Sobre transferencia de Momento-Energía en un sistema de referencia comovil.

[inakigarber]

Buenas noches;

Leyendo sobre la relatividad, me he encontrado con un párrafo que me hace pensar que debo estar muy equivocado, pero no entiendo el porque. El párrafo en cuestión se encuentra en este hilo, y me sorprende cuando el autor dice "Para un fluído perfecto, si no hay transferencias de calor, en el marco de referencia comovil (el marco de referencia en el cual el fluído está instantáneamente en reposo)...". Para más adelante llevarnos a una matriz diagonal (El subrayado y la negrita son míos). Si nos encontramos en un marco de referencia comovil entonces, las partículas del fluido están en reposo con respecto a nosotros, no hay por tanto movimiento ni flujo en las coordenadas espaciales, de manera que todos los componentes espaciales del tensor energía-impulso deberían ser nulos, quedando solo el componente temporal como no nulo. Los componentes "cruzados" aquellos en que $i\neq j$ también serán nulos, pues hemos considerado un fluido perfecto y no hay transferencias de energía-momento perpendiculares.

El error me parece excesivo, sobre todo en un blog de ese tipo, por lo que debe haber algo que no estoy entendiendo bien.

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Hola iñaki yo veo un símil con un recipiente de partículas a presiòn, puede ser solidario al sistema de referencia, en caso de quitar el recipiente, las partículas son libres de fluir instantáneamente y conservan el CM en reposo, una forma de medir con que energìa se moverán o se dispersaran por el espacio, es tensor de energìa momento....
El fluido puede ser cualquier cosa, , pero si supones es gas hidrógeno, helio litio, provenientes del bigbang, luego asì comienzas a estudiar como fue la historia del universo observable...
otro tipo de potencial es la densidad, cantidad de (masa) energìa por unidad de espacio. mas densidad, mas potencial para fluir.
Entiendo , aunque no totalmente seguro....que si el CM conserva coordenadas, solo habrá presiòn y densidad en la diagonales, , cualquiera que sea distinta de 0 respecto del tiempo, implica que cambia de coordenadas,,o se mueve en ese eje, y entre coordenadas espaciales, implicaría un flujo o intercambio de densidad (masa) entre zonas del mismo espacio.

[inakigarber]

Hola iñaki yo veo un símil con un recipiente de partículas a presiòn, puede ser solidario al sistema de referencia, en caso de quitar el recipiente, las partículas son libres de fluir instantáneamente y conservan el CM en reposo, una forma de medir con que energìa se moverán o se dispersaran por el espacio, es tensor de energìa momento....
El fluido puede ser cualquier cosa, , pero si supones es gas hidrógeno, helio litio, provenientes del bigbang, luego asì comienzas a estudiar como fue la historia del universo observable...
otro tipo de potencial es la densidad, cantidad de (masa) energìa por unidad de espacio. mas densidad, mas potencial para fluir.
Entiendo , aunque no totalmente seguro....que si el CM conserva coordenadas, solo habrá presiòn y densidad en la diagonales, , cualquiera que sea distinta de 0 respecto del tiempo, implica que cambia de coordenadas,,o se mueve en ese eje, y entre coordenadas espaciales, implicaría un flujo o intercambio de densidad (masa) entre zonas del mismo espacio.

Aún tendré que darle muchas vueltas al tema, no obstante, en mi primer post estaba equivocado, porque pensaba que la explicación final del párrafo al que aludia se referia a una matriz identidad, es decir, con todos los componentes diagonales iguales, pero el tipo de matriz al que alude es el siguiente;
$\begin{pmatrix}\rho & 0&0& 0\\0 &p&0&0\\0&0&p &0\\0&0&0&p\\\end{pmatrix}$, donde entiendo que las diferentes "p" aluden a las diferentes coordenadas del momento sobre los tres ejes espaciales, el factor $\rho$ alude a la coordenada temporal de cuatrimomento. Bien, pero, si el sistema de referencia es comovil y se supone que en términos generales las partículas no se mueven respecto al observador ¿no deberían ser los momentos nulos? Si consideramos que el Centro de Masas está en reposo respecto al observador, los momentos de dicho centro de masas respecto al observador comovil ¿No deberían ser nulos? (al menos en sus coordenadas espaciales).
Algo debo estar entendiendo mal.

