Contradicciones en el retraso de relojes desplazados lentamente según la TRE

[JGabrielRE]

Hola a todos:

Soy nuevo por aquí, así que gracias por aceptarme en el foro.

Estoy intentando entender la Relatividad Especial de forma autodidacta. He estado estudiando el caso de los relojes desplazados lentamente y el retraso que sufren con respecto al observador estacionario, tal y como expuso Einstein en su artículo de 1905.

El problema es que cuando analizo dicho retraso desde la perspectiva de un tercer observador externo, obtengo que dicho retraso no debe existir, lo cual está en clara contradicción con la afirmación de Einstein.

Adjunto un documento con mis cálculos, figuras y las explicaciones para que, si alguien puede, les eche un vistazo y me ayude a entender dónde está mi error.

Gracias y Saludos.

J. Gabriel

[JGabrielRE]

Hola a todos:

Perdón por anticipado por incumplir un par de los consejos del foro: no suplicar ayuda y ser paciente.

Por las estadísticas del hilo, veo que "60 usuarios" han entrado a él y otros 9 han visitado el pdf adjunto con los cálculos, pero todavía no he recibido ninguna respuesta. No sé si, como decía al principio, estoy siendo impaciente, pero me extraña no haber tenido ningún comentario. No sé si debe a que el contenido es bajo y no adecuado a este foro, si es muy largo y latazo de seguir, o si simplemente es una parida sin sentido en la que no merece la pena perder el tiempo.

En fin, seguiré esperando alguna respuesta a mi duda: si un observador externo analiza el retraso de un reloj desplazado lentamente ¿llega a la conclusión de que dicho retraso no existe, en contra de lo afirmado por Einstein?

Gracias de verdad a todos los que se han tomado la molestia de leer mi mensaje.

Saludos.

J. Gabriel

[JGabrielRE]

El documento contiene dos errores importantes que son las aproximaciones (13) y (17) ya que son de primer orden en u cuando el efecto de dilatación temporal es de segundo orden en u, tal y como indica (6). Si el cálculo se repite incluyendo el segundo orden en u, el resultado no es más que la validación de las hipótesis de Einstein, como no podía ser de otra manera.

[pod]

De hecho, el pdf incumple otro de los consejos: incluye en tu mensaje todo lo necesario para que te podamos ofrecer ayuda. Tener que descargar un archivo a parte es bastante incómodo, sobre todo segun el dispositivo que se utilice para acceder al foro.

[Richard R Richard]

Hola JGabrielRE Bienvenido al foro!!!! como nuevo miembro te será útil leer Consejos para recibir ayuda de forma efectiva y Consejos de conducta

también te será útil leer Cómo introducir ecuaciones en los mensajes.

La verdad en mi caso particular, que de comedido siempre suelto lineas en este foro tan especial, no he contestado antes porque resulta muy tedioso tener que leer 4 páginas de un documento lleno de ecuaciones, para tratar de entender el argumento o tratar de dar significado a una pregunta.

pero puestos a leer a vista de pájaro, he visto tu ecuación 4 allí aproximas... a ver si tu quieres concluir que lo efectos de la relatividad no aparecen a bajas velocidades, no debes eliminar justamente los términos que estas despreciando diciendo que los desprecias porque la velocidad es justamente pequeña.

Luego la ecuación 10 de tener sentido tampoco es lineal, que tiempo calculas allí?, la diferencia de tiempos entre V y A? eso se hace por adición de velocidades relativistas y luego aplicando las transformaciones de Lorentz.

Si usas la ecuaciones de la TRE para calcular los retrasos temporales de los relojes, y ya sabiendo que estos son una función de la velocidad, es claro que los efectos tenderán a ser nulos, es decir aproximarse a la mecánica Newtoniana, cuanto más pequeña la velocidad. Así que diciendo que si $v\to0$ contradices a Einstein estas equivocado, La TRE lo predice,los resultados de Einstein y Newton son cada ves mas similares y próximos a medida que disminuyes la velocidad de desplazamiento de los sistemas de referencia acoplados a tus observadores.

Quizá deberías plantearte ejemplos mas simples, y de más fácil acceso a todos los lectores del foro, copia y pega el texto que te genere dudas o la fuente que no comprendas, aquí no he conocido a nadie interesado en apropiarse ideas de otros.

Por otro lado cuan seguro estas de que tus conclusiones 1 y 2 son correctas si durante todo el transcurso de la demostración te aferras a aproximar resultados, justamente lo que estas despreciando es lo que marcaría la diferencia entre relojes, que se mueven entre sí no importa a que velocidad. por eso arribas a conclusiones contrarias a la TRE.

[JGabrielRE]

Hola Pod:

Sí, cierto, y lo siento, pero son 4 páginas con 26 ecuaciones (no sé LaTeX ) que ya tenía en pdf y pensé lo contrario, que sería más cómodo de visualizar.

Por cierto, veo que han subido de 9 a 20 las personas que han visitado el pdf en estas pocas horas. A ver si hay suerte

Gracias y saludos.

[JGabrielRE]

Buenos días Richard R Richard y muchas gracias por responder.

No es necesario que te disculpes por no haber comentado nada. La culpa es mía por lo tedioso y extenso del hilo. Gracias por haberle echado un vistazo, aunque haya sido rápido y a vista de pájaro.

Intento responder a tus comentarios.

pero puestos a leer a vista de pájaro, he visto tu ecuación 4 allí aproximas... a ver si tu quieres concluir que lo efectos de la relatividad no aparecen a bajas velocidades, no debes eliminar justamente los términos que estas despreciando diciendo que los desprecias porque la velocidad es justamente pequeña.

