Dimensiones compactas

[Weip]

Hola. Hay una cosa que no me cuadra: Si $D^2$ es la variedad que corresponde a un disco cerrado, y que por tanto tendría dimensión 2, y $S^1$ es la variedad que corresponde a una circunferencia, de dimensión 1, entonces $D^2/S^1$ debería ser algo de dimensión 1 (quizás un segmento que va del origen al radio del disco). No acabo de entender cómo esto se relaciona con $R^2$ .

Quizás esté muy perdido con la notación

Saludos

Si el gif de la wikipedia no ha logrado esclarecer la explicación mucho me temo que lo que yo pueda escribir solo liará más. Pero lo intentaré igualmente. El cociente de espacios topológicos $/$ no tiene porqué respetar la dimensión. Puede ser que el cociente sea de dimensión más grande, igual o más baja que el espacio del numerador. Insisto: el cociente lo que hace es coger el denominador y colapsarlo a un punto. En $D^2/S^1$ lo que se hace es coger $S^1=\partial D^2$ y estrujarlo en un solo punto, que será el polo norte de la esfera $S^2$ resultante. Otras interpretaciones del símbolo $/$ basadas en lo que ocurre por ejemplo con las divisiones de números o los cocientes de espacios vectoriales en este contexto no son correctas.

Una vez entendido que $D^2/S^1=S^2$ es una esfera, solo hace falta quitarle un punto cualquiera para que quede $\mathbb{R}^2$. De hecho, la famosa proyección estereográfica es un homeomorfismo que lleva la esfera menos un punto al plano, haciendo efectivo esto que estamos haciendo con la imaginación y la plastilina.

Espero que haya quedado más claro.

[gaudius]

Fantastico! No he acertado ni una!
A un plano 'esferico' me refiero a la proyeccion de una superficie esferica sobre un plano.
Me estoy haciendo un lio entre las metricas de la Cosmologia, la Topologia y las dimensiones compactas de la teoria Randall-Sundrun.
Saludos.

[Weip]

Fantastico! No he acertado ni una!

Bueno, ciertamente, pero son confusiones entedibles. Si te has quedado con alguna duda o lo que sea dílo, así yo u otra persona podemos ayudarte.

Me estoy haciendo un lio entre las metricas de la Cosmologia, la Topologia y las dimensiones compactas de la teoria Randall-Sundrun.

No sé nada de los modelos de Randall-Sundrum, pero cada cosa a priori va a parte. Hasta ahora tenía en mente lo que ocurre en los modelos típicos de cuerdas. Por ahora olvídate de métricas y quédate con que compactificar es enrollar una dimensión de manera que el resultado es compacto. Este es un tema complicado, no es simplemente mirar la métrica y ver qué variables son periódicas y cuáles no, ya di ejemplos de que este método va errado.

[gaudius]

A ver:
Tenemos una superficie cilindrica. 2 dimensiones. 1 extensa y 1 compacta. El agujero en el plano x, y y la extension en el eje z.
Ahora, montaremos otra superficie cilindrica, igual a la anterior, pero desplazada un dx. Y asi con infinitas superficies cilindricas.
Al final nos encontraremos con un espacio con 3 dimensiones, 2 extensas y 1 compacta. Sin agujero. Un plano grueso de espesor 2r.
La metrica de la superficie cilindrica no tiene nada que ver con la metrica del plano grueso.
Si tenemos un espacio plano, esferico o hiperbolico, al añadirle una dimension compacta, nos encontraremos con un hiperespacio 'grueso'?
Saludos.

Una 2D Brana seria cada una de las superficies cilindricas que componen el espacio 3D. Y una 3D Brana seria cada uno de los espacios que componen el hiperespacio 4D.

[carroza]

A ver:
Tenemos una superficie cilindrica. 2 dimensiones. 1 extensa y 1 compacta. El agujero en el plano x, y y la extension en el eje z.
Ahora, montaremos otra superficie cilindrica, igual a la anterior, pero desplazada un dx. Y asi con infinitas superficies cilindricas.
Al final nos encontraremos con un espacio con 3 dimensiones, 2 extensas y 1 compacta. Sin agujero. Un plano grueso de espesor 2r.
La metrica de la superficie cilindrica no tiene nada que ver con la metrica del plano grueso.
Si tenemos un espacio plano, esferico o hiperbolico, al añadirle una dimension compacta, nos encontraremos con un hiperespacio 'grueso'?
Saludos.

Hola. Creo que la imagen de muchos cilindros pegados, en el espacio de tres dimensiones, lo que llamas un "plano grueso", no corresponde a una variedad (manifold) de tres dimensiones, dos extensas y una compacta.

