Pérdida de energía de los fotones por la expansión del Universo

[JoseEnrique]

Cuando se dice que la radiación aumenta su longitud de onda, entiendo hasta donde alcanzan mis luces que está perdiendo energia. Entonces quién recibe esa energía? El medio intergaláctico?

[Jaime Rudas]

Cuando se dice que la radiación aumenta su longitud de onda, entiendo hasta donde alcanzan mis luces que está perdiendo energia. Entonces quién recibe esa energía? El medio intergaláctico?

Se me ocurre lo siguiente: supón que en una galaxia muy lejana se emite un rayo de luz durante un segundo. Al inicio, el rayo tendrá una longitud de 300.000 km. Durante el tiempo que demora en llegarnos, las distancias se duplican, lo que implica que su longitud total será de 600.000 km y su longitud de onda será el doble de la inicial, o sea que estaremos recibiendo la mitad de energía durante el doble del tiempo (2 segundos).

[Alriga]

Se me ocurre lo siguiente: supón que en una galaxia muy lejana se emite un rayo de luz durante un segundo. Al inicio, el rayo tendrá una longitud de 300.000 km. Durante el tiempo que demora en llegarnos, las distancias se duplican, lo que implica que su longitud total será de 600.000 km y su longitud de onda será el doble de la inicial, o sea que estaremos recibiendo la mitad de energía durante el doble del tiempo (2 segundos).

Creo que ese argumento debería ser no correcto, intento explicarme: imaginemos que emitimos con potencia $P_e$ durante un tiempo $t_e$ un pulso monocromático de fotones de frecuencia $\nu_e$. La energía emitida es

$E_e=P_e\cdot t_e$

Como los fotones son monocromáticos, la energía de cada uno de ellos es:

$E_{1e}=h \nu_e$

Entonces puedo calcular el número de fotones que he emitido:

$n_e=\dfrac{P_e\cdot t_e}{h\nu_e}$

La energía emitida ha sido

$$E_e=n_e \ h\nu_e$$

Si durante el vuelo los fotones han atravesado tan solo el vacío, no se ha perdido ninguno en el viaje y por lo tanto el número de fotones recibidos ha de ser igual al número de fotones emitidos:

$n_r=n_e$

Como los fotones son monocromáticos, la energía de cada uno de los fotones recibidos es

$E_{1r}=h \nu_r$

La energía total recibida es

$E_r=n_r \ h \nu_r$

$$E_r=n_e \ h\nu_r$$

Comparando (1) con (2) vemos que si $\nu_r < \nu_e$ necesariamente la energía medida por el receptor es menor a la energía medida por el emisor.

$E_r < E_e$

Detallando:

$\dfrac{E_e}{E_r}=\dfrac{\nu_e}{\nu_r}$

Recordando que por definición

$\dfrac{\nu_e}{\nu_r}=1+z=\dfrac 1{a}$

Se obtiene

$E_r=\dfrac{E_e}{1+z}$

Recordad que para presente y pasado, $z\geq 0$

Saludos.

[Jaime Rudas]

Creo que ese argumento debería ser no correcto, intento explicarme: imaginemos que emitimos con potencia $P_e$ durante un tiempo $t_e$ un pulso monocromático de fotones de frecuencia $\nu_e$.
[...]
necesariamente la energía recibida es menor a la emitida.

Veo correcto tu razonamiento, pero me entra una duda: ¿qué pasa con el efecto Doppler de toda la vida? O sea, si me lanzan un rayo de luz desde un cohete que se aleja ¿también recibo menos energía de la que se emite?

[Alriga]

... me entra una duda: ¿qué pasa con el efecto Doppler de toda la vida? O sea, si me lanzan un rayo de luz desde un cohete que se aleja ¿también recibo menos energía de la que se emite?

Entiendo que sí, que el receptor mide menos energía de la que mide el emisor. La energía no es un concepto absoluto, va ligada al sistema de referencia.

Una bola de 2 kg inmóvil dentro de un coche que va a 1 m/s respecto de mí, tiene una energía cinética de 1 J para mí que estoy parado viendo el coche, y de 0 J para el conductor del coche.

Saludos.

[carroza]

Si durante el vuelo los fotones han atravesado tan solo el vacío, no se ha perdido ninguno en el viaje y por lo tanto el número de fotones recibidos ha de ser igual al número de fotones emitidos:

Hola. Este punto no es trivial.
Cuando se produce la expansión del universo, se modifican todos los campos que hay en el, en particular el campo eléctrico y el campo magnético.

