Avanzado Topologia de un agujero negro.

[gaudius]

Hola.
A ver si lo he entendido bien:
Tenemos un espacio $\dst{\mathbb{R}^3}$ o $\dst{S^3}$ dependiendo de si una curvatura 'k' es igual o menor que cero o mayor que cero.
A este espacio le añadimos un 'agujero'. En estos casos el espacio pasaria a ser, $\dst{(\mathbb{R}^3-(x))}$ o $\dst{(S^3 – (x))}$. (No sé si se escribe asi).
Pero desde el punto de vista del agujero negro, este, tendria siempre una topologia $\dst{S^3}$.
Y estaria confinado en una 2D Brana. (Su horizonte de sucesos).
Y su curvatura 'k1' siempre seria mayor que cero.
O sea, 3 dimensiones compactas confinadas por una superficie esferica.

Pero como escribia Weip: $\dst{(S^3-(x))=\mathbb{R}^3}$.
Asi que, con el tiempo, un objeto $\dst{(\mathbb{R}^3-(x))}$ o $\dst{(S^3 – (x))}$ evolucionaria siempre hacia un objeto $\dst{\mathbb{R}^3}$ con una curvatura $\dst{k\rightarrow 0}$ y con la evaporacion del agujero negro $\dst{S^3}$.

¿Correcto o sigo sin entender nada?
Saludos.

[carroza]

Hola. Interesante cuestión. A la espera de lo que diga Weip, o alguno más experto, te transmito mi opinión:

Imaginemos un agujero negro gordo, tipo Sagitario A*. E imaginemos un hipotético observador que viva allí, dentro de su radio de Scharzchild. Nosotros, desde el exterior de la galaxia, no podemos verlo, y el no nos puede ver a nosotros. Pero eso no quiere decir que estemos totalmente desconectados, para que no podamos definir un sistema de coordenadas que sea válido dentro y fuera del agujero negro, t, por tanto, una topología válida dentro y fuera del agujero negro.

Podiamos buscar unos "voluntarios", y dejarlos caer sobre Sagitario A*. Desde la prespectiva de los "voluntarios", no pasaría nada especial cuando llegaran al radio de Schwarzchild. Sentirían algunas fuerzas de marea, pero como sagitario A* es muy grande, estas no serían tan intensas como para destruir a los voluntarios (y mucho menos ara destruir la validez de conceptos matemáticos tales como la topología). Tras un tiempo finito, para los voluntarios (infinito para nosotros, en elexterior de la galaxia), pueden llegar a donde esté el observador que vive en el agujero negro, y compartir con el los mapas de la galaxia que el nunca pudo ver.

Así que yo diría que la topología espacial de todo el universo, con o sin agujeros negros, sería R3. Otro tema sería lo de los agujeros de gusano, pero hasta donde sé eso no sale de la gravitación convencional, agujeros negros incluidos.

saludos, y espero correcciones.

[Jaime Rudas]

Imaginemos un agujero negro gordo, tipo Sagitario A*. E imaginemos un hipotético observador que viva allí, dentro de su radio de Scharzchild. Nosotros, desde el exterior de la galaxia, no podemos verlo, y el no nos puede ver a nosotros.

Mmmm... no sé. Ya creo que él sí puede vernos a nosotros.

Podiamos buscar unos "voluntarios", y dejarlos caer sobre Sagitario A*. Desde la prespectiva de los "voluntarios", no pasaría nada especial cuando llegaran al radio de Schwarzchild. Sentirían algunas fuerzas de marea, pero como sagitario A* es muy grande, estas no serían tan intensas como para destruir a los voluntarios (y mucho menos ara destruir la validez de conceptos matemáticos tales como la topología). Tras un tiempo finito, para los voluntarios (infinito para nosotros, en elexterior de la galaxia), pueden llegar a donde esté el observador que vive en el agujero negro, y compartir con el los mapas de la galaxia que el nunca pudo ver.

Fíjate que si los voluntarios pueden llegar a él, con mayor razón le podrá llegar la luz proveniente de nosotros.

Así que yo diría que la topología espacial de todo el universo, con o sin agujeros negros, sería R3. Otro tema sería lo de los agujeros de gusano, pero hasta donde sé eso no sale de la gravitación convencional, agujeros negros incluidos.

Habría que precisar a qué nos referimos con topología R3. Creo entender que, en este contexto, te refieres a que es una topología no compacta y trivial (sin agujeros). Si es así, opino que los agujeros de gusano son necesariamente un agujero topológico. Por otra parte, si consideramos los agujeros negros como singularidades, quizás topológicamente también serían agujeros en el sentido de que serían puntos no pertenecientes al espacio.

[Weip]

Hola a todos. Tampoco tengo mucho que añadir a lo que se ha dicho pero por alusiones quiero hacer algunas aclaraciones.

