2o ciclo Problema Relatividad General

[Pablogarra]

Buenas a todos, recientemente hice un examen de RG que suspendí y tengo bastantes dudas de resolver los problemas planteados. Rogaría a los compañeros foreros que sepan del tema que me ayuden a resolver algunas dudas. No que resuelvan el problema (o si quieren no me opondré), pero que me resuelvan algunas claves para poder aprender su resolución. Una de las preguntas era la siguiente:

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Sea el campo gravitatorio dado por la métrica

$ds^{2}=f(r)dt^{2}-f(r)^{-1}dr^{2}-M^{2}(d\theta^{2}+sen^{2}(\theta)d\varphi^{2}$

$f(r)=\frac{r^{2}}{M^{2}}$

siendo M una constante con dimensiones de longitud.

a) Identificar las coordenadas cíclicas y las constantes del movimiento correspondientes.
b) Considerar geodésicas nulas y $\theta=\frac{\pi}{2}$. Obtener la ecuación de la geodésica para r y la ecuación diferencial de 2º orden para $u=\frac{1}{r}$ como función de $\varphi$.
c) Probar que un fotón puede moverse siguiendo una órbita cirular de radio R y calcular R.
d) Calcular el tiempo coordenado que tarda un fotón que se mueve en la órbita circular en completar una órbita, y el periodo que con su reloj mide un observador fijo en un punto de la órbita.

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a) Yo sé que las coordenadas cíclicas son aquellas para las que la derivada del Lagragiano es igual a 0. Si derivo la métrica respecto a cada coordenada, la que dan 0 son la coordenada temporal y la $\varphi$. Sin embargo, no sé calcular las constantes del moviento (en caso de que el paso que he hecho estuviese bien, de lo cual no estoy seguro).

b) ¿Cómo encuentro una geodésica a partir de la métrica? Yo sé que la ecuación de la geodésica es $\ddot x^{\mu}+\varGamma_{\nu\rho}^{\mu} \ \dot x^{\nu} \ \dot x^{\rho}=0$, que es la ecuación de segundo orden que creo que piden después. ¿Pero cómo calculo la geodésica a partir de la métrica?¿Y a qué se refiere lo de $u=\frac{1}{r}$ como función de $\varphi$.

c) Supongo que esto se deduce del apartado anterior, puesto que un fotón solo sigue geodésicas como trayectoria, deberá haber alguna para que se cumpla esa condición del movimiento circular.

d) Y bueno, si tuviera los apartados anteriores y las ecuaciones pues a lo mejor se me ocurriría algo para resolverlo, pero no estoy seguro de cómo afrontar esta parte.

Cualquier ayuda es más que bienvenida

[Alriga]

Yo sé que la ecuación de la geodésica es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Hola Pablogarra observa que no se ve la ecuación, ¿querías escribir

$\ddot x^{\mu}+\varGamma_{\nu\rho}^{\mu} \ \dot x^{\rho} \ \dot x^{\mu}=0$ ?

Si es ésta, el LaTeX es:

\ddot x^{\mu}+\varGamma_{\nu\rho}^{\mu} \ \dot x^{\rho} \ \dot x^{\mu}=0

Y entonces si quieres, puedes editar tu post y corregirlo.

Saludos.

[Pablogarra]

Hola Pablogarra observa que no se ve la ecuación, ¿querías escribir

$\ddot x^{\mu}+\varGamma_{\nu\rho}^{\mu} \ \dot x^{\rho} \ \dot x^{\mu}=0$ ?

Si es ésta, el LaTeX es:

\ddot x^{\mu}+\varGamma_{\nu\rho}^{\mu} \ \dot x^{\rho} \ \dot x^{\mu}=0

Y entonces si quieres, puedes editar tu post y corregirlo.

Saludos.

Gracias, Alriga. Efectivamente, esa es la ecuación que quería escribir, pero con otros índices. Ya la he corregido

[Weip]

Hola Pablogarra.

a) Yo sé que las coordenadas cíclicas son aquellas para las que la derivada del Lagragiano es igual a 0. Si derivo la métrica respecto a cada coordenada, la que dan 0 son la coordenada temporal y la $\varphi$. Sin embargo, no sé calcular las constantes del moviento (en caso de que el paso que he hecho estuviese bien, de lo cual no estoy seguro).

