Divulgación Consulta sobre calculo de simbolos de Christoffel

[inakigarber]

Buenas tardes;

Siguiendo con la lectura de este blog, me he encontrado con un desarrollo que no entiendo claramente, seguro que estoy confundido, pero no logro averiguar el donde y como. El problema pretende obtener los símbolos de Christoffel de segundo genero para la métrica de las coordenadas polares. Para ello primeramente hay que establecer los símbolos de Christoffel de primer genero, es justamente ahi donde tengo el problema, justamente en el cálculo del último de los símbolos de Christoffel de primer genero donde me salen las dudas.

La métrica en coordenadas polares es; $ds^2=dr^2+r^2d\theta^2$
El tensor métrico$\begin{pmatrix}g_{rr} & g_{r\theta} \\g_{\theta r} & g_{\theta \theta}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & r^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}g_{11} & g_{12} \\g_{21} & g_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & x_1^2\end{pmatrix}$
Cuando calcula el último de los símbolos de Christoffel me salen dudas cuando dice;
$\Gamma_{222}=\Gamma_{\theta \theta \theta}=\left (-\dfrac{\partial {g\theta \theta}}{\partial{\theta}}+\dfrac{\partial {g\theta \theta}}{\partial{\theta}}+ \dfrac{\partial {g\theta \theta}}{\partial{\theta}}\right )/2$
Bien, si no me equivoco (aunque ya no tengo las cosas claras) $g_{\theta \theta}=r^2$, y por tanto la derivada parcial ¿no debería ser también r en este caso? (en vez de cero). ¿Es probable que los subíndices estén equivocados en el blog?

Saludos y gracias

[Richard R Richard]

Hola no se ve bien el latex de tu formula entiendo que quieres poner

$\Gamma_{22}^2=\Gamma_{\theta \theta}^{ \theta}=\dfrac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial \theta}+\dfrac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial\theta}+ \dfrac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial \theta}$

los simbolos de Christofell salen de

$\Gamma^{\rho}_{\mu \nu}=\frac 12<br /> g^{\rho \lambda}(\partial_{\mu}g_{ \lambda \nu}<br /> +\partial_{\nu}g_{ \mu \lambda}-\partial_{\lambda}g<br /> _{ \mu \nu})$

en particular

$$\Gamma^{2}_{22}=\frac 12<br /> g^{\rho \lambda}(\partial_{2}g_{ \lambda 2}<br /> +\partial_{2}g_{ 2 \lambda}-\partial_{\lambda}g<br /> _{ 22})=\frac 12<br /> g^{2 1}(\partial_{2}g_{1 2}<br /> +\partial_{2}g_{ 21}-\partial_{1}g<br /> _{ 22})+\frac 12<br /> g^{2 2}(\partial_{2}g_{ 2 2}<br /> +\partial_{2}g_{ 2 \lambda}-\partial_{2}g<br /> _{ 22})$$

ahora veamos que es cada cosa

$g^{\mu\nu}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & r^2\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1& 0 \\0 & \dfrac1{r^2}\end{pmatrix}$

$\partial_{1}g<br /> _{ 11}=\dfrac{\partial g<br /> _{ rr}}{\partial r}=0<br />$

$\partial_{1}g<br /> _{12}=\dfrac{\partial g<br /> _{ r\theta}}{\partial r}=0<br />$

$\partial_{1}g<br /> _{ 21}=\dfrac{\partial g<br /> _{ \theta r}}{\partial r}=0<br />$

$\partial_{1}g<br /> _{ 22}=\dfrac{\partial g<br /> _{ \theta\theta}}{\partial r}=2r<br />$

$\partial_{2}g<br /> _{ 11}=\dfrac{\partial g<br /> _{rr}}{\partial \theta}=0<br />$

$\partial_{2}g<br /> _{12}=\dfrac{\partial g<br /> _{ r\theta}}{\partial \theta}=0<br />$

$\partial_{2}g<br /> _{ 21}=\dfrac{\partial g<br /> _{ \theta r}}{\partial \theta}=0<br />$

