Dimensiones compactas

[gaudius]

Cuando en Teoria de Cuerdas, la gente se refiere a dimensiones compactas, ¿Que quieren decir?
Por ejemplo: Si tenemos 2 dimensiones extensas (x,y), una dimension compacta (u) y una dimension temporal (t), se cumple?

$\dst{\frac {dx}{dy}=1}$

$\dst{\frac {dx}{du}=k>1}$

$\dst{\frac {dx}{dt}=c}$

$\dst{\frac {du}{dt}=\frac {c}{k}<c}$

¿Un toroide seria una buena representacion visual aproximada de 1 dimension extensa y 1 compacta?
¿Hay 2 velocidades de la luz?

[gaudius]

Quizas deberia haber escrito que $\dst{dx}$ representa el modulo del vector $\dst{\vec dx}$ y la parte espacial de un tensor geometrico plano deberia ser algo asi como:

$\dst{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \frac {1}{k^2}\end{bmatrix}}$

[carroza]

Hola. El carácter compacto o no compacto de una dimensión no depende de sus propiedades locales, es decir, no depende del valor de las derivadas.
Depende de las propiedades topológicas, es decir, del carácter del intervalo de los valores que puede tomar.

De lo que recuerdo de Análisis, un intervalo compacto era un intervalo cerrado y acotado, como $[0, 2\pi]$. Un intervalo no compacto era, típicamente $(-\infty, +\infty)$ .

Extendiendo esto, una dimensión es compacta cuando toma valores en un intervalo compacto. Dicho de otra manera, que si aumentamos los valores del parámetro a lo largo de una dimensión compacta, volvemos al punto de partida. Una dimensión en no compacta cuando toma valores en un intervalo no compacto. Dicho de otra manera, en que si aumentamos los valores del parámetro, no volvemos al pinto de partida.

Dicho esto, podemos visualizar distintas superficies, para ver su carácter:

Un plano es no compacto en sus dos dimensiones.
La superficie de una esfera es compacta en sus dos dimensiones.
La superficie de un toro también es compacta en sus dos dimensiones, aunque es topológicamente diferente de una esfera.
La superficie de un cilindro es compacta en una dimensión y no compacta en la otra.

Saludos

[gaudius]

Gracias Carroza. Pero esto no lo veo.
Una misma forma topologica (un plano) puede ser descrito, al menos, de 2 formas diferentes:

En coordenadas cartesianas $\dst{(x,y,0)}$, con 2 dimensiones extensas.

$\dst{^{(3)}g_{uv}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} }$

Y en coordenadas esfericas $\dst{(r,\frac {\pi}{2},\varphi)}$, con 1 dimension extensa y 1 compacta.

$\dst{^{(3)}g_{uv}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & r^2\end{bmatrix}}$

E incluso un plano con curvatura 'k':

En coordenadas esfericas:

$\dst{^{(3)}g_{uv}=\begin{bmatrix} \frac {1} {1-kr^2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & r^2\end{bmatrix}}$

Tiene para $\dst{k>0}$, 2 dimensiones compactas y para $\dst{k \leq 0}$, 1 dimension extensa y 1 compacta.

En coordenadas cartesianas:

$\dst{^{(3)}g_{uv}=\begin{bmatrix} \frac {1-ky^2}{1-k(x^2+y^2)} & \frac {kxy}{1-k(x^2+y^2)} & 0\\ \frac {kxy}{1-k(x^2+y^2)} & \frac {1-kx^2}{1-k(x^2+y^2)} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}}$

Para $\dst{k>0}$, 2 dimensiones compactas y para $\dst{k \leq 0}$, 2 dimensiones extensas.

Yo creo que esto vá, mas bien, de compactar 2 dimensiones extensas en 1 extensa y 1 compacta a base de introducir una curvatura 'k' que afecte a solo 1 dimension.

[Weip]

Hola gaudius.

Y en coordenadas esfericas $\dst{(r,\frac {\pi}{2},\varphi)}$, con 1 dimension extensa y 1 compacta.