Para las constantes del movimiento primero tienes que calcular los símbolos de Christoffel mediante la fórmula:

$\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}=\dst\frac{1}{2}\left( g_{\rho\mu, \nu}+g_{\nu\rho, \mu}-g_{\mu\nu, \rho}\right)g^{\lambda\rho}$

La coma indica derivada parcial y $g^{\lambda\rho}$ es la inversa de la métrica. La métrica es diagonal así que calcular la inversa es fácil y muchos símbolos de Christoffel se anularán (recuerda también que puedes usar la simetría para no hacer tanto cálculo). Luego, sustituye en la ecuación de las geodésicas:

$\dst\frac{d^2x^{\lambda}}{d\tau^2}+\Gamma_{\mu \nu}^{\lambda}\dst\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\dst\frac{dx^{\nu}}{d\tau}=0$

Obtendrás cuatro ecuaciones. Trabajandolas llegarás a expresiones del estilo:

$\dst\frac{d}{d\tau}(\text{cosas})=0$

Esto es, llegarás a leyes de conservación. Verás que las podrás identificar estas cantidades conservadas fácilmente como la energía, alguna componente del momento angular, y cosas así.

b) ¿Cómo encuentro una geodésica a partir de la métrica? Yo sé que la ecuación de la geodésica es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , que es la ecuación de segundo orden que creo que piden después. ¿Pero cómo calculo la geodésica a partir de la métrica?¿Y a qué se refiere lo de $u=\frac{1}{r}$ como función de $\varphi$.

Cuidado, que no te piden ninguna geodésica. Te piden la ecuación en el caso particular que te dicen y ya está. Si expresas la métrica en términos de las derivadas segundas de las coordenadas respecto a $\tau$ podrás sustituirlas gracias a lo que encontraste en el apartado anterior y obtendrás una ecuación diferencial para $r$. En este punto tendrás que hacer el cambio $u=1/r$ para obtener una ecuación más sencilla de integrar.

c) Supongo que esto se deduce del apartado anterior, puesto que un fotón solo sigue geodésicas como trayectoria, deberá haber alguna para que se cumpla esa condición del movimiento circular.

d) Y bueno, si tuviera los apartados anteriores y las ecuaciones pues a lo mejor se me ocurriría algo para resolverlo, pero no estoy seguro de cómo afrontar esta parte.

Efectivamente, para estos deberás haber resuelto correctamente los apartados anteriores así que por ahora céntrate en ellos. Yo te he dado un poco el roadmap del ejercicio pero por enmedio hay bastante cálculo pesado. Intentalo hacer y si te encallas pregunta de nuevo y podemos hacerlo más en detalle.

[Richard R Richard]

De las 64 derivadas de la métrica respecto a las coordenadas solo tres tienen valor no trivial



$g_{00, 1}=g_{tt, r}=\dfrac{2r}{M^2}$

$g_{11, 1}=g_{rr, r}=\dfrac{2M^2}{r^3}$

$g_{22, 2}=g_{\theta\theta, \theta}=-2m^2\sin\theta\cos\theta$


Creo que los únicos símbolos de Christoffel no nulos del total de 64 son (si no erre)

$\Gamma_{01}^{0}=\Gamma_{tr}^{t}=\dfrac{1}{r}$

$\Gamma_{10}^{0}=\Gamma_{tr}^{t}=\dfrac{1}{r}$

$\Gamma_{00}^{1}=\Gamma_{tt}^{r}=\dfrac{r^3}{M^4}$

$\Gamma_{11}^{1}=\Gamma_{rr}^{r}=\dfrac{1}{r}$

$\Gamma_{33}^{2}=\Gamma_{\phi\phi}^{\theta}=-sin\theta\cos\theta$

$\Gamma_{23}^{3}=\Gamma_{\theta\phi}^{\phi}=\dfrac{\cos\theta}{sin\theta}$

$\Gamma_{32}^{3}=\Gamma_{\phi\theta}^{\phi}=\dfrac{\cos\theta}{sin\theta}$


No lo veo tan difícil de reemplazar en las ecuaciones geodésicas, y ver que pasa

[Pablogarra]

Muchas gracias a ambos! Hoy he tenido lío, pero mañana me pondré con el ejercicio con vuestras guías. Hay una cosa que me sigue picando por ahí... el punto se refiere a la derivada de esa coordenada respecto al tiempo propio, pero no estoy muy seguro de cómo realizarla.

