajero."

4) "El cálculo desde el punto de vista del gemelo terrestre es rutinario y muy sencillo."

5) "El cálculo desde el punto de vista del gemelo viajero es más complejo porque requiere realizar cálculos en un sistema no inercial."


Bueno, este último punto (5) es justo lo que ese video no hace.


Sí calcula o resuelve la paradoja de los gemelos ( utilizando ahora diagramas ) desde el punto de vista del gemelo inercial ( punto 4 )

Pero no calcula o resuelve la paradoja de los gemelos desde el punto de vista del gemelo no inercial ( punto 5 )

Hay un solo diagrama, el diagrama del gemelo inercial.

Pero falta al menos otro diagrama, el diagrama del gemelo no inercial.

Es decir, falta al menos un diagrama donde el gemelo no inercial se considere siempre en reposo ( tal que pasen 7 Seg. en total para éste y pasen 10 Seg. en total para el gemelo siempre inercial )


Saludos.

[Fortuna]

Re: Paradoja de los gemelos

Muy bueno el vídeo. Creo que es la primera vez que entiendo de verdad el espacio de minkowski. [FONT=Helvetica]Una vez entendido el espacio de minkowski, resolver la paradoja es coser y cantar.[/FONT]

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

Gracias, Richard R Richard, cuando tenga tiempo lo veré. Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Paradoja de los gemelos

Hola no se si has podido ver que en este post han publicado un video sumamente interesante para darle otra vuelta de rosca al tema y aclarar la paradoja .

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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Resolver la paradoja de los gemelos consiste principalmente en obtener un relato del gemelo inercial y un relato del gemelo no inercial.

Entre el relato del gemelo inercial y el relato del gemelo no inercial no puede haber ninguna contradicción teórica.

El relato del gemelo inercial es el más fácil de obtener ya que éste solamente debe aplicar la dilatación del tiempo por velocidad sobre el gemelo no inercial, tal como indica la teoría de relatividad especial.

El relato del gemelo no inercial es el más difícil de obtener ya que éste no sólo debe aplicar la dilatación del tiempo por velocidad sobre el gemelo inercial sino que también debe aplicar la dilatación del tiempo por gravedad sobre el gemelo inercial, tal como indica la teoría de relatividad general.

Si consideramos solamente al gemelo inercial y al gemelo no inercial entonces no es posible obtener un relato del gemelo no inercial sin tener en cuenta la dilatación del tiempo por gravedad, puesto que no es posible explicar una asimetría (lo que marcan los relojes de ambos gemelos al finalizar el experimento) con una simetría (la velocidad relativa entre ambos gemelos)

Sin embargo, si consideramos también a una partícula I (libre de fuerzas externas) entonces sí es posible obtener un relato del gemelo no inercial sin tener en cuenta la dilatación del tiempo por gravedad.

La velocidad de la partícula I respecto al gemelo inercial es siempre distinta a la velocidad de la partícula I respecto al gemelo no inercial.

Por lo tanto, existe otra asimetría (la velocidad de la partícula I) que también puede ser utilizada para obtener un relato del gemelo inercial y un relato del gemelo no inercial.

Como conclusión final, una asimetría solamente puede ser explicada con otra asimetría.

Saludos.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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Sería conveniente cambiar en el post#118 lo siguiente:

Si una partícula I libre de fuerzas externas realiza un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) respecto al sistema de referencia inercial A y si esta partícula I realiza también un movimiento circular uniforme (M.C.U.) respecto a los sistemas de referencia no inerciales (B, C, D, etc.) entonces la relación entre la variación del tiempo $\Delta \, t_{\alpha}$ de un sistema de referencia $\alpha$ (A, B, C, D, etc.) y la variación del tiempo $\Delta \, t_{\kappa}$ de un sistema de referencia $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) estaría dada por:

por lo siguiente:

