¿Es la geodésica la distancia más corta posible en el espaciotiempo?

[inakigarber]

Buenos días;

Yo hubiera pensado que sí a la pregunta que formulo arriba, pero siguiendo el blog que anexo a continuación, y considerando que dicho blog es un blog serio, no dejo de sorprenderme cuando dice; (copio el párrafo completo)
"El lector debe prepararse ahora para una sorpresa.

Si bien en cualquier geometría Euclideana o inclusive en cualquier geometría no-Euclideana bajo cualquier número de dimensiones espaciales que se nos antoje postular la geodésica es la ruta que representa la menor distancia posible entre dos puntos cualesquiera, en la geometría no-Euclideana del espacio-tiempo relativista en donde tenemos tres dimensiones espaciales y una dimensión de tiempo la estructura de la geodésica es tal que aunque sigue siendo “la ruta más derecha posible de todas” la geodésica no es la trayectoria mínima sino la trayectoria máxima de todas las trayectorias posibles, en pocas palabras no es la menor distancia posible en el espacio-tiempo sino la mayor distancia posible. Esto tiene una consecuencia muy curiosa con la que todos estamos familiarizados. Un cuerpo que se mueva bajo la influencia de la gravedad se moverá recorriendo la ruta que le lleva el mayor tiempo posible recorrer de acuerdo con su reloj propio. En su libro ABC of Relativity: Understanding Einstein publicado en 1925, Bertrand Russell llama a esto la “ley de la pereza cósmica” - los cuerpos dejados a sí mismos se toman el mayor tiempo posible para llegar a su destino. Un cuerpo cualquiera, dejado a sí mismo, viaja de modo tal que el tiempo que le lleva efectuar el recorrido, de acuerdo con su propio reloj, es el mayor tiempo posible. Si hubiera viajado tomando cualquier otra ruta de un evento a otro, el tiempo sería menor."

Bien, entonces, un objeto que cae en caída libre sin velocidad inicial cayendo en línea recta ¿no sigue el camino mas corto? pareciera suponer que sí, pero ya no lo sé.

Supongo que para un observador que pudiera ver las cuatro dimensiones del espacio relativista esta pregunta sería obvia y no tendría sentido. Por poner un ejemplo quizá un poco tonto. Si tengo un cubo, todos los lados son iguales y los ángulos son rectos, pero cuando proyecto el cubo en dos dimensiones ni todos los lados son iguales ni todos los ángulos son rectos.

Para un habitante que viviera en Flatland de Edwin Abbott, la afirmación de que todos los lados y los ángulos son iguales (y rectos) sería cuanto menos chocante, pero no para nosotros. Bien, de alguna forma supongo que yo también soy un habitante de Flatland.

[sater]

Buenas, el problema es que hay gente que define longitud en base a tiempo propio y otros a intervalo espaciotemporal. Como $d\tau^2 =-ds^2$, lo que en intervalo espaciotemporal representa un mínimo en tiempo propio es un máximo. Las geodésicas son mínima distancia espacitoemporal entre dos eventos pero mayor tiempo propio entre ambos.

Al respecto hay una anécdota curiosa de Feynman: este le preguntó al ayudante de Einstein (sobre los años 30-40 debió ser) cómo debía lanzar un cohete (o por ponernos en términos más sencillos, una piedra, puedes pensar en un tiro vertical o parabólico) para que mientras que en la tierra (a nivel del suelo) pasasen 100 segundos el reloj interno del cohete marcase el mayor tiempo posible.

Este se entretuvo en hacer cálculos complicados, pues el problema está en que si quieres que marque el mayor tiempo posible intentarás que alcance mayor altura para que sienta un campo gravitatorio más débil (dilatación temporal de RG, su tiempo pasa más rápido), pero si quieres que alcance mucha altura tendrás que darle mucha velocidad (y sufrirá dilatación temporal de RE en el otro sentido, su tiempo pasa más lento). Tras muchas cuentas comprobó ¡que simplemente tenía que seguir una geodésica! Pues por la propiedad que te he dicho antes, las geodésicas maximizan tiempo propio. Es decir, basta con lanzar la piedra de manera que te asegures que el tiempo que tarda en subir y bajar medido por un observador en la superficie sean 100 segundos. Entonces el reloj interno atado a la piedra habría avanzado lo máximo posible.

