Consulta sobre formulación matemática de vectores covariantes y contravariantes;

[inakigarber]

Buenas noches;

Tratando de encontrar una respuesta a cuestiones relativas a la relatividad general, concretamente el calculo tensorial, he encontrado esta página que me parece muy interesante. Creo que la explicación que da es bastante clara e intuitiva, pero me encuentro con un problema cuando da la explicación de los vectores covariantes y contravariantes.

No entiendo bien el de donde se deducen las expresiones que pondré a continuación;

$\overline{T_1}=\dfrac{\partial{x^r}}{\partial{\overline{x^i}}}T_r$ para el vector covariante y

$\overline{T^1}=\dfrac{\partial{\overline{x^i}}}{\partial{x^r}}T^r$ para el contravariante.

Hasta ahora, la idea que tenia de el concepto de covariancia y contravariancia (en parte gracias a hilos que he abierto al respecto con anterioridad) podría resumirlo en la imagen arriba indicada. Supongamos un vector w (elegido al azar) y considerando un sistema de coordenadas no perpendicular (elegido tambien al azar). Entonces, si no estoy equivocado, los elementos contravariantes de este vector sobre este sistema de coordenadas aquí aparecen como u y v
(Normalmente aparecerían como $x^1\ \ y\ \ x^2$ pero no he conseguido poner los superíndices en geogebra) y los componentes covariantes serían $x_1\ \ y\ \ x_2$ en la imagen en rojo y van desde el origen O hasta J y K respectivamente.

¿Es esto que estoy poniendo correcto?

En un espaciotiempo Euclidiano no tiene sentido segun veo hablar de vectores covariantes o contravariantes (serían lo mismo) pero ¿y en un espaciotiempo de Minkowski?

Saludos y gracias de antemano.

[Weip]

Hola inakigarber.

Buenas noches;

Tratando de encontrar una respuesta a cuestiones relativas a la relatividad general, concretamente el calculo tensorial, he encontrado esta página que me parece muy interesante. Creo que la explicación que da es bastante clara e intuitiva, pero me encuentro con un problema cuando da la explicación de los vectores covariantes y contravariantes.

No entiendo bien el de donde se deducen las expresiones que pondré a continuación;

$\overline{T_1}=\dfrac{\partial{x^r}}{\partial{\overline{x^i}}}T_r$ para el vector covariante y

$\overline{T^1}=\dfrac{\partial{\overline{x^i}}}{\partial{x^r}}T^r$ para el contravariante.

Tanto en el blog como en la mayoría de textos esas expresiones definen los conceptos de vector covariante/contravariante. Por tanto, no las debes buscar demostración. Aún así hay textos que definen los vectores covariantes y contravariantes a partir de tensores vistos como aplicaciones multilineales. En ese caso la manera en la que se transforman se deduce aplicando un cambio de base. No creo que te interese ver la prueba en sí porque es muy algebraica y tampoco ayuda a entender lo que es un vector covariante /contravariante pero si quieres lo hacemos.

En un espaciotiempo Euclidiano no tiene sentido segun veo hablar de vectores covariantes o contravariantes (serían lo mismo) pero ¿y en un espaciotiempo de Minkowski?

"Espaciotiempo Euclidiano" es un oxímoron porque todas sus dimensiones son espaciales. En todo caso, los vectores covariantes y contravariantes tienen pleno sentido en un espacio euclidiano y en general en una variedad Riemanniana, donde no existe dimensión temporal. De hecho, originalmente es en este el contexto en el que se descubrieron. Luego pasaron a usarse en el espaciotiempo por necesidades de la relatividad.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta.

"Espaciotiempo Euclidiano" es un oxímoron porque todas sus dimensiones son espaciales. En todo caso, los vectores covariantes y contravariantes tienen pleno sentido en un espacio euclidiano y en general en una variedad Riemanniana, donde no existe dimensión temporal. De hecho, originalmente es en este el contexto en el que se descubrieron. Luego pasaron a usarse en el espaciotiempo por necesidades de la relatividad.

