Problema en cálculo de la curvatura K en un espacio bidimensional con una métrica dada.

[inakigarber]

Buenas noches;

Planteo el siguiente problema cuya solución me trae bastante de cabeza, que se encuentra en esta dirección;

El problema dice asi;
"Sabiendo de antemano que en una 2-superficie la curvatura Riemanniana-Gaussiana K está definida de la siguiente manera: $K=\dfrac{R_{1212}}{|g|}$ siendo g el determinante del tensor métrico g, obtener la expresión correspondiente a K para la siguiente métrica: $ds^2=\dfrac{1}{(x^1)^2}(dx^1)-\dfrac{1}{(x^1)^2}(dx^2)^2$".

Por una parte, no entiendo muy bien lo que se pretende calcular (lo cual es ya de por sí un problema), por otra parte, creo que hay al menos un error en la resolución del problema, cuando en la siguiente frase dice;

"Del elemento de línea ds² obtenemos los siguientes componentes que corresponden al tensor métrico g:"
$g_{11}=(x^1)^2$, $g_{22}=(x^1)^2$, $g_{12}=g_{21}=0$. En esto estoy de acuerdo (eso creo), pero cuando calcula el tensor conjugado;
$g^{11}=(x^1)^2$, $g^{22}=1/(x^1)^2$. Los elementos cruzados $g^{12}=g^{21}=0$, alguno de estos datos debe estar mal ya que no se cumple en todos los casos que $g^{ab}g_{ab}=1$. Por otra parte, si todos los elementos del tensor métrico son positivos ¿Por qué tenemos un signo negativo en la expresión de la métrica?

No lo entiendo, hay algo que se me está escapando. ¿Cómo lo puedo alcanzar?

Saludos y gracias.

[Weip]

Buenos días. El blog tiene erratas en varias puntos y luego la transcripción a tu mensaje también ha sufrido alguna errata de más así que primero vamos a plantear bien el problema. La métrica que te piden es sin el signo menos, es decir:

$ds^2=\dst\frac{1}{x^2}dx^2+\dst\frac{1}{y^2}dy^2$

Fíjate que de esta forma cuadra lo que dice luego: $g_{11}=1/x^2$ y $g_{22}=1/y^2$. Aquí he hecho un cambio de notación para no liar demasiado con el latex, la $x^1$ del blog es mi $x$ y la $x^2$ es mi $y$. Como la métrica es diagonal su inversa viene dada por la inversa de sus componentes: $g^{11}=x^2$ y $g^{22}=y^2$.

Ahora, lo que pide el problema es calcular la curvatura gaussiana $K$. Esta es una función que depende del punto en el que estés de la superfície e indica la curvatura en ese punto. Seguro que sabes por ejemplo que la curvatura de la esfera es $+1$, por lo que $K=+1$ en todos los puntos (es una función constante). Ahora no lo sabemos pero ya verás que en el caso en el que tú estás también la curvatura será constante, y ya verás que superfície es. Pero hasta entonces mejor paramos aquí. ¿Del enunciado se entiende todo? Si hay alguna duda hazla ahora. Y sino en otro mensaje te explico cómo calcular $K$ (que pasará primero por los símbolos de Christoffel, como casi todos los cálculos de este tema).

[inakigarber]

Buenas noches, gracias por tu respuesta.

Buenos días. El blog tiene erratas en varias puntos y luego la transcripción a tu mensaje también ha sufrido alguna errata de más así que primero vamos a plantear bien el problema. La métrica que te piden es sin el signo menos, es decir:

$ds^2=\dst\frac{1}{x^2}dx^2+\dst\frac{1}{y^2}dy^2$

Fíjate que de esta forma cuadra lo que dice luego: $g_{11}=1/x^2$ y $g_{22}=1/y^2$. Aquí he hecho un cambio de notación para no liar demasiado con el latex, la $x^1$ del blog es mi $x$ y la $x^2$ es mi $y$. Como la métrica es diagonal su inversa viene dada por la inversa de sus componentes: $g^{11}=x^2$ y $g^{22}=y^2$.....

Así las cosas cuadran bastante mejor, ya que se cumple que $g^{ab}g_{ab}=I$.