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Por ahí te estoy haciendo lío, de que métrica te refieres? Schwarzchild o FLRW, la primera es un solución de vacío luego las componentes del tensor EM donde la métrica es aplicable son nulas, pero la segunda no.

[inakigarber]

Gracias por tu ayuda y por tu tiempo.

Por ahí te estoy haciendo lío, de que métrica te refieres? Schwarzchild o FLRW, la primera es un solución de vacío luego las componentes del tensor EM donde la métrica es aplicable son nulas, pero la segunda no.

El lío creo que me lo estoy haciendo yo mismo. En la serie de blogs que estoy leyendo sobre relatividad, aún no he llegado a lo relativo a las métricas de Schwarzchild ó FLRW. Creo que mi equivoco corresponde a algo más básico que esas métricas. El capítulo El tensor Energía-Tensión, empieza por hacer un símil clásico con un tensor que representaría las tensiones que sufriría un bloque en un espacio tridimensional, tal como este.

Que podríamos representarlo en forma matricial.
$\sigma=\begin{pmatrix}\sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\\sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\\sigma_{31}&\sigma_{32} &\sigma_{33}\\\end{pmatrix}$. Explica que este tensor es invariante al sistema de coordenadas que se elija, es el mismo en coordenadas cartesianas o esféricas (por ejemplo). Este mismo tensor podría representar un flujo de partículas (denominado polvo, en internet también he encontrado la misma denominación). En el caso de que no hubiera fricción (un fluido perfecto), si el fluido se desplazara en una cualquiera de las coordenadas (por ejemplo la x), todos los componentes perpendiculares (xy, y xz) serían nulos.

Hasta aquí creo que entiendo las cosas con bastante claridad, pero me complico cuando trata de extender este símil a la Teoría de la Relatividad. Bien, en este caso tenemos que considerar un cuatrimomento y un cuatriespacio, de modo que la matriz que nos aparecerá será una matriz 4x4. Es aquí donde empiezo a complicarme la vida porque no consigo ver clara la forma de como hacer encajar lo que representa cada uno de los 16 valores de la matriz, excepto el primero, que es la densidad de energía. Entiendo que en un sistema de referencia que se encuentre en reposo solo el primer elemento $T^{00}$ tendrá valor (el resto serán nulos). Por eso no entiendo cuando más adelante dice;
"Y así, de acuerdo con lo que hemos visto, un fluído perfecto (visto desde un marco de referencia en reposo, sin fricción alguna, bajo una métrica Lorentziana) tendrá el siguiente tensor energía-tensión (se ha dado aquí a la velocidad de la luz cuyo cuadrado divide a las componentes p el valor de uno con el fin de simplificar la escritura de la matriz):"
$T=T^{ab}=$$\begin{pmatrix}\rho & 0 & 0 &0 \\0 & \rho & 0 & 0 \\0 & 0 &\rho & 0 \\0 &0 & 0 & \rho \\\end{pmatrix}$

[Richard R Richard]

"Y así, de acuerdo con lo que hemos visto, un fluído perfecto (visto desde un marco de referencia en reposo, sin fricción alguna, bajo una métrica Lorentziana) tendrá el siguiente tensor energía-tensión (se ha dado aquí a la velocidad de la luz cuyo cuadrado divide a las componentes p el valor de uno con el fin de simplificar la escritura de la matriz):"
$T=T^{ab}=$$\begin{pmatrix}\rho & 0 & 0 &0 \\0 & \rho & 0 & 0 \\0 & 0 &\rho & 0 \\0 &0 & 0 & \rho \\\end{pmatrix}$

no será

$T=T^{ab}=$$\begin{pmatrix}\rho & 0 & 0 &0 \\0 & p & 0 & 0 \\0 & 0 &p & 0 \\0 &0 & 0 & p \\\end{pmatrix}$

que creo es un error de tipeo.

