Problema Relatividad General

[Weip]

Básicamente, transforma la métrica

$ds^{2}=\frac{r^{2}}{M^{2}}dt^{2}-\frac{M^{2}}{r^{2}}dr^{2}-M^{2}d\theta^{2}-M^{2}sen^{2}\left(\theta\right)d\phi^{2}$

En el lagrangiano

$\dst\mathcal{L}=\frac{1}{2}\left(\frac{r^{2}}{M^{2}}\dot{t}^{2}-\frac{M^{2}}{r^{2}}d\dot{r}^{2}-M^{2}\dot{\theta}^{2}-M^{2}sen^{2}\left(\theta\right)\dot{\phi}^{2}\right)$

Ignoro por qué se permite hacer eso, pero me suena que puede venir de la integral de la acción de la Mecánica Analítica.

A partir de aquí, simplemente deriva $\dst\frac{d\mathcal{L}}{d\dot{q}}=k$ pues argumenta que el propio lagrangiano es una constante del movimiento, con $k=0$ en el caso lumínico. De ahí obtiene las ecuaciones de conservación.

Lo que hace es lo siguiente. El Lagrangiano de la partícula es:

$L=\dst\frac{1}{2}mg_{\mu\nu}\dst\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\dst\frac{dx^{\nu}}{d\tau}=\frac{1}{2}m\left(\dst\frac{ds}{d\tau}\right)^2$

Este es el Lagrangiano del cual se derivan las ecuaciones de las geodésicas, en principio deberías haberlo visto en las clases de teoría. Fíjate que en general $\tau$ puede ser un parámetro que no tiene porqué ser el tiempo propio. En clase quizás te escribieron la fórmula con un parámetro $\lambda$. Además, tu amigo supuso $m$ como la unidad, al ser una constante no influye mucho. Teniendo todas estas observaciones en cuenta ya solo queda calcular. Si divides la métrica entre $d\tau^2$ obtienes:

$\left(\dst\frac{ds}{d\tau}\right)^2=\dst\frac{r^{2}}{M^{2}}\dot{t}^{2}-\dst\frac{M^{2}}{r^{2}}d\dot{r}^{2}-M^{2}\dot{\theta}^{2}-M^{2}sen^{2}\left(\theta\right)\dot{\phi}^{2}$

Sustituyendo en el anterior Lagrangiano llegas a la expresión de tu solución:

$\mathcal{L}=\dst\frac{1}{2}\left(\dst\frac{r^{2}}{M^{2}}\dot{t}^{2}-\dst\frac{M^{2}}{r^{2}}d\dot{r}^{2}-M^{2}\dot{\theta}^{2}-M^{2}sen^{2}\left(\theta\right)\dot{\phi}^{2}\right)$

Para encontrar las magnitudes conservadas pues toca efectuar los siguientes momentos conjugados:

$p_t=\dst\frac{\partial L}{\partial \dot{t}}$
$p_{\phi}=\dst\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}$

Y como sabes que $t$ y $\phi$ son cíclicas entonces ya has acabado.

[Pablogarra]

Básicamente, transforma la métrica

$ds^{2}=\frac{r^{2}}{M^{2}}dt^{2}-\frac{M^{2}}{r^{2}}dr^{2}-M^{2}d\theta^{2}-M^{2}sen^{2}\left(\theta\right)d\phi^{2}$

En el lagrangiano

$\dst\mathcal{L}=\frac{1}{2}\left(\frac{r^{2}}{M^{2}}\dot{t}^{2}-\frac{M^{2}}{r^{2}}d\dot{r}^{2}-M^{2}\dot{\theta}^{2}-M^{2}sen^{2}\left(\theta\right)\dot{\phi}^{2}\right)$

Ignoro por qué se permite hacer eso, pero me suena que puede venir de la integral de la acción de la Mecánica Analítica.

A partir de aquí, simplemente deriva $\dst\frac{d\mathcal{L}}{d\dot{q}}=k$ pues argumenta que el propio lagrangiano es una constante del movimiento, con $k=0$ en el caso lumínico. De ahí obtiene las ecuaciones de conservación.