A este espacio le añadimos un 'agujero'. En estos casos el espacio pasaria a ser, $\dst{(\mathbb{R}^3-(x))}$ o $\dst{(S^3 – (x))}$. (No sé si se escribe asi).

Por recalcar lo que dijo carroza: a pesar de la analogía con las palabras, los agujeros negros no son agujeros en el sentido literal. Es decir, no es que estés haciendo un agujero en el espaciotiempo. La topología del universo no cambia por el hecho de tener un agujero negro. Un agujero negro lo debes pensar como una zona con una gravedad tan fuerte que solo puedes atravesar una vez en un sentido y ya.

Si es así, opino que los agujeros de gusano son necesariamente un agujero topológico.

En esta dirección hay una cosa interesante, la censura topológica, que bajo condiciones muy generales impide observar la posible topología no trivial del universo.

Por otra parte, si consideramos los agujeros negros como singularidades, quizás topológicamente también serían agujeros en el sentido de que serían puntos no pertenecientes al espacio.

Eso no es así bien bien porque lo que "peta" en las singularidades es la geometría del espaciotiempo, no su topología. Aún puedes hablar de las coordenadas de la singularidad por ejemplo. Lo dicho, a pesar de que los llamamos agujeros negros, no es como coger una hoja, un punchón y agujerear.

¡Saludos!

[carroza]

En esta dirección hay una cosa interesante, la censura topológica, que bajo condiciones muy generales impide observar la posible topología no trivial del universo.

Anda, cuentanos eso de la censura topológica. Es que la wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_censorship sabe a poco.

Saludos

[Richard R Richard]

Pongo esto en comentario para no desviar el hilo si es que me equivoco, entiendo que un espacio es topológicamente similar a otro cuando uno puede mapear al otro íntegramente, es decir hay una transformación de coordenadas que permite asociar cada punto en un sistema con uno en el otro, sin que nada sobre ni falte(matemáticamente ni idea como se demuestra), Bueno aquí viene el comentario las coordenadas de Kruscal mapean todo R^3 incluido el interior del agujero negro, menos la singularidad en el origen, luego todo el espacio es R^3 salvo la singularidad, el Horizonte no es una singularidad como tal , no divide los espacios entre interior y exterior.

[gaudius]

Ok. Un agujero negro no es un agujero topologico. Aunque pareceria que la singularidad central podria ser un agujero topologico. (Es un punto extraño).
¿Al menos, podriamos decir que un agujero negro es una region del espacio R3 o S3 con topologia S3, confinada por su horizonte de sucesos?
De hecho, esta singularidad central es inestable. O el agujero negro crece a un ritmo mayor que el que se desintegra o se desintegra totalmente en un tiempo finito. Con lo cual, desaparece la singularidad y se reestablece la topologia R3 o S3 inicial.
Saludos.

[Weip]

Anda, cuentanos eso de la censura topológica. Es que la wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_censorship sabe a poco.

Bueno, tampoco es que sepa mucho del tema. La censura topológica es un resultado que se encuadra en las ideas que siguen de los teoremas de singularidades de Hawking y Penrose. La cosa es, imaginemos que nuestro universo es un espacio de Minkowski al que le enganchamos una estructura topológica no trivial. Podemos imaginarnos la imagen típica de un agujero de gusano por ejemplo.

Si un observador en la lejanía quiere saber cómo es la topología del universo en algún momento tendrá que mandar a otro observador o a una señal atravesar esta estructura topológica y volver a donde estaba. Notar que en los ejemplos matemáticos de baja dimensión esto es bastante fácil de hacer porque al no haber tiempo simplemente hemos de hacer un recorrido cerrado de forma que no podamos contraer la curva que formamos en un punto. Esto es sinónimo de tener un agujero. Pero en el espaciotiempo hay que ir con un poco de cuidado porque no podemos tomar curvas tipo espacio.

El teorema de censura topológica lo que afirma es que bajo ciertas condiciones generales (*) toda curva causal (velocidad tipo tiempo o tipo luz) que vaya desde el pasado nulo infinito hasta el futuro nulo infinito y atraviese la estructura topológica no trivial es deformable (homotópica) a una curva causal trivial, esto es, una curva que no atraviesa la estructura topológica.
Quizás el enunciado es un pelín retorcido pero lo que viene a afirmar es que no podemos observar la topología no trivial del universo siguiendo una curva causal. Si lo conseguimos significa que la velocidad de la curva en algún punto era tipo espacio. Esto es, las estructuras topológicas no triviales están detrás de horizontes, y si los atravesamos, no volveremos para poder probar el descubrimiento al observador que está fuera. Además el observador exterior nunca podrá sospechar nada porque él ve la estructura topológica no trivial como un agujero negro. De alguna forma el contenido topológico de ese agujero negro está censurado para un observador lejano, de ahí el nombre del teorema.