Imaginemos un pulso electromagnético, que inicialmente viene dado por unos campos $\vec E (\vec r, t_0), \vec B (\vec r, t_0)$. Este campo puedo desarrollarlo en una base de estados dados por diferente número de fotones, que tendrían diferentes momentos. En general, el pulso no tiene un número de fotones bien definido.

Ahora dejamos que el pulso evolucione, en el seno de un espacio que se está expandiendo. Nuestro pulso electromagnético se transforma, en el instante final, en $\vec E' (\vec r, t_f), \vec B' (\vec r, t_f)$. Estos valores de los campos se obtendrían a partir de las ecuaciones de Maxwell, formuladas en un espacio en expansión. Si ahora desarrollo el pulso en una base de estados de fotones, no hay, a priori, razón para que no se modifiquen los coeficientes del desarrollo. Por tanto, no veo, a priori, una razón para que el numero de fotones tenga que conservarse, pero sí varíe el momento de esos fotones.

Es diferente lo que ocurre cuando el pulso electromagnético evoluciona libremente, en una métrica fija, sin expansión. En ese caso, el número de fotones, y su momento, se conserva. El pulso no tiene un numero de fotones bien definido, pero la probabilidad de tener un cierto numero de fotones, con un momento determinado, se conserva.

En fin, nos haría falta un experto en resolver ecuaciones de Maxwell en una métrica en expansión. En el libro de Landau (Teoría clásica de campos) formula las ecuaciones relevantes.

Saludos

[sater]

Por aquí hay una explicación del tema, echadle un ojo y me decís si os convence. Yo quiero darle un par de vueltas más y refrescar un par de conceptos antes.

Un saludo.

[Alriga]

Sea un volumen de universo tan grande como se quiera, tan grande incluso como todo el universo observable y vamos a ver cómo evoluciona en él la energía de la radiación aplicando las Ecuaciones de Friedman, (basadas en las ecuaciones de campo de la Relatividad General con las hipótesis adicionales de homogeneidad e isotropía)

Tomamos pues un volumen arbitrario de universo muy grande en un tiempo cósmico “t” al que corresponde un factor de escala “a” y un despalzamiento al rojo z=(1/a)-1 Llamo ese volumen $V_z$ Supongo el universo plano, como sabemos que aproximadamente es. La energía total de la radiación en todo ese volumen es:

$E_{R_z}=V_z \ \Omega_{R_z} \ \rho_z$

$\Omega_{R_z}$ es el ratio de densidad de radiación

$\rho_z$ es la densidad total de energía en ese instante del universo

El volumen $V_z$ está relacionado con el volumen actual mediante:

$V_z=V_0 \cdot a^3 = \dfrac{V_0}{(1+z)^3}$

La expresión del ratio de densidad de radiación en función del redshift es:

$\Omega_{R_z}=\dfrac{\Omega_{R_0}(1+z)^4}{\Omega_{\Lambda_0}+\Omega_{M_0}(1+z)^3+\Omega_{R_0}(1+z)^4}$

La densidad en función de z:

$\rho_z=\dfrac{3H^2}{8\pi G}=\dfrac{3H_0^2}{8\pi G} \ \Big (\Omega_{\Lambda_0}+\Omega_{M_0}(1+z)^3+\Omega_{R_0}(1+z)^4 \Big )$

Los subíndices “cero” corresponden al tiempo actual. $H$ es el parámetro de Hubble y $H_0$ la constante de Hubble. Sustituyendo y operando:

$E_{R_z}=V_0 \ \Omega_{R_0} \ (1+z) \ \dfrac{3H^2}{8\pi G}$

En el momento actual

$E_{R_0}=V_0 \ \Omega_{R_0} \ \dfrac{3H^2}{8\pi G}$

Por lo tanto

$E_{R_0}= \dfrac{E_{R_z}}{1+z}$

La energía total de radiación de cualquier volumen del universo por grande que sea, va disminuyendo con el tiempo al ritmo 1/(1+z) que es el mismo ritmo que habíamos obtenido en el post #3 argumentando para cada fotón individual.

Usando el mismo desarrollo con la energía de la materia (oscura + bariónica) se obtiene que ésta se conserva:

$E_{M_0}= E_{M_z}$

Usando el mismo desarrollo con la energía oscura se obtiene que ésta aumenta sin cesar:

$E_{\Lambda_0}= E_{\Lambda_z} (1+z)^3$

Alguien podría estar tentado a pensar que la que se pierde en radiación es justo la que se va creando en forma de energía oscura, y de esta forma se compensan: NO es así, como es fácil de calcular.