La aproximación de la ecuación (4)

$$\sqrt{1 \pm x} \approx 1\pm x/2$$

no es mía, la usa el propio Einstein en su artículo de 1905. Piensa que estamos hablando de relojes desplazados lentamente, es decir, con $v\to0$ que junto con (4) permite aproximar

$$\sqrt{1 - v^2/c^2} \approx 1 - \frac 1 2 \frac {v^2}{c^2}$$

La ecuación (4) está en el apartado primero en el que intento introducir lo deducido por Einstein.

Luego la ecuación 10 de tener sentido tampoco es lineal, que tiempo calculas allí?, la diferencia de tiempos entre V y A? eso se hace por adición de velocidades relativistas y luego aplicando las transformaciones de Lorentz.

En (10) calculo la diferencia de tiempos o desfase medido por un observador externo que hay entre V y A por el proceso de sincronización. Se están comparando los tiempos de dos eventos separados entre dos observadores que van a la misma velocidad v, por lo que creo que no es necesaria la adición de velocidades relativista. E incluso, aunque fuera necesario, al estar en la aproximación de velocidades lentas, la composición de velocidades sería la habitual.

Si usas la ecuaciones de la TRE para calcular los retrasos temporales de los relojes, y ya sabiendo que estos son una función de la velocidad, es claro que los efectos tenderán a ser nulos, es decir aproximarse a la mecánica Newtoniana, cuanto más pequeña la velocidad. Así que diciendo que si $v\to0$ contradices a Einstein estas equivocado, La TRE lo predice,los resultados de Einstein y Newton son cada ves mas similares y próximos a medida que disminuyes la velocidad de desplazamiento de los sistemas de referencia acoplados a tus observadores.

Efectivamente, si se hace $v\to0$ está claro que se eliminan los efectos relativistas. Pero no se hace eso en ningún caso, sólo se aproximan resultados para velocidades bajas, obligados por la misma aproximación que hace Einstein en su análisis. Y la prueba es que en mi análisis se obtienen valores no nulos para los retrasos, de igual forma que también los obtuvo Einstein. No es lo mismo hacer:

$$\sqrt{1 - v^2/c^2} \approx 1$$

que usar:

$$\sqrt{1 - v^2/c^2} \approx 1 - \frac 1 2 \frac {v^2}{c^2}$$

como hacemos Einstein y yo en nuestros análisis.

Por otro lado cuan seguro estas de que tus conclusiones 1 y 2 son correctas si durante todo el transcurso de la demostración te aferras a aproximar resultados, justamente lo que estas despreciando es lo que marcaría la diferencia entre relojes, que se mueven entre sí no importa a que velocidad. por eso arribas a conclusiones contrarias a la TRE.

No estoy seguro de mis conclusiones 1 y 2, por eso estamos aquí

El hacer $v\to0$ no significa eliminar los efectos relativistas. Las predicciones obtenidas por Einstein para relojes desplazados lentamente con las mismas aproximaciones $v\to0$ fueron comprobadas experimentalmente por Hafele-Keating en su famoso experimento con relojes atómicos viajando alrededor de la Tierra en vuelos comerciales. No es necesario irse a velocidades altas, como en el experimento de la vida media de los muones, para observar los efectos relativistas. Obviamente, a velocidades bajas es necesario que el experimento tenga una larga duración para poder medir dichos efectos relativistas.

aquí no he conocido a nadie interesado en apropiarse ideas de otros.

Esa afirmación no la entiendo. ¿Apropiarse de qué idea? Pero si he adjuntado todos mis cálculos con los razonamientos y explicaciones necesarias hasta volver el texto "tedioso"

Gracias nuevamente por tus comentarios y saludos.

[Richard R Richard]

Hola, JGabrielRE

vayamos por partes

has notado que luego de citar los dos párrafos de Einstein dices que debería ser reciproco el atraso del reloj de B si el sistema de referencia es solidario a A , es decir desde el punto de vista de A sería B quien se mueve entonces sería ese el reloj el de B el que experimente un atraso. Bueno tal conclusión es errónea , no hay reciprocidad en ese caso de movimiento relativo, , porque? porque para ser solidario a A , el sistema de referencia acoplado debe acelerar porque es A quien estaba en reposo y luego se mueve y no B, y eso lo cambia todo, similar a lo que pasa en explicación como soluciona a la paradoja de gemelos,

para que exista reciprocidad e igualdad en el experimento debe ser B quien se mueva hasta A y allí si veras un atraso del reloj B respecto del de A.

para que haya principio de relatividad los SR deben ser inerciales, en todo momento, no importa cuan pequeña sea la aceleración respecto a cualquier marco de referencia inercial,dada la existencia de la aceleración ese observador será el que tenga el reloj que marque el paso del tiempo mas lento, es decir verá al otro reloj con cadencia de tictacs mas rápida, y notara un retraso en su propio reloj.

[JGabrielRE]

Hola Richard R Richard:

Gracias por dedicar parte de tu tiempo a este hilo. Eres la primera persona con la que puedo debatir y comentar mis cálculos, y te aseguro que lo he intentado con varias. Gracias.

Intento responder a tus comentarios.

has notado que luego de citar los dos párrafos de Einstein dices que debería ser reciproco el atraso del reloj de B si el sistema de referencia es solidario a A , es decir desde el punto de vista de A sería B quien se mueve entonces sería ese el reloj el de B el que experimente un atraso. Bueno tal conclusión es errónea , no hay reciprocidad en ese caso de movimiento relativo, , porque? porque para ser solidario a A , el sistema de referencia acoplado debe acelerar porque es A quien estaba en reposo y luego se mueve y no B, y eso lo cambia todo, similar a lo que pasa en explicación como soluciona a la paradoja de gemelos,

Sí, cierto, pero ese párrafo está ahí a modo de reseña "histórica". Me llamó la atención que fuera Langevin el que formulara la paradoja de los gemelos. De todas formas, mis cálculos no tratan de paradoja de los gemelos o reciprocidad, sino de lo que comento en el siguiente párrafo del pdf, del análisis del proceso desde un tercer observador externo.