(*) Espaciotiempo asintóticamente plano, globalmente hiperbólico y condición "nula" de energía, tal como indica la wikipedia. En verdad estas hipótesis se pueden relajar pero tampoco es que sea importante.

¿Al menos, podriamos decir que un agujero negro es una region del espacio R3 o S3 con topologia S3, confinada por su horizonte de sucesos?

$S^2 \times \mathbb{R}$. El horizonte de sucesos es una esfera.

De hecho, esta singularidad central es inestable. O el agujero negro crece a un ritmo mayor que el que se desintegra o se desintegra totalmente en un tiempo finito. Con lo cual, desaparece la singularidad y se reestablece la topologia R3 o S3 inicial.

No sé nada de evaporación de agujeros negros, pero diría que los tiempos para que ese fenómeno se produzca son tan altos que perfectamente puedes hablar de estabilidad.

[carroza]

Gracias, Weip. Mucho mejor que la Wikipedia.

Con respecto a la evaporación de agujeros negros, es una predicción bastate sólida de la teoría cuántica de campos definida en espacio-tiempo muy curvado por la gravedad, aunque no está comprobada experimentalmente. La idea es que cuanto más chico sea el agujero negro, más rápido pierde energía, y por tanto masa, por la radiación de Hawking, y más pronto se evapora.

Alguna vez hemos discutido sobre esto en LWDF.

Saludos

[gaudius]

Hola.
No entiendo esto de (S^2 x R) como una esfera.
Entenderia S^2 como una superficie esferica. (El horizonte de sucesos). Y entenderia S^3 como una esfera. (El volumen que encierra el horizonte de sucesos). Pero (S^2 x R) parece un cilindro solido infinito. (Que tambien podria ser D x R). Además, deciamos 'Todos los espacios topologicos finitos son compactos sin importar su topologia'. El volumen dentro del horizonte de sucesos es finito, luego, sus dimensiones deben ser compactas. No entiendo.

En cuanto a los tiempos de evaporacion. Si. Los tiempos de evaporacion de un agujero negro de masa equivalente a una fraccion de la masa Lunar, ya tienen tiempos del orden de la edad del universo. Pero, aquí, me referia, basicamente a micro agujeros negros y/o agujeros negros primordiales.
Saludos.

[teclado]

Solo comento porque tambien me gustaría una aclaración de la terminología. Estoy siguiendo el hilo, y me parece muy interesante la forma en que está desarrolándose. Si consigo ordenar mis pensamientos y no me queda claro puede que abra otro hilo si consigo literatura al respecto, pero ¿el volumen de una esfera no es isomorfo, y por tanto equivalente topológicamente, a $R^3$ tal y como (0,1] lo es a $R^+$? Si alguien pudiera también aclarar para los legos qué son exactamente $S^2$ y $S^3$ estaríamos muy agradecidos.

[Jaime Rudas]

Entenderia S^2 como una superficie esferica. (El horizonte de sucesos). Y entenderia S^3 como una esfera. (El volumen que encierra el horizonte de sucesos).

Cuidado: el volumen que encierra una superficie esférica S² no es S³, de la misma forma que el área que encierra una circunferencia S¹ no es una superficie esférica S².

A este respecto, quizás valga aclarar que S² es una superficie esférica solo si la vemos embebida en un espacio R³ y, en general, Sⁿ es una hipersuperficie esférica solo si la vemos embebida en un espacio Rⁿ⁺¹.

[teclado]

Creo que me has aclarado mucho. Puedo entender entonces que, ¿$S^2\times R^+ = R^3$?

[gaudius]

Hola.
Creo que deberia ser Weip quien nos diese una clase porque yo tambien soy un aprendiz en esto.
Pero voy a explicar lo que yo entiendo:
Una 'S' es una cuerda cerrada y de longitud finita. Puede ser una circunferencia o no. Y representa 1 dimension compacta.
Una 'S^2' es una superficie cerrada y de area finita. Puede ser una superficie esferica o no. Y representa 2 dimensiones compactas.
Una 'S^3' es un volumen cerrado y de volumen finito. Puede ser una esfera solida o no. Y representa 3 dimensiones compactas.
Una 'S^2' siempre encierra una 'S^3'.
Una 'S' no encierra una 'S^2'. Una 'S' encierra una 'D'.
Supongo que esto viene del inglés: 'S'= string; 'D'= disk.
Saludos.

[Jaime Rudas]

Creo que deberia ser Weip quien nos diese una clase porque yo tambien soy un aprendiz en esto.
Pero voy a explicar lo que yo entiendo:

Yo también sé poco de esto pero, igual, trataré de explicar cómo lo entiendo:

Una 'S' es una cuerda cerrada y de longitud finita. Puede ser una circunferencia o no. Y representa 1 dimension compacta.