De todas formas mañana me pongo a ello y ya os comentaré. Os estoy infinitamente agradecido

[Pablogarra]

Buenas, ya he calculado los símbolos de Christoffel, que me dan lo mismo que a Richard salvo $\dst\varGamma_{\phi\phi}^{\theta}=\frac{sen(\theta)cos(\theta)}{M^{2}}$, según mis cálculos.

Sustituyendo llego a las siguientes ecuaciones diferenciales:

$\dst\frac{d^{2}t}{d\tau^{2}}+\frac{1}{r}\frac{dr}{d\tau}\frac{dt}{d\tau}=0$
$\dst\frac{d^{2}r}{d\tau^{2}}+\frac{1}{r}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^{2}+\frac{r^{3}}{M^{4}}=0$
$\dst\frac{d^{2}\theta}{d\tau^{2}}-sen(\theta)cos(\theta)\left(\frac{d\phi}{d\tau}\right)^{2}=0$
$\dst\frac{d^{2}\phi}{d\tau^{2}}+\frac{cos(\theta)}{sen(\theta)}\frac{d\phi}{d\tau}\frac{d\theta}{d\tau}=0$

Reconozco que mi formación en ecuaciones diferencial no es especialmente buena, pero no se me ocurre la forma de resolver ninguna de ellas :/.

[Richard R Richard]

Agregale \dst delante de cada ecuación en Latex para que se vea mas grande $\dst\frac{d^{2}t}{d\tau^{2}}+\frac{sen(\theta)cos(\theta)}{M^{2}}\left(\frac{d\phi}{d\tau}\right)^{2}=0$ mas tarde con tiempo reviso el calculo de los simbolos Christoffel

[Pablogarra]

Oh, lo desconocía. Hecho!

[Weip]

Buenas de nuevo.

Sustituyendo llego a las siguientes ecuaciones diferenciales:

$\dst\frac{d^{2}t}{d\tau^{2}}+\frac{sen(\theta)cos(\theta)}{M^{2}}\left(\frac{d\phi}{d\tau}\right)^{2}=0$
$\dst\frac{d^{2}r}{d\tau^{2}}+\frac{1}{r}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^{2}+\frac{r^{3}}{M^{4}}=0$
$\dst\frac{d^{2}\theta}{d\tau^{2}}+\frac{sen(\theta)cos(\theta)}{M^{2}}\left(\frac{d\phi}{d\tau}\right)^{2}=0$
$\dst\frac{d^{2}\phi}{d\tau^{2}}+\frac{cos(\theta)}{sen(\theta)}\frac{d\phi}{d\tau}\frac{d\theta}{d\tau}=0$

No he revisado tu cálculo por falta de tiempo pero revisa la primera ecuación porque algo no me cuadra...

Reconozco que mi formación en ecuaciones diferencial no es especialmente buena, pero no se me ocurre la forma de resolver ninguna de ellas :/.

Como dije no has de resolver las ecuaciones, basta con que encuentres cantidades conservadas. Esto es, derivadas con una "cosa" dentro igual a cero. Esa "cosa" será la cantidad conservada. Hago de ejemplo la última ecuación porque las otras se hacen de forma parecida. Primero fíjate en que $\cos(\theta)/\sin(\theta)=\cot(\theta)$. Como nos tiene que quedar algo estilo derivada igual a cero entonces es conveniente juntar derivadas y poner el segundo término de la siguiente forma:

$\cot(\theta)\dst \frac{d\theta}{d\tau}=\dst\frac{1}{2}\dst \frac{d}{d\tau}\left(\log(\sin^2 (\theta)\right)$

Donde $\log$ es el logaritmo neperiano. Para darse cuenta de esto puedes ir probando un poco a vista o integrando, como te vaya mejor. En todo caso al sustituir tu ecuación queda:

$\dst\frac{d^{2}\phi}{d\tau^{2}}+\frac{d\phi}{d\tau}\dst\frac{1}{2}\dst \frac{d}{d\tau}\left(\log(\sin^2 (\theta)\right)=0$