Si en el universo sólo hay energía asociada a radiación, a materia y a energía oscura, entonces la energía del universo de la Relatividad General no se conserva.

Saludos.

[Jaime Rudas]

El volumen $V_z$ está relacionado con el volumen actual mediante:

$V_z=V_0 \cdot a = \dfrac{V_0}{1+z}$

Si las longitudes crecen con $a$, el volumen debe crecer con $a^3$ ¿no?:

$V_z=V_0 \cdot a^3$

Saludos

[Richard R Richard]

Cuando se dice que la radiación aumenta su longitud de onda, entiendo hasta donde alcanzan mis luces que está perdiendo energia.

Yo no veo ninguna perdida, es la misma energía distribuida en mayor espacio.

Un fotón viajando por el espacio, expande su longitud de onda , a la misma tasa que el espacio lo hace en una dirección,

Entonces quién recibe esa energía?

Mientras el fotón no es absorbido por la materia, viaja por el espacio, es decir, no es recibido por nada, la energía inicial de todos los fotones, se haya distribuida en un espacio mayor,y baja la densidad de energía radiante.

y la integral de la densidad sobre todo el volumen del universo expandido es una constante. Otra cosa diferente sucede con la energía oscura... pero no viene a este cuento.

Sea un volumen de universo tan grande como se quiera, tan grande incluso como todo el universo observable y vamos a ver cómo evoluciona en él la energía de la radiación aplicando las Ecuaciones de Friedman, (basadas en las ecuaciones de campo de la Relatividad General con las hipótesis adicionales de homogeneidad e isotropía)

Tomamos pues un volumen arbitrario de universo muy grande en un tiempo cósmico “t” al que corresponde un factor de escala “a” y un desplazamiento al rojo z=(1/a)-1 Llamo ese volumen $V_z$ Supongo el universo plano, como sabemos que aproximadamente es. La energía total de la radiación en todo ese volumen es:

$E_{R_z}=V_z \ \Omega_{R_z} \ \rho_z$

Esta la veo correcta porque $\rho_z \propto a^{-2}$ de la primera ecuacion de Friedman lo saque del blog de Jaime https://forum.lawebdefisica.com/blog...69-#post316669

y como Jaime que me ha ganado de mano,yo tampoco te sigo aquí,

El volumen $V_z$ está relacionado con el volumen actual mediante:

$V_z=V_0 \cdot a = \dfrac{V_0}{1+z}$

en el volumen tiene tres dimensiones, luego es proporcional $(1+z)^3$ o inversamente respecto del volumen actual

y el ratio de densidad crece con la 4 cuarta potencia como dices

pues $\dfrac{1}{a}=1+z$ considerando $a_{\text{actual}}=1$

luego

$E_{R_z}=\dfrac{V_0}{(1+z)^3} \ \Omega_{0}(1+z)^4 \dfrac{\rho_0}{(1+z)^2}=\dfrac{E_{R_0}}{1+z}$

que se condice con lo que sigues explicando ....

[Alriga]

Si las longitudes crecen con $a$, el volumen debe crecer con $a^3$ ¿no?:

$V_z=V_0 \cdot a^3$

Uups, es un typo, gracias por avisar Jaime, Richard, lo corrijo. Aunque ahí había escrito por error al teclear

$V_z=\cancel{V_0 \cdot a} = \cancel{\dfrac{V_0}{1+z}}$

En el desarrollo he usado correctamente

$V_z=V_0 \cdot a^3 = \dfrac{V_0}{(1+z)^3}$

Como Richard ha comprobado, (siguiendo el desarrollo matemático), en el post #10

Yo no veo ninguna perdida, es la misma energía distribuida en mayor espacio … Mientras el fotón no es absorbido por la materia, viaja por el espacio, es decir, no es recibido por nada, la energía inicial de todos los fotones, se haya distribuida en un espacio mayor, y baja la densidad de energía radiante ...

No, no es así para la radiación. En cualquier volumen comóvil del Universo en donde sean válidas las Ecuaciones de Friedman:

• La energía de la radiación va desapareciendo paulatinamente con la expansión.
• La energía de la materia (oscura + bariónica) se conserva durante la expansión, (“es la misma energía distribuida en mayor espacio”)
• Energía oscura nueva va apareciendo paulatinamente mientras el Universo se expande.
• En general no hay compensación entre la desaparición de energía de radiación y la creación de energía oscura.