Me parece bien que comentemos la base física de mi documento porque creo que es ahí donde puede estar mi error, sin descartar que también los haya de cálculo. Por tanto, como bien dices, vamos por partes intentando llegar a acuerdos o consensos sobre los que continuar analizando mis cálculos. Por ello me gustaría hacerte unas preguntas:

1. Para eliminar el problema de la aceleración, podría suponerse que el reloj que se desplaza es acelerado un poco antes de pasar por el origen de coordenadas, A, momento en el que se sincronizaría con el reloj ya allí situado, de manera que ahora ya realizaría todo el trayecto de A hasta B de manera inercial. Por tanto, ahora sí podría aplicar la reciprocidad del principio de relatividad, no?
2. En el caso anterior, ¿seguiría siendo válida la afirmación de Einstein de que al llegar a la posición B, el reloj que se ha movido estaría retrasado con el reloj en esa posición B?
3. ¿El análisis que hace Einstein en su artículo es correcto ya que lo hace desde el punto de vista de un observador inercial (el observador en reposo), independientemente de que el reloj en movimiento sufra aceleraciones despreciables?

Gracias por tu paciencia y saludos.

[Richard R Richard]

Para eliminar el problema d e la aceleración, podría suponerse que el reloj que se desplaza es acelerado un poco antes de pasar por el origen de coordenadas, A, momento en el que se sincronizaría con el reloj ya allí situado, de manera que ahora ya realizaría todo el trayecto de A hasta B de manera inercial. Por tanto, ahora sí podría aplicar la reciprocidad del principio de relatividad, no?

Correcto ambos observadores verán al reloj del otro correr mas lento que el propio, mientras se mueven entre si a velocidad constante sin ninguna aceleración.

En el caso anterior, ¿seguiría siendo válida la afirmación de Einstein de que al llegar a la posición B, el reloj que se ha movido estaría retrasado con el reloj en esa posición B?

Siempre los relojes en movimiento se retrasan respecto de los relojes fijos, esto visto desde un sistema de referencia en reposo al reloj fijo , en este caso solidario a B

$\tau^2=t^2-\dfrac{s^2}{c^2}$

$\tau$ tiempo propio de B
$t$ tiempo de A medido por B
$s$ desplazamiento de A en ese tiempo A

el tiempo de un tictac propio es mas corto , que el que se mide para otro reloj en movimiento , luego se dice que el tiempo del observador en movimiento se ha dilatado.

¿El análisis que hace Einstein en su artículo es correcto ya que lo hace desde el punto de vista de un observador inercial (el observador en reposo), independientemente de que el reloj en movimiento sufra aceleraciones despreciables?

Sí, el análisis de A.Einstein es correcto,repito el observador inercial o reposo es B.

cuando la frase dice inmovil, te esta dando el dato sobre desde cual sistema de referencia se sacan las mediciones y cuales son las conclusiones.

Me corrijo en algo que he criticado antes, si la posición relativa entre V,N,yA es constante, entonces el retraso de la ecuación 10 (me maree mirando la 23 ) si es sumable directamente, lo que, pero ,,,según la forma en que has sincronizado los relojes, los relojes estén sincronizados para N, ,, no es efectiva, digamos, para que los tres relojes emitan un pulso sincronicen tiempo t=0, este pulso llegara a V a tiempo $L/c$, ,es decir cuando reciba el pulso, debe colocar su reloj en L/c y no en t=0, lo mismo para A.
el pulso sincrónico de V llegara a N cuando el reloj de N reloj indique L/c y llegara a A cuando el reloj ya sincronizado de A indique $2L/c$.
en reciprocidad lo mismo suceda con el pulso sincrónico emitido A llegando a N en L/c del tiempo de N y a V en 2L/c.del tiempo de V.

Listo ahora que pasa con esto visto desde B en movimiento y ubicado justo sobre la posición de N,

instantáneamente recibe el puso de N, el pulso de A le llega antes e tiempo con un $\Delta T= -\gamma vL/c^2$ y el de V lo verá despues en$\Delta T= \gamma vL/c^2$

el desfase es $2\Delta T$

Bueno para luego veremos de 11 en adelante , ya que es complejo entender que es lo que intentas demostrar, lo pondre en palabras tu quieres ver como es la diferencia de tiempo de sincronización todo visto desde B que no es ta en reposo ni con N ya que viaja a v ni con V cuya velocidad relativa es v+u ni con A cuya velocidad relativa es v+a,

te sugiero revises la sincronización de las ecuaciones de transformación de lorentz ya que sirven para compara relojes que han sincronizado en x=0 en t=0 y ahora tu propones sincronización en $t=0$ pero no sincronizas la posición inicial de V y A que eran $-L/c$ y $L/c$ visto desde el marco en reposo de N. en el marco B la posición de ellos a T=0 es $\pm\dfrac{L}{\gamma c}$

[JGabrielRE]

Buenos días Richard R Richard:

Si te parece, para empezar, voy a dejar una lista con los consensos a los que vayamos llegando, para que sirva de resumen o recordatorio de en qué punto estamos.

Consensos:

1. Para eliminar el problema de la aceleración, podemos suponer que el reloj que se desplaza es acelerado un poco antes de pasar por el origen de coordenadas, A, momento en el que se sincronizaría con el reloj ya allí situado, de manera que ahora ya realizaría todo el trayecto de A hasta B de manera inercial. Por tanto, ahora sí podría aplicar la reciprocidad del principio de relatividad.
2. En el caso anterior, es válida la afirmación de Einstein de que al llegar a la posición B, el reloj que se ha movido estaría retrasado con el reloj en esa posición B.
3. El análisis que hace Einstein en su artículo es correcto ya que lo hace desde el punto de vista de un observador inercial (el observador en reposo), independientemente de que el reloj en movimiento sufra aceleraciones despreciables.

