Consulta sobre cálculo tensorial (o como premitir que los árboles me permitan ver el bosque)

[inakigarber]

Buenas tardes;

Como ya sabéis, llevo tiempo haciendo preguntas sobre los fundamentos matemáticos de la Relatividad general, aunque creo que he mejorado bastante (gracias a alguna ayuda vuestra) y me voy enterando sobre dichos fundamentos, a veces tengo la sensación de que el aparato matemático me impide ver el porque de las cosas, al igual que los árboles impiden ver el bosque. Aunque me lo tomo con paciencia y curiosidad y seguiré con el tema, me gustaría poder encontrar ejemplos que me ayudaran a visualizar la utilidad de este aparato matemático, concretamente el cálculo tensorial.

Supongo que cuando Einstein introdujo el cálculo tensorial en la relatividad (creo que con la ayuda de su amigo Marcel Grossman y de Levi-Civita) era porque era la forma más fácil de llevar a buen puerto sus teorías.

[sater]

Realmente el principio de equivalencia viene a decir que debemos usar variedades lorentzianas para describir el espacio tiempo (ergo geometría diferencia, ergo tensores). Te recomiendo la lectura del capítulo 9 de los apuntes de Bert Janssen: https://www.ugr.es/~bjanssen/text/Be...dadGeneral.pdf

[inakigarber]

Buenas noches;

He leído el capítulo en cuestión, bien, por una parte entiendo la equivalencia entre la masa inercial y la gravitatoria (ambas son equivalentes). Entiendo también que un observador en caída libre no siente ninguna fuerza, y por tanto podría considerarse a si mismo como un observador inercial. Entiendo también que localmente es imposible distinguir entre un observador en un campo gravitatorio y un observador acelerado, localmente son lo mismo, pero no alcanzo a entender la necesidad de las geometrías diferenciales, de manera que parece que hay algo donde me pierdo.

Saludos y gracias.

[Weip]

Hola inakigarber.

Supongo que cuando Einstein introdujo el cálculo tensorial en la relatividad (creo que con la ayuda de su amigo Marcel Grossman y de Levi-Civita) era porque era la forma más fácil de llevar a buen puerto sus teorías.

Bueno, no es que fuera la forma más fácil, sino que era la única. En aquél entonces la geometría diferencial estaba llena de tensores y por tanto Einstein debió aprenderla de esta forma porque no había otra. En parte también era la novedad porque los tensores se introdujeron en geometría justo en el año 1900.

He leído el capítulo en cuestión, bien, por una parte entiendo la equivalencia entre la masa inercial y la gravitatoria (ambas son equivalentes). Entiendo también que un observador en caída libre no siente ninguna fuerza, y por tanto podría considerarse a si mismo como un observador inercial. Entiendo también que localmente es imposible distinguir entre un observador en un campo gravitatorio y un observador acelerado, localmente son lo mismo, pero no alcanzo a entender la necesidad de las geometrías diferenciales, de manera que parece que hay algo donde me pierdo.

Si miras el primer párrafo del punto 9.5 te explica que el enunciado del principio de equivalencia implica que el espaciotiempo localmente es Minkowski pero globalmente no lo es. Este hecho es el que hace considerar espaciotiempos en general, que como dice sater, se modelizan mediante variedades lorentzianas.

[inakigarber]

Buenas noches;

Gracias por tu respuesta.

...Si miras el primer párrafo del punto 9.5 te explica que el enunciado del principio de equivalencia implica que el espaciotiempo localmente es Minkowski pero globalmente no lo es. Este hecho es el que hace considerar espaciotiempos en general, que como dice sater, se modelizan mediante variedades lorentzianas.

Todo lo que sé (o creo saber) sobre relatividad general podría resolverlo en la siguiente imagen;

Supongamos tres observadores A, B y C sujetos A y B al campo gravitatorio de dos agujeros negros (y que por tanto no pueden ver). El observador C está en un ponto del espacio donde la gravedad es nula y ademas consideramos como el observador en reposo respecto al sistema de referencia nuestro. Todos los observadores son puntuales por lo que consideraremos que su gradiente gravitatória es nula. Bien, de acuerdo con el principio de equivalencia no hay forma de distinguir entre un sistema de referencia no inercial y un sistema de referencia en caida libre, ambos son lo mismo, por lo que cualquiera de los observadores podría considerarse a si mismo como un observador en reposo y a los demás como observadores en movimiento acelerado. Si cada uno de los observadores estuviera equipado con un pequeño laboratorio con el que poder hacer experimentos de física comprobaría que las leyes de la física clasica y de la relatividad especial cumplen perfectamente en su laboratório particular, cada uno tendrá la sensación de que su espaciotiempo es plano, pero ¿que es lo que verá de los otros dos observadores para el inerciales? Supongo que es aquí donde hay que hacer uso de la curvatura del espacio (algo que quiza no sea incompatible con la física clásica) y donde hay que hacer uso del cálculo tensorial aunque no alcanzo a entender como.