Ahora, lo que pide el problema es calcular la curvatura gaussiana $K$. Esta es una función que depende del punto en el que estés de la superfície e indica la curvatura en ese punto. Seguro que sabes por ejemplo que la curvatura de la esfera es $+1$, por lo que $K=+1$ en todos los puntos (es una función constante). Ahora no lo sabemos pero ya verás que en el caso en el que tú estás también la curvatura será constante, y ya verás que superfície es. Pero hasta entonces mejor paramos aquí. ¿Del enunciado se entiende todo? Si hay alguna duda hazla ahora. Y sino en otro mensaje te explico cómo calcular $K$ (que pasará primero por los símbolos de Christoffel, como casi todos los cálculos de este tema).

Entiendo que lo que pretende el enunciado del problema es determinar cuanto se aparta en función de su posición una determinada "porción" de superficie del espacio Euclidiano. Siendo K=0 un espacio Euclidiano (las paralelas no se juntan y la suma de los ángulos de un triángulo suman 180º), K >0 y K<0 son espacios no euclidianos. En K>0 los ángulos de un triángulo suman más de 180º y las rectas paralelas acabarán juntándose , en el caso contrario, los ángulos del triángulo suman menos de 180º y las rectas paralelas acabarán separándose si no estoy equivocado.
Pero tengo mis dudas sobre como se calcula el valor de K, aunque sé que cuando los símbolos de Christoffel son nulos K=0.

[Weip]

Vale pues vayamos a por el cálculo de la curvatura gaussiana $K$. Lo primero es encontrar los símbolos de Christoffel mediante la fórmula del blog:

$\Gamma_{\mu \nu}^{\alpha}=\dst\frac{1}{2}g^{\alpha \beta}(g_{\mu\beta,\nu}+g_{\nu\beta,\mu}-g_{\mu\nu,\beta})$

Para no tener que calcular más de la cuenta primero fíjate que las únicas derivadas no nulas de la métrica son $\partial_x g_{11}$ y $\partial_y g_{22}$. En algún hilo se había tratado ya el tema de calcular símbolos de Christoffel así que es cuestión de ver si te da lo mismo que el blog. Ahora te dicen que para calcular $K$ has de aplicar $K=R_{1212}/g$, con lo que tendremos que saber $R_{1212}$. Para ello recuerda que el tensor de Riemann se calcula mediante:

$R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}=\Gamma_{\beta\nu,\mu}^{\alpha}+\Gamma_{\beta\mu,\nu}^{\alpha}-\Gamma_{\sigma\mu}^{\alpha}\Gamma_{\beta\nu}^{\sigma}-\Gamma_{\sigma \nu}^{\alpha}\Gamma_{\beta\mu}^{\sigma}$

Aún así no necesitamos todo el tensor de Riemann, solo la componente $R^{1}_{212}$. Así que en la fórmula sustituye $\alpha, \mu=1$, $\beta, \nu=2$. Finalmente utiliza la métrica para bajar el primer índice. Si es la primera vez que haces este tipo de cálculo ves despacio y comparando tus resultados con los que da el blog. También cuidado con la suma en el índice $\sigma$. Si necesitas que amplie algún paso di.

[inakigarber]

He estado tratando de calcular los símbolos de Christoffel, pero he debido equivocarme, pues todos me salen nulos excepto $\Gamma^1_{11}=-\dfrac{1}{x}$

[Weip]

He estado tratando de calcular los símbolos de Christoffel, pero he debido equivocarme, pues todos me salen nulos excepto $\Gamma^1_{11}=-\dfrac{1}{x}$

Perdona error mío, cuando puse el enunciado corregido la métrica debía ser:

$ds^2=\dfrac{1}{x^2}dx^2+\dfrac{1}{x^2}dy^2$

El error es que $g_{22}=1/x^2$, no $g_{22}=1/y^2$. En un inicio lo copié mal. Ahora ya deberían salir algunos más no nulos, por ejemplo:

$\Gamma^1_{22}=\dfrac{1}{2}g^{11}(g_{21,2}+g_{21,2}-g_{22,1})=-\dfrac{1}{2}g^{11}g_{22,1}=-\dfrac{1}{2}x^ 2\left(-\dfrac{2}{x^3}\right)=\dfrac{1}{x}$

[inakigarber]

Buenas noches;

Gracias por tu respuesta.

