Consulta sobre divergencia en un espaciotiempo plano y en un espaciotiempo curvo.

[inakigarber]

Buenas noches;
Leyendo este blog sobre relatividad cuando casi al final del blog establece las formulas de la divergencia para un espacio tiempo plano y un espaciotiempo curvo, justamente donde dice;
"Así, la 4-divergencia de un campo tensorial V de orden uno que en un espacio multi-dimensional plano"

Establece las siguientes fórmulas

$$V^{\alpha}_{,\alpha}$$

$$V^{\alpha}_{;\alpha}$$

El racionamiento que sigue previo a estas fórmulas lo tendré que revisar con más detalle y quizá más adelante sea objeto de alguna consulta mía en este foro, pero no hace uso de los símbolos de Christoffel.
A se me ha ocurrido pensar que esto también podría entenderse como la derivada covariante de un tensor con respecto a sus ejes de coordenadas. En el caso de un espaciotiempo plano, si no estoy equivocado los símbolos de Christoffel serían nulos y por tanto solo quedarían las derivadas parciales ordinarias en el cálculo de la divergencia.

¿Es esto correcto, o estoy de nuevo equivocado?

Saludos y gracias.

[Weip]

En el caso de un espaciotiempo plano, si no estoy equivocado los símbolos de Christoffel serían nulos y por tanto solo quedarían las derivadas parciales ordinarias en el cálculo de la divergencia.

Sí pero con un asterisco y es que los símbolos de Christoffel pueden ser no nulos aún cuando el espaciotiempo es plano. Si por ejemplo usas coordenadas esféricas entonces obtendrás símbolos de Christoffel diferentes de cero.

[inakigarber]

Sí pero con un asterisco y es que los símbolos de Christoffel pueden ser no nulos aún cuando el espaciotiempo es plano. Si por ejemplo usas coordenadas esféricas entonces obtendrás símbolos de Christoffel diferentes de cero.

No me había dado cuenta de este detalle, pero entonces me cabe una pregunta, si un espaciotiempo plano puede tener simbolos de Christoffel no nulos ¿Cómo podremos entonces distinguir si estemos ante un espaciotiempo plano o curvo?

Saludos y gracias.

[Weip]

¿Cómo podremos entonces distinguir si estemos ante un espaciotiempo plano o curvo?

Porque en un espaciotiempo plano la curvatura es cero en todos los puntos independientemente de las coordenadas que estés usando. De ahí lo de "plano", este término se refiere a que la curvatura se anula, no que los símbolos de Christoffel se anulen.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta.

Porque en un espaciotiempo plano la curvatura es cero en todos los puntos independientemente de las coordenadas que estés usando. De ahí lo de "plano", este término se refiere a que la curvatura se anula, no que los símbolos de Christoffel se anulen.

Totalmente de acuerdo, creo que en mi ignorancia estaba confundiendo los conceptos. No son lo mismo curvatura y divergencia. El teorema de la divergencia alude a una superficie cerrada, y entiendo que una superficie cerrada solo puede serlo si tiene una curvatura que permita el cierre de la superficie de igual manera que una curva puede cerrarse sobre si misma pero no una recta, una superficie cerrada puede tener divergencia positiva, negativa o nula.

En mi primer post establecía;

$$V^{\alpha}_{,\alpha}$$

$$V^{\alpha}_{;\alpha}$$

Entiendo que en el caso de un espaciotiempo plano y con un sistema de coordenadas en el que los símbolos de Christoffel no fueran nulos. Por ejemplo en el caso de un espaciotiempo Euclídeo en un sistema de coordenadas, esféricas los símbolos de Christoffel se anularan y darán el mismo resultado en ambas fórmulas.

Saludos y gracias.

[Weip]

Hola de nuevo.

Totalmente de acuerdo, creo que en mi ignorancia estaba confundiendo los conceptos. No son lo mismo curvatura y divergencia. El teorema de la divergencia alude a una superficie cerrada, y entiendo que una superficie cerrada solo puede serlo si tiene una curvatura que permita el cierre de la superficie de igual manera que una curva puede cerrarse sobre si misma pero no una recta, una superficie cerrada puede tener divergencia positiva, negativa o nula.

Estás confundiendo conceptos. La superficie gaussiana que uses para aplicar el teorema de la divergencia tendrá su curvatura pero no está relacionada en modo alguno con la del espacio (o espaciotiempo) ambiente. Además que no tiene sentido hablar de la divergencia de una superficie. En todo caso, puedes aplicar la divergencia a un campo vectorial tangente a una determinada superfície.

Por ejemplo en el caso de un espaciotiempo Euclídeo

"Espaciotiempo Euclídeo" es un oxímoron. La palabra "espaciotiempo" ya indica que tiene una dimensión temporal, característica que se codifica en que la métrica no es definida positiva. En cambio en un espacio euclídeo la métrica siempre será definida positiva con lo que no será posible interpretar ninguna de sus dimensiones como una dimensión temporal. Lo que tu quieres decir es "espaciotiempo plano".

Por ejemplo en el caso de un espaciotiempo Euclídeo en un sistema de coordenadas, esféricas los símbolos de Christoffel se anularan y darán el mismo resultado en ambas fórmulas.

No, justamente los símbolos de Christoffel en esféricas no se anulan. Te dejo por aquí un link en $\mathbb{R}^3$ para que veas la divergencia en coordenadas esféricas: https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence. Mira el apartado "Definition in coordinates". Observa que la divergencia en esféricas no coincide con la suma de las derivadas parciales respecto las coordenadas.