Finalmente dividiendo entre $d\phi/d\tau$ obtendrás dos términos que recuerdan a la derivada de un producto. Con esta regla del producto en mente podrás juntar todo en una misma derivada:

$\dst \frac{d}{d\tau}\left(\log\left(\dst\frac{d\phi}{d\tau}\sin^2 (\theta)\right)\right)=0$

En el paréntesis tienes la primera constante del movimiento. Diría que las otras se hacen siguiendo el mismo proceso (aunque no lo he intentado aún). Intenta imitar esto a ver si te sale.

PD: Al final me olvidé preguntar, en teoría ¿qué habeis hecho sobre cantidades conservadas? Lo digo porque el ejercicio quizás se puede hacer más rápido dependiendo de lo que hayáis dado. Lo que yo estoy explicando es teniendo el mínimo de teoría posible y lleva a buen puerto pero por si acaso prefiero preguntar.

[Pablogarra]

No he revisado tu cálculo por falta de tiempo pero revisa la primera ecuación porque algo no me cuadra...

Es cierto, lo he revisado y yo lo tenía mal.

Como dije no has de resolver las ecuaciones, basta con que encuentres cantidades conservadas. Esto es, derivadas con una "cosa" dentro igual a cero. Esa "cosa" será la cantidad conservada. Hago de ejemplo la última ecuación porque las otras se hacen de forma parecida. Primero fíjate en que $\cos(\theta)/\sin(\theta)=\cot(\theta)$ y que como nos tiene que quedar algo estilo derivada igual a cero entonces es conveniente poner el segundo término de la siguiente forma:

$\cot(\theta)\dst \frac{d\theta}{d\tau}=\dst\frac{1}{2}\dst \frac{d}{d\tau}\left(\log(\sin^2 (\theta)\right)$

Donde $\log$ es el logaritmo neperiano. Para darse cuenta de esto puedes ir probando un poco a vista o integrando, como te vaya mejor. En todo caso al sustituir tu ecuación queda:

$\dst\frac{d^{2}\phi}{d\tau^{2}}+\frac{d\phi}{d\tau}\dst\frac{1}{2}\dst \frac{d}{d\tau}\left(\log(\sin^2 (\theta)\right)=0$

Finalmente dividiendo entre $d\phi/d\tau$ obtendrás dos términos que recuerdan a la derivada de un producto. Con esta regla del producto en mente podrás juntar todo en una misma derivada:

$\dst \frac{d}{d\tau}\left(\log\left(\dst\frac{d\phi}{d\tau}\sin^2 (\theta)\right)\right)=0$

En el paréntesis tienes la primera constante del movimiento. Puede parecer una manipulación difícil y ciertamente lo es, pero diría que las otras se hacen siguiendo el mismo proceso (aunque no lo he intentado aún). Intenta imitar esto a ver si te sale.

No entiendo la siguiente parte

$\dst\cot(\theta)\dst \frac{d\theta}{d\tau}=\dst\frac{1}{2}\dst \frac{d}{d\tau}\left(\log(\sin^2 (\theta)\right)$

Es decir, estás integrando la cotangente respecto de $\theta$, pero la solución de esa integral es $\dst\int cot(\theta)d\theta=Ln(sen(\theta))$. Así que no entiendo ese primer paso.

Con el resto del razonamiento creo que no tengo ningún problema.

[Weip]

No entiendo la siguiente parte

$\dst\cot(\theta)\dst \frac{d\theta}{d\tau}=\dst\frac{1}{2}\dst \frac{d}{d\tau}\left(\log(\sin^2 (\theta)\right)$

Es decir, estás integrando la cotangente respecto de $\theta$, pero la solución de esa integral es $\dst\int cot(\theta)d\theta=Ln(sen(\theta))$. Así que no entiendo ese primer paso.

Tu resultado y el mío son el mismo porque el $1/2$ por las propiedades de los logaritmos se cancela con el cuadrado del seno. Aunque ahora que me lo miro bien puedes poner $\log(\sin\theta)$ sin problema, me parece que el $1/2$ lo puse en un intento fallido de arreglar la ecuación y al final lo acabé poniendo de esta forma cuando en verdad es indiferente. Haciendo el cambio todo sale igual y acaba saliendo $\sin(\theta)$ en vez de $\sin^2(\theta)$.