Saludos y gracias.

[sater]

La necesidad de usar cálculo tensorial viene por ejemplo cuando quieres comparar medidas en entornos cercanos (pero no el mismo punto). El principio de equivalencia se traduce en que vivimos en una variedad (lorentziana), esto es, un espacio globalmente curvo pero localmente plano (esto quiere decir que en un punto dado, el plano tangente es isomorfo a $\mathbb{R}<br /> ^n$). Tus vectores (de velocidad por ejemplo) están en dicho plano tangente, pero no puedes derivar por ejemplo y encontrar velocidades, porque la derivada compara vectores entre dos puntos distintos y dos puntos distintos de la variedad ya no están en el mismo plano tangente. Por tanto necesitas herramientas de la geometría diferencial (como el transporte paralelo, la derivada covariante) que te permita generalizar estos cálculos de física en espacios planos a espacios donde hay curvatura.

[inakigarber]

Gracias por tu comentario;

Creo que todavía me queda mucho que entender para poder hacerme una idea exacta del tema. Hasta ahora he creído que la geometría no euclidiana solo tenía aplicación física en la relatividad general, pero creo que estaba totalmente equivocado. Me puedo imaginar un entorno puramente clásico como el de la gravedad de una esfera.

Ambos observadores A y B tendrán la sensación que su vector fuerza gravitatória es vertical y hacia abajo y que su espacio es localmente plano. Para el observador A el vector fuerza del observador B no será vertical y viceversa. Supongo que para poder pasar del sistema de referencia de A al sistema de referencia de B debe realizarse mediante el cálculo tensorial, pero no se como. Creo que este podría ser un buen punto de partida para poder entender la cuestión. Suponiendo que ambos vectores son de igual magnitud ¿como podríamos pasar de un sistema de referencia a otro?

Saludos y gracias.

[sater]

Buenas de nuevo, Inakigarber.

En el ejemplo que pones, el espaciotiempo es plano (como siempre en mecánica newtoniana) y lo que se tiene es un campo gravitatorio central en él. En relatividad general no hay campos gravitatorios como tal, lo que ocurre es que el propio espacio es curvo y moverte sobre él por trayectorias de menor distancia espaciotemporal hace que desde nuestra perspectiva parezca que existen fuerzas (ficticias) que te desvían de seguir lo que a ti te parecen líneas rectas.

En un espacio plano, puedes definir un sistema de coordenadas para todo el espacio. En uno curvo no tiene por qué ser así. Piensa en los mapas de la Tierra, ninguno es una representación fidedigna de la esfera terrestre porque esta no puede cubrirse con un solo mapa (hacen falta mínimo dos). Por eso en relatividad general nos preocupamos de las coordenadas y los cambios de coordenadas, porque usualmente no podemos utilizar unas mismas coordenadas para todo el espacio (para toda la solución de las ecuaciones de Einstein).

Espero haberme explicado mejor. Igualmente ten en cuenta que yo no soy ningún experto, solo un físico que ha estudiado alguna que otra asignatura de esto y también tiene algunas dudas pendientes por resolver

[carroza]

Piensa en los mapas de la Tierra, ninguno es una representación fidedigna de la esfera terrestre porque esta no puede cubrirse con un solo mapa (hacen falta mínimo dos).

Gerardus Mercator debe estar revolviendose en su tumba


https://upload.wikimedia.org/wikiped...jection_SW.jpg

Un saludo

[sater]

Gerardus Mercator debe estar revolviendose en su tumba


https://upload.wikimedia.org/wikiped...jection_SW.jpg

Un saludo

Sin duda su proyección es de las más usadas, aunque como digo, fidedigna fidedigna... (Groenlandia más grande que África, y ni hablemos de la Antártida... ). Pero lo dicho, son necesarias al menos dos "cartas" para cubrir la esfera (pues la esfera y el plano no son isomorfos, por lo que no tendrías funciones univaluadas, me refiero a esa propiedad).

[carroza]

Si, claro. Entiendo que te refieres a las propiedades topológicas de esfera y plano.