De la misma manera que para visualizar una variedad de una dimension extensa y una compacta, necesitas un cilindro, que es algo que representas en un espacio euclideo de tres dimensiones, con coordenadas (x,y,z) que cumplen las condiciones $( z \in (-\infty, \infty), x^2+y^2 = r^2)$,

para visualizar una variedad de dos dimensiones extensas y una compacta, necesitas un objeto que representas en un espacio euclideo de cuatro dimensiones con coordenadas (x,y,z, w) que cumplen las condiciones $( z \in (-\infty, \infty), w \in (-\infty, \infty), x^2+y^2 = r^2)$.

Como ves, no te vale, en general, la metáfora del "plano grueso". No obstante, si decidieras olvidarte de una coordenada, por ejemplo la coordenada x, la proyección de tu objeto sobre el espacio euclídeo de tres dimensiones (y, z, w), cumpliría las condiciones $( z \in (-\infty, \infty), w \in (-\infty, \infty), y \in [-r,r])$, y eso sí puedes verlo como un "plano grueso" en el espacio euclideo de tres dimensiones.

Saludos

[gaudius]

Volviendo del hilo 'Distancia a un punto en una metrica no euclidea':

Esta metrica:

$\dst{^{(2)}g_{uv}=\begin{bmatrix} \frac {1-ky^2}{1-k(x^2+y^2)} & \frac {2kxy}{1-k(x^2+y^2)}\\ \frac {2kxy}{1-k(x^2+y^2)} & \frac {1-kx^2}{1-k(x^2+y^2)}\end{bmatrix}}$

Para k>0, transforma un plano (x,y) (k=0) con 2 dimensiones extensas en un 'plano' con 2 dimensiones compactas. $\dst{x^2+y^2<\frac{1}{k}}$.

Y esta metrica:

$\dst{^{(2)}g_{uv}=\begin{bmatrix} \frac {1}{1-kx^2} & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}}$

Para k>0, transforma un plano (x,y) (k=0) con 2 dimensiones extensas en un 'plano' con 1 dimensione extensa y 1 dimension compacta. $\dst{x^2<\frac{1}{k}}$.

Esta curvatura 'k' es la misma curvatura que se usa en la metrica FLRW.
$\dst{k=-\frac {8\pi G}{3c^2} \rho_k}$ y esta relacionada con la densidad de energia critica.
¿Esto funciona asi?

Saludos.

Por 'estetica' matematica deduzco que la metrica de 1 hiperespacio de 4 dimensiones (x,y,z,w)
con 3 dimensiones extensas o compactas en funcion de 'k' y 1 dimension extensa o compacta en funcion de 'k_1' podria ser de la forma:

$\dst{^{(4)}g_{uv}=\begin{bmatrix}\frac{1-k(y^2+z^2)}{1-k(x^2+y^2+z^2)} &\frac{kxy}{1-k(x^2+y^2+z^2)} &\frac{kxz}{1-k(x^2+y^2+z^2)} & 0\\ \frac{kxy}{1-k(x^2+y^2+z^2)} &\frac{1-k(x^2+z^2)}{1-k(x^2+y^2+z^2)} &\frac{kyz}{1-k(x^2+y^2+z^2)} & 0\\\frac{kxz}{1-k(x^2+y^2+z^2)} &\frac{kyz}{1-k(x^2+y^2+z^2)} &\frac{1-k(x^2+y^2)}{1-k(x^2+y^2+z^2)} & 0\\ 0 & 0 & 0 & \frac {1}{1-k_1 w^2}\end{bmatrix}}$

[carroza]

Hola.

Tendriamos que esperar que alguno más experto conteste. Creo que alguien en el foro se ha currado las derivadas segundas que llevarían el tensor de Riemann.

Mi respuesta intuitiva es que la geometría esférica(el priner caso), efectivamente es una geometría con curvatura intrínseca, mientras que la geometría cilindrica, es, a efectos de curvatura en cada punto, equivalente a un plano. Dicho de otra manera, si sobre una geometría esférica, trazamos un circulo de radio pequeño r, el perímetro es menor que 2 pi r, pero si sobre una geometría cilindrica, trazamos un cirdulo de radio r, el perimetro sale 2 pi r.

saludos

[gaudius]

Gracias Carroza y disculpa mi ignorancia. Pero esto no puede ser en el 2º caso. La distancia al punto (10,0) es $\dst{5 \pi}$, la distancia al punto (0,10) es 10 y la distancia al punto (10,10) por el camino y=x es 19.1 para k=0.01.

[carroza]

Hola, Gaudius.

Sugiero que no uses comentarios para cosas que requieren respuesta. Lo hace más complicado para citar y seguir el hilo.

Te contesto, no obstante. Un circulo, sea cual fuere la parametrizacion que usemos de una métrica, está formado por los puntos que tienen una "distancia minima", es decir, una distancia calculada por el camino que la hace mínima, dada. Por ejemplo, en tu geometría (2), el punto con coordenadas (10,0), es decir, x=10 y=0, no forma parte del circulo con radio 10.