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta;

"Espaciotiempo Euclídeo" es un oxímoron. La palabra "espaciotiempo" ya indica que tiene una dimensión temporal, característica que se codifica en que la métrica no es definida positiva. En cambio en un espacio euclídeo la métrica siempre será definida positiva con lo que no será posible interpretar ninguna de sus dimensiones como una dimensión temporal. Lo que tu quieres decir es "espaciotiempo plano".

Creo que no es la primera vez que cometo este error. En algún otro hilo he cometido el mismo error. Me refería a un espacio plano, poniendo como ejemplo el espacio Euclideo en el que todos los ejes de referencia son perpendiculares, aunque podria haberme referido al espaciotiempo de Minkowski.

Estás confundiendo conceptos. La superficie gaussiana que uses para aplicar el teorema de la divergencia tendrá su curvatura pero no está relacionada en modo alguno con la del espacio (o espaciotiempo) ambiente. Además que no tiene sentido hablar de la divergencia de una superficie. En todo caso, puedes aplicar la divergencia a un campo vectorial tangente a una determinada superfície.

Si, creo que no tengo aún las cosas claras, veo que he oido hablar muchas veces de la curvatura del espaciotioempo pero no tengo una idea muy clara de si he entendido las cosas correctamente. Por lo que estoy empezando a entender el teorema de la divergencia de Gauss alude a superficies cerradas y yo he confundido superficie y espaciotiempo.

No, justamente los símbolos de Christoffel en esféricas no se anulan. Te dejo por aquí un link en $\mathbb{R}^3$ para que veas la divergencia en coordenadas esféricas: https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence. Mira el apartado "Definition in coordinates". Observa que la divergencia en esféricas no coincide con la suma de las derivadas parciales respecto las coordenadas.

Mi ingles no es todo lo bueno que pensaba y no he conseguido entenderlo. Deberé releerlo más atentamente.

[Weip]

Mi ingles no es todo lo bueno que pensaba y no he conseguido entenderlo. Deberé releerlo más atentamente.

Ah vale bueno no te preocupes, era solo que vieras la expresión de la divergencia en esféricas. La transcribo aquí:

$\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2 F_r)+\dfrac{1}{r \sin{\theta}}\dfrac{\partial}{\partial \theta}(\sin{\theta} F_{\theta})+\dfrac{1}{r \sin{\theta}}\dfrac{\partial F_{\varphi}}{\partial \varphi}$

Lo que quiero decir escribiendo esto es que por mucho que $\mathbb{R}^3$ sea plano esto que sigue no es cierto:

$\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\dfrac{\partial F_r}{\partial r}+\dfrac{\partial F_{\theta}}{\partial \theta}+\dfrac{\partial F_{\varphi}}{\partial \varphi}$

Lo mismo aplica si estás en cualquier otra variedad como el espaciotiempo de Minkowski.

[inakigarber]

Ah vale bueno no te preocupes, era solo que vieras la expresión de la divergencia en esféricas. La transcribo aquí:

$\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2 F_r)+\dfrac{1}{r \sin{\theta}}\dfrac{\partial}{\partial \theta}(\sin{\theta} F_{\theta})+\dfrac{1}{r \sin{\theta}}\dfrac{\partial F_{\varphi}}{\partial \varphi}$

Lo que quiero decir escribiendo esto es que por mucho que $\mathbb{R}^3$ sea plano esto que sigue no es cierto:

$\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\dfrac{\partial F_r}{\partial r}+\dfrac{\partial F_{\theta}}{\partial \theta}+\dfrac{\partial F_{\varphi}}{\partial \varphi}$

Lo mismo aplica si estás en cualquier otra variedad como el espaciotiempo de Minkowski.

Creo que empiezo a entenderlo, lo que si sería cierto para una misma figura, por ejemplo una esfera, expresada primero en coordenadas esféricas y después en coordenadas cartesianas;
$\vec{\nabla}\cdot\vec{F}=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}(r^2 F_r)+\dfrac{1}{r \sin{\theta}}\dfrac{\partial}{\partial \theta}(\sin{\theta} F_{\theta})+\dfrac{1}{r \sin{\theta}}\dfrac{\partial F_{\varphi}}{\partial \varphi}=\dfrac{\partial F_x}{\partial x}+\dfrac{\partial F_y}{\partial y}+\dfrac{\partial F_z}{\partial z}$. El valor de la divergencia tanto si es positiva, negativa ó nula será el mismo independientemente del sistema de coordenadas que utilicemos. ¿Es esto correcto?

Saludos y gracias.

[Weip]

El valor de la divergencia tanto si es positiva, negativa ó nula será el mismo independientemente del sistema de coordenadas que utilicemos. ¿Es esto correcto?

Correcto. Además tiene sentido si piensas que el signo de la divergencia indica las zonas donde hay fuentes y sumideros del campo. De hecho el valor de la divergencia será también el mismo justamente por lo que dices, que la divergencia es independiente de la elección de coordenadas.

[inakigarber]

Correcto. Además tiene sentido si piensas que el signo de la divergencia indica las zonas donde hay fuentes y sumideros del campo. De hecho el valor de la divergencia será también el mismo justamente por lo que dices, que la divergencia es independiente de la elección de coordenadas.

Yo no lo habría sabido explicar con tanta claridad.