Los símbolos de Christoffel que me salen son los siguientes;
$\Gamma^1_{11}=-1/x$
$\Gamma^1_{12}=0$
$\Gamma^1_{21}=0$
$\Gamma^1_{22}=1/x$* En el blog sale; $\Gamma^1_{22}=-1/x$
$\Gamma^2_{11}=0$
$\Gamma^2_{12}=-1/x$
$\Gamma^2_{21}=-1/x$
$\Gamma^2_{22}=0$
Ahora continuaré con la segunda parte del problema.
$R^1_{212}=\Gamma^1_{22,1}+\Gamma^1_{21,2}-\Gamma^1_{\sigma 1}\Gamma^\sigma_{22}-\Gamma^1_{\sigma 2}\Gamma^\sigma_{21}$
$\dfrac{\partial x^-1}{\partial x}+0--\Gamma^1_{\sigma 2}\Gamma^\sigma_{21}$
Dado que solo hay dos posibilidades $\sigma=1$ y $\sigma=2$, y descartando los símbolos de Christoffel nulos.
$R^1_{212}=-x^-2-(-1/x^2)-(1/x^2)=-(1/x^2)$

El determinante $|g|=1/x^2$, y la curvatura $k=\dfrac{-(1/x^2)}{(1/x^2)}=-1$, por lo que en este caso la curvatura no depende de x (ni de otra variable).

De todos modos, hay algo que no termino de entender en el enunciado cuando dice "Sabiendo de antemano que en una 2-superficie la curvatura Riemanniana-Gaussiana K está definida de la siguiente manera:"

$K=\dfrac{R_{1212}}{|g|}$

Supongo que el valor de los índices del tensor esta elegido al azar y que obtendríamos un valor distinto si eligiéramos otro valor dentro de lo posible. He elegido los valores opuestos $R^2_{121}$ y el valor de $R$ que he obtenido ha sido $R=1/x^2$ y un valor de $K=1$, pero no estoy muy seguro.

[Weip]

Los símbolos de Christoffel que me salen son los siguientes;
$\Gamma^1_{11}=-1/x$
$\Gamma^1_{12}=0$
$\Gamma^1_{21}=0$
$\Gamma^1_{22}=1/x$* En el blog sale; $\Gamma^1_{22}=-1/x$
$\Gamma^2_{11}=0$
$\Gamma^2_{12}=-1/x$
$\Gamma^2_{21}=-1/x$
$\Gamma^2_{22}=0$
Ahora continuaré con la segunda parte del problema.

Coincido contigo. Al blog le sale uno cambiado de signo porque cuando le conviene pone un signo menos a $g_{22}$ y cuando no conviene, no lo pone.

$R^1_{212}=\Gamma^1_{22,1}+\Gamma^1_{21,2}-\Gamma^1_{\sigma 1}\Gamma^\sigma_{22}-\Gamma^1_{\sigma 2}\Gamma^\sigma_{21}$
$\dfrac{\partial x^-1}{\partial x}+0--\Gamma^1_{\sigma 2}\Gamma^\sigma_{21}$
Dado que solo hay dos posibilidades $\sigma=1$ y $\sigma=2$, y descartando los símbolos de Christoffel nulos.
$R^1_{212}=-x^-2-(-1/x^2)-(1/x^2)=-(1/x^2)$

En la segunda línea hay un término $-\Gamma^1_{11}\Gamma^1_{22}\neq 0$ que no has incluido. En todo caso, aquí sucede que yo no he obtenido el resultado que ha de dar. Así que he buscado y a menos que esté haciendo errores de cálculo, la fórmula está mal (la saqué del blog confiando pero...). En cambio sí me da el resultado correcto utilizando la fórmula siguiente, sacada de mis apuntes de Relatividad General:

$R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}=\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu, \mu}-\Gamma^{\alpha}_{\beta\mu, \nu}+\Gamma^{\alpha}_{\sigma\mu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\sigma\nu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\mu}$

Por dar fuentes distintas a mis apuntes, en estos sitios la usan también así que la doy por correcta 100%:
https://mathworld.wolfram.com/RiemannTensor.html
http://www.math-old.uct.ac.za/omei/gr/chap6/node10

Volviendo a hacer el cálculo sale $R^{1}_{212}=-1/x^2$, compruébalo tu también para ver si coincidimos.