Feynman sabía la respuesta porque conocía la propiedad, si no recuerdo mal esta anécdota la cuenta a modo de ejemplo para que veamos que hasta los expertos pueden tener estas lagunas :P

[pod]

Quizá causa cierta confusión lo siguiente: aquí no estamos hablando del menor tiempo propio para recorrer cierta distancia (espacial), sino para unir dos eventos (espacio-temporales). Imaginemos el siguiente experimento mental. Sea $x^0 = t$ el tiempo coordenado y tomamos c=1. Consideramos los eventos A(0, 0) y B(2, 1). La separación entre ambos eventos es de tipo tiempo, así que es factible que una partícula con masa vaya de uno a otro. En realidad, es trivial ver que la geodésica corresponde a un MRU con v = 1/2, que es factible porque v < 1. Básicamente, significa recorrer un metro (espacial) en un segundo (temporal).

El tiempo propio del viaje será $\tau = \sqrt{2^2 - 1} = \sqrt{3}$.

Esto no quiere decir que esta trayectoria sea la que recorre un metro (coordenado) en mayor tiempo propio. Por supuesto que no, una trayectoria que vaya más lento recorrerá ese metro en menos mayor propio. Imaginemos, por ejemplo, una trayectoria que vaya a v=1/3. Está claro que esta trayectoria llegará a x = 1 mas tarde que dos segundos. Pero el momento en el que llegue a x=1 no será el evento B, será otro. Concretamente, el evento "la segunda trayectoria llega a x = 1" tiene coordenadas C = (3, 1). El tiempo propio entre A y C en esta trayectoria seria

$$\tau_{AC} = \sqrt{3^2 - 1} = \sqrt{8} > \sqrt{3}.$$

Esta trayectoria hace imposible que la partícula llegue "a tiempo" al evento B. Imaginemos otra trayectoria que va más rápido; por ejemplo $v = 3/4$. Esta claro que esta trayectoria llegará a x = 1 antes de tiempo. Concretamente, el evento "la tercera trayectoria llega a x = 1" tiene coordenadas D = (4/3, 1). Luego, desde el punto de vista de nuestro observador, esta trayectoria tiene que esperarse 2/3 para llegar al evento B. ¿Cual sería el tiempo propio de esta trayectoria? Pues habrá que sumar las dos componentes

$$\tau_{ADC} = \sqrt{(4/3)^2 - 1} + \sqrt{(2/3)^2 - 0} = \frac{\sqrt{5} - 2}{3} < \sqrt{3} .$$

En general, cualquier trayectoria (que sea tipo-tiempo en todos sus puntos) que una los eventos A y B tendrá un tiempo propio mayor que la geodésica.

Para terminar, puede ser útil hacer un ejemplo que no sea un MRU. Podríamos imaginar una trayectoria con una aceleración coordenada constante, que seria $x^\mu = (t, t^2/4)$ (nota: esto no seria el equivalente a un MRUA relativista, ya que normalmente consideramos un MRUA como un aceleración propia constante). El tiempo propio seria

$$\tau_4 = \int_0^2 \dd t \sqrt{- \eta_{\mu\nu} \dfrac{\dd x^\mu}{\dd t}\dfrac{\dd x^\nu}{\dd t} } = \int_0^2 \dd t \sqrt{1-\frac{t^2}{4}} = \frac{\pi}{2} < \sqrt{3} ,$$

donde hemos usado $\frac{\dd x^0}{\dd t} = 1$ y $\frac{\dd x^1}{\dd t} = t/2$.


En resumen, el hecho de que salga un máximo puede chocarnos porque estamos acostumbrados a que "la distancia entre dos puntos es la linea recta". Esto sigue siendo cierto si miramos únicamente la parte espacial. Pero espacio-temporalmente, unir dos eventos significa no sólo recorrer la distancia espacial justa, sino también la distancia temporal justa.

En general, una geodésica es la que hace que el intervalo relativista sea estacionario, sin importar que sea un máximo o un mínimo. Una trayectoria geodésica es una cuyo intervalo (o, equivalentemente, tiempo propio) cambia poco bajo pequeñas deformaciones de la trayectoria. Dependiendo de la geometría, ello puede corresponder a un mínimo (local o absoluto), un máximo (local o absoluto) o incluso, imagino (no estoy seguro) a un punto de silla.

Luego, en un espacio de Minkowski (y, por aproximación, en espacio quasi-Minkowskiano, que son relevantes en casos de campo gravitatorio débil, como nuestro entorno), como hemos vistos, dados dos eventos siempre hay una sola geodésica que los une. Si dicha geodésica es de tipo tiempo (es decir, corresponde a una trayectoria que una partícula con masa podría seguir), entonces la trayectoria siempre corresponde al intervalo 4-dimensinal mínimo, y como sater indica ello implica tiempo propio máximo. De echo, estas trayectorias son simples MRU, como cabria esperar. Así que, en ese sentido, el blog y Russel tienen toda la razón.

Ahora bien, en un espacio-tiempo con curvatura arbitraria, la cosa puede cambiar. Es posible que existan varias geodésicas que unan dos eventos, y esas curvas pueden ser máximos o mínimos locales.