Debiera haber dicho espacio Euclidiano, entendiendo un espacio Euclidiano como el formado por tres coordenadas espaciales perpendiculares entre sí. En ese caso los vectores contravariantes y covariantes serían lo mismo y no tendría sentido hablar de vectores covariantes y contravariantes. Sin embargo en el espaciotiempo de Minkowsky donde los ejes de coordenadas no tienen porque ser perpendiculares sí parece que pudiera tener sentido hablar de vectores covariantes y contravariantes

¿Es asi?

[inakigarber]

Hola inakigarber.

Tanto en el blog como en la mayoría de textos esas expresiones definen los conceptos de vector covariante/contravariante. Por tanto, no las debes buscar demostración. Aún así hay textos que definen los vectores covariantes y contravariantes a partir de tensores vistos como aplicaciones multilineales. En ese caso la manera en la que se transforman se deduce aplicando un cambio de base. No creo que te interese ver la prueba en sí porque es muy algebraica y tampoco ayuda a entender lo que es un vector covariante /contravariante pero si quieres lo hacemos.

Entonces ¿Cómo debería enfocarlo para poderlo entender? ¿Hay algún ejemplo clásico que permita entenderlo sin entrar en la Relatividad?

[Richard R Richard]

Hola iñaki si lo deseas puedes mirar este video, esta en un ingles pausado y " entendible" para mi, te lo recomiendo , igualmente tienes la opción de subtítulos en español.

[Weip]

Hola de nuevo.

Debiera haber dicho espacio Euclidiano, entendiendo un espacio Euclidiano como el formado por tres coordenadas espaciales perpendiculares entre sí. En ese caso los vectores contravariantes y covariantes serían lo mismo y no tendría sentido hablar de vectores covariantes y contravariantes. Sin embargo en el espaciotiempo de Minkowsky donde los ejes de coordenadas no tienen porque ser perpendiculares sí parece que pudiera tener sentido hablar de vectores covariantes y contravariantes

¿Es asi?

El asunto de los vectores covariantes y contravariantes no tiene nada que ver con que la base sea ortogonal (ejes perpendiculares) o no. Un espacio euclídeo sigue siendo euclídeo si escoges una base que no sea ortogonal. Lo mismo pasa en un espaciotiempo de Minkowski.

Entonces ¿Cómo debería enfocarlo para poderlo entender? ¿Hay algún ejemplo clásico que permita entenderlo sin entrar en la Relatividad?

Para hacer relatividad no es necesario entenderlo puesto que se utiliza por propósitos calculísticos y es el típico tema que es mejor dejarlo por ahora y una vez sepas más sobre relatividad y geometría entonces volver para entenderlo bien. Aún así esto puede ser un poco desesperanzador por lo que si quieres ver una imagen visual te dejo este link de aquí: https://www.gregegan.net/ORTHOGONAL/...reanExtra.html. Como ves en última instancia es un tema de álgebra lineal, es bastante abstracto y en relatividad no se utiliza sino es para calcular, pero es la explicación última de qué es un vector covariante/contravariante. Avisar que el link utiliza el lenguaje de vectores y formas o funcionales lineales para los vectores contravariantes y los vectores covariantes, respectivamente. Cuestiones de lenguaje. Pero lo dicho: yo cogería confianza con el tema haciendo ejercicios y cálculos por ahora.

[inakigarber]

Gracias por tu comentario, voy a ver si empiezo a entender las cosas y atar cabos sueltos.

Hola iñaki si lo deseas puedes mirar este video, esta en un ingles pausado y " entendible" para mi, te lo recomiendo , igualmente tienes la opción de subtítulos en español.