El determinante $|g|=1/x^2$, y la curvatura $k=\dfrac{-(1/x^2)}{(1/x^2)}=-1$, por lo que en este caso la curvatura no depende de x (ni de otra variable).

Cuidado, el determinante de la métrica al ser una matriz diagonal es el producto de los elementos de la diagonal y por tanto $g=1/x^4$. Luego, en la curvatura fíjate que sale $R_{1212}$ y no $R^{1}_{212}$. Para pasar de uno a otro has de subir un índice con la métrica:

$K=\dst \frac{R_{1212}}{g}=\dst \frac{g_{11}R^{1}_{212}}{g}=\dfrac{(1/x^2)(-1/x^2)}{1/x^4}=-1$

Observa que el resultado es curvatura constante negativa, por lo que estamos en el plano hiperbólico. Concretamente, en el semiplano de Poincaré. Por ahí verás que es más habitual la métrica con $x$ e $y$ intercambiados. Aunque da un poco igual.

De todos modos, hay algo que no termino de entender en el enunciado cuando dice "Sabiendo de antemano que en una 2-superficie la curvatura Riemanniana-Gaussiana K está definida de la siguiente manera:"

$K=\dfrac{R_{1212}}{|g|}$

Supongo que el valor de los índices del tensor esta elegido al azar y que obtendríamos un valor distinto si eligiéramos otro valor dentro de lo posible. He elegido los valores opuestos $R^2_{121}$ y el valor de $R$ que he obtenido ha sido $R=1/x^2$ y un valor de $K=1$, pero no estoy muy seguro.

La curvatura gaussiana es la mitad del escalar de Ricci, que es la traza del tensor de Ricci. Recordando que todas las contracciones no nulas del tensor de Riemann dan el tensor de Ricci o el tensor de Ricci cambiado de signo entonces si eliges otras componentes del tensor de Riemann para calcular la curvatura gaussiana te saldrán cambios de signo que darán resultados incorrectos, sí. Así pues, no es una componente al azar: está elegida para que coincida con $K$ en la fórmula.

[inakigarber]

Gracias por tu comentario.

.....La curvatura gaussiana es la mitad del escalar de Ricci, que es la traza del tensor de Ricci. Recordando que todas las contracciones no nulas del tensor de Riemann dan el tensor de Ricci o el tensor de Ricci cambiado de signo entonces si eliges otras componentes del tensor de Riemann para calcular la curvatura gaussiana te saldrán cambios de signo que darán resultados incorrectos, sí. Así pues, no es una componente al azar: está elegida para que coincida con $K$ en la fórmula.

Luego, para calcular el valor de la curvatura $K$, debemos utilizar solo unos componentes concretos del tensor.

[inakigarber]

Volviendo a hacer el cálculo sale $R^{1}_{212}=-1/x^2$, compruébalo tu también para ver si coincidimos.

No me cuadra el resultado, supongo que estaré equivocado. Veamos;
$R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}=\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu, \mu}-\Gamma^{\alpha}_{\beta\mu, \nu}+\Gamma^{\alpha}_{\sigma\mu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\sigma\nu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\mu}$
$R^{1}_{212}=\Gamma^{1}_{22, 1}-\Gamma^{1}_{21, 2}+\Gamma^{1}_{\sigma1}\Gamma^{\sigma}_{22}-\Gamma^{1}_{\sigma 2}\Gamma^{\sigma}_{21}$
Suprimiendo el segundo símbolo de Christoffel porque es nulo.
$R^{1}_{212}=\dfrac{\partial x^{-1}}{\partial x}+\Gamma^{1}_{\sigma1}\Gamma^{\sigma}_{22}-\Gamma^1_{\sigma 2}\Gamma^\sigma_{22}$
$R^{1}_{212}=-\dfrac{1}{x^2}+\Gamma^{1}_{\sigma1}\Gamma^{\sigma}_{22}-\Gamma^1_{\sigma 2}\Gamma^\sigma_{22}$

