Problema en cálculo de la curvatura K en un espacio bidimensional con una métrica dada.

[Weip]

Vale pues vayamos a por el cálculo de la curvatura gaussiana $K$. Lo primero es encontrar los símbolos de Christoffel mediante la fórmula del blog:

$\Gamma_{\mu \nu}^{\alpha}=\dst\frac{1}{2}g^{\alpha \beta}(g_{\mu\beta,\nu}+g_{\nu\beta,\mu}-g_{\mu\nu,\beta})$

Para no tener que calcular más de la cuenta primero fíjate que las únicas derivadas no nulas de la métrica son $\partial_x g_{11}$ y $\partial_y g_{22}$. En algún hilo se había tratado ya el tema de calcular símbolos de Christoffel así que es cuestión de ver si te da lo mismo que el blog. Ahora te dicen que para calcular $K$ has de aplicar $K=R_{1212}/g$, con lo que tendremos que saber $R_{1212}$. Para ello recuerda que el tensor de Riemann se calcula mediante:

$R^{\alpha}_{\beta\mu\nu}=\Gamma_{\beta\nu,\mu}^{\alpha}+\Gamma_{\beta\mu,\nu}^{\alpha}-\Gamma_{\sigma\mu}^{\alpha}\Gamma_{\beta\nu}^{\sigma}-\Gamma_{\sigma \nu}^{\alpha}\Gamma_{\beta\mu}^{\sigma}$

Aún así no necesitamos todo el tensor de Riemann, solo la componente $R^{1}_{212}$. Así que en la fórmula sustituye $\alpha, \mu=1$, $\beta, \nu=2$. Finalmente utiliza la métrica para bajar el primer índice. Si es la primera vez que haces este tipo de cálculo ves despacio y comparando tus resultados con los que da el blog. También cuidado con la suma en el índice $\sigma$. Si necesitas que amplie algún paso di.

[inakigarber]

Buenas noches, gracias por tu respuesta.

Buenos días. El blog tiene erratas en varias puntos y luego la transcripción a tu mensaje también ha sufrido alguna errata de más así que primero vamos a plantear bien el problema. La métrica que te piden es sin el signo menos, es decir:

$ds^2=\dst\frac{1}{x^2}dx^2+\dst\frac{1}{y^2}dy^2$

Fíjate que de esta forma cuadra lo que dice luego: $g_{11}=1/x^2$ y $g_{22}=1/y^2$. Aquí he hecho un cambio de notación para no liar demasiado con el latex, la $x^1$ del blog es mi $x$ y la $x^2$ es mi $y$. Como la métrica es diagonal su inversa viene dada por la inversa de sus componentes: $g^{11}=x^2$ y $g^{22}=y^2$.....

Así las cosas cuadran bastante mejor, ya que se cumple que $g^{ab}g_{ab}=I$.

Ahora, lo que pide el problema es calcular la curvatura gaussiana $K$. Esta es una función que depende del punto en el que estés de la superfície e indica la curvatura en ese punto. Seguro que sabes por ejemplo que la curvatura de la esfera es $+1$, por lo que $K=+1$ en todos los puntos (es una función constante). Ahora no lo sabemos pero ya verás que en el caso en el que tú estás también la curvatura será constante, y ya verás que superfície es. Pero hasta entonces mejor paramos aquí. ¿Del enunciado se entiende todo? Si hay alguna duda hazla ahora. Y sino en otro mensaje te explico cómo calcular $K$ (que pasará primero por los símbolos de Christoffel, como casi todos los cálculos de este tema).

Entiendo que lo que pretende el enunciado del problema es determinar cuanto se aparta en función de su posición una determinada "porción" de superficie del espacio Euclidiano. Siendo K=0 un espacio Euclidiano (las paralelas no se juntan y la suma de los ángulos de un triángulo suman 180º), K >0 y K<0 son espacios no euclidianos. En K>0 los ángulos de un triángulo suman más de 180º y las rectas paralelas acabarán juntándose , en el caso contrario, los ángulos del triángulo suman menos de 180º y las rectas paralelas acabarán separándose si no estoy equivocado.
Pero tengo mis dudas sobre como se calcula el valor de K, aunque sé que cuando los símbolos de Christoffel son nulos K=0.

[Weip]

Buenos días. El blog tiene erratas en varias puntos y luego la transcripción a tu mensaje también ha sufrido alguna errata de más así que primero vamos a plantear bien el problema. La métrica que te piden es sin el signo menos, es decir:

$ds^2=\dst\frac{1}{x^2}dx^2+\dst\frac{1}{y^2}dy^2$

Fíjate que de esta forma cuadra lo que dice luego: $g_{11}=1/x^2$ y $g_{22}=1/y^2$. Aquí he hecho un cambio de notación para no liar demasiado con el latex, la $x^1$ del blog es mi $x$ y la $x^2$ es mi $y$. Como la métrica es diagonal su inversa viene dada por la inversa de sus componentes: $g^{11}=x^2$ y $g^{22}=y^2$.

Ahora, lo que pide el problema es calcular la curvatura gaussiana $K$. Esta es una función que depende del punto en el que estés de la superfície e indica la curvatura en ese punto. Seguro que sabes por ejemplo que la curvatura de la esfera es $+1$, por lo que $K=+1$ en todos los puntos (es una función constante). Ahora no lo sabemos pero ya verás que en el caso en el que tú estás también la curvatura será constante, y ya verás que superfície es. Pero hasta entonces mejor paramos aquí. ¿Del enunciado se entiende todo? Si hay alguna duda hazla ahora. Y sino en otro mensaje te explico cómo calcular $K$ (que pasará primero por los símbolos de Christoffel, como casi todos los cálculos de este tema).

[inakigarber]

Buenas noches;

Planteo el siguiente problema cuya solución me trae bastante de cabeza, que se encuentra en esta dirección;

El problema dice asi;
"Sabiendo de antemano que en una 2-superficie la curvatura Riemanniana-Gaussiana K está definida de la siguiente manera: $K=\dfrac{R_{1212}}{|g|}$ siendo g el determinante del tensor métrico g, obtener la expresión correspondiente a K para la siguiente métrica: $ds^2=\dfrac{1}{(x^1)^2}(dx^1)-\dfrac{1}{(x^1)^2}(dx^2)^2$".

Por una parte, no entiendo muy bien lo que se pretende calcular (lo cual es ya de por sí un problema), por otra parte, creo que hay al menos un error en la resolución del problema, cuando en la siguiente frase dice;

"Del elemento de línea ds² obtenemos los siguientes componentes que corresponden al tensor métrico g:"
$g_{11}=(x^1)^2$, $g_{22}=(x^1)^2$, $g_{12}=g_{21}=0$. En esto estoy de acuerdo (eso creo), pero cuando calcula el tensor conjugado;
$g^{11}=(x^1)^2$, $g^{22}=1/(x^1)^2$. Los elementos cruzados $g^{12}=g^{21}=0$, alguno de estos datos debe estar mal ya que no se cumple en todos los casos que $g^{ab}g_{ab}=1$. Por otra parte, si todos los elementos del tensor métrico son positivos ¿Por qué tenemos un signo negativo en la expresión de la métrica?

No lo entiendo, hay algo que se me está escapando. ¿Cómo lo puedo alcanzar?

Saludos y gracias.