El siguiente objetivo será estar de acuerdo en la ecuación (9):

$$\delta'=\pm L' v/c^2$$

La verdad es que me pierdo un poco en tu respuesta anterior, así que voy a intentar explicar lo que intento hacer en el apartado 2 de mi texto. El objetivo en ese apartado es calcular desde el punto de vista de un observador externo B (Blanco) los retrasos que él, por la relatividad de la simultaneidad, observa entre los relojes de V (Verde), N (Naranja) y A (Azul) cuando los tres se sincronizan mediante el criterio de Einstein. Los tres relojes anteriores están separados por una distancia L' (distancia propia) y se mueven a velocidad v con respecto a B (para B la distancia entre los relojes es L).

Y por qué quiero calcular ese desfase? Pues porque Einstein dice en su artículo que:
"si en los puntos A y B de K existen relojes sincronizados, que se encuentran en reposo con respecto al sistema en reposo, y movemos el reloj de A con velocidad v a lo largo de la línea que una A con B, al llegar al punto B los relojes ya no estarán sincronizados"
por tanto, necesito analizar qué implica esa sincronización para un observador externo.

según la forma en que has sincronizado los relojes, los relojes estén sincronizados para N, ,, no es efectiva, digamos, para que los tres relojes emitan un pulso sincronicen tiempo t=0, este pulso llegara a V a tiempo $L/c$, ,es decir cuando reciba el pulso, debe colocar su reloj en L/c y no en t=0, lo mismo para A.
el pulso sincrónico de V llegara a N cuando el reloj de N reloj indique L/c y llegara a A cuando el reloj ya sincronizado de A indique $2L/c$.
en reciprocidad lo mismo suceda con el pulso sincrónico emitido A llegando a N en L/c del tiempo de N y a V en 2L/c.del tiempo de V.

Creo que da igual, desde el punto de vista de la sincronización, que el observador N (que está en el origen de coordenadas y con el que se van a sincronizar V y A) emita los pulsos en t'=-L'/c y que V y A pongan sus relojes a 0 al recibir dichos pulsos, como que N los emita en t'=0 y V y A pongan sus relojes en t'=L/c al recibirlos (uso el apóstrofe para distinguir sus coordenadas de los observadores N, A y V de las que mide B). Al final de ambos procesos los tres relojes estarán sincronizados entre sí.

Listo ahora que pasa con esto visto desde B en movimiento y ubicado justo sobre la posición de N,
instantáneamente recibe el pulso de N, el pulso de A le llega antes e tiempo con un $\Delta T= -\gamma L/c^2$ y el de V lo verá despues en$\Delta T= \gamma L/c^2$

No entiendo por qué V y A necesitan emitir pulsos a B?
Creo que se te ha colado un ^2 de más en $\Delta T= -\gamma L/c^2$ y $\Delta T= \gamma L/c^2$ además, de que tampoco entiendo cómo sacas esos valores.

el desfase es $2\Delta T$

Eso no lo entiendo tampoco, no sé qué desfase estás calculando ahí.

Veamos cómo ve B ahora el proceso anterior. Él está sincronizado en x=ct=0=x'=ct' con N y ve moverse a los tres observadores con dirección v hacia la derecha, luego, para él, los pulsos simultáneos emitidos por N no llegarán a la vez a V y A. B verá que el pulso llega antes a V porque se mueve en dirección hacia el pulso (por tanto, estará adelantado con respecto a N), que a A que se mueve en la misma dirección del pulso (por tanto, estará retrasado con respecto a N). ¿Cómo debe calcular B esos retrasos? Pues la manera más fácil es usar las transformaciones de Lorentz.

Empecemos con V. Para N, V que está en la posición -L', recibe el pulso de sincronización en el tiempo t'=L'/c (estoy usando tú crieterio), por tanto para B usamos mi ecuación (7) que no es más que aplicar la TL para la coordenada temporal:

$$\Delta t_V= \gamma L'/c - \gamma (L'/c - L' v / c^2) = \gamma L' v/c^2<br />$$

Pasemos ahora a A. Para N, A que está en la posición L', recibe también el pulso de sincronización en el tiempo t'=L'/c, por tanto para B usamos mi ecuación (8):

$$\Delta t_A= \gamma L'/c - \gamma (L'/c + L' v / c^2) = -\gamma L' v/c^2<br />$$

Y si dividimos ambos valores por $\gamma$ para compensar los efectos de dilatación temporal, B puede calcular que el desfase entre V y A con respecto a N es (9):

$$\delta'=\pm L' v/c^2$$

donde el signo '+' implica adelanto y se aplicaría a V, y el '-' significa retraso y se aplicaría a A. Es decir, para B, cuanto el reloj de N marque t', el reloj de V marcará $t' + L' v/c^2$ mientras que el de A marcará $t' - L' v/c^2$. Ese resultado no es más que un muestra de la relatividad de la simultaneidad, resultado de aplicar las transformaciones de Lorentz.

Sobre la ecuación (10) hay poco que comentar, es consecuencia inmediata de (9) y, como has comentado antes, se puede hacer la resta directa.

Espero que con esta nueva explicación quede todo un poco más claro y podamos coincidir en el resultado que se obtiene en (9) para seguir avanzando.

Gracias y saludos.

[Richard R Richard]

Si te parece, para empezar, voy a dejar una lista con los consensos a los que vayamos llegando, para que sirva de resumen o recordatorio de en qué punto estamos.