Aver si lo explico bien porque de este tema solo tengo título de forero de buena voluntad... seguro hay muchos que te lo pueden explicar mas técnicamente, o con fundamentos más sólidos. Bueno pero por ahora le doy a la lata hasta que me mandan a callar...

lo veo de este modo si como dices, $T_{00 }$ es nulo, nada puede cambiar en el tiempo, si no lo es y el resto de la diagonal es nulo, entonces todo es estático, el tiempo pasa a determinada tasa, y las magnitudes del espacio no cambian.

el valor de la de $\rho$ dice que a mayor densidad de materia o energia , mas rápido cambia el tiempo.
y el de $p$ a mayor presion mas rapido puede cambiar esa dimensión, como el espacio es isótropo, vemos que experimentara los mismos fenómenos físicos en cualquier dirección espacial luego los tres componentes diagonales espaciales son iguales en magnitud $T_{11 }=T_{22 }=T_{33 }=p$ } donde p es el potencial de expandirse en esa dirección.

si las componentes simétricas $T_{01 },T_{10 },T_{02 },T_{20 },T_{03 },T_{30 }$ no fueran nulas entonces habría velocidad respecto del sistema de referencia en esa dirección, osea esa componente debería representar la energía cinetica relativa de las partículas respecto del sistema de referencia, o bien lo que cambia la energía del sistema en esa dirección por unidad de tiempo (tampoco lo tengo claro) .Pero como siempre nos lo presentan nulos no nos afecta en nada ypor eso no estamos considerando esos efectos en las métricas. Ej si 1 y 2 variaran tomando valores sinusoidalmente y sincrónicos, el espacio tiempo rota con momento angular en el eje 3.
Fijate que el tensor de Cauchy de donde partes, las $\sigma_{xy}$ son las que expresan como se deforma un objeto ante la presión, aquí será como cambian las coordenadas en esa dirección en ese tiempo.
Y las componentes verdes permitirían un flujo instantáneo de energía entre dimensiones, ahora estoy aquí y aparezco por allí, como eso no sucede , se sabe son nulas.

Espero con ansias, las correcciones al caso ... Saludos, espero te oriente .

[inakigarber]

Buenas noches, gracias por tu ayuda.

no será

$T=T^{ab}=$$\begin{pmatrix}\rho & 0 & 0 &0 \\0 & p & 0 & 0 \\0 & 0 &p & 0 \\0 &0 & 0 & p \\\end{pmatrix}$

que creo es un error de tipeo.

Si, me había equivocado.

Creo que voy empezando a entender las cosas.
Supongamos un fluido perfecto que se desplazara en un espacio tridimensional. Como es un fluido perfecto no hay transferencia perpendicular de momento ni de energía. Podríamos representarlo de la siguiente manera.
$\begin{pmatrix}p_1 & 0 & 0 \\0 & p_2 & 0 &\\0 & 0 &p_3\\\end{pmatrix}$, donde $p_1=mv_1$,$p_2=mv_2$ y $p_3=mv_3$. El resto de los elementos del operador serán nulos, justamente porque no hay transferencia perpendicular ni de momento, ni de energía. Esto nos quiere decir que tendremos transferencia de momento solo en los elementos diagonales de la matriz. En este caso tendremos tres superficies perpendiculares, una de x constante, otra de y constante y la última de z constante.

En un espacio cuatridimensional tendríamos una matriz diagonal como la que tu indicas.

Volviendo al post sobre relatividad que ocasionó la pregunta. El texto que puse en negrita y que vuelvo a poner, me parece que es bastante desafortunado. "Y así, de acuerdo con lo que hemos visto, un fluído perfecto (visto desde un marco de referencia en reposo, sin fricción alguna, bajo una métrica Lorentziana) tendrá el siguiente tensor energía-tensión (se ha dado aquí a la velocidad de la luz cuyo cuadrado divide a las componentes p el valor de uno con el fin de simplificar la escritura de la matriz):". Me parece desafortunado porque si el marco de referencia está en reposo, no hay movimiento y por tanto no hay momento lineal, en ese sistema de referencia la matriz sería;
$\begin{pmatrix}\rho & 0 & 0 &0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 &0 & 0 \\0 &0 & 0 & 0 \\\end{pmatrix}$. Otra cosa sería el caso en el que el fluido estuviera en otro sistema de referencia (inercial ó no) en el que no hubiera transferencias perpendiculares. Hay que tener en cuenta que estamos en un espacio cuatridimensional y que tenemos cuatro dimensiones, una temporal de t=constante, y tres espaciales de x,y y z constantes respectivamente.