[Pablogarra]

PD: Al final me olvidé preguntar, en teoría ¿qué habéis hecho sobre cantidades conservadas? Lo digo porque el ejercicio quizás se puede hacer más rápido dependiendo de lo que hayáis dado. Lo que yo estoy explicando es teniendo el mínimo de teoría posible y lleva a buen puerto pero por si acaso prefiero preguntar.

Sinceramente es que de esta parte no hemos tenido ejemplos más que el del perihelio de Mercurio y poco más.

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Por cierto, he corregido las ecuaciones y son las siguientes. Una me equivoqué al pasarlo del papel al mensaje, y la otra fue un error de cálculo.

$\dst\frac{d^{2}t}{d\tau^{2}}+\frac{1}{r}\frac{dr}{d\tau}\frac{dt}{d\tau}=0$
$\dst\frac{d^{2}r}{d\tau^{2}}+\frac{1}{r}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^{2}+\frac{r^{3}}{M^{4}}=0$
$\dst\frac{d^{2}\theta}{d\tau^{2}}-sen(\theta)cos(\theta)\left(\frac{d\phi}{d\tau}\right)^{2}=0$
$\dst\frac{d^{2}\phi}{d\tau^{2}}+\frac{cos(\theta)}{sen(\theta)}\frac{d\phi}{d\tau}\frac{d\theta}{d\tau}=0$

De la primera he sacado fácilmente que

$\dst\frac{d}{d\tau}\left(t+Ln(r)\right)=0$ (la constante de integración la he igualado a 0 porque no pierde significado físico, creo).

De la segunda

$\dst\frac{d}{d\tau}\left(\frac{dr}{d\tau}+\frac{dr}{d\tau}Ln(r)\right)+\frac{r^{3}}{M^{4}}=0$

con lo que creo concluir que para r no hay magnitud conservada (?). O que esa ecuación no nos da información sobre las magnitudes conservadas.

La última la sacaste tú y la tercera no soy capaz de sacarla

[Weip]

$\dst\frac{d}{d\tau}\left(t+Ln(r)\right)=0$

De aquí fíjate que si derivas no obtienes tu ecuación inicial. Repasa los cálculos, en principio la cantidad conservada debería ser $\ln(r dt/d\tau)$, si no voy errado.

$\dst\frac{d}{d\tau}\left(\frac{dr}{d\tau}+\frac{dr}{d\tau}Ln(r)\right)+\frac{r^{3}}{M^{4}}=0$

Aquí te faltan derivadas de $t$ respecto $\tau$ en el último término, no puede ser que no te haya quedado ninguna derivada. Luego, la factorización de la derivada es incorrecta, derivando de nuevo el resultado que has obtenido no se llega a la ecuación inicial, aparece un término extra que sobra.

y la tercera no soy capaz de sacarla

A ver si mañana puedo mirármelo, en principio se tendría que hacer igual que las otras, mientras no contesto sustituye las derivadas $d\phi / d\tau$ usando la cantidad cosnervada que te derivé de la última ecuación, debería salir algo más o menos tratable. Sino lo dicho, intentaré sacarlo mañana.

[Pablogarra]

De aquí fíjate que si derivas no obtienes tu ecuación inicial. Repasa los cálculos, en principio la cantidad conservada debería ser $\ln(r dt/d\tau)$, si no voy errado.

A ver, yo he multiplicado la ecuación por $\frac{d\tau}{dt}$ de forma que queda $\frac{dt}{d\tau}+\frac{1}{r}\frac{dr}{d\tau}=0$ (probablemente este sea el paso que esté mal). Después he integrado el primer sumando respecto de dt y el segundo respecto dr.

Aquí te faltan derivadas de $t$ respecto $\tau$ en el último término, no puede ser que no te haya quedado ninguna derivada. Luego, la factorización de la derivada es incorrecta, derivando de nuevo el resultado que has obtenido no se llega a la ecuación inicial, aparece un término extra que sobra.