[Weip]

Acabo de ver un ejercicio resuelto por un compañero de un examen anterior, y él lo deriva del Lagrangiano. Simplemente toma como el Lagragiano la métrica, la multiplica por 1/2 y sustituye los diferenciales por las derivadas de esa coordenada respecto del tiempo propio. Ignoro por qué hace eso, pero a partir de ahí deriva respecto de las $\dot{q}$ y obtiene las cantidades conservadas.

¿Es correcto?¿Qué es lo que está haciendo?

Convendría que transcribieses el proceso para poder decir algo más preciso pero así a priori entiendo que deriva los momentos conjugados a partir del Lagrangiano porque al tener las coordenadas cíclicas pues ya sabes que los momentos correspondientes se conservan. Es decir, entiendo que cuando dices que deriva respecto $\dot{q}$ lo que hace es derivar respecto $\dot{t}$ y $\dot{\phi}$, dando como resultado la energía y el momento angular. Ciertamente parece más corto.

[Pablogarra]

Acabo de ver un ejercicio resuelto por un compañero de un examen anterior, y él lo deriva del Lagrangiano. Simplemente toma como el Lagragiano la métrica, la multiplica por 1/2 y sustituye los diferenciales por las derivadas de esa coordenada respecto del tiempo propio. Ignoro por qué hace eso, pero a partir de ahí deriva respecto de las $\dot{q}$ y obtiene las cantidades conservadas.

¿Es correcto?¿Qué es lo que está haciendo?

[Pablogarra]

Vale, perfecto, eso sí que lo he hecho alguna vez. Lo que no veía es que tuviese que utilizar el mismo truco para todas las ecuaciones, pero ahora que lo pienso tiene todo el sentido del mundo por lo que buscamos conseguir.

Lo de el teorema de Noether, lo vimos en Mecánica Analítica y me pareció interesantísimo, pero no entendí la demostración. En su momento no le dediqué tiempo porque no caía en el examen. Luego siempre he pensado mirarlo de nuevo, pero hay tantas cosas pendientes de mirar de nuevo... .

Me pongo a ello de nuevo. ¡De verdad, muchas gracias por la ayuda!

[Weip]

Pues entonces ahí está el problema, que no sé cómo llegar a la expresión que comentas. Y si la división que he hecho no funciona, no entiendo lo que haces aquí

EDITO: Ya por fin lo acabo de sacar. No había entendido bien tu explicación y daba un paso más. Creo que no hace falta hacer la división que mencionas, ¿no? En cualquier caso, por fin lo he sacado correctamente.


Es decir, se supone que dividas entre $d\phi/d\tau$. ¿pero entonces cómo terminas de resolver?

Si aún no estaba claro el ejemplo que puse hubiera preferido que preguntaras, una vez entendido el ejemplo las otras ecuaciones se hacen siguiendo los mismo pasos, pero si no está claro es normal que costara.

Para la primera ecuación déjame ser más pedagógico. Empezaremos por el resultado, derivaré, y obtendré la ecuación inicial. El procedimiento que deberías hacer es con los mismos pasos exactamente pero al revés:

$\dst \dfrac{d}{d\tau}\left( \ln\left(r \dst\frac{dt}{d\tau}\right)\right)=0$

Derivamos usando la regla de la cadena:

$\dst\frac{1}{r \frac{dt}{d\tau}}\left(\dst \dfrac{d^2 t}{d\tau^2}r+\dfrac{d r}{d\tau}\dfrac{d t}{d\tau}\right)=0$

La derivada que hay en el denominador la puedes pasar al otro lado y cargártela, mientras que la $r$ entra en el paréntesis quedando:

$\dst \dfrac{d^2 t}{d\tau^2}+\dst\frac{1}{r}\dfrac{d r}{d\tau}\dfrac{d t}{d\tau}=0$