Si el sistema de referencia inercial A realiza un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) respecto a un sistema de referencia inercial I (cuyo origen está fijo en una partícula I libre de fuerzas externas) y si cada uno de los sistemas de referencia no inerciales (B, C, D, etc.) realiza un movimiento circular uniforme (M.C.U.) respecto al sistema de referencia inercial I entonces la relación entre la variación del tiempo $\Delta \, t_{\alpha}$ de un sistema de referencia $\alpha$ (A, B, C, D, etc.) y la variación del tiempo $\Delta \, t_{\kappa}$ de un sistema de referencia $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) estaría dada por:

Saludos.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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Generalizando la solución alternativa dada en el post#115 sobre la paradoja de los gemelos en la cual ahora el o los sistemas de referencia no inerciales involucrados pueden resolver la paradoja de los gemelos, trillizos, etc. sin necesidad de recurrir a la dilatación del tiempo por gravedad.

Consideremos un sistema de referencia inercial A y un conjunto de sistemas de referencia no inerciales (B, C, D, etc.) que coinciden todos simultáneamente en un punto de encuentro inicial y que luego nuevamente coinciden todos simultáneamente en un punto de encuentro final.

Si una partícula I libre de fuerzas externas realiza un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) respecto al sistema de referencia inercial A y si esta partícula I realiza también un movimiento circular uniforme (M.C.U.) respecto a los sistemas de referencia no inerciales (B, C, D, etc.) entonces la relación entre la variación del tiempo $\Delta \, t_{\alpha}$ de un sistema de referencia $\alpha$ (A, B, C, D, etc.) y la variación del tiempo $\Delta \, t_{\kappa}$ de un sistema de referencia $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) estaría dada por:


$\dfrac{\Delta \, t_{\alpha}}{\Delta \, t_{\kappa}} = {\sqrt{\dfrac{c^2-{v_{{\rm \scriptscriptstyle I}\alpha}^2}}{c^2-{v_{{\rm \scriptscriptstyle I}\kappa}^2}}}}$


donde $v_{{\rm \scriptscriptstyle I}\alpha}$ es la velocidad de la partícula I respecto al sistema de referencia $\alpha$ (A, B, C, D, etc.) $v_{{\rm \scriptscriptstyle I}\kappa}$ es la velocidad de la partícula I respecto al sistema de referencia $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío.

Por lo tanto, el sistema de referencia (A, B, C, D, etc.) cuyo reloj más se atrase será aquel que observe a la partícula I con mayor velocidad entre los puntos de encuentro inicial y final.

Saludos.

P/D 1: Posible representación gráfica de algunos de estos sistemas de referencia (A, B, C, y D) visto desde el sistema de referencia inercial I fijo en la partícula I.





P/D 2: Los sistemas de referencia no inerciales involucrados (B, C, D, etc.) deben ser no rotantes respecto al sistema de referencia inercial A puesto que si no es así entonces la ecuación de arriba dejaría de ser válida para estos sistemas de referencia.

P/D 3: El módulo de la velocidad del sistema de referencia $\alpha$ (A, B, C, D, etc.) respecto al sistema de referencia $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) es igual al módulo de la velocidad del sistema de referencia $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) respecto al sistema de referencia $\alpha$ (A, B, C, D, etc.)

P/D 4: El módulo de la velocidad del sistema de referencia $\alpha$ ó $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) respecto al sistema de referencia inercial I es igual al módulo de la velocidad de la partícula I respecto al sistema de referencia $\alpha$ ó $\kappa$ (A, B, C, D, etc.)

P/D 5: El módulo de la velocidad de la partícula I respecto al sistema de referencia $\alpha$ ó $\kappa$ (A, B, C, D, etc.) es constante.

P/D 6: La partícula I debe estar libre de fuerzas externas o las fuerzas externas que actúan sobre ésta deben estar equilibradas (al menos entre los puntos de encuentro inicial y final)

Saludos.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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En el post#112 se explica la paradoja de los gemelos utilizando argumentos de relatividad general y no veo que sea algo avanzado, hasta las ecuaciones son muy sencillas. Este es el modo correcto de explicar la paradoja de los gemelos, a través de la relatividad general ( es la explicación que dio su creador ... Einstein )

Intentar explicar la paradoja de los gemelos por medio de otros métodos es sólo intentar tomar atajos cuando no se puede lo anterior ...