Esto que he demostrado no debería sorprender a la gente asidua del foro: ¿Se conserva la energía en Relatividad General? y también El fotón al recorrer distancias

Saludos.

[Richard R Richard]

No , no sorprende, solo que, recuerdo modelos que no doy características para no desviar el hilo,que lo explican, entiendo la no conservación, solo por el lado de la contribución de la energía oscura.
A groso modo entiendo, sigue entrando al universo,la radiación de fondo, que se incrementa linealmente con z,y la que sale del universo la compensa , la materia bariónica con z cubo, y la energia oscura con z cubo, pero la constante crece con z cubo y por la expansión, lo mismo que el volumen, luego es la Densidad de energia oscura, la que pemanece constante, y la que mas afecta a la conservación de energía pues si se crea mas espacio mas energía hay mas expande, se realimenta el ciclo.
Bueno así lo entiendo, a lo argentina"atado con alambre y pagado con cinta" ...la compensación de exponentes con la cuarta potencia ,no lo tengo del todo claro como varia realmente el ratio pero ojo "debería ser así" pero lo sostengo sin poderte citar fundamento.(voy a seguir buscándolo).
Algunas teorías hemos visto que explican esto como una expansión adiabática, pero sobre "que" hace trabajo de expansión ,no lo explican como hemos debatido en otros hilos.

[JoseEnrique]

Jorrosplo, cómo defiende el universo sus secretos!

Por mí formación técnica yo entiendo la energía como un flujo, por ejemplo pila-cable-bombilla. Cómo no es es lo mismo recibir una energía en un tiempo que en el doble, es mejor utilizar el término potencia o energía por unidad de tiempo. Cuando se transmite potencia siempre hay pérdidas. Imaginemos que el cable se estirase como el espacio-tiempo, entonces llegaría cada vez menos potencia a la bombilla pues habria más pérdidas por la creciente resistencia del cable...Bueno no se se es un símil comparable y creo que tiene que ver con la termodinámica, entropia y tal.

Interesante la posible relación con la energía oscura, que además de radiación electromagnética también podría nutrirse de ondas gravitacionales...

[carroza]

Hola.

Tras revisar bibliografía, parece que, como indica Alriga, en general se asume que la densidad de energía de la radiación decrece con el parámetro de escala como $\rho(a) = \rho(a_0) (a_0/a)^4$.

Esto llevaría a que, en un volumen en expansión que pasa de $a_0^3$ a $a^3$, la energía de la radiación pasaría de $E_r(a_0) = \rho(a_0) a_0^3$
a $E_r(a) = \rho(a) a^3 = E_r(a_0) (a_0/a)$.

Esta expresión sería consistente con la que se obtendría con un solo fotón, que aumenta su longitud de onda desde $\lambda_0$ hasta $\lambda = \lambda_0 (a/a_0)$.

Me gustaría comprender de dónde viene la expresión $\rho(a) = \rho(a_0) (a_0/a)^4$. Esta debe ser una expresión que se obtenga de las ecuaciones clásicas, ya que tanto las ecuaciones del electromagneticmo clásico, tanto como las ecuaciones de einstein, son clásicas, no cuánticas. Por tanto, no serían relevantes en este caso argumentos asociados a los fotones como entes individuales.

Clásicamente, para la radiación libre la densidad de energía de la radiación depende del campo eléctrico, segun $\rho = \epsilon_0 (\vec E )^2$ (también depende del campo magnético, pero para campos libres ambos están relacionados, $|\vec E| = c |\vec B|$). Por tanto, para que se cumpla la ley de escala prevista anteriormente, debe cumplirse que el campo eléctrico se reescale con la expansión de forma que $\vec E (a) = \vec E (a_0) (a_0/a)^2$. Y esto, suponiendo (lo cual no es trivial) que durante la expansión, el parámetro $\epsilon_0$ permanece constante.

¿conoceis algun argumento clásico para mostrar que esto deba ser así?

Un saludo

[Alriga]

... Me gustaría comprender de dónde viene la expresión $\rho(a) = \rho(a_0) (a_0/a)^4$

Las ecuaciones de Fridman conducen a la expresión, (convenio c=1)

$\dot{\rho} = -3 H (\rho + p)$

$\dot{\rho} = -3 \dfrac{\dot a}a (\rho + p)$

Para relacionar la densidad con la presión se recurre a la Ecuación de Estado

$p=w \ \rho$

En donde “w” es un parámetro que depende de la especie energética considerada.