Volvemos a la ecuación inicial así que bien. Si tuvieras que hacerlo de cero partirías de ésta última ecuación teniendo en mente tus dos herramientas para juntar varios términos en una sola derivada: la regla de la cadena y la derivada del producto. Con un poco de experiencia verás que tiene sentido que el resultado tenga que salir logaritmo de cosas (esas cosas ya veremos qué son), así que tiene sentido igualmente dividir toda la ecuación por $dt/d\tau$. Llegados a la segunda ecuación ya es una cuestión de aplicar la regla de la cadena "al revés", llegando a la cantidad conservada. Si te cuesta verlo de esta forma, que al principio cuesta, no tengas miedo en ir probando con el resultado final, derivar lo que creas y ver qué sale. Así te irás formando una intuición de lo que funciona y lo que no y luego por muy difícil que sea el ejercicio que te puedan poner, tendrás armas para enfrentarlo. Sino improvisar esto en el examen pues... se complica la cosa.

El ejemplo que hice es exactamente igual, no lo apunto pero se termina de resolver haciendo esta regla de la cadena al revés de forma que aparece el logaritmo en la cantidad conservada. Es un poco que detectas una expresión de la forma $f'(x)/f(x)$, y eso huele a logaritmo.

Creo que hasta aquí llego, porque esto de operar con los diferenciales y las derivadas he visto mucha gente que sabe hacerlo pero a mí nunca me han enseñado (y llevo bastantes años en la carrera xD)

Ya, es lo típico que se dice que eso no se enseña, se aprende. Como todo, contra más practiques más eficaz serás con este tipo de manipulaciones. También ayuda a hacer las derivaciones que se hacen en teoría. En especial en asignaturas como mecánica teórica, que quizás hay cosas como la demostración del teorema de Noether que son un poco infernales, pero que si te rompes el coco con las derivadas y las integrales al final no solo entiendes el resultado teórico sino que has mejorado haciendo manipulaciones complicadas con derivadas. Y son manipulaciones que quizás en la hoja de problemas no necesitas hacer.

No, con los vectores de Killing no hemos trabajado, aunque me suena que haya mencionado su existencia en algún momento.

Una pena ya no sólo por el tema del ejercicio, sino porque es muy interesante.

[Pablogarra]

Gracias por el aporte, aunque la parte física ya la conozco en ese aspecto. Me refería concretamente al hecho de que matemáticamente no entendía el hecho de cómo partiendo de una métrica podía acabar calculando las magnitudes que se conservan. Pero tu primer párrafo me ha servido.
Veo que es que se necesitan muchas herramientas muy claras para atacar este tipo de problemas. Mira que di Mecánica Analítica, pero de Cálculo de Variaciones apenas vimos nada mas que una pequeña introducción :/

[Pablogarra]

Bueno, los dos pasos son icorrectos.
Entiendo que en el primero después de multiplicar por $d\tau /dt$ acabaste cancelando $d^2 t$ con el $dt$ que había en el denominador, pero eso es ilegal. Cuidado con este tipo de cosas, que no te confunda la notación, $d^2 t$ aisladamente no es nada y muy pocas veces te encontrarás en una situación donde puedas hacer esa simplificación.
Respecto el segundo paso, no puedes integrar cada término respecto la variable que quieras, tienes que hacer una única integración respecto una única variable. Luego puedes separar integrales si quieres porque tienes una suma, pero la variable será la misma en los dos términos, ya sea $\tau$ o $r$.

Pues entonces ahí está el problema, que no sé cómo llegar a la expresión que comentas. Y si la división que he hecho no funciona, no entiendo lo que haces aquí

EDITO: Ya por fin lo acabo de sacar. No había entendido bien tu explicación y daba un paso más. Creo que no hace falta hacer la división que mencionas, ¿no? En cualquier caso, por fin lo he sacado correctamente.

Finalmente dividiendo entre $d\phi/d\tau$ obtendrás dos términos que recuerdan a la derivada de un producto. Con esta regla del producto en mente podrás juntar todo en una misma derivada:

$\dst \frac{d}{d\tau}\left(\log\left(\dst\frac{d\phi}{d\tau}\sin^2 (\theta)\right)\right)=0$

Es decir, se supone que dividas entre $d\phi/d\tau$. ¿pero entonces cómo terminas de resolver?