$\partial_{2}g<br /> _{ 22}=\dfrac{\partial g<br /> _{ \theta\theta}}{\partial \theta}=0<br />$

reemplazando

$$\Gamma^{2}_{22}=\frac 12<br /> 0(0+0-2r)+\frac 12<br /> \dfrac1{r^2}(0+0+0)=0$$

[inakigarber]

Buenas tardes;

Hola no se ve bien el latex de tu formula entiendo que quieres poner

$\Gamma_{22}^2=\Gamma_{\theta \theta}^{ \theta}=\dfrac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial \theta}+\dfrac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial\theta}+ \dfrac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial \theta}$

los simbolos de Christofell salen de

$\Gamma^{\rho}_{\mu \nu}=\frac 12<br /> g^{\rho \lambda}(\partial_{\mu}g_{ \lambda \nu}<br /> +\partial_{\nu}g_{ \mu \lambda}-\partial_{\lambda}g<br /> _{ \mu \nu})$

en particular

Gracias por tu respuesta, pero yo no me refería a los símbolos de Christoffel de segundo genero que es lo que estas poniendo tu en tu respuesta, tal vez no me quedo claro en el hilo anterior.

Si no me equivoco, para calcular los símbolos de Christoffel de segundo genero, hay que calcular primero los de primer genero, y es ahí, de los de primer genero donde tengo la duda en cuestión; Bien, en el hilo que estoy siguiendo, cuando llega a plantear el problema en cuestión, donde dice; "

PROBLEMA: Obtener los símbolos de Christoffel de segundo género para la métrica en coordenadas polares."

Empieza por calcular primero los símbolos de Christofell de primer genero y creo que entiendo bien el desarrollo que hace hasta que llege el último de la série, el correspòndiente a $\Gamma_{222}= \Gamma_{\theta \theta \theta}$, y es justamente en este desarrollo donde estoy perdido.

Saludos y gracias.

[Weip]

Buenas.

Bien, si no me equivoco (aunque ya no tengo las cosas claras) $g_{\theta \theta}=r^2$, y por tanto la derivada parcial ¿no debería ser también r en este caso? (en vez de cero). ¿Es probable que los subíndices estén equivocados en el blog?

$g_{\theta \theta}=r^2$ no depende de $\theta$, con lo que su derivada parcial respecto a $\theta$ es cero. En símbolos:

$\dfrac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial \theta}=\dfrac{\partial}{\partial \theta}r^2=0$

Si no me equivoco, para calcular los símbolos de Christoffel de segundo genero, hay que calcular primero los de primer genero, y es ahí, de los de primer genero donde tengo la duda en cuestión

Los símbolos de Christoffel sean del género que sean puedes calcularlos a partir de la métrica directamente. En este link tienes las dos fórmulas: https://en.wikipedia.org/wiki/Christ...ic_definition) (la de primer género está un poco más arriba).

[Richard R Richard]

Segun anduve hojeando la diferencia entre un Christofell de primera y segunda especie es que el de segunda es el de primera multiplicado (sumación de pormedio) por la inversa de la métrica

$\Gamma^{\rho}_{\mu \nu}=g^{\rho \sigma}\Gamma_{\mu \nu,\sigma}$

pero como

$\dfrac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial \theta}=0$

$\Gamma_{2 2,2}=0$

[Weip]

Añadir que por lo que ha dicho Richard realmente distinguir los símbolos de Christoffel de primer y segundo tipo es algo artificial y antiguo. Mejor pensar que solo existen unos símbolos de Christoffel, los de segundo género, que al final son los que se usan.

[inakigarber]

Buenas.

$g_{\theta \theta}=r^2$ no depende de $\theta$, con lo que su derivada parcial respecto a $\theta$ es cero. En símbolos:

$\dfrac{\partial g_{\theta \theta}}{\partial \theta}=\dfrac{\partial}{\partial \theta}r^2=0$

Me habia empeñado en pensar que el elemento $\theta$ dependía del elemento $r$, lo cual es equivocado, ambos elementos son independientes, por tanto, la derivada es nula.