Consulta sobre la Ecuación de campo de la relatividad general y las coordenadas esféricas.

[inakigarber]

Buenas noches;

Siguiendo con el tema de la relatividad estoy leyendo este blog, donde creo que hay un error y muchas dudas por mi parte.

Vayamos por partes;

Hay un párrafo donde creo que está el error y también mis dudas, vayamos al párrafo en cuestión;
"Como ya se mencionó, el conjunto de ecuaciones representadas de esta manera (tensorial) es conocido como las ecuaciones de campo...."

Al final del párrafo aparece;

$G_{r\theta}, G_{\theta \varphi}, G_{\varphi t}$
$T_{t \theta}, T_{r r}, T_{\varphi \theta}$

Bien, observo que en la segunda fila aparece $T_{r r}$, donde los subindices se repiten, en el resto de los casos no se repiten los subindices por lo que debe tratarse de un error. En el caso de que así lo fuera ¿cual sería el órden de subindices correcto?

Por otra parte, observo que las ecuaciones (al menos las que he visto sobre la solución de Schwarzschild) se expresan en coordenadas esféricas (al menos los componentes espaciales de los cusdrivectores). Supongo que esto obedecerá a que facilite los cálculos, pero no consigo entenderlo.

Sasludos y gracias.

[Richard R Richard]

Al final del párrafo aparece;

$G_{r\theta}, G_{\theta \varphi}, G_{\varphi t}$
$T_{t \theta}, T_{r r}, T_{\varphi \theta}$

.....

¿cual sería el órden de subindices correcto?

Hola Iñaki, Creo que lo que hizo es nombrar solo alguna de las componente de cada tensor, pero sin establecer una relación entre ellas, , la relación ya te la habían presentado antes

$G_{\mu\,\nu}=8\pi GT_{\mu\,\nu}$

en definitiva lo que te dicen es que puedes escribir en cartesianas

$\begin{pmatrix}<br /> G_{x_1\,x_1} & G_{x_1\,x_2}& G_{x_1\,x_3} &G_{x_1\,t} \\<br /> G_{x_2\,x_1} & G_{x_2\,x_2}& G_{x_2\,x_3} &G_{x_2\,t} \\<br /> G_{x_3\,x_1} & G_{x_3\,x_2}& G_{x_3\,x_3} &G_{x_3\,t} \\<br /> G_{t\,x_1} & G_{t\,x_2}& G_{t\,x_3} &G_{t\,t}<br /> \end{pmatrix}=$$8\pi G$$\begin{pmatrix}<br /> T_{x_1\,x_1} & T_{x_1\,x_2}& T_{x_1\,x_3} &T_{x_1\,t} \\<br /> T_{x_2\,x_1} & T_{x_2\,x_2}& T_{x_2\,x_3} &T_{x_2\,t} \\<br /> T_{x_3\,x_1} & T_{x_3\,x_2}& T_{x_3\,x_3} &T_{x_3\,t} \\<br /> T_{t\,x_1} & T_{t\,x_2}& T_{t\,x_3} &T_{t\,t}<br /> \end{pmatrix}$

o puedes escribirlo en polares como

$\begin{pmatrix}<br /> G_{r\,r} & G_{r\,\theta}& G_{r\,\phi} &G_{r\,t} \\<br /> G_{\theta\,r} & G_{\theta\,\theta}& G_{\theta\,\phi} &G_{\theta\,t} \\<br /> G_{\phi\,r} & G_{\phi\,\theta}& G_{\phi\,\phi} &G_{\phi\,t} \\<br /> G_{t\,r} & G_{t\,\theta}& G_{t\,\phi} &G_{t\,t}<br /> \end{pmatrix}=$$8\pi G$$\begin{pmatrix}<br /> T_{r\,r} & T_{r\,\theta}& T_{r\,\phi} &T_{r\,t} \\<br /> T_{\theta\,r} & T_{\theta\,\theta}& GT_{\theta\,\phi} &T_{\theta\,t} \\<br /> T_{\phi\,r} & T_{\phi\,\theta}& t_{\phi\,\phi} &T_{\phi\,t} \\<br /> T_{t\,r} & T_{t\,\theta}& T_{t\,\phi} &T_{t\,t}<br /> \end{pmatrix}$

Supongo que esto obedecerá a que facilite los cálculos, pero no consigo entenderlo.

Si porque la métrica de Schwarzschild, es una solución con simetría e isotropía respecto del origen de coordenadas, se puede entender mejor la curvatura en función de un radio constante $r=cte$ que por la distancia al centro evaluado como $\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}=cte$

[sater]

Un apunte tonto: no se utilizan comas para separar subíndices (usualmente la coma denota derivada respecto a esa coordenada, y el punto y coma derivada covariante)

[Richard R Richard]

También , es distinto de \, y el copie y pegue hace desastres.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta;

Ahora lo veo más claro, los elementos con subíndices coincidentes serían los elementos de la diagonal central de la matriz.

Supongo que para pasar a coordenadas esféricas se tratan las coordenadas espaciales igual que en un espacio tridimensional, quedando invariante la componente temporal del cuatrivector.

¿Es asi?

Saludos.

[Richard R Richard]

Supongo que para pasar a coordenadas esféricas se tratan las coordenadas espaciales igual que en un espacio tridimensional, quedando invariante la componente temporal del cuatrivector.¿Es asi?

Entiendo que sí, fijate que en la transformación de unas a otras, la conversión de tiempo en distancia y viceversa sigue siendo c, es decir t no varía es el mismo en un sistema que en el otro, solo que trabajar en esféricas en la mayoría de las aplicaciones, es mucho mas agil y comodo.