Creo que hasta aquí llego, porque esto de operar con los diferenciales y las derivadas he visto mucha gente que sabe hacerlo pero a mí nunca me han enseñado (y llevo bastantes años en la carrera xD)

Por aportar algo distinto a lo dicho (aun anticipando que lo que comenta Weip será lo que seguramente esperan que hagas), recuerdo (vagamente) que el apartado a) se podría resolver haciendo uso de vectores de Killing. ¿Quizá el profesoer quería que tiraséis por ahí? Si no los han mencionado en clase, obvia este comentario.

No, con los vectores de Killing no hemos trabajado, aunque me suena que haya mencionado su existencia en algún momento.

[Weip]

recuerdo (vagamente) que el apartado a) se podría resolver haciendo uso de vectores de Killing. ¿Quizá el profesoer quería que tiraséis por ahí?

Justo es lo que pensé al preguntar qué habían hecho en teoría sobre cantidades conservadas. Sin esto pues no queda más remedio que ir trabajando con las ecuaciones de las geodésicas bajo mi punto de vista. A ver qué nos comenta Pablogarra.

[sater]

Por aportar algo distinto a lo dicho (aun anticipando que lo que comenta Weip será lo que seguramente esperan que hagas), recuerdo (vagamente) que el apartado a) se podría resolver haciendo uso de vectores de Killing. ¿Quizá el profesoer quería que tiraséis por ahí? Si no los han mencionado en clase, obvia este comentario.

[Richard R Richard]

También es cierto que no entiendo por qué se han de buscar las geodésicas. Es decir, conceptualmente no entiendo el procedimiento.

Hola Pablo. Matematicamente, no te puedo dar mas ayuda, pues es mas probable que me equivoque a que te ayude,
Pero de esta cita te comento....La geodesia entiendo surge de "minimizar la distancia" entre dos puntos de cualquier espacio
, por eso en espacios planos los puntos que se encuantran a minima distancia estan sobre una recta y en curvos , la distancia mínima no tiene porque ser una recta.

En un espacio euclidiano, cartesiano, "el de siempre", donde la primera y segunda ley de Newton funcionan muy bien, tu sabes que un cuando no le aplicas ninguna fuerza a un objeto su aceleración es nula, su trayectoria una recta y el movimiento es un MRU mientras al objeto no recibe ninguna fuerza externa,. en esas trayectorias rectas del espacio euclidiano donde el objeto no recibe fuerzas por el principio de equivalencia es similar a cuando esta en caída libre, o flotando por alli sin gravedad.

Pero en un espacio curvo , ya no existen como tales esas trayectorias rectas, ,ahora se "convierten" en las geodesias, son las trayectorias curvas en las cuales los objetos se mueven en caída libre sin que medie ninguna fuerza, serían las trayectorias de los "MU" del espacio tiempo curvo, es por eso si en un espacio plano $\dfrac{d^2x}{dt^2}=0$ implica que el objeto continue en reposo o en MRU,y en un espacio curvo $x^{\mu}+\varGamma_{\nu\rho}^{\mu} \ \dot x^{\rho} \ \dot x^{\mu}=0$ implica que en cada coordenada espacial y en la temporal el objeto continúe en reposo o localmente en MRU, aunque para observadores lejanos de estos interpretaran las trayectorias como curvas (orbitas) y aceleraciones (de la gravedad)..
Las leyes de la fisica son iguales a todos los observadores inerciales "los que tienen el movimiento uniforme localmente en su espacio" en el euclidiano la trayectoria es la recta (que es la geodesia del espacio plano) y en el curvo las geodesicas son "las trayectorias son las curvas mas "rectas" de ese espacio.

Es por eso que para aplicar leyes de conservación en mecánica clásica las aplicábamos en sistemas de referencia inerciales, " caida libre", en espacios curvos la leyes de conservación las puedes aplicar sin temor a equivocrte, sobre las geodesias que son las trayectorias de la "caida libre"

Espero no haber redundado demasiado y aclarado algo el panorama.