La compacidad es una propiedad topológica y no depende de las coordenadas. En el caso del plano (espacio), por mucho que uses coordenadas polares (esféricas), sigues en una variedad que no es compacta. Quizás es el lenguaje llano que se emplea a veces lo que te ha despistado. Sin saber demasiado del tema, en cuerdas lo que se tiene por ejemplo es que un espaciotiempo estilo $X \times \mathbb{R}$ pasa a ser de la forma $X \times S^1$ compactificando una de las dimensiones extendidas, donde $X$ no es compacto y tiene la dimensionalidad que le toque. Aquí, se puede decir que una de las dimensiones, $S^1$, es compacta, puesto que es una circunferencia. También se suele decir que hemos compactificado $\mathbb{R}$ en $S^1$.
No sé si esto te aclara un poco más el asunto.

[carroza]

Hola. A ver, Weip, tu como matemático nos puedes aclarar esto:

Creo que tanto Gaudius como yo tenemos claro que la circunferencia, la superficie de un circulo, la superficie de un toro, etc, no importa como lo parametricemos, son conjuntos (o debo decir mejor variedades?) compactas.

Tambien tenemos claro que una recta, o un plano, o el espacio, son conjuntos (variedades?) no compactos, independientemente de que los parametricemos en cartesianas o en polares.

La duda que me surge, vista la objeción de Gaudius , es si hay alguna diferencia, a efecto de compacidad, entre un plano (que podemos describir en polares con $(r, \theta)$, y la superficie de un cilindro (que podríamos tambien parametrizar con dos coordenadas $(z, \theta)$.

Es claro que la superficie de un cilindro es diferente topológicamente a la superficie de un plano, y es claro que ambos son conjuntos (variedades?) no compactas. Podemos decir que, en cierto modo, el plano es "menos compacto" que la superficie del cilindro? Podemos decir, sin hablar de coordenadas, que el plano tiene dos "dimensiones" no compactas, mientras que el cilindro tiene una "compacta" y otra "no compacta"?

De hecho, en física (y no solo en teoría de cuerdas), se habla de "compactificar" dimensiones, en el mismo sentido de "curvarlas", es decir, hacerlas que varíen en un intervalo cerrado y acotado.

Un saludo

[Weip]

Hola de nuevo.

Primero un comentario para gaudius. En vista a que te basas demasiado en la métrica para el tema de ver si una dimensión es compacta, déjame decirte que es peligroso porque existen ejemplos tan interesantes como el 2-toro $T^2$. De lo poco que sé de cuerdas me consta que se suele poner de ejemplo de variedad Calabi-Yau compacta. Lo sorprendente acerca de $T^2$ es que a pesar de ser compacto, y bueno, ser un toro, ¡puedes meterle una métrica plana! Así que, a priori, mirar métricas no es buena idea. Lo correcto es poner coordenadas primero, compactificar y luego ya si eso miras la métrica que tienes. Pero no al revés.

Ahora respondo a carroza.

La duda que me surge, vista la objeción de Gaudius , es si hay alguna diferencia, a efecto de compacidad, entre un plano (que podemos describir en polares con $(r, \theta)$, y la superficie de un cilindro (que podríamos tambien parametrizar con dos coordenadas $(z, \theta)$.

Es claro que la superficie de un cilindro es diferente topológicamente a la superficie de un plano, y es claro que ambos son conjuntos (variedades?) no compactas. Podemos decir que, en cierto modo, el plano es "menos compacto" que la superficie del cilindro?

Hasta lo que sé, no hay diferencias en términos de compacidad. La intuición que creo que debes tener (corrígeme si me equivoco) es que de alguna forma tienes una periodicidad en el cilindro que no tienes en el plano. Esto tal como suena podría indicar una diferencia en términos de compacidad, pero lo cierto es que es una diferencia en términos de conexión. Es decir, en el cilindro existen caminos cerrados que no se pueden contraer en un punto (los caminos que rodean al cilindro), mientras que en el plano todo camino cerrado es contraíble en un punto (porque no está ese $S^1$ que antes en el cilindro impedía esa contracción). La existencia de estos caminos en el cilindro indican que tiene un agujero mientras que el plano no. De forma más técnica, el grupo fundamental del cilindro no es trivial.