Por tanto, si no estoy equivocado. En el sistema de referencia de un flujo en reposo, solo tendríamos un único valor, el primero y que estaría relacionado con la energía en reposo del sistema $m_o c^2$ (suponiendo que no hay otras fuentes de energía). En el sistema de referencia del mismo flujo en movimiento, el primer elemento sería $\gamma m_o c^2$ y el resto de los elementos diagonales de la matriz estarían relacionados con las correspondientes componentes sobre los ejes x, y y z del cuatrimomento, de forma similar a como lo era en el ejemplo clásico.

Esto es lo que creo haber entendido de esta cuestión.

[Richard R Richard]

Iñaki solo te pregunto, antes de contestarte, si has reparado en que la componente p del tensor son presiones no p de cantidad de movimiento

[Richard R Richard]

A ver si te sirve de guía esto, creo que estas confundido en que cosa es p, como te dije en mi comentario.

Pero el tensor EM, lo que revela es la geometría del propio espacio, veamos,

si tomo un cubo de longitud diferencial (sinónimo a que puede ser cualquier cosa, que podamos luego integrar o sumar) del espaciotiempo total.

Ese "cubo" si es un fluido perfecto, no puede mantener sus dimensiones a menos que algo, alguien o una fuerza restauradora lo mantenga en equilibrio. tal fuerza se pensaba en principio era la gravedad de la masa bariónica, pero es insuficiente.

Entonces el potencial para expandirse en el tiempo sobre los cubos vecinos, y estos últimos sobre él, lo da la densidad, la energía es proporcional a la masa, para este elemento necesitamos referir a la unidad del volumen (osea m/V) que estamos considerando

El potencial para expandir hacerlo en una dimensión cualquiera es la presión interna para fluir o bien una fuerza por unidad de área.
El contenido de ese elemento diferencial, modela como estarán distanciados, los demás elementos diferenciales de ese mismo espacio, permite medir distancias entre ellos en distintos tiempos,y compararlas con las mismas medidas de un espacio 3+1 local de un observador.

Evidentemente el universo tiene una densidad (de materia, de energía en fotones y de otros tipos de energía) no contenida por ninguna presión restauradora, por que por su propio potencial de presión (al ser un fluido perfecto) tiende a expandir , eso es reflejado por la métrica FLRW,visto que la atracción gravitatoria ,no limita la expansión, si no que por el contrario existe oto motor de expansión que es la constante cosmológica.

La cantidad de movimiento como tu describes sería la responsable de ubicar ese elemento diferencial en otra posición del espacio y el tiempo, y no algo que modifique su tamaño y su contenido en el tiempo.

[inakigarber]

Gracias por tus comentaríos.

Richard R Richard comentado

Hoy, 00:19:20
Iñaki solo te pregunto, antes de contestarte, si has reparado en que la componente p del tensor son presiones no p de cantidad de movimiento

No, no había reparado en la cuestión, luego lo que tenemos en los 4X4 componentes del tensor son presiones, y no cantidad de movimiento.
Luego, el símil más aproximado sería el de un fluido que tiene una presión determinada. Por supuesto, para que el fluido no se expanda se necesitaría de una presión reparadora que compense a la presión interior como lo explicas más adelante.

A ver si te sirve de guía esto, creo que estas confundido en que cosa es p, como te dije en mi comentario.

Pero el tensor EM, lo que revela es la geometría del propio espacio, veamos,....

Esto explicaría porque el tensor energía-tensión $(T_{uv})$ y el tensor de curvatura de Einstein $(G_{uv})$ dependen solo de una constante $\dfrac{8\pi G}{c^4}$.
Donde esta G representa a la constante de gravitación universal.

¿Es esto correcto?