Lo que escribió guibix se me pasó de alto realmente, es como que yo repito lo que él escribió. Sin embargo, yo trato de resolver la paradoja de los gemelos desde la visión de los gemelos, principalmente desde la visión del gemelo no inercial y no desde la visión de un observador externo inercial; por eso la afirmación:

"Por lo tanto, el gemelo cuyo reloj más se atrase será aquel que observe al observador externo inercial I con mayor velocidad."

Además habría que aclarar que siempre se está hablando de sistemas de referencia que no rotan respecto a cualquier sistema de referencia inercial, porque si no es así entonces la cosa cambia.

El punto, para que se entienda, no es cómo resuelve la paradoja de los gemelos cualquier sistema inercial, el punto es cómo resuelve (cómo explica) la paradoja de los gemelos el gemelo no inercial.

Saludos.

[Alriga]

Re: Paradoja de los gemelos

... Es fácil ver desde el observador externo inercial I que el gemelo cuyo reloj más se atrase será aquel que recorra una trayectoria mayor, o sea, el gemelo no inercial, puesto que entre los puntos de encuentro de los gemelos A y B el gemelo inercial A recorre una recta mientras que el gemelo no inercial B recorre una curva ...

Dice el sabio refranero español que nunca es tarde si la dicha es buena

Para resolver cualquier caso que se nos ocurra, hay una forma general ... tiene que haber dos puntos en el espacio-tiempo conectados causalmente por donde pasan las líneas de universo de ambos observadores: uno es el punto y momento del que salen con sus relojes marcando el mismo tiempo; el otro es el punto y momento de re-encuentro en el que se comparan relojes.
Si tenemos estas condiciones, entonces podemos usar cualquier sistema de referencia inercial (un tercer observador) para describir las trayectorias de los dos gemelos ...

... Simplemente, dibuja las trayectorias que quieras entre los dos puntos de antes (sin superar la velocidad de la luz, claro) y la curva que en el gráfico sea más larga (distancia euclidiana más larga), es la que recorre menor tiempo propio (distancia temporal más corta) ...

... Parece claro que la "paradoja" de los gemelos se explica bien sin necesidad de usar avanzados argumentos de Relatividad General ... Jorge Díaz en "Conexión Causal": ... se puede leer lo mismo que afirma guibix, “el tiempo medido es menor en la línea de espaciotiempo más larga” ...

Saludos.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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Este post presenta otra solución para resolver la paradoja de los gemelos. En esta solución el gemelo no inercial puede resolver la paradoja de los gemelos sin necesidad de recurrir a la dilatación del tiempo por gravedad tal como se indicó en algunos posts anteriores.

Consideremos 3 observadores, un observador externo inercial I, un observador gemelo inercial A y un observador gemelo no inercial B, tal como se muestra en la siguiente figura:





Desde el observador externo inercial I el gemelo inercial A realiza un movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U.) con módulo de velocidad constante $v_{\rm \scriptscriptstyle AI}$ y el gemelo no inercial B realiza un movimiento circular uniforme (M.C.U.) con módulo de velocidad constante $v_{\rm \scriptscriptstyle BI}$

Por lo tanto, desde el primer punto de encuentro entre los gemelos A y B hasta el segundo punto de encuentro entre los gemelos A y B, la dilatación del tiempo ( $\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle A}$ ) del gemelo inercial A respecto al observador externo inercial I ( $\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle I}$ ) y la dilatación del tiempo ( $\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B}$ ) del gemelo no inercial B respecto al observador externo inercial I ( $\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle I}$ ) están dadas por:


$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle A} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle I} \; {\sqrt{1-{v_{\rm \scriptscriptstyle AI}^2} / {c^2}}}$

$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle I} \; {\sqrt{1-{v_{\rm \scriptscriptstyle BI}^2} / {c^2}}}$