En este sentido, no hay una noción de que el plano sea menos compacto que el cilindro. Porque la compacidad se tiene o no se tiene, y lo que distingue los caminos cerrados que rodean al cilindro de los caminos cerrados en el plano es el agujero.

Podemos decir, sin hablar de coordenadas, que el plano tiene dos "dimensiones" no compactas, mientras que el cilindro tiene una "compacta" y otra "no compacta"?

De hecho, en física (y no solo en teoría de cuerdas), se habla de "compactificar" dimensiones, en el mismo sentido de "curvarlas", es decir, hacerlas que varíen en un intervalo cerrado y acotado.

Sin coordenadas de alguna manera se puede hablar de dimensión, pero no de los "ejes" que tenemos todos en la cabeza. Para eso necesitamos coordenadas sí o sí. Por tanto esto de dimensiones compactas o no compactas tal como lo planteas es una denominación informal basada en ejemplos bien conocidos como el plano o el cilindro. Aún así fíjate que en los libros de cuerdas el espaciotiempo ya lo tenemos, con sus coordenadas, campos y lo que haga falta. Es luego que se compactifica parte de ese espaciotiempo como consecuencia de poder hacer descomposiciones en productos cartesianos y luego ya el último cambio es imponer que ciertas coordenadas sean periódicas. Con lo que esas denominaciones en el contexto adecuado son correctas, como cuando en los libros se compactifica una teoría en la circunferencia, por que ya tenemos coordenadas puestas de antes.



Quisiera hacer una última reflexión. Porque a veces llevamos estos temas al terreno de cosas fáciles como $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R} \times S^1$ porque es muy evidente lo que es una dimensión compacta o no compacta. Al final es resultado de la descomposicion en producto cartesiano lo que se nos permite pensar así. Pero podríamos reescribir $\mathbb{R}^2$ como $(D^2/S^1)-\lbrace{x\rbrace}$. Tenemos el plano escrito en términos de $D^2$ y $S^1$, ambos compactos. Además, son objetos con dimensión distinta. ¿Cuál es la dimensión de $(D^2/S^1)-\lbrace{x\rbrace}$? ¿Tiene alguna dimensión compacta? Ya sabemos que esto es el plano así que estas preguntas no tienen emoción alguna. Pero fijaos que no es nada evidente a priori si no supiéramos nada de $(D^2/S^1)-\lbrace{x\rbrace}$. Tendríamos que hacer aquí un trabajo largo para acabar respondiendo las preguntas.

Y la naturaleza es más cruel que el ejemplo que he puesto. Normalmente no se compactifica en $S^1$, se compactifica en cosas más abstractas. En los libros de cuerdas se puede encontrar lo siguiente. Un ejemplo de superficie K3 algebraica es el conjunto de ceros del polinomio $z_{1}^2+z_{2}^2+z_{3}^2+z_{4}^2$ en el espacio proyectivo complejo de dimensión 3. Así a bote pronto, ¿qué intuición tenemos sobre esta superficie? A priori ninguna. Así que con este panorama, identificar las dimensiones o tratar temas de compacidad no es nada evidente.

¡Saludos!

[gaudius]

Hola.
Estoy leyendo el libro de Lisa Randall ''Universos ocultos'' y he querido profundizar un poco en el tema. Y me he metido en un jardin que supera con mucho mis conocimientos.

¿Quieres decir que si dibujamos una circunferencia sobre una superficie y podemos reducir cualquier circunferencia dibujada en un punto nos encontramos en una superficie con dimensiones extensas. Pero si hay circunferencias que no se pueden reducir porque hay agujeros por medio, entonces es que hay dimensiones compactas?
Por ejemplo, una superficie esferica tendria 2 dimensiones extensas. Una superficie cilindrica tendria 1 dimension compacta. Una superficie torica tendria 2 dimensiones compactas?