Para $\sigma=1$, obtengo;

$R^{1}_{212}=-\dfrac{1}{x^2}+\Gamma^{1}_{11}\Gamma^{1}_{22}-\Gamma^1_{1 2}\Gamma^1_{22}=-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}=-\dfrac{2}{x^2}$

Para $\sigma=2$, obtengo;

$R^{1}_{212}=-\dfrac{1}{x^2}+\Gamma^{1}_{21}\Gamma^{2}_{22}-\Gamma^1_{2 2}\Gamma^2_{22}=-\dfrac{1}{x^2}-0=-\dfrac{1}{x^2}$

[Weip]

Ten presente que $\sigma$ es un índice sumado: está repetido arriba y abajo así que aplica el convenio de sumación de Einstein; por lo que no has de separar casos:

$R^{1}_{212}=\Gamma^{1}_{22,1}-\Gamma^{1}_{21,2}+\Gamma^{1}_{11}\Gamma^{1}_{22}+\Gamma^{1}_{21}\Gamma^{2}_{22}-\Gamma^{1}_{12}\Gamma^{1}_{21}-\Gamma^{1}_{22}\Gamma^{2}_{21}$

[inakigarber]

Ten presente que $\sigma$ es un índice sumado: está repetido arriba y abajo así que aplica el convenio de sumación de Einstein; por lo que no has de separar casos:

$R^{1}_{212}=\Gamma^{1}_{22,1}-\Gamma^{1}_{21,2}+\Gamma^{1}_{11}\Gamma^{1}_{22}+\Gamma^{1}_{21}\Gamma^{2}_{22}-\Gamma^{1}_{12}\Gamma^{1}_{21}-\Gamma^{1}_{22}\Gamma^{2}_{21}$

No me había dado cuenta de que el convenio de sumación de Einstein afecta solo a los dos términos a la derecha de la expresión $R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}=\Gamma^{\alpha}_{\beta\nu, \mu}-\Gamma^{\alpha}_{\beta\mu, \nu}+\Gamma^{\alpha}_{\sigma\mu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\nu}-\Gamma^{\alpha}_{\sigma\nu}\Gamma^{\sigma}_{\beta\mu}$. De esta forma, el resultado que sale es $R^{1}_{212}=-\dfrac{1}{x^2}+\left(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\right)=-\dfrac{1}{x^2}$, donde los términos entre paréntesis corresponden a la aplicación de dicho convenio sobre los dobles símbolos de Christoffel.

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Hola no es por traer discordia pero hice cálculos y $\Gamma^1_{11}=\Gamma^1_{22}=\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=-1/x$

a mi me sale $R^1_{212}=\dfrac{1}{x^2}$ positiva la derivada de una potencia negativa cambia de signo la derivada, las dos sumaciones de Einstein se anulan entre si quedando la el tensor igual a la derivada respecto de x de $-1/x$ que es $1/x^2$

$\Gamma^1_{22,1}=\dfrac{1}{x^2}$ positiva por lo que
Editado.
$R_{1212}=\dfrac{1}{x^4}$

$|g|=\dfrac{1}{x^4}$

y $K=1$

así que para que de negativa la métrica debe ser

$ds^2=\dst\frac{1}{x^2}dx^2-\dst\frac{1}{x^2}dy^2$

y no como se pone el mensaje #1 ni en el #2 ni en el #6 , así es una hipérboloide de curvatura constante $K=-1$, de lo contrario es un paraboloide con $K=1$

[inakigarber]

Hola no es por traer discordia pero hice cálculos y $\Gamma^1_{11}=\Gamma^1_{22}=\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=-1/x$

a mi me sale $R^1_{212}=\dfrac{1}{x^2}$ positiva la derivada de una potencia negativa cambia de signo la derivada, las dos sumaciones de einsteint se anulan entre si quedando la el tensor igual a la derivada respecto de x de $-1/x$ que es $1/x^2$