$\dot{\rho} = -3 \dfrac{\dot a}a (1+w)\rho$

$\dfrac{\dot{\rho}}{\rho} = -3 \dfrac{\dot a}a (1+w)$

Integrando

$\ln \rho=-3(1+w)\ln a+C_1$

$\rho=k \ a^{-3(1+w)}$ (La constante k es la “hija” de la constante de integración)

$\rho \sim a^{-3(1+w)}$

Las 3 especies de energía del universo son:

Materia no relativista

$w=0$

$\rho_M \sim a^{-3}$

Energía oscura, (constante cosmológica)

$w=-1$

$\rho_{\Lambda} \sim a^0$ (Es decir, $\rho=cte$)

Radiación

$w=\dfrac 1 3$

$\rho_R \sim a^{-4}$

La ecuación de estado para la radiación es:

$p=\dfrac 1 3 \ \rho$

La justificación de que la presión de la radiación es 1/3 de su densidad se puede encontrar por ejemplo en Radiation (numerical recipes) , en el punto 3.3.4 de la página 37

O también en Thermodynamics of Radiation Pressure and Photon Momentum en el punto 4, página 5.

Saludos.

EDITADO:

Me gustaría comprender de dónde viene la expresión $\rho(a) = \rho(a_0) (a_0/a)^4$. Esta debe ser una expresión que se obtenga de las ecuaciones clásicas, ya que tanto las ecuaciones del electromagnetismo clásico, tanto como las ecuaciones de Einstein, son clásicas, no cuánticas. Por tanto, no serían relevantes en este caso argumentos asociados a los fotones como entes individuales.
Clásicamente, para la radiación libre la densidad de energía de la radiación depende del campo eléctrico, segun $\rho = \epsilon_0 (\vec E )^2$ (también depende del campo magnético, pero para campos libres ambos están relacionados, $|\vec E| = c |\vec B|$) …

¿conocéis algún argumento clásico para mostrar que esto deba ser así? ...

Para encontrar una demostración clásica basada en el electromagnetismo podemos apoyarnos en Electromagnetic waves (David Morin)

En la expresión (40) halla la densidad de energía en función del campo eléctrico "E" y del campo magnético "B" de la onda:

$\rho=\dfrac{\varepsilon_0}2E^2+\dfrac 1{2\mu_0}B^2$

Teniendo en cuenta

$E=c B$

$c \ \sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}=1$

Operando, se convierte en la expresión que carroza ha escrito:

$$\rho=\varepsilon_0 E^2$$

*Tened en cuenta que E es el valor eficaz del campo eléctrico sinusoidal, no el valor de pico de la senoide que es $\hat E=\sqrt 2 \ E$

Ahora falta calcular la presión. Si la luz ejerce presión, es porque tiene momento lineal. En el capítulo 8.5 Momentum de la página 16 empieza el cálculo de la presión mediante argumentos clásicos, dice:

… since photons (which is what light is made of) are massless, they have a momentum given by p=E/c … However, although this argument is perfectly valid, it isn’t very satisfying, because (a) it invokes a result from relativity, and (b) it invokes the fact that electromagnetic waves (light) can be considered to be made up of particle-like objects called photons, which is by no means obvious. But why should the particle nature of light be necessary to derive the fact that an electromagnetic wave carries momentum? It would be nice to derive the p = E/c result by working only in terms of waves and using only the results that we have developed so far in this book. Or said in a different way, it would be nice to understand how would someone living in, say, 1900 (that is, pre-relativity) would demonstrate that an electromagnetic waves carries momentum. We can do this in the following way …

Y a continuación hace el desarrollo llegando a la ecuación (62) que dice:

$p_1=\dfrac{E^2}{\mu_0 c^2}$

Eliminando c como antes, se obtiene

$$p_1=\varepsilon_0 E^2$$

De (1) y (2) deducimos

$\rho=p_1$

Es decir que la presión $p_1$ en la misma dirección que la onda es igual a la densidad de energía. Observad que es a la misma conclusión que llega Radiation (numerical recipes) en la página 35:

$$p_1=\rho \qquad (but \ wait \ !)$$

Y ahí a continuación, explica como calcular la presión $p$ si la radiación es isotrópica, (de dos formas diferentes), llegando a la expresión de la página 37:

$$p=\dfrac 1 3 \ \rho$$

.

The pressure of isotropic radiation is exactly 1/3 its energy density.

.
Saludos.