Otras carreras ¿Qué es el momento angular?

[alexpglez]

Hola, tenía sencillamente esta duda, ya que el momento angular definido por: $L^{ij}=x^i p^j - x^j p^i$ no es un tensor, al no serlo $x^i$, en cambio si sería un tensor si lo definiéramos: $d L^{ij}= dx^i p^j- dx^j p^i$

[guibix]

Re: ¿Qué es el momento angular?

Hola Alex, no veo clara tu duda.

Es cierto que $x^i$ no es un tensor (o no lo es de rango 2, es un tensor de rango 1) pero sí lo es $x^ip^j$, pues tiene dos índices al igual que $L^{ij}.$ No veo porque tiene que ser diferencial para serlo. El rango de un tensor es su número de índices, no tiene nada que ver con ser diferencial o no.

[pod]

Re: ¿Qué es el momento angular?

Como suele ocurrir al pasar las cantidades tridimensionales al formalismo quadri-dimensional, las componentes espaciales pasan a ser parte de un tensor "más grande".

En este caso, si tenemos la quadri-posición, X (componentes $x^\mu$) y el quadri-momento P (componentes $p^\mu$) entonces tendríamos el quadri-momento angular definid como un bi-vector por el producto exterior de ambos tensores, $\mathbf{M} = \mathbf{X} \wedge \mathbf{P}$. En compontentes

$$M^{\mu\nu} = x^\mu p^\nu - x^\nu p^\mu .$$

La cantidad $M^{0i} = t p^i - x^i E$ no tiene un nombre universal, a veces se llama masa-momento relativista (la versión no relativista seria con E = m, por eso lo de masa-momento).

Yo he tomado c=1, añadir factores c según apropiado.

[alexpglez]

Re: ¿Qué es el momento angular?

$$M^{\mu\nu} = x^\mu p^\nu - x^\nu p^\mu .$$

La cantidad $M^{0i} = t p^i - x^i E$ no tiene un nombre universal, a veces se llama masa-momento relativista (la versión no relativista seria con E = m, por eso lo de masa-momento).

Sobre lo primero, me refería que $x^{\mu}$ no es un tensor, y en cambio $dx^{\mu}$ sí lo es. (Creo que ya lo pregunté en otro hilo). Ya que, definimos el cambio de variable para tensores a partir de su diferencial:

$$d x^{\mu '}=\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}dx^{\nu}$$

$$A^{\mu '}=\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}A^{\nu}$$

Por tanto si $x^{\mu}$ fuese un tensor, tendría que cumplir que:

$$x^{\mu '}=\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}x^{\nu}$$

Pero esto sólo se cumple si, el cambio de variable es una matriz constante.

Y por tanto cualquier elemento que es formado por elementos que no son tensores, no es un tensor, como en el caso del momento angular que tampoco se transforma.

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También sobre $M^{0i}$, wikipedia lo llama centro de masas relativista, sin embargo no entiendo que tiene que ver con el centro de masas. Mejor dicho, cómo tampoco sé muy bien cómo se define en relatividad (me parecería que tiene que ser: $X^{\mu}=\frac{\sum_i m_i x^{\mu}}{\sum_i m}$, así que esa es mi otra duda.

Gracias.

[Julián]

Re: ¿Qué es el momento angular?

Sobre lo primero, me refería que no es un tensor,

Si es un tensor, un tensor de orden uno. A mi por ejemplo siempre me trajo confusión el término tensor ya que este nombre se obtubo del análisis de tensiones en sólidos que es representado por matrices 3x3. Luego la física lo generalizó.

escalar= tensor orden cero. Vector tensor orden 1. Matriz bidimensional tensor orden 2, etc. Luego tienes como transforman dichos tensores, si son covariantes o contravariantes.

[pod]

Re: ¿Qué es el momento angular?

Sobre lo primero, me refería que $x^{\mu}$ no es un tensor, y en cambio $dx^{\mu}$ sí lo es.

$x^\mu$ es un tensor (de orden 1) bajo transformaciones del grupo de Poincaré. ¿Por qué dices que no?