Muy interesante video, ya lo conocía anteriormente, tengo claro que todo vector puede expresarse en su forma contravariante (la más habitual) y también en su forma covariante, para ello tendremos que definir una base de n dimensiones. Si la base es ortogonal, es decir todos los vectores son perpendiculares los valores covariantes y contravariantes serán iguales, en ese caso $(v_1,v_2,v_3...v_n)=(v^1,v^2,v^3...v^n)$, sí duplico la longitud de cada vector unitario divido la cantidad de vectores unitarios que necesito para definir cada lado de cada vector.
Por ejemplo, si un lado de un vector mide 4 metros, necesitaré 4 vectores unitarios de 1 metro cada uno, si utilizara vectores unitarios de 2 metros de longitud necesitaría 2 vectores unitarios, de manera que la cantidad de vectores unitarios que necesito es inversamente proporcional a la longitud de estos, sin embargo me he perdido en la definición que hace sobre el vector covariante.
La definición que hace sobre tensores de orden uno (vectores) de orden dos (matrices) y de orden superior me parece muy clara.

Por otra parte, volviendo a la figura que puse en mi post inicial, podría como ya hice en otro hilo anterior, podria hacer;
$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & cos(a) \\0 & sen(a)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^1\\x^2\end{pmatrix}$
y la transformación inversa;
$\begin{pmatrix}x^1\\x^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -cotg(a) \\0 & cosec(a)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$

¿Podría ambas transformaciones expresarlas de forma compacta como;$x_i=g_{ij}x^j$ y $x^i=g^{ij}x_j$ respectivamente?
Por otra parte, para el caso de $a=90º$ ambas matrices se convierten de la matriz identitaria (o delta de Kronecker), esto me ha hecho recordar lo que habia leído anteriormente en alguna ocasión de que dicho delta de Kronecker sube y baja indices. Al operar un vector por el delta pasaría de covariante a contravariante y viceversa. ¿Es esto correcto?

saludos y gracias.

[Richard R Richard]

sin embargo me he perdido en la definición que hace sobre el vector covariante.

lo que hace para calcular cada componentes del vector covariante es, multiplicar escalarmente el vector V por cada uno de los vectores que componen la base, el escalar obtenido es la componente covariante del vector en esa dirección, puedes pensarlo como la proyección del vector V en la dirección $\vec v_i$, es decir si los dos vectores comparten un plano y mirar el sistema ortogonalmente a ese plano común , la coordenada covariante es la proyección de V en la dirección $\vec v_i$,


Si defines una base de vectores , $\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$ y quieres representar un vector cualquiera en esa base

$\vec A=A^1\vec e_1+A^2\vec e_2+A^2\vec e_3$ donde $(A^1,A^2,A^3)$ son las componentes contravariantes del vector A en esa base

si defines otra base donde cada vector i de la base es ortogonal, a los j,k.... de la base contravariante, defines la base covariante

$\vec e^1=\dfrac{\vec e_2\times \vec e_3}{\vec e_1\cdot(\vec e_2\times \vec e_3)}$

$\vec e^2=\dfrac{\vec e_3\times \vec e_1}{\vec e_2\cdot(\vec e_3\times \vec e_1)}$

$\vec e^3=\dfrac{\vec e_1\times \vec e_2}{\vec e_3\cdot(\vec e_1\times \vec e_2)}$

donde los denominadores nos aseguran que los tres vectores sean unitarios

luego puedes escribir al vector A en función de esa base

$\vec A=A_1\vec e^1+A_2\vec e^2+A_2\vec e^3$ donde $(A_1,A_2,A_3)$ son las componentes covariantes del vector A en esa base.

lo que no estoy seguro si esto aplica a espacios curvos, o solo en$\mathbb R^3$ creo que alli este producto cruz es reemplazado por la multiplicación de ma matriz inversa de la métrica.

Edito ya he mirado y esto es válido en espacios euclídeos
lo que es claro también es que si la base de vectores covariantes$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$ es ortonormal, las componentes covariantes coinciden con las contravariantes


si las bases estan normalizadas

$\vec A=\dst\sum A^i\vec e_i$

si se define que las componentes covariantes del vector A es el resultado del producto escalar del vector por cada vector de la base

$A_j= \vec A\cdot \vec e_j$

si se reemplaza una en la otra

$A_j= (\dst\sum A^i\vec e_i)\cdot \vec e_j=A^j(\dst\sum\vec e_i)\cdot \vec e_j=A^j\delta _{ij}=A^i$

lease

$A_j=A^i$ las componentes contravariantes son iguales a las covariantes, solo si los la base original es ortonormal....