De acuerdo, aunque yo no diría una dimensión compacta, sino que S¹ representa un espacio unidimensional compacto.

Una 'S^2' es una superficie cerrada y de area finita. Puede ser una superficie esferica o no. Y representa 2 dimensiones compactas.

También de acuerdo y también matizaría: espacio bidimensional compacto de topología trivial (sin "agujeros").

Una 'S^3' es un volumen cerrado y de volumen finito. Puede ser una esfera solida o no. Y representa 3 dimensiones compactas.

Aquí ya no estoy de acuerdo: S³ no es una esfera sólida. Un espacio S³ no tiene límites, una esfera sólida sí los tiene. Para verlo, vuelvo a la matización que he venido haciendo (simplificado y con poco rigor, pero creo que se entiende):

S¹ es un espacio de una dimensión compacto (o sea, cerrado), lo que significa que es un espacio donde solo puedes ir adelante o atrás y que, si caminas lo suficiente, tarde o temprano llegarás al punto de partida y nunca encontrarás un límite. Tiene la siguiente característica: si lo metes en un espacio R² (o sea, en un plano euclídeo de los de toda la vida), puede representar el borde exterior de un círculo, o sea, la circunferencia.

S² es un espacio de dos dimensiones compacto (o sea, cerrado), lo que significa que es un espacio donde, si caminas lo suficiente en cualquier dirección (adelante, atrás, a la izquierda o a la derecha), tarde o temprano llegarás al punto de partida y nunca encontrarás un límite. Tiene la siguiente característica: si lo metes en un espacio R³ (o sea, en un espacio tridimensional euclídeo de los de toda la vida), puede representar el borde exterior de una esfera sólida, o sea, la superficie de la esfera.

S³ es un espacio de tres dimensiones compacto (o sea, cerrado), lo que significa que es un espacio donde, si caminas lo suficiente en cualquier dirección (adelante, atrás, a la izquierda, a la derecha, arriba o abajo), tarde o temprano llegarás al punto de partida y nunca encontrarás un límite. Tiene la siguiente característica: si lo metes en un espacio R⁴ (o sea, en un espacio tetradimensional euclídeo de los que es difícil imaginar), puede representar el borde exterior de una hiperesfera sólida, o sea, la hipersuperficie de la hiperesfera.

Una 'S^2' siempre encierra una 'S^3'.

No, por lo que expliqué arriba.

Una 'S' no encierra una 'S^2'. Una 'S' encierra una 'D'.

No sé qué sea una D.

Supongo que esto viene del inglés: 'S'= string; 'D'= disk.

Yo supongo que S viene del latín sphaera: esfera

Saludos.

[Weip]

No entiendo esto de (S^2 x R) como una esfera.
Entenderia S^2 como una superficie esferica.

Por supuesto, la $\mathbb{R}$ es por el tiempo. Si haces una foto del agujero negro verás una esfera $S^2$. Dije $S^2 \times \mathbb{R}$ porque es lo habitual en relatividad: cuando te piden que dibujes una partícula puntual no dibujas un punto, dibujas su línea de mundo. Yo hice lo mismo con el agujero negro.

También de acuerdo y también matizaría: espacio bidimensional compacto de topología trivial (sin "agujeros")

Si me permites ser titismiquis, sé que yo también he relajado un poco la terminología para hacerme entender, pero si quieres decir que un espacio topológico no tiene agujeros (unidimensionales) tienes que decir que es simplemente conexo. Topología trivial significa que el espacio topológico es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ con la topología euclídea, y esto no es lo que quieres decir. Bueno solo era esto xD.

[Jaime Rudas]

Si me permites ser titismiquis, sé que yo también he relajado un poco la terminología para hacerme entender, pero si quieres decir que un espacio topológico no tiene agujeros (unidimensionales) tienes que decir que es simplemente conexo. Topología trivial significa que el espacio topológico es homeomorfo a $\mathbb{R}^n$ con la topología euclídea, y esto no es lo que quieres decir. Bueno solo era esto xD.

Tienes toda la razón: es simplemente conexo, como lo has explicado las últimas semanas con toda clase de gráficos y animaciones.

[gaudius]

Hola.
Gracias a todos los que habeis intervenido.
Y una ultima pregunta relacionada:
¿La desaparicion de estos subespacios (S3) provocada por la evaporacion de micro agujeros negros, restaura completamente la topologia del espacio inicial (R3 o S3) o aplanan la region del espacio que ocupaban?
Lo digo porque los agujeros negros emiten solo radiacion de cuerpo negro independientemente de como se hayan formado o crecido. Es decir, no restauran el estado inicial de la region.
Saludos.