[alexpglez]

Re: ¿Qué es el momento angular?

$x^\mu$ es un tensor (de orden 1) bajo transformaciones del grupo de Poincaré. ¿Por qué dices que no?

En este hilo, empiezo tal pregunta: http://forum.lawebdefisica.com/threa...945#post156945
Y en el mensaje #13, Weip me afirma que:

Entonces el vector posición, no es un tensor¿?

En general no. Un ejemplo es $\vec{r}(t)=(t, e^t)$. Falla en varias condiciones pero para no liarnos con cosas largas de explicar, diré que no es lineal ya que $\vec{r}(\lambda t) \neq \lambda\vec{r}(t)$ para todo $\lambda$ real. Esto ya es suficiente para decir que $\vec{r}$ no es un tensor.

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Si es un tensor, un tensor de orden uno. A mi por ejemplo siempre me trajo confusión el término tensor ya que este nombre se obtubo del análisis de tensiones en sólidos que es representado por matrices 3x3. Luego la física lo generalizó.

escalar= tensor orden cero. Vector tensor orden 1. Matriz bidimensional tensor orden 2, etc. Luego tienes como transforman dichos tensores, si son covariantes o contravariantes.

Para llamar tensor a un objeto matemático, a parte de tener toda la pinta de un tensor: coordenadas, tiene que transformarse como tal. Un ejemplo son los símbolos de christoffel, que siendo un objeto coordenado, en concreto un objeto NxNxN siendo N la dimensión del espacio, no transforma como un tensor.
En el hilo que menciono, primer mensaje, hago un ejemplo práctico para x y dx.

Hola, creo que los cálculos están correctos, pero no sé por qué no da lo que tendría que dar.

$$x^{\mu '}(x,y)$$

$$x^{\nu }(r,\phi)$$

El vector contravariante se transforma:

$$x^{\mu '}=\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}x^{\nu}$$

Calculo a matriz de tranformacion:

$$\frac{\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu}}=<br /> \begin {pmatrix}<br /> \cos \phi & -r \sin \phi \\ <br /> \sin \phi & r \cos \phi<br /> \end{pmatrix}<br />$$

Pero el producto me da:

$$(r \cos \phi - r \phi \sin \phi, r \sin \phi + r \phi \cos \phi)=(x-\phi y, y + \phi x) \neq (x,y)$$

Cosa que no es igual...

Sin embargo, pensando en diferenciales:

$$(dr \cos \phi - r d\phi \sin \phi, dr \sin \phi + r d\phi \cos \phi)=(d(r\cos \phi), d(r\sin \phi))=(dx,dy)$$

Entiendo que funcione con diferenciales porque evidentemente es una identidad de transformación, lo que no entiendo son los vectores contravariantes, por qué no funciona¿?

Gracias

[pod]

Re: ¿Qué es el momento angular?

En ese hilo hablas de una transformación que no es lineal. Las transformaciones de Lorentz (si quieres algo más simple que el grupo de Poincaré) sí lo son. $x^\mu$ se transforma como un tensor bajo transformaciones de Lorentz.

[justinux]

Re: ¿Qué es el momento angular?

Hola, Cuando se habla de tensores hay que hacer referencia respecto a que tipo de transformación tales objetos se comportan como tensor… Como bien dice Pod, x^\mu es un tensor respecto al grupo de transformaciones de Poicaré . x^i sería un tensor solo respecto de las rotaciones en el espacio, pero al incluir las transformaciones de Lorentz estas se mezclan con el tiempo y eso hace que debamos incluir el tiempo como una componente más. Las Los tensores generales son aquellos que transforman bajo difeomorfismos como los que se escribieron más arriba, pero si uno se restringe a transformaciones sólidas del espaciotiempo entonces estos incluiranx^\mu El momento angular o su generalización relativista son precisamente generadores de transformaciones sólidas (rotaciones o boosts de Lorentz) y también son tensores respecto de este tipo de transformaciones. Saludos

[alexpglez]

Re: ¿Qué es el momento angular?