Y claro. Esto es independiente de la metrica que usemos. Ya he aprendido mucho. Gracias.
Saludos.

[Weip]

¿Quieres decir que si dibujamos una circunferencia sobre una superficie y podemos reducir cualquier circunferencia dibujada en un punto nos encontramos en una superficie con dimensiones extensas. Pero si hay circunferencias que no se pueden reducir porque hay agujeros por medio, entonces es que hay dimensiones compactas?

No no, para nada. La esfera es un contraejemplo a lo que dices. Observa en la figura de abajo que todo camino cerrado que tu puedas hacer se puede contraer en un punto, pero la esfera es compacta:

O sea esto es por el tema de la conexidad, no de la compacidad. Lo he dicho porque hablábamos del cilindro, por nada más.

Por ejemplo, una superficie esferica tendria 2 dimensiones extensas.

Tampoco, una esfera es compacta en sus dos dimensiones.

Una superficie cilindrica tendria 1 dimension compacta. Una superficie torica tendria 2 dimensiones compactas?

Esto sí está bien dicho.

[carroza]

Hola de nuevo.


Sin coordenadas de alguna manera se puede hablar de dimensión, pero no de los "ejes" que tenemos todos en la cabeza. Para eso necesitamos coordenadas sí o sí. Por tanto esto de dimensiones compactas o no compactas tal como lo planteas es una denominación informal basada en ejemplos bien conocidos como el plano o el cilindro. Aún así fíjate que en los libros de cuerdas el espaciotiempo ya lo tenemos, con sus coordenadas, campos y lo que haga falta. Es luego que se compactifica parte de ese espaciotiempo como consecuencia de poder hacer descomposiciones en productos cartesianos y luego ya el último cambio es imponer que ciertas coordenadas sean periódicas. Con lo que esas denominaciones en el contexto adecuado son correctas, como cuando en los libros se compactifica una teoría en la circunferencia, por que ya tenemos coordenadas puestas de antes.



Quisiera hacer una última reflexión. Porque a veces llevamos estos temas al terreno de cosas fáciles como $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R} \times S^1$ porque es muy evidente lo que es una dimensión compacta o no compacta. Al final es resultado de la descomposicion en producto cartesiano lo que se nos permite pensar así. Pero podríamos reescribir $\mathbb{R}^2$ como $(D^2/S^1)-\lbrace{x\rbrace}$. Tenemos el plano escrito en términos de $D^2$ y $S^1$, ambos compactos. Además, son objetos con dimensión distinta. ¿Cuál es la dimensión de $(D^2/S^1)-\lbrace{x\rbrace}$? ¿Tiene alguna dimensión compacta? Ya sabemos que esto es el plano así que estas preguntas no tienen emoción alguna. Pero fijaos que no es nada evidente a priori si no supiéramos nada de $(D^2/S^1)-\lbrace{x\rbrace}$. Tendríamos que hacer aquí un trabajo largo para acabar respondiendo las preguntas.

Y la naturaleza es más cruel que el ejemplo que he puesto. Normalmente no se compactifica en $S^1$, se compactifica en cosas más abstractas. En los libros de cuerdas se puede encontrar lo siguiente. Un ejemplo de superficie K3 algebraica es el conjunto de ceros del polinomio $z_{1}^2+z_{2}^2+z_{3}^2+z_{4}^2$ en el espacio proyectivo complejo de dimensión 3. Así a bote pronto, ¿qué intuición tenemos sobre esta superficie? A priori ninguna. Así que con este panorama, identificar las dimensiones o tratar temas de compacidad no es nada evidente.

¡Saludos!

Ok, Weip. Voy a poner lo que creo que he entendido. Corrigeme si me equivoco.

