Otras carreras Adición relativista de velocidades y cuadrivector velocidad

[Levenspiel]

Hola a todos

Mi pregunta es: ¿Existe alguna relación entre el cuadrivector velocidad y la ley de adición relativista de velocidades?
Sé que la ley de velocidades se obtiene de la derivación de las transformadas de Lorentz. Igualmente sé que el cuadrivector velocidad se obtiene por derivación del cuadrivector posición respecto al tiempo propio de la partícula.

Por alguna causa mi mente pensó que debía llegarse por los dos caminos al mismo lugar pero creo que no es así y, de hecho, todos los lugares que leo lo tratan como algo totalmente distinto.

¿Existe alguna relación?

Siento si la pregunta es muy simple. Estoy aprendiendo relatividad de forma más o menos autodidacta y voy poco a poco y lentamente entendiendo conceptos.

[carroza]

Hola.

No hay una relación, que yo sepa. Hay que tener en cuenta que la velocidad, $\vec v = {d \vec r \over dt}$ no es un cuadrivector. Estrictamente hablando, la "adición" de velocidades es más bien la velocidad $\vec{ v'}$a la que se observa un objeto, desde un sistema de referencia en movimiento con velocidad $\vec u$ con respecto a otro sistema , en el que el objeto tiene una velocidad $\vec v$.

En ese sentido, es muy diferente, por ejemplo, a la adición del momento de dos partículas, para obtener el momento del sistema total. En ese caso, la adición es simplemente $\vec P = \vec p_1 + \vec p_2$

saludos

[pod]

Por definición, la cuadrivelocidad es la derivada respecto del tiempo propio de la cuadriposición,

$$u^\mu = \dfrac{\dd x^\mu}{\dd \tau} , \qquad x^\mu = (ct, x, y, z) .$$

De nuevo, por definición, la velocidad normal (podríamos llamarla "trivelocidad") es la derivada respecto del tiempo coordenado,

$$v^i = \frac{\dd x^i}{\dd t}, \qquad x^i = (x, y, z).$$

Veamos que relación hay entre ambas. Si partimos de (1) y aplicamos la regla de la cadena, vemos que

$$u^\mu = \dfrac{\dd x^\mu}{\dd t} \dfrac{\dd t}{\dd \tau} .$$

La segunda derivada, según las transformaciones de Lorentz y asumiendo que todo es inercial (la velocidad del sistema de referencia, $w$, no cambia, luego es una constante en la derivada) es

$$\dfrac{\dd t}{\dd \tau} = \gamma = \frac1{\sqrt{1-(w/c)^2}} .$$

Con esto, la componente temporal $\mu=0$ de (3) es muy sencilla, ja que $x^0 = ct$:

$$u^0 = \gamma c.$$

Las componentes espaciales, $\mu = i = 1,2,3$ nos descubren la trivelocidad:

$$u^i= \underbrace{\dfrac{\dd x^\mu}{\dd t}}_{v_i} \underbrace{\dfrac{\dd t}{\dd \tau}}_\gamma .$$

Por lo tanto, la cuadrivelocidad se puede escribir como

$$\boxed{ u^\mu = (\gamma c, \gamma \vec v).}$$

Este es el objecto que se transforma como un cuadri-vector. En teoría sería posible plantar una transformación de Poincaré ${\Lambda^\mu}_\nu$, de forma que la cuadri-velocidad transformaría como ${u'}^\mu = {\Lambda^\mu}_\nu u^\nu$ y a partir de ahí ver como transforma $\vec v$. Pero la verdad es que hacerlo así es bastante más complicado que la forma usual. Probablemente por eso siempre lo encuentras hecho por separado.

En cualquier caso, la relación entre tri y cuadrivelocidad es la que te da la ecuación (7). También puedes encontrarla en los formularios de relatividad que tenemos en La web de Física, como éste formulario de electrodinámica clásica y este otro formulario de relatividad especial.