Despejando en ambas ecuaciones $\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle I}$ igualando las ecuaciones obtenidas, reordenando y puesto que el cuadrado del módulo de la velocidad [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es igual al cuadrado del módulo de la velocidad [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (del observador externo inercial I respecto al gemelo inercial A) y el cuadrado del módulo de la velocidad [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es igual al cuadrado del módulo de la velocidad [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] (del observador externo inercial I respecto al gemelo no inercial B) entonces resulta:


$\dfrac{\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle A}}{\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B}} = \dfrac{{\sqrt{1-{v_{\rm \scriptscriptstyle IA}^2} / {c^2}}}}{{\sqrt{1-{v_{\rm \scriptscriptstyle IB}^2} / {c^2}}}}$


Por lo tanto, el gemelo cuyo reloj más se atrase será aquel que observe al observador externo inercial I con mayor velocidad.

Es fácil ver desde el observador externo inercial I que el gemelo cuyo reloj más se atrase será aquel que recorra una trayectoria mayor, o sea, el gemelo no inercial, puesto que entre los puntos de encuentro de los gemelos A y B el gemelo inercial A recorre una recta mientras que el gemelo no inercial B recorre una curva.

Saludos.

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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El inicio (introducción) de la sección Generalización del post#111 no es del todo correcto. Por lo tanto, a continuación la corrección y la ampliación de dicha sección.

Generalización

Si un reloj A de un sistema inercial A y un conjunto de relojes de un conjunto de sistemas no inerciales (no rotantes respecto al sistema inercial A) indican simultáneamente para todos estos sistemas de referencia un tiempo inicial y luego indican también simultáneamente para todos estos sistemas de referencia un tiempo final y si además el módulo de cada uno de todos estos relojes es siempre constante respecto a todos estos sistemas de referencia (es decir, en todo el recorrido cada uno de todos estos relojes respecto a todos estos sistemas de referencia puede tener velocidad lineal constante o aceleración normal constante pero nunca puede tener aceleración tangencial) entonces:

A.1) La dilatación total del tiempo por velocidad $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XA \cdot v} )$ de cualquier reloj X respecto al reloj A $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle A} )$ para el sistema inercial A está siempre dada por la siguiente ecuación:

$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XA \cdot v}^{\vphantom{-1}} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle A}^{\vphantom{-1}} \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XA}^{-1}$

donde $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle XA}$ es el factor gamma según la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XA}$ del reloj X respecto al sistema inercial A.

B.1) La dilatación total del tiempo por velocidad $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XB \cdot v} )$ de cualquier reloj X respecto a un reloj B $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B} )$ para un sistema no inercial B está siempre dada por la siguiente ecuación:

$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XB \cdot v}^{\vphantom{-1}} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B}^{\vphantom{-1}} \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XB}^{-1}$

donde $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ es el factor gamma según la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ del reloj X respecto al sistema no inercial B.

B.2) La dilatación total del tiempo por gravedad $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XB \cdot g} )$ del reloj X respecto al reloj B $( \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B} )$ para el sistema no inercial B está siempre dada por la siguiente ecuación:

$\Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle XB \cdot g}^{\vphantom{-1}} = \Delta \, t_{\rm \scriptscriptstyle B}^{\vphantom{-1}} \; ( \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle AB}^{\vphantom{-1}} \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XA}^{-1} - \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XB}^{-1} \; )$

donde $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle AB}$ es el factor gamma según la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle AB}$ del reloj A respecto al sistema no inercial B, $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle XA}$ es el factor gamma según la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XA}$ del reloj X respecto al sistema inercial A y $\gamma_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ es el factor gamma según la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ del reloj X respecto al sistema no inercial B.

El sistema no inercial B conociendo la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle AB}$ del reloj A y la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XB}$ del reloj X puede obtener la velocidad $v_{\rm \scriptscriptstyle XA}$ del reloj X respecto al sistema inercial A aplicando la adición de velocidades de la teoría de relatividad especial.

Por un lado, es fácil demostrar que siempre: $( \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle AB}^{\vphantom{-1}} = \gamma_{\rm \scriptscriptstyle AB}^{\vphantom{-1}} \; v_{\rm \scriptscriptstyle AB}^{2} \; c^{-2} + \gamma_{\rm \scriptscriptstyle AB}^{-1} \; )$

Pero, por otro lado, habría que demostrar que siempre: $( \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle AB}^{\vphantom{-1}} \; \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XA}^{-1} - \gamma_{\rm \scriptscriptstyle XB}^{-1} \; ) > 0$

Saludos.