1) La diferencia entre plano y superficie del dilindro no es cuestión de compacidad. Es cuestión de conectividad. El cilindro contiene curvas cerradas que no se pueden reducir a un punto. En ese sentido, Un plano con un agujero sí sería isomorfo (se dice así?) con la superficie de un cilindro. Volviendo al argumento de Gaudius sobre las coordenadas polares para describir a un plano, entiendo que para que las coordenadas polares fueran una descripción fiel, uno a uno, de los puntos del plano, tendriamos que excluir el origen, ya que todas las coordenadas $(r=0, \theta)$ corresponderían al mismo punto, que es el origen. Así, el plano excloyendo el origen puede describirse con coordenadas $(r, \theta)$ donde r está en el intervalo abierto $(0, \infty)$ y $\theta$ en el intervalo cerrado $[0, 2 \pi]$, y esto es isomorfo al cilindro con coordenadas $(z, \theta)$, donde z está en el intervalo abierto $(-\infty, \infty)$ y $\theta$ en el intervalo cerrado $[0, 2 \pi]$.

2) La cuestión de "dimensiones" sin una elección específicva de coordenadas, puede hacerse para "cosas fáciles", que factorizan, como $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, o $\mathbb{R} \times S^1$. En concreto, si tenemos $\mathbb{R}^N = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \dots \times \mathbb{R}$, podemos hablar de una "dimensión" por cada una de las $\mathbb{R}$, y compactificar cada una de ellas convirtiendolas en $S^1$, o algo compacto más complejo.

3) Me he perdido con $(D^2/S^1)-\lbrace{x\rbrace}$. ¿Qué conjunto es ese? ¿es relevante para algo en física?

Un saludo

[gaudius]

Hola.
Esto es un tanto complicado.
En la pagina: https://www.matem.unam.mx/~max/TOP/N13.pdf 'Conexidad y compacidad' dice que:
''Todos los espacios topologicos finitos son compactos sin importar su topologia''
Esto vá bien para una superficie esferica y para una superficie torica. Todas sus dimensiones son compactas. ¿Que pasa con los espacios infinitos? Alguna o todas de sus dimensiones deben ser infinitas. ¿Vale la prueba del mensaje anterior? ''...Pero si hay circunferencias que no se pueden reducir porque hay agujeros por medio, entonces es que hay dimensiones compactas''. Un plano es un espacio infinito pero puede tener 2 dimensiones extensas o 1 dimension extensa y 1 compacta. Una superficie cilindrica solo puede tener 1 dimension extensa y una compacta.
Saludos.

[Weip]

Hola carroza.

1) La diferencia entre plano y superficie del dilindro no es cuestión de compacidad. Es cuestión de conectividad.

Sí, efectivamente. Lo único déjame ser titismiquis: se dice conexión, no conectividad. Ya sabes, un espacio conexo es de una sola pieza, uno disconexo es de más de una pieza. Esa conexión es a la que me refiero.

El cilindro contiene curvas cerradas que no se pueden reducir a un punto. En ese sentido, Un plano con un agujero sí sería isomorfo (se dice así?) con la superficie de un cilindro.

Diríamos que el cilindro es homeomorfo al plano con un agujero (de hecho, al plano menos un punto). Homeomorfo = aplicación continua, biyectiva y de inversa continua. En pocas palabras, deformaciones continuas que son reversibles. Isomorfos serían sus respectivos grupos fundamentales aunque en este caso particular son exactamente iguales y escribiríamos $\pi_1(\mathbb{R} \times S^1)=\pi_1(\mathbb{R}^2 -\lbrace x \rbrace)=\mathbb{Z}$. Sin entrar en muchos detalles, el grupo fundamental $\pi_1(X)$ es un grupo que es igual a si no hay agujeros de dimensión 1 (estilo circunferencia) y distinto de si hay agujeros. En este caso es igual a $\mathbb{Z}$: cada entero indica el número de vueltas que puedes dar con los caminos cerrados de los que hablábamos. Es decir, puedes tener caminos que dan una vuelta al cilindro, dos vueltas, tres vueltas... o una vuelta en sentido contrario, dos vueltas en sentido contrario, etc.