$\Gamma^1_{22,1}=\dfrac{1}{x^2}$ positiva por lo que
Editado.
$R_{1212}=\dfrac{1}{x^4}$

$|g|=\dfrac{1}{x^4}$

y $K=1$

así que para que de negativa la métrica debe ser

$ds^2=\dst\frac{1}{x^2}dx^2-\dst\frac{1}{x^2}dy^2$

y no como se pone el mensaje #1 ni en el #2 ni en el #6 , así es una hipérboloide de curvatura constante $K=-1$, de lo contrario es un paraboloide con $K=1$

Totalmente de acuerdo, estaba siguiendo por error una fórmula donde había sustituido un + por un -, el resultado que das tu es el correcto.

[Weip]

Hola no es por traer discordia pero hice cálculos y $\Gamma^1_{11}=\Gamma^1_{22}=\Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=-1/x$

a mi me sale $R^1_{212}=\dfrac{1}{x^2}$ positiva la derivada de una potencia negativa cambia de signo la derivada, las dos sumaciones de einsteint se anulan entre si quedando la el tensor igual a la derivada respecto de x de $-1/x$ que es $1/x^2$

$\Gamma^1_{22,1}=\dfrac{1}{x^2}$ positiva por lo que
Editado.
$R_{1212}=\dfrac{1}{x^4}$

$|g|=\dfrac{1}{x^4}$

y $K=1$

así que para que de negativa la métrica debe ser

$ds^2=\dst\frac{1}{x^2}dx^2-\dst\frac{1}{x^2}dy^2$

y no como se pone el mensaje #1 ni en el #2 ni en el #6 , así es una hipérboloide de curvatura constante $K=-1$, de lo contrario es un paraboloide con $K=1$

Hola Richard. Observa que la métrica con todos los signos + es la métrica del semiplano de Poincaré. Por lo tanto necesariamente $K=-1$. Es un resultado típico. En tu caso estás llegando a la conclusión de que estás en una esfera, cosa que es imposible. Como no has dado detalles de los cálculos de los símbolos de Christoffel dejo por aquí el mío de nuevo para ver qué podemos sacar en claro.

Consultando fuentes veo que todas llegan a la misma conclusión que yo en el mensaje #6:

$\Gamma^{2}_{21}=\Gamma^{2}_{12}=-\Gamma^{1}_{22}=\Gamma^{1}_{11}=-1/x$

Aunque ya reproduje el cálculo anteriormente, copio aquí el símbolo de Christoffel "distinto":

$\Gamma^1_{22}=\dfrac{1}{2}g^{11}(g_{21,2}+g_{21,2}-g_{22,1})=-\dfrac{1}{2}g^{11}g_{22,1}=-\dfrac{1}{2}x^ 2\left(-\dfrac{2}{x^3}\right)=\dfrac{1}{x}$

Si hay algún paso incorrecto indicádmelo. Pero he contrastado el resultado y es correcto. Con esto el cálculo ya ha sido reproducido y se obtiene $K=-1$. Tened presente que cualquier cambio en los cálculos tiene que dar el mismo resultado. Si queréis, por el mismo motivo que el plano euclídeo no es una esfera.

Si aún así no os creéis el resultado también puedo hacerlo de otra manera: calculando todo el tensor de Riemann (cosa rápida gracias a las simetrías del tensor y a estar en dos dimensiones), sacando el tensor de Ricci y finalmente la curvatura escalar, se obtiene $R=-2$, luego $K=-1$. Usando un tercer método (fórmula de curvatura gaussiana típica de superficies) se llaga al mismo sitio. Puedo dar los detalles de los dos métodos extra por convenceros pero entiendo que el enunciado del problema del blog no plantea esos caminos.

Totalmente de acuerdo, estaba siguiendo por error una fórmula donde había sustituido un + por un -, el resultado que das tu es el correcto.

Al menos comprueba que lo dicho sea verosímil antes de estar de acuerdo o no con un resultado. O busca fuentes para ver si lo dicho tiene respaldo. En este caso no lo tiene.