Ogg, calla. Soy idiota. Había puesto $\dst\frac{d\tau}{d\tau}$ en lugar de $\dst\frac{dt}{d\tau}$ y por eso lo había puesto como 1. La buena es, entonces

$\dst\frac{d^{2}r}{d\tau^{2}}+\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^{2}\frac{1}{r}+\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2}\frac{r^{3}}{M^{4}}=0$

A ver si mañana puedo mirármelo, en principio se tendría que hacer igual que las otras, mientras no contesto sustituye las derivadas $d\phi / d\tau$ usando la cantidad cosnervada que te derivé de la última ecuación, debería salir algo más o menos tratable. Sino lo dicho, intentaré sacarlo mañana.

Voy a ver qué consigo.


De todas formas, me parecen muchas vueltas para sacar las magnitudes conservadas respecto de la métrica. También es cierto que no entiendo por qué se han de buscar las geodésicas. Es decir, conceptualmente no entiendo el procedimiento. De todas formas, ayer hablé con una compañera y parece ser que este ejercicio pilló bastante por sorpresa a la mayoría, puesto que no habíamos hecho nada parecido en clase.

[Weip]

A ver, yo he multiplicado la ecuación por $\frac{d\tau}{dt}$ de forma que queda $\frac{dt}{d\tau}+\frac{1}{r}\frac{dr}{d\tau}=0$ (probablemente este sea el paso que esté mal). Después he integrado el primer sumando respecto de dt y el segundo respecto dr.

Bueno, los dos pasos son icorrectos.
Entiendo que en el primero después de multiplicar por $d\tau /dt$ acabaste cancelando $d^2 t$ con el $dt$ que había en el denominador, pero eso es ilegal. Cuidado con este tipo de cosas, que no te confunda la notación, $d^2 t$ aisladamente no es nada y muy pocas veces te encontrarás en una situación donde puedas hacer esa simplificación.
Respecto el segundo paso, no puedes integrar cada término respecto la variable que quieras, tienes que hacer una única integración respecto una única variable. Luego puedes separar integrales si quieres porque tienes una suma, pero la variable será la misma en los dos términos, ya sea $\tau$ o $r$.

La buena es, entonces

$\dst\frac{d^{2}r}{d\tau^{2}}+\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^{2}\frac{1}{r}+\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2}\frac{r^{3}}{M^{4}}=0$

Vale pues llegados a este punto hay que hacer lo mismo que en la ecuación para $\theta$, es decir, sustituye $dt/d\tau$ en término de la magnitud conservada de la ecuación $t$ y verás que se puede proceder como en la primera ecuación y en la tercera que hice de ejemplo.

De todas formas, me parecen muchas vueltas para sacar las magnitudes conservadas respecto de la métrica. También es cierto que no entiendo por qué se han de buscar las geodésicas. Es decir, conceptualmente no entiendo el procedimiento. De todas formas, ayer hablé con una compañera y parece ser que este ejercicio pilló bastante por sorpresa a la mayoría, puesto que no habíamos hecho nada parecido en clase.

Por eso te pregunté qué habías hecho en teoría. Como no has dado nada de magnitudes conservadas prácticamente pues solo queda el pico y pala. Por lo que veo el ejercicio está estructurado de forma que hacerlo así tenga sentido. Todo sea dicho que una vez hecho el primer apartado los otros son más rápidos. También influye que, por lo que estoy viendo, hay algunas cosas de cálculo que te despistas mucho, tendrías que practicar más para minimizar este tipo de fallos y así hacer este tipo de ejercicios de manera más rápida y efectiva.

Sobre la filosofía del procedimiento, lo que estamos haciendo es encontrar las ecuaciones del movimiento de una partícula en un espaciotiempo tipo Schwarzschild (por eso los cálculos están saliendo parecidos, no sé si en clase los hicisteis, supongo que sí) y trabajarlas para encontrar magnitudes conservadas. Es lo análogo que podrías hacer en mecánica newtoniana de coger la segunda ley de Newton y sacar de ahí la conservación de la energía mecánica a pico y pala también. En los siguientes apartados se habla de la trayectoria circular de un fotón. Ver de primera mano este tipo de trayectoria es interesante porque suelen ser trayectorias inestables, estilo las que pueden haber alrededor de un agujero negro.