Volviendo al argumento de Gaudius sobre las coordenadas polares para describir a un plano, entiendo que para que las coordenadas polares fueran una descripción fiel, uno a uno, de los puntos del plano, tendriamos que excluir el origen, ya que todas las coordenadas $(r=0, \theta)$ corresponderían al mismo punto, que es el origen. Así, el plano excloyendo el origen puede describirse con coordenadas $(r, \theta)$ donde r está en el intervalo abierto $(0, \infty)$ y $\theta$ en el intervalo cerrado $[0, 2 \pi]$, y esto es isomorfo al cilindro con coordenadas $(z, \theta)$, donde z está en el intervalo abierto $(-\infty, \infty)$ y $\theta$ en el intervalo cerrado $[0, 2 \pi]$.

Aquí hay que tener un poco de cuidado. Poner coordenadas es una cosa que haces sobre algo que ya existe, que es el plano visto como variedad topológica. En este sentido tienes todos los puntos del plano. Aún cuándo usemos coordenadas polares y excluyamos el origen, eso no implica que estemos cogiendos el plano y le estemos quitando un punto quedando así un agujero (*). El que el 0 no esté previsto en las coordenadas polares es problema de las coordenadas, no de la topologia del plano. Con lo que el plano en polares topológicamente es un plano en cartesianas y un plano en las coordenadas que se deseen; incluso un plano sin coordenadas, es indiferente, estos planos nunca serán homeomorfos a un cilindro.

Otra cosilla: en polares la coordenada $\theta$ varía en $[0, 2 \pi)$ y no en $[0, 2 \pi]$. Esto es importante porque me da la sensación que das a entender que $\theta$ varía en un intervalo compacto, pero no es cierto puesto que $[0, 2 \pi)$ no es compacto.

2) La cuestión de "dimensiones" sin una elección específicva de coordenadas, puede hacerse para "cosas fáciles", que factorizan, como $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, o $\mathbb{R} \times S^1$. En concreto, si tenemos $\mathbb{R}^N = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \dots \times \mathbb{R}$, podemos hablar de una "dimensión" por cada una de las $\mathbb{R}$, y compactificar cada una de ellas convirtiendolas en $S^1$, o algo compacto más complejo.

Sí, exacto.

3) Me he perdido con $(D^2/S^1)-\lbrace{x\rbrace}$. ¿Qué conjunto es ese? ¿es relevante para algo en física?

$(D^2/S^1)-\lbrace{x\rbrace}=\mathbb{R}^2$. Es el plano de toda la vida. Lo he escrito así de raro para que se vea que si escribimos $\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ está muy claro que es una dimensión, aunque sea de manera informal. Pero con una simple reescritura como $(D^2/S^1)-\lbrace{x\rbrace}$ pues... No es nada evidente si esto es de dimensión 2, si es compacto o no, ¡o siquiera si es connexo! Que es un ejemplo tonto porque es rizar el rizo, pero era para que se viera que incluso en ejemplos tan fáciles como el plano no es evidente como factorizarlo de manera que sea claro cuántas dimensiones tiene y si estas son compactas o no.

Por explicarme un poco más, $D^2$ es el disco cerrado y $S^1$ es una circunferencia. ¡Fíjate que son compactos los dos! Lo digo porque vamos a combinarlos de forma que el resultado será $\mathbb{R}^2$, que no es compacto. Ahora, $D^2/S^1$ es el cociente del disco $D^2$ entre la circunferencia $S^1$. Un cociente lo que hace es lo siguiente: coge el denominador y lo estruja en un punto. Esto es, cogemos el denominador, la cirunferencia $S^1$, que es la frontera de $D^2$, y lo estrujamos en un punto. En nuestras cabezas debería quedar una esfera $S^2$. Dejo por aquí un gif del proceso (tarda un poco creo pero funciona):

Seguidamente realizamos la operación $S^2- \lbrace{x\rbrace}$, es decir, cogemos la esfera y le quitamos un punto cualquiera. A efectos de visualización se puede pensar en el polo norte. Si le quitamos el polo norte a una esfera de repente se desmantela y cae en la mesa, de forma que queda el plano $\mathbb{R}^2$.