Con respecto a tu geometría (2), puede verse que es equivalente a una geometría plana, sin más que hacer un cambio de variable. Si defines $x = k^{-1/2} \sin( k^{1/2} z)$, entonces la expresión del intervalo, que sería
$ds^2 = dx^2 {1 \over 1- k x^2} + dy^2$,
te queda como $ds^2 = dz^2 + dy^2$, que corresponde a una geometría plana.

Lo mismo podrías hacer con la coordenada u de tu geometría (4) (por cierto, no es buena idea llamar u a una coordenada y también a un índice del tensor métrico).


Entiendo, y que me corrijan los expertos, que tu geometría (2), que podemos llamar cilindrica, es una geometría "plana", en el sentido de que el tensor métrico, con las variables adecuadas, se puede poner como la unidad. Sin embargo, topológicamente, es diferente al plano, ya que en la gemoetría cilíndrica podemos trazar curcas cerradas que no podemos reducirlas de forma continua a un punto.

Un saludo

[gaudius]

Ok. Desde planilandia 'cilindrica', una circunferencia es una circunferencia. Pero desde una observador externo (3D), la circunferencia se veria como una elipse. Si cortasemos el cilindro en la dimension extensa y lo extendiesemos sobre un plano, determinadas circunferencias dibujadas en planilandia como circunferencias aparecerian como elipses.
Saludos.

[Alriga]

...Si cortásemos el cilindro en la dimensión extensa y lo extendiésemos sobre un plano, determinadas circunferencias dibujadas en planilandia como circunferencias aparecerían como elipses...

Hola gaudius , nota que si dibujas una circunferencia en un cilindro, a continuación lo cortas por una de sus rectas generatrices que no contenga ningún punto de la circunferencia y desenrollas el cilindro convirtiéndolo en un plano, la circunferencia inicial aparecerá siempre como una circunferencia, nunca como una elipse.

Saludos.

[gaudius]

Uff! Teneis razon. Si proyecto la circunferencia sobre un plano externo obtendre una elipse pero si desarrollo el cilindro sobre un plano obtendre una circunferencia.
Saludos.

[gaudius]

Otra pregunta:

Si nos olvidamos de las dimensiones extras compactas (w).

Si a la ultima metrica del mensaje 21, le añadiesemos a todos los terminos el factor de escala a^2, obtendriamos la metrica FLRW en coordenadas cartesianas (x,y,z).

Si la Topologia del universo en su totalidad solo puede tener o 3 dimensiones extensas o 3 dimensiones compactas con una
k de aprox. +10^-56 1/m^2.

Si el universo total tuviese 3 dimensiones extensas con una k<0 o k=0, entonces, tendria 3 dimensiones extensas para cualquier valor del factor de escala y la misma 'k'. (k aprox = -10^-56 1/m^2)

Y en la epoca del BigBang, el universo total seguiria teniendo 3 dimensiones extensas.

En resumen: ¿El punto 'gordo' del BigBang tendria 3 dimensiones extensas con geometria plana o hiperbolica? Esto es un poco extraño,no?

Ahora, seguro que voy a meter la pata: ¿Esto tiene algo que ver con la hipotesis del continuo?
Es decir, un intervalo infinito siempre implica una dimension extensa. Pero un intervalo finito
no implica una dimension compacta.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Y en la epoca del BigBang, el universo total seguiria teniendo 3 dimensiones extensas.

En resumen: ¿El punto 'gordo' del BigBang tendria 3 dimensiones extensas con geometria plana o hiperbolica? Esto es un poco extraño,no?

¿Qué es, exactamente, lo que te parece extraño?

[gaudius]

Me parece extraño escalar (con un factor de escala = casi cero) un objeto con 3 dimensiones extensas (intervalo = infinito) porque el resultado sera otro objeto con 3 dimensiones extensas (intervalo = infinito).
¿Donde esta el objeto 'compacto' del BigBang?
Esto no pasa si el objeto tiene 3 dimensiones compactas (k>0) porque aquí, si tenemos un objeto 'compacto' en el BigBang.
Saludos.

[Jaime Rudas]

Me parece extraño escalar (con un factor de escala = casi cero) un objeto con 3 dimensiones extensas (intervalo = infinito) porque el resultado sera otro objeto con 3 dimensiones extensas (intervalo = infinito).
¿Donde esta el objeto 'compacto' del BigBang?
Esto no pasa si el objeto tiene 3 dimensiones compactas (k>0) porque aquí, si tenemos un objeto 'compacto' en el BigBang.

Creo entender que supones que el big bang es necesariamente compacto. No lo es. O sea, en la teoría del big bang, si el universo es infinito, lo ha sido siempre; aún en el momento en que el factor de escala era 'casi' cero.