[Richard R Richard]

No, no había reparado en la cuestión, luego lo que tenemos en los 4X4 componentes del tensor son presiones, y no cantidad de movimiento.

solo en las componenentes 11,22 y 33 hay presiones en 00 hay contenido energetico en foma de masa por unidad d volumen o densidad, el resto normalmente son nulas.

Por supuesto, para que el fluido no se expanda se necesitaría de una presión reparadora que compense a la presión interior como lo explicas más adelante.

Aver si puedo profundizar sin equivocarme, si lo que esta dentro del cubo, fluye hacia otro cubo, podemos medir su trabajo de expansión, si la gravedad de otro cubo frena la expansión, podemos medir el trabajo gravitatorio, si la radiación(de cualquier ancho de banda) emitida y recibida cruza las paredes del cubo podemos medir su efecto... pero entiendo que en lo modelos propuestos de universos , solo se explica la expansión acelerada, si algo mas impulsa el crecimiento.

Esto explicaría porque el tensor energía-tensión $(T_{uv})$ y el tensor de curvatura de Einstein $(G_{uv})$ dependen solo de una constante $\dfrac{8\pi G}{c^4}$.
Donde esta G representa a la constante de gravitación universal.

¿Es esto correcto?

cada fila y columna del tensor debe ser consistente en unidades, luego la constante que acompaña ese cambio entre geometría y energía es $\dfrac{8\pi G}{c^4}$.
Pero a la vez si te fijas cuando se resuelven las ecuaciones independientes que vinculan las componentes de los tensores $(T_{uv})$ y $(G_{uv})$ que son 10 de las 16 ya que se se repiten por simetría, hay que ser muy claro en como se define esa densidad, porque te vengo hablando de un cubo, pero cuando te pasas a coordenadas esféricas, cada fila tiene su constante de proporcionalidad$(c^2,\dfrac{1}{1+kr^2},r^2,r^2\sin^2\theta)$ estos valores dependen de la construcción de la métrica, es decir en un espacio 3d una densidad homogénea en (x,y,z), no lo es esféricas $(r,\theta,\phi)$
porque a medida que crece $r$ , el contenido de materia en las otras dos dimensiones depende de $r$, y en la tercera dimensión también de la $\theta<br />$

[inakigarber]

Gracias por tu ayuda y por tu tiempo.

solo en las componenentes 11,22y 33 en 00 hat¿y densidad, el resto normalmente son nulas.

No entiendo bien el texto, entiendo que los elementos diagonales $T_{11}$,$T_{22}$ y $T_{33}$ son tensiones, y entiendo que normalmente los elementos no diagonales son nulos, pero en el caso de que no lo fueran ¿todos los elementos del tensor se representan las mismas magnitudes físicas (presiones en el caso de los mencionados $T_{ab}$) a=b =1,2,3? hasta ahora habría dicho que si sin dudarlo, pero ya no se que pensar. En el caso de que no fuera así, ¿Qué magnitudes habría que poner en cada posición del tensor?

Bien, veamos, si los términos $T_{11}$,$T_{22}$ y $T_{33}$, expresan una presión, se expresan en unidades de $\dfrac{F}{S}= \dfrac{ma}{x^3}$, esto se expresaría en unidades de $\dfrac{Kg}{x^2 \cdot seg^2}$

Siguiendo adelante con el blog que estoy leyendo, dice sobre los elementos con $T_{i0}$, los define como "como el flujo de 1-momentum a través de una superficie de t = constante, lo cual viene siendo la densidad del momentum a lo largo de la dirección 1", esto se mediría en unidades de;
$\dfrac{P}{x^3}=\dfrac{mv}{x^3}=\dfrac{Kg}{x^2 \cdot seg}$.
Si consideramos que el tensor es simétrico, $T_{i0}=T_{0j}$, también este se expresará en las mismas unidades. Esto lo hago considerando que estamos en un espacio cuatridimensional, por tanto las superficies son tridimensionales. Por tanto, me sale que los elementos diagonales arriba mencionados $T_{11}$,$T_{22}$ y $T_{33}$, no expresan las mismas magnitudes físicas que los de los elementos $T_{i0}$ y $T_{0j}$, pero no se si estoy equivocado, supongo que sí,

[Richard R Richard]

pero en el caso de que no lo fueran ¿todos los elementos del tensor se representan las mismas magnitudes físicas (presiones en el caso de los mencionados $T_{ab}$) a=b =1,2,3? hasta ahora habría dicho que si sin dudarlo, pero ya no se que pensar. En el caso de que no fuera así, ¿Qué magnitudes habría que poner en cada posición del tensor?