Bueno no sé si la explicación ha quedado pesada porque estas cosas son de imaginación pero bueno espero que el gif haya servido para visualizar la parte un poco más difícil. Esto de Física tiene poco pero bueno, a efectos prácticos estas partes técnicas se omiten y se estudia directamente la teoria en cuestión en la compactificación, se estudian las ecuaciones del movimiento de los campos, etc. Hasta lo que sé, porque es conocido que yo de cuerdas nada de nada jaja.

(*) Nota: Haciendo honor a la verdad pasar a polares sí tiene consecuencias y de alguna manera el agujero de las coordenadas se hace notar en cosas como la existencia de cierto campo no conservativo relacionado con estas coordenadas. Es una idea muy importante pero... es otra historia completamente distinta a lo que hablamos aquí.

EDITO: No vi la respuesta de gaudius.

En la pagina: https://www.matem.unam.mx/~max/TOP/N13.pdf 'Conexidad y compacidad' dice que:
''Todos los espacios topologicos finitos son compactos sin importar su topologia''

Cuidado con esa frase porque no es muy precisa y sacada de contexto es peligrosa. Ojo que es correcta pero... cuidado.

Esto vá bien para una superficie esferica y para una superficie torica. Todas sus dimensiones son compactas. ¿Que pasa con los espacios infinitos? Alguna o todas de sus dimensiones deben ser infinitas. ¿Vale la prueba del mensaje anterior? ''...Pero si hay circunferencias que no se pueden reducir porque hay agujeros por medio, entonces es que hay dimensiones compactas''. Un plano es un espacio infinito pero puede tener 2 dimensiones extensas o 1 dimension extensa y 1 compacta. Una superficie cilindrica solo puede tener 1 dimension extensa y una compacta.

Recomiendo que vuelvas a leer mi respuesta anterior, lo de las circunferencias (caminos cerrados en verdad) no tiene que ver con tener o no dimensiones compactas, tiene que ver con la conexión, con los agujeros. En vez del cilindro piensa en el plano menos un punto: mismos caminos, mismo agujero, pero el plano tiene sus dos dimensiones extendidas.

De nuevo, ya indiqué que el plano no puede tener una dimensión compacta y otra extendida. Creo que te estás liando con el tema de las coordenadas y la métrica y ya dije que ese camino es erróneo.

Saludos.

PD: Al final me ha quedado un mensaje largo pero bueno espero que no quede todo demasiado técnico, intento ser breve pero entre una cosa y otra...

[gaudius]

Ok. Creo que ya entiendo.

$\dst{\Re^2 = \Re \times \Re }$, puede ser un plano o una superficie hiperbolica.
$\dst{\Re^2 = \Re \times S^1 }$, puede ser una superficie cilindrica o un plano con un agujero.
$\dst{S^2 = S^1 \times S^1 }$, puede ser una superficie esferica o una superficie torica.

Luego, buscaremos un sistema de coordenadas, unas dimensiones y una metrica que se ajuste a la forma y que sea mejor para operar con ella.

Por ejemplo:

$\dst{^{(3)}g_{uv}=\begin{bmatrix} \frac {1} {1-kr^2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & r^2\end{bmatrix}}$

Esto seria la metrica de un plano (menos los puntos $\dst{(0,\frac{\pi}{2},\varphi)}$), en coordenadas esfericas, con una dimension extensa y una 'compacta' para k=0.
Seria la metrica de un plano 'hiperbolico' (menos los puntos $\dst{(0,\frac{\pi}{2},\varphi)}$), en coordenadas esfericas, con una dimension extensa y una 'compacta' para k<0.
Seria la metrica de un plano 'esferico' (menos los puntos $\dst{(0,\frac{\pi}{2},\varphi)}$), en coordenadas esfericas, con dos dimensiones 'compactas' para k>0.