Hola, Cuando se habla de tensores hay que hacer referencia respecto a que tipo de transformación tales objetos se comportan como tensor… Como bien dice Pod, x^\mu es un tensor respecto al grupo de transformaciones de Poicaré . x^i sería un tensor solo respecto de las rotaciones en el espacio, pero al incluir las transformaciones de Lorentz estas se mezclan con el tiempo y eso hace que debamos incluir el tiempo como una componente más. Las Los tensores generales son aquellos que transforman bajo difeomorfismos como los que se escribieron más arriba, pero si uno se restringe a transformaciones sólidas del espaciotiempo entonces estos incluiranx^\mu El momento angular o su generalización relativista son precisamente generadores de transformaciones sólidas (rotaciones o boosts de Lorentz) y también son tensores respecto de este tipo de transformaciones. Saludos

Con transformaciones sólidas, exactamente, os referís a rotaciones en un espacio-tiempo plano, como las transformaciones de Lorentz o las rotaciones al girar los ejes de coordenadas¿?
Entonces no tiene sentido hablar de momento angular cuando la métrica no es $g=diag(1,-1,-1,-1)$¿? Y en relatividad general dejaría de tener sentido el momento angular¿?
Por otra parte, si he interpretado mal lo que has querido decir, cómo se relaciona, velocidad angular, momento angular en espacios curvos y otros sistemas de coordenadas¿?

[justinux]

Re: ¿Qué es el momento angular?

[FONT=Helvetica]Hola,[/FONT]
[FONT=Helvetica] En relatividad general, el concepto es más sutil, efectivamente, pero es posible también definir algo como el momento angular. Los gneradores de transformaciones en el espacio son campos vectoriales, y aquellas transformaciones que dejan fija la mátrica se conocen como “vectores de Killing”, y estos son los que juegan el papel de momento angular, etc. Pero no siempre es posible, depende de g.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
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[FONT=Helvetica] Saludos[/FONT]

[alexpglez]

Re: ¿Qué es el momento angular?

Por poner un ejemplo, en el espacio tiempo del agujero negro de schwarzschild, cómo sería ese momento angular¿?

[justinux]

Re: ¿Qué es el momento angular?

[FONT=Helvetica] Hola,[/FONT]
[FONT=Helvetica]
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[FONT=Helvetica] Los vectores de Killing se definen como aquellos vectores que generan un cambio de coordenadas[/FONT]
[FONT=Helvetica] x -> x + a X[/FONT]
[FONT=Helvetica] donde a es el parámetro (infinitesimal en este caso) y X es el vector generador, tal que deja invarante la métrica g. La métrica de Schwarzchild es de la forma,[/FONT]
[FONT=Helvetica] (ds)^2 =- f(r) (dt)^2 + f^{-1}(r) (dr)^2 + r^2 ( (d\theta)^2 + sin^2 \theta (d\phi)^2 ),[/FONT]
[FONT=Helvetica]en un sistema estacionario. Esta métrica es evidentemente invariante bajo el cambio \phi por \phi + a y por tanto el vector que genera dicha transformación es[/FONT]
[FONT=Helvetica]X_\phi^\mu = \frac{\partial x^\mu}{\partial \phi}[/FONT]
[FONT=Helvetica]que escrito en el propio sistema (t,r,\theta, \phi) será simplemente el vector (0,0,0,1). El hecho de que g sea invariante a la transformación generada por el campo X se expresa matemáticamente diciendo que la derivada de Lie de g a lo largo de X es cero (que se cumple en este caso). Ahora bien, qué tiene esto que ver con el momento angular? el producto escalar de este campo vectorial con la cuadrivelocidad de una partícula que siga una geodésica de esta métrica se conserva a lo largo de su movimiento, y es a esto a lo que podemos asociar al momento angular (en dirección z, en este caso porque viene asociado a una rotación respecto del angulo \phi) de la partícula que sigue la geodésica.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica]Saludos,[/FONT]
[FONT=Helvetica] Ps. disculpa por los simbolos en latex, pero tengo algún problema al escribirlos en el editor, pero espero que se haya entendidomás o menos lo que quiero decir.[/FONT]