Consensos:

1. Para eliminar el problema de la aceleración, podemos suponer que el reloj que se desplaza es acelerado un poco antes de pasar por el origen de coordenadas, A, momento en el que se sincronizaría con el reloj ya allí situado, de manera que ahora ya realizaría todo el trayecto de A hasta B de manera inercial. Por tanto, ahora sí podría aplicar la reciprocidad del principio de relatividad.
2. En el caso anterior, es válida la afirmación de Einstein de que al llegar a la posición B, el reloj que se ha movido estaría retrasado con el reloj en esa posición B.
3. El análisis que hace Einstein en su artículo es correcto ya que lo hace desde el punto de vista de un observador inercial (el observador en reposo), independientemente de que el reloj en movimiento sufra aceleraciones despreciables.

El siguiente objetivo será estar de acuerdo en la ecuación (9):

$$\delta'=\pm L' v/c^2$$

Hasta aquí de acuerdo.

La verdad es que me pierdo un poco en tu respuesta anterior, así que voy a intentar explicar lo que intento hacer en el apartado 2 de mi texto. El objetivo en ese apartado es calcular desde el punto de vista de un observador externo B (Blanco) los retrasos que él, por la relatividad de la simultaneidad, observa entre los relojes de V (Verde), N (Naranja) y A (Azul) cuando los tres se sincronizan mediante el criterio de Einstein. Los tres relojes anteriores están separados por una distancia L' (distancia propia) y se mueven a velocidad v con respecto a B (para B la distancia entre los relojes es L).

No , la distancia que observa B entre los objetos VN es$L/\gamma$ pues el espacio que lo circunda se contrae en la direccion de su movimiento lo mismo para la distancia NA será $L/\gamma$ solo los observadores en reposo a los tres objeto VNyA diran que su separación espacial es L

Y por qué quiero calcular ese desfase? Pues porque Einstein dice en su artículo que:
"si en los puntos A y B de K existen relojes sincronizados, que se encuentran en reposo con respecto al sistema en reposo, y movemos el reloj de A con velocidad v a lo largo de la línea que una A con B, al llegar al punto B los relojes ya no estarán sincronizados"
por tanto, necesito analizar qué implica esa sincronización para un observador externo.

De acuerdo entiendo para donde vamos, pero ya he visto inconvenientes en como planteas tu ecuaciones de transformación de Lorentz, mas adelante detallo.

Creo que da igual, desde el punto de vista de la sincronización, que el observador N (que está en el origen de coordenadas y con el que se van a sincronizar V y A) emita los pulsos en t'=-L'/c y que V y A pongan sus relojes a 0 al recibir dichos pulsos, como que N los emita en t'=0 y V y A pongan sus relojes en t'=L/c al recibirlos (uso el apóstrofe para distinguir sus coordenadas de los observadores N, A y V de las que mide B). Al final de ambos procesos los tres relojes estarán sincronizados entre sí.
No entiendo por qué V y A necesitan emitir pulsos a B?

Si de acuerdo, pero son sincrónicos en el tiempo en el marco en reposo a los tres relojes y desfasados espacialmente, lo que me refiero es que puedes sincronizar todos desde cualquier punto no necesariamente de N que es una posición simétrica..

Creo que se te ha colado un ^2 de más en $\Delta T= -\gamma L/c^2$ y $\Delta T= \gamma L/c^2$ además, de que tampoco entiendo cómo sacas esos valores.

pues no , lo que me faltó es incorporar la velocidad ,ya he editado y corregido, quería llegar el contenido de tu ecuación 7.

Eso no lo entiendo tampoco, no sé qué desfase estás calculando ahí.

Veamos cómo ve B ahora el proceso anterior. Él está sincronizado en x=ct=0=x'=ct' con N y ve moverse a los tres observadores con dirección v hacia la derecha, luego, para él, los pulsos simultáneos emitidos por N no llegarán a la vez a V y A. B verá que el pulso llega antes a V porque se mueve en dirección hacia el pulso (por tanto, estará adelantado con respecto a N), que a A que se mueve en la misma dirección del pulso (por tanto, estará retrasado con respecto a N). ¿Cómo debe calcular B esos retrasos? Pues la manera más fácil es usar las transformaciones de Lorentz.

Veamos aquí viene el meollo, las transformaciones de lorentz son aplicables para comparar posiciones y tiempos entre marcos de referencia que coinciden en posición 0 a tiempo 0, el caso es que V y A en t=0 del sistema de referencia en reposo a los tres objetos, no están todos en la posición 0, y tampoco lo estarán en el marco de referencia de B, su posición a $t'=0$ la puedes calcular ya te anticipe es $\pm L/gamma$
pues bien ahora la complicas mas diciendo que V y A a tiempo 0 ya tiene una velocidad relativa respecto de N la que llamas $\pm u$
un marco de referencia solidario a ellos no es sincrónico con B... eso es lo que te recomiendo revises, o bien debe haber un desfase temporal para que lleguen a desplazarse hasta la posición L a velocidad relativa $u$, o bien B y N tienen su sincronía no a tiempo 0 en x=0 comenzando con el inicio del movimiento de V y A.

En otra palabras los cuatro relojes no pueden ser sincrónicos en un mismo punto dada las condiciones del problema, por eso las ecuaciones de lorentz hay que plantearlas con mas cuidado, teniendo en cuenta las posiciones iniciales en la sincronía, y la adición de velocidades relativista.

Si estamos de acuerdo vamos con los cálculos ...