[Weip]

A ver, yo he multiplicado la ecuación por $\frac{d\tau}{dt}$ de forma que queda $\frac{dt}{d\tau}+\frac{1}{r}\frac{dr}{d\tau}=0$ (probablemente este sea el paso que esté mal). Después he integrado el primer sumando respecto de dt y el segundo respecto dr.

Bueno, los dos pasos son icorrectos.
Entiendo que en el primero después de multiplicar por $d\tau /dt$ acabaste cancelando $d^2 t$ con el $dt$ que había en el denominador, pero eso es ilegal. Cuidado con este tipo de cosas, que no te confunda la notación, $d^2 t$ aisladamente no es nada y muy pocas veces te encontrarás en una situación donde puedas hacer esa simplificación.
Respecto el segundo paso, no puedes integrar cada término respecto la variable que quieras, tienes que hacer una única integración respecto una única variable. Luego puedes separar integrales si quieres porque tienes una suma, pero la variable será la misma en los dos términos, ya sea $\tau$ o $r$.

La buena es, entonces

$\dst\frac{d^{2}r}{d\tau^{2}}+\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^{2}\frac{1}{r}+\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2}\frac{r^{3}}{M^{4}}=0$

Vale pues llegados a este punto hay que hacer lo mismo que en la ecuación para $\theta$, es decir, sustituye $dt/d\tau$ en término de la magnitud conservada de la ecuación $t$ y verás que se puede proceder como en la primera ecuación y en la tercera que hice de ejemplo.

De todas formas, me parecen muchas vueltas para sacar las magnitudes conservadas respecto de la métrica. También es cierto que no entiendo por qué se han de buscar las geodésicas. Es decir, conceptualmente no entiendo el procedimiento. De todas formas, ayer hablé con una compañera y parece ser que este ejercicio pilló bastante por sorpresa a la mayoría, puesto que no habíamos hecho nada parecido en clase.

Por eso te pregunté qué habías hecho en teoría. Como no has dado nada de magnitudes conservadas prácticamente pues solo queda el pico y pala. Por lo que veo el ejercicio está estructurado de forma que hacerlo así tenga sentido. Todo sea dicho que una vez hecho el primer apartado los otros son más rápidos. También influye que, por lo que estoy viendo, hay algunas cosas de cálculo que te despistas mucho, tendrías que practicar más para minimizar este tipo de fallos y así hacer este tipo de ejercicios de manera más rápida y efectiva.

Sobre la filosofía del procedimiento, lo que estamos haciendo es encontrar las ecuaciones del movimiento de una partícula en un espaciotiempo tipo Schwarzschild (por eso los cálculos están saliendo parecidos, no sé si en clase los hicisteis, supongo que sí) y trabajarlas para encontrar magnitudes conservadas. Es lo análogo que podrías hacer en mecánica newtoniana de coger la segunda ley de Newton y sacar de ahí la conservación de la energía mecánica a pico y pala también. En los siguientes apartados se habla de la trayectoria circular de un fotón. Ver de primera mano este tipo de trayectoria es interesante porque suelen ser trayectorias inestables, estilo las que pueden haber alrededor de un agujero negro.

[Pablogarra]

De aquí fíjate que si derivas no obtienes tu ecuación inicial. Repasa los cálculos, en principio la cantidad conservada debería ser $\ln(r dt/d\tau)$, si no voy errado.

A ver, yo he multiplicado la ecuación por $\frac{d\tau}{dt}$ de forma que queda $\frac{dt}{d\tau}+\frac{1}{r}\frac{dr}{d\tau}=0$ (probablemente este sea el paso que esté mal). Después he integrado el primer sumando respecto de dt y el segundo respecto dr.

Aquí te faltan derivadas de $t$ respecto $\tau$ en el último término, no puede ser que no te haya quedado ninguna derivada. Luego, la factorización de la derivada es incorrecta, derivando de nuevo el resultado que has obtenido no se llega a la ecuación inicial, aparece un término extra que sobra.