Desde el punto de vusta topológico, sería mejor el mapa de los terraplanistas, que solo excluye un punto, que el de Mercator y similares, que excluye dos.


https://ctl.s6img.com/society6/img/y...ock-canvas.jpg

[inakigarber]

Buenas de nuevo, Inakigarber.

En el ejemplo que pones, el espaciotiempo es plano (como siempre en mecánica newtoniana) y lo que se tiene es un campo gravitatorio central en él. En relatividad general no hay campos gravitatorios como tal, lo que ocurre es que el propio espacio es curvo y moverte sobre él por trayectorias de menor distancia espaciotemporal hace que desde nuestra perspectiva parezca que existen fuerzas (ficticias) que te desvían de seguir lo que a ti te parecen líneas rectas.

De manera que un objeto en caída libre, por ejemplo una canica que dejara caer ahora mismo sigue una geodésica, bien, esa misma canica sobre una mesa no está en caída libre ¿entonces que sigue?

Estoy un tanto perdido.

[sater]

De manera que un objeto en caída libre, por ejemplo una canica que dejara caer ahora mismo sigue una geodésica, bien, esa misma canica sobre una mesa no está en caída libre ¿entonces que sigue?

Buenas Inaki. Esto es un poco lío, pero se trata de abrir la mente. Tiremos de analogía.

Imagina a dos hormigas sobre una esfera. La esfera es tan grande que ellos creen que viven en un mundo plano. Sitúa a las hormigas separadas cierto trecho sobre el ecuador, y diles que anden hacia el norte (es decir, perpendicular al ecuador). Las hormigas empiezan separadas, pero conforme avanzan la distancia relativa entre ambas...¡disminuye!

Ellas, que jurarán y perjurarán que viven en un espacio plano, no saben a qué achacar que se estén acercando. Si desarrollasen algunas leyes físicas, estas incluirían un término que tenga en cuenta que, cuando te desplazas hacia el norte, te atraes con los objetos que también se desplacen hacia el norte (siempre y cuando vuestro desplazamiento sea perpendicular al ecuador). Para ellas esos términos representan fuerzas con todas las de la ley.

Tú, que resulta que ves desde fuera lo que ocurre y tu tamaño es comparable al de la esfera, cual hombre que se ha desatado de sus grilletes y ha salido de la cueva en la que solo veía sombras les gritarás: "¿Pero es que estáis ciegas? ¿no véis que es más sencillo entender que vivís en un espacio curvo, y la supuesta fuerza que introducís en vuestras ecuaciones es una fuerza ficticia?" Sin duda, les dirías que podrían escribir ecuaciones en las que no hubieran fuerzas, y la separación se acortara debido a que siguen los meridianos de la esfera, pero de fuerzas nada.

Pues esto pasa con la gravedad. Y el hombre que escapó de sus grilletes y nos gritó a los demás fue Einstein.

Einstein entendió que, visto desde nuestra perspectiva, lo que parecía una fuerza con todas las de la ley podría no serlo, y ser el resultado de que la geometría del espacio en que vivimos es curva. Claro, somos tan chiquititos que podría ser. Podría ser que de cerca, veamos que todo es plano, pero globalmente no lo sea.

Habían algunas pistas. Se entendía más o menos lo de que algunas fuerzas eran ficticias, meros artificios de no elegir las coordenadas correctas (como cuando introducimos términos centrífugos en nuestras ecuaciones debido a la rotación para poder usar la segunda ley de Newton). La gravedad podía ser de esas fuerzas, porque con un cambio de coordenadas la podías hacer desaparecer localmente. A dichas coordenadas las llamamos coordenadas localmente inerciales.

La clave es entender que, dado que la gravedad puede verse como una fuerza ficticia, lo que hay detrás de su aparición puede ser la geometría no trivial del espaciotiempo. A nosotros, pobres mortales a los que la evolución nos ha hecho malos imaginando cosas que no sean tridimensionales, nos cuesta verlo. Pero realmente, lo que parecen trayectorias curvas son "rectas" en un espacio de mayor dimensiones y globalmente curvo.

Así, cuando un objeto está en caída libre, realmente lo que ocurre es que no está acelerado (porque por el principio de equivalencia la gravedad se cancela con la aceleración, por eso cuando bajas una curva o sientes que te caes no notas tu propio peso). Evoluciona de manera que sigue geodésicas, que son curvas en las cuales no hay aceleración (resulta que también son curvas lo más rectas posibles por propiedades chulas de la teoría de Einstein que no vienen al caso).