[JGabrielRE]

Buenas tardes Richard R Richard:

Copio la lista de consensos y continúo a ver si podemos añadir la ecuación (9) a dicha lista

1. Para eliminar el problema de la aceleración, podemos suponer que el reloj que se desplaza es acelerado un poco antes de pasar por el origen de coordenadas, A, momento en el que se sincronizaría con el reloj ya allí situado, de manera que ahora ya realizaría todo el trayecto de A hasta B de manera inercial. Por tanto, ahora sí podría aplicar la reciprocidad del principio de relatividad.
2. En el caso anterior, es válida la afirmación de Einstein de que al llegar a la posición B, el reloj que se ha movido estaría retrasado con el reloj en esa posición B.
3. El análisis que hace Einstein en su artículo es correcto ya que lo hace desde el punto de vista de un observador inercial (el observador en reposo), independientemente de que el reloj en movimiento sufra aceleraciones despreciables.

No , la distancia que observa B entre los objetos VN es$L/\gamma$ pues el espacio que lo circunda se contrae en la direccion de su movimiento lo mismo para la distancia NA será $L/\gamma$ solo los observadores en reposo a los tres objeto VNyA diran que su separación espacial es L

Sí, ahí estamos de acuerdo. La diferencia está, en como comenté en mi respuesta anterior, en el uso de la comilla simple. L' es la distancia (propia, en este caso) de separación entre VNA medidos en dicho sistema. L, por contra, es la distancia medida por B, que, como comentas cumple: $L=L'/\gamma$

Si de acuerdo, pero son sincrónicos en el tiempo en el marco en reposo a los tres relojes y desfasados espacialmente, lo que me refiero es que puedes sincronizar todos desde cualquier punto no necesariamente de N que es una posición simétrica..

Efectivamente, pero lo ha hecho así, con N en el centro de coordenadas y como referencia porque posteriormente necesitaré (apartado 3) comparar los valores del desfase de relojes que se mueven hacia izquierda y derecha de N.

pues no , lo que me faltó es incorporar la velocidad ,ya he editado y corregido, quería llegar el contenido de tu ecuación 7.

OK. Pero entonces, si ya has llegado a mi ecuación (7), podemos entonces decir que coincidimos en (9)?

Veamos aquí viene el meollo, las transformaciones de lorentz son aplicables para comparar posiciones y tiempos entre marcos de referencia que coinciden en posición 0 a tiempo 0, el caso es que V y A en t=0 del sistema de referencia en reposo a los tres objetos, no están todos en la posición 0, y tampoco lo estarán en el marco de referencia de B, su posición a $t'=0$ la puedes calcular ya te anticipe es $\pm L/gamma$

Vale, si este es el meollo, creo que tiene fácil solución. Veamos. Efectivamente, las transformaciones de Lorentz son para comparar las coordenas (ct, x) de eventos entre dos marcos de marcos de referencia, K y K' (ojo a la comilla simple) que coinciden en x=ct=0=x'=ct'. Y eso es lo que hago en mi texto, comparo en Blanco (B) las coordenadas de los eventos que mide N (Naranja), y estos eventos son:

• fotón que llega a V, evento cuyas coordenadas serán (L', -L')
• fotón que alcanza a A, y cuyas coordenadas serán (L', L')

En ningún momento comparo eventos entre B y A o B y V.

Quizás tu confusión se deba a que en el texto y en la figura hablo de que V y A son también observadores, y lo son, pero nada impide considerarlos elementos de un mismo sistema de referencia al que también pertenece N y al que sitúo en el origen. Para mí, VNA son todos del sistema K' y por eso es posible sincronizarlos.

pues bien ahora la complicas mas diciendo que V y A a tiempo 0 ya tiene una velocidad relativa respecto de N la que llamas $\pm u$
un marco de referencia solidario a ellos no es sincrónico con B... eso es lo que te recomiendo revises, o bien debe haber un desfase temporal para que lleguen a desplazarse hasta la posición L a velocidad relativa $u$, o bien B y N tienen su sincronía no a tiempo 0 en x=0 comenzando con el inicio del movimiento de V y A.

Aquí entiendo que ya has seguido y te has adentrado en el apartado 3 del pdf que sí es el meollo del documento. En este apartado, una vez obtenidos los valores de los desfases dados por la ecuación (9), me dispongo a analizar desde un observador externo Blanco (B) el retraso de dos relojes desplazados lentamente y en direcciones opuestas a N y con velocidades relativas con respecto a este de $\pm u'$ (ojo nuevamente a la comilla simple).

Pero aquí entraremos más adelante, cuando lleguemos al consenso sobre (9) y podamos cerrar el apartado 2.

Gracias nuevamente y saludos.

[Richard R Richard]

Buenas tardes Richard R Richard:

Copio la lista de consensos y continúo a ver si podemos añadir la ecuación (9) a dicha lista

1. Para eliminar el problema de la aceleración, podemos suponer que el reloj que se desplaza es acelerado un poco antes de pasar por el origen de coordenadas, A, momento en el que se sincronizaría con el reloj ya allí situado, de manera que ahora ya realizaría todo el trayecto de A hasta B de manera inercial. Por tanto, ahora sí podría aplicar la reciprocidad del principio de relatividad.
2. En el caso anterior, es válida la afirmación de Einstein de que al llegar a la posición B, el reloj que se ha movido estaría retrasado con el reloj en esa posición B.
3. El análisis que hace Einstein en su artículo es correcto ya que lo hace desde el punto de vista de un observador inercial (el observador en reposo), independientemente de que el reloj en movimiento sufra aceleraciones despreciables.

Sí, ahí estamos de acuerdo. La diferencia está, en como comenté en mi respuesta anterior, en el uso de la comilla simple. L' es la distancia (propia, en este caso) de separación entre VNA medidos en dicho sistema. L, por contra, es la distancia medida por B, que, como comentas cumple: $L=L'/\gamma$


Efectivamente, pero lo ha hecho así, con N en el centro de coordenadas y como referencia porque posteriormente necesitaré (apartado 3) comparar los valores del desfase de relojes que se mueven hacia izquierda y derecha de N.