[inakigarber]

Gracias por vuestros comentarios.

...
En resumen, el hecho de que salga un máximo puede chocarnos porque estamos acostumbrados a que "la distancia entre dos puntos es la linea recta". Esto sigue siendo cierto si miramos únicamente la parte espacial. Pero espacio-temporalmente, unir dos eventos significa no sólo recorrer la distancia espacial justa, sino también la distancia temporal justa.

Creo que esta es una de las claves de mi pregunta, y quizás uno de los puntos más importantes para entender la relatividad general. Eso es, más o menos, lo que quería representar en mi comparación con el cubo y Flatland de Ewing Abbott. Para un observador que pudiera ver el cuatriespacio todo esto seguramente sería tan obvio como cualquier experiencia cotidiana. Podría imaginarme una trayectoria en tres dimensiones, tal cual esta.

Supongamos por ejemplo la trayectoria parabólica de una pelota. Para nosotros la pelota traza una parábola, pero para un observador de Flatland que solo puede ver la proyección de dicha trayectoria sobre los ejes XY sería una trayectoria recta. No obstante tengo mis dudas de si la trayectoria parabólica es o no una geodésica y quizá este tirando balones (o pelotas) fuera.

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

No obstante tengo mis dudas de si la trayectoria parabólica es o no una geodésica y quizá este tirando balones (o pelotas) fuera.

Si podemos decir que es una muy buena aproximación de una trayectoria Geodesica para nuestro espacio tiempo casi de Minkowski.

Veamoslo si quieres un poco con mecánica clásica, tienes infinitas parábolas que pasan por el punto de lanzamiento A y por el punto de caida B, , para cada velocidad "posible".
Pero de todas las parabolas solo una arribara en t =100 s , el resto lo hará en mas o menos tiempo.

por otro lado además puedes inventar otras infinitas trayectorias componiendo velocidades en distintas direcciones y aceleraciones con tal que se llegue de A hasta B en exactamente 100 segundos medidos por un observador en tierra.

Ahora volviendo al tema de RG de todas las trayectorias posibles la que tiene el máximo tiempo propio para la bola es la que corresponde a la trayectoria geodésica, por eso en el espacio tiempo poco deformado del planeta Tierra cuando asumimos la constancia de la gravedad con la altura y la planitud de la superficie entonces la geodésica se correspondería con la Parábola de la teoría newtoniana.

Es decir en RG la parábola que vemos no se corresponde exactamente con una función matemática de una parábola pero a fines prácticos es muy muy muy similar por eso no usamos RG en la vida diaria y si la mecanica Newtoriana con sus parábolas. Con instrumentos normales no podemos notar tal diferencia entre una trayectoria parábolica de la TN y la cuasieliptica con precesión de la TRG.

[inakigarber]

Buenas noches;

Por lo que entiendo de lo que me decís la geodésica vendría dada por las coordenadas espaciales los más rectas posibles pero una coordenada especial "lo más larga posible", pero ese lo más larga posible habría que matizarlo. Una coordenada temporal lo más larga posible implicaría que un cuerpo tardaría en caer un tiempo infinito, con lo cual al tirar una piedra en un espaciotiempo cuasi plano como el que vivimos, la piedra nunca alcanzaría a caer, lo cual es absurdo ya que la piedra acaba cayendo en un tiempo razonable, por lo que tengo entendido eso solo ocurriría en el caso de una caída libre hacia un agujero negro. Luego habría un límite a ese tiempo máximo, al menos en un caso como el que podríamos observar en el lanzamiento de una piedra a ras de superficie en la tierra. Por otra parte, se me ocurre pensar que si en un espacio tridimensional la trayectoria de un objeto tiene dos dimensiones, en un cuatriespacio la trayectoria de un objeto ¿no debería tener tres dimensiones? pero a su vez ¿ que significaría que una trayectoria tuviera tres dimensiones?

Saludos y gracias.

[inakigarber]

Buenas tardes;

Tal vez esté tirando piedras fuera, pero vamos a ver si voy por buen camino.

Supongamos que me encuentro a unos 6380 Km de un agujero negro de la masa re la tierra cuyo tamaño es menor que 6 cm (más o menos el radio de Schwarzchild de la tierra). Sentiré una aceleración de unos $9.81 m/(seg)^2$. Si dejo caer en caída libre a una persona (en la vida real no soy tan malvado) a medida que se vaya acercando al horizonte de sucesos su tiempo lo iré percibiendo más lento, de manera que nunca llegará a alcanzar dicho horizonte. En mi sistema de referencia el sujeto caerá en linea recta, pero el tiempo de caída del sujeto será infinito. ¿Es eso a lo que se refiere que la geodésica representa la menor distancia espacial posible pero la mayor distancia temporal posible?