Lo que te he narrado respecto a las hormigas se conoce como desviación geodésica: cuando dos cuerpos están en caída libre, si el espacio es curvo, acabarán acercandose. Esto es cierto en nuestro caso porque caemos hacia el centro de la Tierra. Pero mientras caemos no notamos que suframos fuerzas, de hecho, si estuviéramos encerrados en un ascensor no podríamos diseñar ningún experimento que nos asegure que estamos cayendo en lugar de flotar en el espacio vacío.


No sé si con todas estas metáforas e ideas desperdigadas aclaro un poco la cuestión, espero que sí.

Un gran saludo Inaki =)

[inakigarber]

Gracias por tú respuesta;

Creo que es bastante aclarativa, pero hay un párrafo que me causa algunos problemas.

Habían algunas pistas. Se entendía más o menos lo de que algunas fuerzas eran ficticias, meros artificios de no elegir las coordenadas correctas (como cuando introducimos términos centrífugos en nuestras ecuaciones debido a la rotación para poder usar la segunda ley de Newton). La gravedad podía ser de esas fuerzas, porque con un cambio de coordenadas la podías hacer desaparecer localmente. A dichas coordenadas las llamamos coordenadas localmente inerciales.

Por ejemplo, un observador situado en un tiovivo sufrirá fuerzas de inercia que pueden llegar a ser notables. Para el la "fuerza de inercia" es algo real. Se me ocurre que lo que sufre es su propia inercia. Si este observador viviera toda su vida en el tiovivo para el sería normal sentir esa fuerza continuamente, tal vez le resultara imposible imaginarse un mundo sin dicha "fuerza de inercia".

Creo que todavía estoy un tanto confundido, aún no consigo quitarme mis grilletes.

Saludos y gracias.

P.D. Mirándolo de esta forma, podríamos decir que llamamos "fuerza" a la gravedad debido a nuestra incapacidad de ver el espacio en cuatro dimensiones así como las hormigas lo llaman "fuerza" al hecho de ver un espacio tridimensional solo con dos dimensiones.

[sater]

De manera que un objeto en caída libre, por ejemplo una canica que dejara caer ahora mismo sigue una geodésica, bien, esa misma canica sobre una mesa no está en caída libre ¿entonces que sigue?

Me he dado cuenta de que me calenté escribiendo y no respondí a tu duda. En relatividad general se entiende que, cuando la partícula está sobre una mesa y no cae, es porque algo evita que caiga, es decir, está acelerada (y quien causa la aceleración es la fuerza normal de la mesa). Esos términos se pueden introducir en la ecuación de geodésicas. Es difícil verlo porque estamos muy acostumbrados de mecánica Newtoniana a que si la partícula esté sobre la mesa su aceleración sea nula, porque las fuerzas se compensan. Pero en el momento en que eliminas del repertorio de fuerzas a la gravedad, ya la situación no está en equilibrio. Se puede ver también imaginando un cuerpo en el espacio que debería caer hacia el Sol, y no cae porque lo sostenemos con una cuerda o porque conecta sus motores para evitar caer. En cualquier caso, si no conecta los motores el creerá que está en el espacio vacío libre de fuerzas (porque recordemos que no se puede distinguir caer en un campo gravitatorio de estar flotando en el vacío) y, para evitar caer, deberá conectar los motores y entonces sentirá una fuerza (la normal del suelo) que lo acelerará en dirección contraria (y a el le parecerá un campo gravitatorio).

Por ejemplo, un observador situado en un tiovivo sufrirá fuerzas de inercia que pueden llegar a ser notables. Para el la "fuerza de inercia" es algo real. Se me ocurre que lo que sufre es su propia inercia. Si este observador viviera toda su vida en el tiovivo para el sería normal sentir esa fuerza continuamente, tal vez le resultara imposible imaginarse un mundo sin dicha "fuerza de inercia".

Creo que todavía estoy un tanto confundido, aún no consigo quitarme mis grilletes.

Saludos y gracias.

P.D. Mirándolo de esta forma, podríamos decir que llamamos "fuerza" a la gravedad debido a nuestra incapacidad de ver el espacio en cuatro dimensiones así como las hormigas lo llaman "fuerza" al hecho de ver un espacio tridimensional solo con dos dimensiones.

Yo creo que no estás ya tan confundido. Precisamente, si el observador del tiovivo siempre ha sentido la fuerza, creerá que es real. Pero desde fuera entendemos que es un artificio de que las coordenadas que él elija para describirse no son las mejores. En tu PD lo aclaras mejor. Nos parece que la gravedad es una fuerza, porque no podemos extrapolar nuestro espacio a cómo realmente es (un espaciotiempo de 3+1 dimensiones con curvatura espaciotemporal). Es que es normal que no podamos, es un auténtico ejercicio de abstracción