P/D: Cualquier sistema menos el sistema A puede ser en algunos tramos del recorrido total un sistema inercial o un sistema no inercial, pero nunca puede ser en todo el recorrido siempre un sistema inercial.

[Buscon]

Re: Paradoja de los gemelos

Mi paradoja.


No debe ser difícil para la NASA enviar un botella gigante de helio comprimido. Digo helio porque pesa poco y no hace falta mucha energía para ponerla en una orbita a tomar por saco de la tierra.

Soltando el helio por toberas dirigidas tampoco me parece complicado acelerar la botella gigante de helio.

Cuanto más aceleración más corto el radio de orbita si no queremos que se salga por la tangente.

Cuestión de calcular. Se trata de conseguir máxima velocidad relativa rotación tierra/rotación botella gigante.

Con un simple transmisor de radio en la botella gigante de helio tendremos una emisora de radio del pasado. ¿O del futuro?

Saludos.

EDITADO.

La pregunta del millón. ¿Por qué se dilata el tiempo con la aceleración?

Casi mejor una vela solar ¿no?

[Kinetico]

Re: Paradoja de los gemelos

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Finalmente, el ejemplo más didáctico y sencillo que creo se puede dar para examinar la paradoja de los gemelos es el siguiente:



En este ejemplo hay dos observadores: Pepe (que siempre es un observador inercial) y Juan (que siempre es un observador no inercial)

El reloj pulsera de Juan respecto al sistema inercial de Pepe recorre una distancia D (circunferencia según radio r) con módulo de velocidad constante $v$.

El módulo de velocidad del reloj pulsera de Pepe respecto al sistema no inercial de Juan es también constante e igual a $v$.

Por lo tanto, según los datos de arriba, los relatos de Pepe y de Juan serán los siguientes:

El relato del sistema inercial de Pepe sobre el reloj pulsera de Juan:

1) Dilatación del tiempo por velocidad: $\Delta \, t_{\rm j \cdot v} = \Delta \, t_{\rm p} \; \gamma^{-1}$

El relato del sistema no inercial de Juan sobre el reloj pulsera de Pepe:

1) Dilatación del tiempo por velocidad: $\Delta \, t_{\rm p \cdot v} = \Delta \, t_{\rm j} \; \gamma^{-1}$

2) Dilatación del tiempo por gravedad: $\Delta \, t_{\rm p \cdot g} = \Delta \, t_{\rm j} \; \gamma \; \frac{{\rm D}}{{2 \; \pi}} \, \frac{v^2}{{\rm r}} \, c^{-2}$

donde $\gamma$ es el factor gamma según velocidad $v$ y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío.

Por otro lado, este ejemplo podría también ser muy útil para examinar la geometría espacial desde el sistema no inercial de Juan.

Saludos.

P/D (1)

En la dilatación del tiempo por velocidad los relojes que se mueven respecto a un sistema de referencia (inercial o no inercial) marcan el tiempo más lentamente.

La dilatación del tiempo por velocidad sí es recíproca: dos relojes que se mueven uno con respecto al otro será el reloj de la otra parte aquél en el que el tiempo se dilate.

P/D (2)

En la dilatación del tiempo por gravedad los relojes que están sometidos a un campo gravitatorio mayor marcan el tiempo más lentamente.

La dilatación del tiempo por gravedad no es recíproca: un observador en lo alto de una torre observará que los relojes del suelo marcan el tiempo más lentamente y los observadores del suelo estarán de acuerdo.

La dilatación del tiempo por gravedad se debe considerar de manera adicional al estudio de la dilatación del tiempo por velocidad y si los observadores están sometidos a un campo gravitatorio.

Los observadores no inerciales o los sistemas de referencia no inerciales están siempre sometidos a un campo gravitatorio en un sentido generalizado.