Saludos y gracias.

[pod]

Supongamos que me encuentro a unos 6380 Km de un agujero negro de la masa re la tierra cuyo tamaño es menor que 6 cm (más o menos el radio de Schwarzchild de la tierra). Sentiré una aceleración de unos $9.81 m/(seg)^2$. Si dejo caer en caída libre a una persona (en la vida real no soy tan malvado) a medida que se vaya acercando al horizonte de sucesos su tiempo lo iré percibiendo más lento, de manera que nunca llegará a alcanzar dicho horizonte. En mi sistema de referencia el sujeto caerá en linea recta, pero el tiempo de caída del sujeto será infinito. ¿Es eso a lo que se refiere que la geodésica representa la menor distancia espacial posible pero la mayor distancia temporal posible?

No. En tu relato, no interviene para nada el tiempo propio (que seria el del pobre sujeto que has dejado caer), sino tu tiempo coordenado.

[Richard R Richard]

Buenas noches;

Por lo que entiendo de lo que me decís la geodésica vendría dada por las coordenadas espaciales los más rectas posibles pero una coordenada especial "lo más larga posible", pero ese lo más larga posible habría que matizarlo.

No imagina dos relojes uno lo tengo yo que estoy estático entre A y B , y te propongo que tu viajes junto a la bola con el otro reloj.
Entonces lo que te estoy diciendo que puedes elegir entre infinitas formas de ir de un punto A al Punto B ,en un espacio curvo durante un determinado tiempo T medido por un observador externo , yo en este caso,
Ejemplo puedes escoger ir en linea recta, en zig zag, en linea recta acelerando y frenando las veces que se quieras , loop , rulos, salir de la atmosfera , dar varias vueltas a la tierra y y volver, ir por el centro de la tierra y regresar , haciendo un arco de circunferencia, etc en fin miles, millones o infinitas que se te ocurran, si a todas estas trayectorias le mides el tiempo propio (el que mides tu,con tu reloj) y llegas justo a B cuando mi reloj marca 100 segundos, entonces el viaje que mayor tiempo propio le puedas medir es el que ha usado la trayectoria geodésica, Para el caso de lanzar una bola en la superficie de la tierra esta es la trayectoria de la parábola (porque sin cumplir con ser estrictamente una parábola) , es lo que observamos como curva geodésica en nuestro espacio tiempo, es decir un "tiro parabólico newtoniano" .
Lo puedes ver de varios modos cualquier reloj adosado a la bola medirá menos tiempo haciendo cualquier otra trayectoria que lo lleve a estar en B justo a los 100 segundos medido en mi reloj o que el mayor tiempo que tu puedes medir yendo como se te antoje lo conseguirás usando una trayectoria geodésica mientras tanto yo siempre estaré midiendo para cualquiera de esos viajes 100 segundos para ir de A a B.

[inakigarber]

.....Lo puedes ver de varios modos cualquier reloj adosado a la bola medirá menos tiempo haciendo cualquier otra trayectoria que lo lleve a estar en B justo a los 100 segundos medido en mi reloj o que el mayor tiempo que tu puedes medir yendo como se te antoje lo conseguirás usando una trayectoria geodésica mientras tanto yo siempre estaré midiendo para cualquiera de esos viajes 100 segundos para ir de A a B.

Mirándolo así, consistiría a jugar un juego en el que de todas las trayectorias posibles que coincidan en tu tiempo en 100 milisegundos yo elija aquella que me lleve el mayor tiempo propio posible a mi. En el caso del ejemplo que puse en #7 el objeto que dejo caer hasta el agujero negro tarda en mi sistema de referencia (en este caso soy el observador en reposo) un tiempo $\infty$, puesto que en su sistema de referencia el tiempo de caída debe ser de todos los que den ese tiempo infinito el mayor posible, el objeto nunca podría alcanzar el agujero negro ¿Es así?

[Richard R Richard]

Disculpa la tardanza en contestar , se me ha escapado, es como tú dices, el tiempo para el cruce visto por el observador lejano tiende a infinito, la luz reflejada o emitida por el objeto tiende al cero de frecuencia sin que nunca logré atravesar el horizonte, si posteriormente lanzas un segundo objeto a las mismas coordenadas este tapara , ocultara al primero y no lo podrás seguir observando.
Pero recuerda que ,sí cruza, el objeto desde su marco de referencia cruza el horizonte sin cambios ni notarlo siquiera, la diferencia radica en que luego de cruzar ya no puede salir ,pues no podrá superar la velocidad de escape que será en todo momento mayor o igual a la velocidad de la luz .