OK. Pero entonces, si ya has llegado a mi ecuación (7), podemos entonces decir que coincidimos en (9)?

Si de acuerdo hasta 9, , el sistema primado lo tiene el sistema de referencia (SR) solidario a N , y sin primas el SR solidario a B.

• fotón que llega a V, evento cuyas coordenadas serán (L', -L')
• fotón que alcanza a A, y cuyas coordenadas serán (L', L')

En ningún momento comparo eventos entre B y A o B y V.

Aquí no te sigo con la notación , explicámela por favor, no digo sea errónea solo que no la puedo interpretar.
diría que quisiste poner

• fotón que llega a V, evento cuyas coordenadas serán (t',x')=(L'/c, -L')
• fotón que alcanza a A, y cuyas coordenadas serán (t',x')=(L'/c, L')

Un fotón que salga en t=0 justo al momento de sincronía, tarda L'/c en llegar tanto a A y como a V en el sistema primado , pero en el sistema sin primas la distancia sera $L=L'/\gamma$ al momento de liberar los fotones, Entonces para un observador ligado a B, A se esta acercando a él y V se está alejando, luego no vera que los fotones alcancen sus objetivos sincronicamente, como era de esperar en RE.

Saltemos al tema en donde ahora A y V se mueven relativamente a N con velocidad $\pm u$

SR primado en reposo con N	SR sin prima en reposo con B
en tiempo $t'=0$ en sincronización la posición de los observadores es $x'_N=0$ $x'_B=0$ $x'_A=+L$ $x'_V=-L$	en tiempo $t=0$ en sincronización la posición de los observadores es $x_N=0$ $x_B=0$ $x_A=+L/\gamma$ $x_V=-L/\gamma$
en tiempo $t'=0$ en sincronización la velocidad de los observadores es $v'_N=0$ $v'_B=+v$ $v'_A=+u$ $v'_V=-u$	en tiempo $t=0$ en sincronización la velocidad de los observadores es $v_N=-v$ $v_B=0$ $v_A=\dfrac{-v+u}{1-\dfrac{uv}{c^2}}$ $v_V=\dfrac{-v-u}{1+\dfrac{uv}{c^2}}$

Estas de acuerdo con las condiciones iniciales

Saludos

[JGabrielRE]

Buenos días Richard R Richard:

Gracias, otra vez, por tu tiempo. Siento que el proceso de revisión esté siendo tan lento. Espero que, al menos, te esté resultando interesante. Y no sólo a ti, espero también que haya alguien más siguiendo este hilo.

Si de acuerdo hasta 9, , el sistema primado lo tiene el sistema de referencia (SR) solidario a N , y sin primas el SR solidario a B.

OK, genial, lo añado a la lista de consensos:

1. Para eliminar el problema de la aceleración, podemos suponer que el reloj que se desplaza es acelerado un poco antes de pasar por el origen de coordenadas, A, momento en el que se sincronizaría con el reloj ya allí situado, de manera que ahora ya realizaría todo el trayecto de A hasta B de manera inercial. Por tanto, ahora sí podría aplicar la reciprocidad del principio de relatividad.
2. En el caso anterior, es válida la afirmación de Einstein de que al llegar a la posición B, el reloj que se ha movido estaría retrasado con el reloj en esa posición B.
3. El análisis que hace Einstein en su artículo es correcto ya que lo hace desde el punto de vista de un observador inercial (el observador en reposo), independientemente de que el reloj en movimiento sufra aceleraciones despreciables.
4. El retraso provocado por el proceso de sincronización es

   $$\delta'=\pm L' v/c^2$$

Ahora creo que el siguiente paso será llegar a (13) y luego a la "mareante" (23) que es el verdadero meollo del documento.

Aquí no te sigo con la notación , explicámela por favor, no digo sea errónea solo que no la puedo interpretar.
diría que quisiste poner

• fotón que llega a V, evento cuyas coordenadas serán (t',x')=(L'/c, -L')
• fotón que alcanza a A, y cuyas coordenadas serán (t',x')=(L'/c, L')

Sí, efectivamente son las coordenadas (ct', x') del evento.

Saltemos al tema en donde ahora A y V se mueven relativamente a N con velocidad $\pm u$

SR primado en reposo con N	SR sin prima en reposo con B
en tiempo $t'=0$ en sincronización la posición de los observadores es $x'_N=0$ $x'_B=0$ $x'_A=+L$ $x'_V=-L$	en tiempo $t=0$ en sincronización la posición de los observadores es $x_N=0$ $x_B=0$ $x_A=+L/\gamma$ $x_V=-L/\gamma$
en tiempo $t'=0$ en sincronización la velocidad de los observadores es $v'_N=0$ $v'_B=+v$ $v'_A=+u$ $v'_V=-u$	en tiempo $t=0$ en sincronización la velocidad de los observadores es $v_N=-v$ $v_B=0$ $v_A=\dfrac{-v+u}{1-\dfrac{uv}{c^2}}$ $v_V=\dfrac{-v-u}{1+\dfrac{uv}{c^2}}$

OK, pero antes intento explicarte qué intento hacer en ese párrafo. Los tres relojes NAV están ahora en la misma posición inicial x'=0=x en t'=0=t, cuando V y A empiezan a moverse en direcciones opuestas con velocidad relativa a N de [TEX] \pm u'[TEX]. B es el observador externo que ve moverse a N a la velocidad v hacia la derecha.