Ogg, calla. Soy idiota. Había puesto $\dst\frac{d\tau}{d\tau}$ en lugar de $\dst\frac{dt}{d\tau}$ y por eso lo había puesto como 1. La buena es, entonces

$\dst\frac{d^{2}r}{d\tau^{2}}+\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^{2}\frac{1}{r}+\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2}\frac{r^{3}}{M^{4}}=0$

A ver si mañana puedo mirármelo, en principio se tendría que hacer igual que las otras, mientras no contesto sustituye las derivadas $d\phi / d\tau$ usando la cantidad cosnervada que te derivé de la última ecuación, debería salir algo más o menos tratable. Sino lo dicho, intentaré sacarlo mañana.

Voy a ver qué consigo.


De todas formas, me parecen muchas vueltas para sacar las magnitudes conservadas respecto de la métrica. También es cierto que no entiendo por qué se han de buscar las geodésicas. Es decir, conceptualmente no entiendo el procedimiento. De todas formas, ayer hablé con una compañera y parece ser que este ejercicio pilló bastante por sorpresa a la mayoría, puesto que no habíamos hecho nada parecido en clase.

[Weip]

$\dst\frac{d}{d\tau}\left(t+Ln(r)\right)=0$

De aquí fíjate que si derivas no obtienes tu ecuación inicial. Repasa los cálculos, en principio la cantidad conservada debería ser $\ln(r dt/d\tau)$, si no voy errado.

$\dst\frac{d}{d\tau}\left(\frac{dr}{d\tau}+\frac{dr}{d\tau}Ln(r)\right)+\frac{r^{3}}{M^{4}}=0$

Aquí te faltan derivadas de $t$ respecto $\tau$ en el último término, no puede ser que no te haya quedado ninguna derivada. Luego, la factorización de la derivada es incorrecta, derivando de nuevo el resultado que has obtenido no se llega a la ecuación inicial, aparece un término extra que sobra.

y la tercera no soy capaz de sacarla

A ver si mañana puedo mirármelo, en principio se tendría que hacer igual que las otras, mientras no contesto sustituye las derivadas $d\phi / d\tau$ usando la cantidad cosnervada que te derivé de la última ecuación, debería salir algo más o menos tratable. Sino lo dicho, intentaré sacarlo mañana.

[Pablogarra]

PD: Al final me olvidé preguntar, en teoría ¿qué habéis hecho sobre cantidades conservadas? Lo digo porque el ejercicio quizás se puede hacer más rápido dependiendo de lo que hayáis dado. Lo que yo estoy explicando es teniendo el mínimo de teoría posible y lleva a buen puerto pero por si acaso prefiero preguntar.

Sinceramente es que de esta parte no hemos tenido ejemplos más que el del perihelio de Mercurio y poco más.

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Por cierto, he corregido las ecuaciones y son las siguientes. Una me equivoqué al pasarlo del papel al mensaje, y la otra fue un error de cálculo.

$\dst\frac{d^{2}t}{d\tau^{2}}+\frac{1}{r}\frac{dr}{d\tau}\frac{dt}{d\tau}=0$
$\dst\frac{d^{2}r}{d\tau^{2}}+\frac{1}{r}\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^{2}+\frac{r^{3}}{M^{4}}=0$
$\dst\frac{d^{2}\theta}{d\tau^{2}}-sen(\theta)cos(\theta)\left(\frac{d\phi}{d\tau}\right)^{2}=0$
$\dst\frac{d^{2}\phi}{d\tau^{2}}+\frac{cos(\theta)}{sen(\theta)}\frac{d\phi}{d\tau}\frac{d\theta}{d\tau}=0$

De la primera he sacado fácilmente que

$\dst\frac{d}{d\tau}\left(t+Ln(r)\right)=0$ (la constante de integración la he igualado a 0 porque no pierde significado físico, creo).

De la segunda

$\dst\frac{d}{d\tau}\left(\frac{dr}{d\tau}+\frac{dr}{d\tau}Ln(r)\right)+\frac{r^{3}}{M^{4}}=0$

con lo que creo concluir que para r no hay magnitud conservada (?). O que esa ecuación no nos da información sobre las magnitudes conservadas.

La última la sacaste tú y la tercera no soy capaz de sacarla