Anduve leyendo algo, intentare se mas didáctico, si tienes un escalar para representar energía , la única componente aporta la información necesaria,
pero con mas dimensiones las componentes xy dan información en esa dirección y aporte de energía es $T_{xy}dxdy$ para un elemento diferencial la energía total la da la sumatoria de las 16 componentes multiplicadas por lo diferenciales...cada término de esa sumatoria consistente en unidades, luego cada componente tiene su propia magnitud y unidad ej T00 energía sobre tiempo al cuadrado, la constante ...

lo que $\dfrac{8\pi G}{c^4}$ arregla es una compatibilidad de unidades de cada uno de los 16 elementos del tensor con los respectivos 16 del otro tensor.

Pero lo que intentaba decirte es lo siguiente , en un espacio 3d homogéneo e isótropo ,si en la dirección x tomamos 1 metro de distancia, como espacio diferencial , allí tenemos una determinada presión, que será la misma en la dirección y y también en z, pero si tomas, $r,\theta \phi$en esféricas tendrán presiones diferentes ya que las longitudes analizadas en esas direcciones son distintas a un metro.

Por analogía en el espacio tiempo 3+1 cuya métrica es la FLRW, la métrica $g_{uv}$ sirve para cambiar de sistema de coordenadas entre un sistema $t,x,y,z$ y uno $t,r,\theta,phi$ por lo que de buenas a primeras la presiones de cada componente espacial 1,2,3 en este espacio tiempo no necesariamente tienen ni la misma magnitud ni las misma unidades.

Bien, veamos, si los términos $T_{11}$,$T_{22}$ y $T_{33}$, expresan una presión, se expresan en unidades de $\dfrac{F}{S}= \dfrac{ma}{x^3}$, esto se expresaría en unidades de $\dfrac{Kg}{x^2 \cdot seg^2}$

la unidad de cada componente del tensor es ,la unidad de energía , dividido la unidad de la componente fila y columna, $T_{11}$ es energía sobre m^2, $T_{00}$ energía sobre segundo cuadrado, y $T_{10}$ energía sobre metro sobre segundo. pero cuando la representas en función de una métrica como la FLRW, ya no e así por la propia definición de la métrica.

Siguiendo adelante con el blog que estoy leyendo, dice sobre los elementos con $T_{i0}$, los define como "como el flujo de 1-momentum a través de una superficie de t = constante, lo cual viene siendo la densidad del momentum a lo largo de la dirección 1", esto se mediría en unidades de;
$\dfrac{P}{x^3}=\dfrac{mv}{x^3}=\dfrac{Kg}{x^2 \cdot seg}$

Es fácil verlo cuando es un flujo de energía por unidad de área, ejemplo un rectángulo de dimensiones x,y tiene un vector perpendicular al plano que puedes usar como dirección de flujo y lo que sea que atraviesa esa área lo divides por el valor del área para tener una presión. pero cuando mezclas espacio y tiempo ya se ve tan claro que es cada cosa.

Si consideramos que el tensor es simétrico, $T_{i0}=T_{0j}$, también este se expresará en las mismas unidades. Esto lo hago considerando que estamos en un espacio cuatridimensional, por tanto las superficies son tridimensionales. Por tanto, me sale que los elementos diagonales arriba mencionados $T_{11}$,$T_{22}$ y $T_{33}$, no expresan las mismas magnitudes físicas que los de los elementos $T_{i0}$ y $T_{0j}$, pero no se si estoy equivocado, supongo que sí,

por supuesto, tienen razón, lo que tiene la misma unidad es siempre el resultado de la de multiplicación de la componente y Área atravesada, y no cada componente por si sola, si son componentes espaciales xy (12) por ej es fácil ver el área , pero xt (10) no es tan fácil, en realidad es (ct)x para que se mida ct en metros.