Con lo anterior, actualizo tu tabla:

SR primado en reposo con N	SR sin prima en reposo con B
en tiempo $t'=0$ en sincronización la posición de los observadores es $x'_N=0$ $x'_B=0$ $x'_A=0$ $x'_V=0$	en tiempo $t=0$ en sincronización la posición de los observadores es $x_N=0$ $x_B=0$ $x_A=0$ $x_V=0$
en tiempo $t'=0$ en sincronización la velocidad de los observadores es $v'_N=0$ $v'_B=-v$ $v'_A=+u'$ $v'_V=-u'$	en tiempo $t=0$ en sincronización la velocidad de los observadores es $v_N=v$ $v_B=0$ $v_A=\dfrac{v+u'}{1+\dfrac{u'v}{c^2}} = v+u$ $v_V=\dfrac{v-u'}{1-\dfrac{u'v}{c^2}}=v-u$

Gracias y saludos.

[Richard R Richard]

Bien , el cambio $u$ por $u'$ en el sistema primado se entiende . pero no pones entonces que en el sistema primado $v'=-v$

Pero no existe una 'unica $u$ que satisfaga $v_A=v+u$ y $v_V=v-u$ a la vez, ya que la adición de velocidades relativistas no es una función lineal.
revisa los signos que has aplicado en las formulas.
Comprueba resultados asignando a $v=\frac 12 c$ y $u'=\frac 14 c$ por ejemplo.
Resulta $v_V=\frac23 c$ y $v_A=\frac 27 c$ de la primera sale que y debe ser $u=\frac 16 c$ de la segunda $u=\frac 3{14} c$ mostrándote que $u$ no es igual a izquierda que derecha es decir o bien a favor o en contra de $v$.

$v_{adic}=\dfrac{v_1+v_2}{1+\dfrac{v_1v_2}{c^2}}$

en ese sistema de referencia no primado $v_1=-v$ pues tiene sentido negativo y $v_2=u'$ que tiene sentido positivo para A ,luego

$v_A=\dfrac{-v+u'}{1+\dfrac{u'(-v)}{c^2}}$

si le quiere dar por valor u a la diferencia entre $v_A$ y $v$

$u_A=\dfrac{-v+u'}{1+\dfrac{u'(-v)}{c^2}}-v=\dfrac{-\frac 12 c+\frac 14 c}{1+\dfrac{\frac 14c(-\frac 12 c)}{c^2}}-(-\frac 12 c)=$

$u_A=\dfrac{-\frac 14 c}{1-\frac 18}+\frac 12 c=\dfrac{-\frac 14 c}{\frac 78}-\frac 12 c=-\frac 27c+\frac 12 c=\frac 3{14} c$

en ese sistema de referencia no primado $v_1=-v$ pues tiene sentido negativo y $v_2=-u'$ que tiene sentido negativo para V ,luego


$v_V=\dfrac{-v+-u'}{1+\dfrac{(-u')(-v)}{c^2}}$

si le quiere dar por valor $u$ a la diferencia entre $v_V$ y $v$

$u_V=\dfrac{-v+u'}{1+\dfrac{(-u')(-v)}{c^2}}-v=\dfrac{-\frac 12 c-\frac 14 c}{1+\dfrac{(-\frac 14c)(-\frac 12 c)}{c^2}}-(-\frac 12 c)=$

$u_V=\dfrac{-\frac 34 c}{1+\frac 18}+\frac 12 c=\dfrac{-\frac 34 c}{\frac 98}-\frac 12 c=-\frac 23c+\frac 12 c=-\frac 16 c$

evidentemente los módulo de las velocidades son distintos $\frac 3{14} c=|u_A|\neq|u_V|=\frac 16 c$ con toda lógica de la aditividad de velocidades relativistas.

fíjate que los dos sistemas de referencia tienen la indicación positiva hacia la derecha, como en tu grafica así

SR primado en reposo con N	SR sin prima en reposo con B
en tiempo $t'=0$ en sincronización la posición de los observadores es $x'_N=0$ $x'_B=0$ $x'_A=L$ $x'_V=-L$	en tiempo $t=0$ en sincronización la posición de los observadores es $x_N=0$ $x_B=0$ $x_A=L/\gamma$ $x_V=-L/\gamma$
en tiempo $t'=0$ en sincronización la velocidad de los observadores es $v'_N=0$ $v'_B=+v$ $v'_A=+u'$ $v'_V=-u'$	en tiempo $t=0$ en sincronización la velocidad de los observadores es $v_N=-v$ $v_B=0$ $v_A=\dfrac{-v+u'}{1+\dfrac{u'v}{c^2}} =\cancel{ v+u}$ $v_V=\dfrac{-v-u'}{1+\dfrac{u'v}{c^2}}=\cancel{v-u}$

Si tu pones las posiciones de NAV en 0 a tiempo cero todos en el mismo lugar en ambos sistemas de referencia , esta bien que lo aclares pero es otro problema distinto al que venias planteando. Solo has mejorado que ahora todas las transformaciones de lorentz son posibles de aplicar directamente.

SR primado en reposo con N	SR sin prima en reposo con B
en tiempo $t'=0$ en sincronización la posición de los observadores es $x'_N=0$ $x'_B=0$ $x'_A=0$ $x'_V=0$	en tiempo $t=0$ en sincronización la posición de los observadores es $x_N=0$ $x_B=0$ $x_A=0$ $x_V=0$
en tiempo $t'=0$ en sincronización la velocidad de los observadores es $v'_N=0$ $v'_B=+v$ $v'_A=+u'$ $v'_V=-u'$	en tiempo $t=0$ en sincronización la velocidad de los observadores es $v_N=-v$ $v_B=0$ $v_A=\dfrac{-v+u'}{1+\dfrac{u'v}{c^2}} =\cancel{ v+u}$ $v_V=\dfrac{-v-u'}{1+\dfrac{u'v}{c^2}}=\cancel{v-u}$

[Richard R Richard]

he terminado de editar varias veces con varias aclaraciones , coteja ahora