Facil de operar.

Y

$\dst{^{(3)}g_{uv}=\begin{bmatrix} \frac {1-ky^2}{1-k(x^2+y^2)} & \frac {2kxy}{1-k(x^2+y^2)} & 0\\ \frac {2kxy}{1-k(x^2+y^2)} & \frac {1-kx^2}{1-k(x^2+y^2)} & 0\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}}$

Esto seria la metrica de un plano en coordenadas cartesianas, con dos dimensiones extensas para k=0.
Seria la metrica de un plano 'hiperbolico' en coordenadas cartesianas, con dos dimensiones extensas para k<0.
Seria la metrica de un plano 'esferico' en coordenadas cartesianas, con dos dimensiones 'compactas' para k>0.

Dificil de operar.

Saludos.

[Weip]

Hola de nuevo gaudius.

$\dst{\Re^2 = \Re \times \Re }$, puede ser un plano o una superficie hiperbolica.

Y más cosas si consideras otras métricas. Aunque en verdad para tener un plano hiperbólico habría que excluir un semiplano.

$\dst{\Re^2 = \Re \times S^1 }$, puede ser una superficie cilindrica o un plano con un agujero.

No, el plano es el plano, el cilindro es el cilindro. $\dst{\Re^2 \neq \Re \times S^1 }$, son objetos distintos. A nivel topológico lo diferencian el número de agujeros: nunca podrás deformar un cilindro en un plano de manera continua a causa del agujero. Quizás quieres escribir $\dst{\Re^2}-\lbrace{ x \rbrace}$ que es el plano con un agujero, pero aún así es distinto a un cilindro. Lo que hay entre ellos es un homeomorfismo así que escribiríamos $\dst{\Re^2 -\lbrace{ x \rbrace}\simeq \Re \times S^1 }$. Pero ten en cuenta que esto es muy distinto a una igualdad, lo que queremos decir escribiendo esto es que puedes deformar uno en otro como si trabajaras con plastilina.

$\dst{S^2 = S^1 \times S^1 }$, puede ser una superficie esferica o una superficie torica.

¡Cuidado! ¡$S^2 \neq S^1 \times S^1$! Las esferas no son toros, son objetos distintos, y la esfera no es el producto de dos circunferencias, a pesar de la notación.

Esto seria la metrica de un plano (menos los puntos $\dst{(0,\frac{\pi}{2},\varphi)}$), en coordenadas esfericas, con una dimension extensa y una 'compacta' para k=0.

No hay dimensiones compactas en el plano. No por tener una coordenada que da vueltas tienes un espacio compacto. Sino la compacidad dependería de las coordenadas...

Seria la metrica de un plano 'hiperbolico' (menos los puntos $\dst{(0,\frac{\pi}{2},\varphi)}$), en coordenadas esfericas, con una dimension extensa y una 'compacta' para k<0.[/TEX]

No, la métrica del plano hiperbólico no queda así, y tampoco tiene dimensiones compactas. Insisto: estás cogiendo las coordenadas polares y como el ángulo da vueltas le llamas a eso dimensión compacta, pero eso no es lo que se suele entender por dimensión compacta.

Seria la metrica de un plano 'esferico' (menos los puntos $\dst{(0,\frac{\pi}{2},\varphi)}$), en coordenadas esfericas, con dos dimensiones 'compactas' para k>0

Los planos esféricos no existen. Aquí no sé qué quieres decir.

¡Saludos!

[carroza]

Hola. Hay una cosa que no me cuadra: Si $D^2$ es la variedad que corresponde a un disco cerrado, y que por tanto tendría dimensión 2, y $S^1$ es la variedad que corresponde a una circunferencia, de dimensión 1, entonces $D^2/S^1$ debería ser algo de dimensión 1 (quizás un segmento que va del origen al radio del disco). No acabo de entender cómo esto se relaciona con $R^2$ .

Quizás esté muy perdido con la notación

Saludos