Aver si con una fórmula se entiende

puedes establecer el contenido energético de una determinada región como

$\dst \sum_{ij} T_{ij} x_i x_j = T_{00} t t+ T_{01} x t +....+ t_{33} z z$ si las i y las j tienen diferente unidades evidentemente para no sumar peras con mazanas la $t_{ij }$ no pueden tener las mismas unidades entre si, en esferica esto es mas evidente.

[inakigarber]

Gracias por tu explicación;

...Aver si con una fórmula se entiende

puedes establecer el contenido energético de una determinada región como

$\dst \sum_{ij} T_{ij} x_i x_j = T_{00} t t+ T_{01} x t +....+ t_{33} z z$ si las i y las j tienen diferente unidades evidentemente para no sumar peras con mazanas la $t_{ij }$ no pueden tener las mismas unidades entre si, en esferica esto es mas evidente.

Creo que así empiezo a entenderlo, sin entrar en las coordenadas esféricas. La primera coordenada del tensor se mediría en unidades de $T_{00}=\dfrac{Julios}{Seg^2}$, el resto de coordenadas de la primera fila se medirán en unidades de $T_{0j}=\dfrac{Julios}{Metros\cdot Seg}$. Los elementos de la primera columna, excepto el mencionado $(T_{00})$, también se medirán en $T_{0j}=\dfrac{Julios}{Metros\cdot Seg}$, pero esto me causa otro problema, ya que según esto se mediría en unidades de $\dfrac{Julios}{Metro^2}$, que sería el equivalente a $\dfrac{Newton}{Metro}$, pero las unidades de presión son $\dfrac{Newton}{Metro^2}$, por lo que algo no me cuadra.

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Fíjate bien si estas usando correctamente las unidades , por ejemplo que no estén en el blog usando unidades de Planck , al no tener el valor de la constante c o G te jueguen la unidades una mala pasada. creo que la diferencia es que $\rho c^2=p$

[inakigarber]

Richard R Richard comentado
Hoy, 04:28:59
Fíjate bien si estas usando correctamente las unidades , por ejemplo que no estén en el blog usando unidades de Planck , al no tener el valor de la constante c o G te jueguen la unidades una mala pasada. creo que la diferencia es que$\rho c^2=p$

No lo se, pero creo que el error tiene que ver con el hecho de que estamos tratando de un espacio cuatridimensional, en el que la "superficie" tiene tres dimensiones, para $t=constante$ se mide en $Metros^3$. Entonces, si que me saldrían los elementos diagonales expresados en unidades de presión. $\dfrac{Newton}{Metros^2}$, pero aún no lo tengo claro.

[inakigarber]

Buenas noches;

Creo que lo he entendido. La clave está en la ecuación $T^{\mu v}=\rho U^\mu U^v$, donde $T^{\mu v}$ representa a cada uno de los valores del tensor, $\rho$ es la densidad en $Kg/x^3$, (donde x es la distancia en metros) y $U^\mu$ y $U^v$ son velocidades expresadas en $\dfrac{x}{t}$. ¿En que unidades se expresan los componentes del tensor?
$\dfrac{Kg x^2}{x^3 t^2}=\dfrac{Kg}{x t^2}$;

En principio esto no me dijo nada, pero ayer repasando las unidades de presión me di cuenta de que;
$P=\dfrac{F}{x^2}$. Por la definición de F, tendremos $\dfrac{Kg \cdot x t^{-2}}{x}=\dfrac{Kg}{x t^2}$

El factor $\gamma$ que aparece más adelante es adimensional, por lo que no es relevante para la explicación que acabo de dar.

Luego, lo que el tensor expresa son presiones, siento haber sido tan torpe y no haberme dado en cuenta antes,

En este contexto, la matriz $\begin{pmatrix}\rho & 0&0& 0\\0 &p&0&0\\0&0&p &0\\0&0&0&p\\\end{pmatrix}$ es perfectamente entendible.