Avanzado Sobre la curvatura del espacio

[Jaime Rudas]

Este año se cumplen 100 años de la publicación de uno de los artículos más importantes de la cosmología moderna donde, prácticamente, se sientan las bases de esta ciencia. Se trata del artículo de Alexandr Fridman Über die Krümmung des Raumes [Sobre la curvatura del espacio], publicado en 1922 en la, en esa época, muy prestigiosa revista científica Zeitschrift für Physik, como ya lo mencionamos en las entradas Misión imposible y La carta de Fridman.

Dado que no me fue posible encontrar en internet una traducción al castellano del artículo, me di a la tarea traducirlo, como un pequeño aporte a la conmemoración de tan importante centenario.

Cabe anotar que no traduje directamente del alemán (idioma que desconozco en absoluto), sino que utilicé traducciones del artículo al inglés y al ruso. No obstante lo anterior, traté de mantener lo mejor posible la nomenclatura utilizada en las fórmulas del original publicado en alemán.

La traducción se puede ver aquí.

[Jaime Rudas]

Mis conocimientos de relatividad general son muy escasos, sin embargo, se me ocurrió que, para tratar de entender mínimamente el artículo de Fridman, primero había que «traducirlo» a terminología actual. Hasta el momento, voy en lo siguiente:

1) En la nota 4, señala Fridman:

Con espacio nos referimos al espacio descrito por una variedad de tres dimensiones, mientras que con el término mundo nos referimos al espacio descrito por una variedad de cuatro dimensiones.

Lo que me indica que al espaciotiempo lo llama mundo.

2) Sobre las ecuaciones de campo de Einstein, dice:

Los potenciales gravitacionales satisfacen el sistema de ecuaciones de Einstein con el así llamado término cosmológico que, como caso particular, puede ser igual a cero:

$$R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}\bar{R}+\lambda g_{ik}=-\varkappa T_{ik}\ \ \ \ (i,\ k=\ 1,\ 2,\ 3,\ 4)$$

donde $g_{ik}$ son los potenciales gravitacionales, $T_{ik}$ es el tensor de materia, $\varkappa$ es una constante, [...]

La ecuación (A) es prácticamente la misma que da la Wikipedia aquí:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$

Lo que indica que al tensor de energía impulso $T_{\mu \nu }$ Fridman lo llama tensor de materia y al tensor métrico $g_{\mu \nu }$ lo llama potenciales gravitacionales (no veo clara la relación entre la métrica y el potencial gravitacional)..

Ahora bien, en cuanto a la constante $\kappa$ (kappa), en el artículo de Fridman se utiliza una forma alternativa de representar esta letra griega ($\varkappa$), supongo que para evitar que se confunda con el subíndice $k$ de los tensores.

Lo que no entiendo es el signo menos en la parte derecha de la ecuación (A) porque si $\kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}$ nos resultaría que $\varkappa ={-\frac {8\pi G}{c^{4}}}$, con lo que el menos de la ecuación se cancelaría con el de la constante.

[Weip]

Hola Jaime, primero de todo agradezco esta traducción a términos actuales porque es curiosísimo cómo se piensan las cosas en los artículos originales y cómo se piensan una vez digeridas. Hace unos días vi lo mismo leyendo el artículo de Feynman donde cuantiza la relatividad general (el artículo es previo al modelo estándar con lo que hay pensamientos muy muy interesantes sobre cómo creía él que irían las cosas).

En todo caso quería aportar información sobre la relación entre la métrica y el potencial gravitatorio.

Lo que indica que al tensor de energía impulso $T_{\mu \nu }$ Fridman lo llama tensor de materia y al tensor métrico $g_{\mu \nu }$ lo llama potenciales gravitacionales (no veo clara la relación entre la métrica y el potencial gravitacional)..

El caso es que la métrica recibe la interpretación de potencial gravitatorio porque tomando la aproximación de campo débil $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$ con $|h_{\mu\nu}|\ll 1$ y considerando límite clásico de la ecuación de las geodésicas se obtiene la ecuación de Poisson. De aquí se deriva la relación:

$g_{00}=-\left(1+\dfrac{2\Phi}{c^2}\right)$,

donde $\Phi$ es el potencial newtoniano. Esta relación se obtiene también haciendo el límite de campo débil de la métrica de Schwarzschild y da lo mismo. El resto de componentes de la diagonal de la métrica siguen una relación análoga con un par de signos cambiados.

¡Saludos!

[Jaime Rudas]

Entendido, Weip: ¡muchas gracias por el aporte!

[Jaime Rudas]

Continúo con la «traducción» a terminología actual:

3. Dice Fridman:

{...] $\bar{R}=g^{ik}R_{ik}$ y el tensor $R_{ik}$ se define con las ecuaciones:

$$R_{ik}=\frac{\partial^2\mathrm{lg}\sqrt g}{\partial x_i\ \partial x_k}-\frac{\partial \mathrm{lg}\sqrt g}{\partial x_\sigma}\left\{\begin{matrix}i\ k\\\sigma\\\end{matrix}\right\}-\frac{\partial}{\partial x_\sigma}\left\{\begin{matrix}i\ k\\\sigma\\\end{matrix}\right\}+\left\{\begin{matrix}i\ \alpha\\\sigma\\\end{matrix}\right\}\left\{\begin{matrix}k\ \sigma\\\alpha\\\end{matrix}\right\}$$

donde $x_i\ (i=1,\ 2,\ 3,\ 4)$ son las coordenadas del mundo y $\left\{\begin{matrix}i\ k\\l\\\end{matrix}\right\}$ son los símbolos de Christoffel de segundo tipo.

Uno de los términos que no logré entender cuando traduje la carta de Fridman a Einstein fue precisamente este de $\left\{\begin{matrix}i\ k\\l\\\end{matrix}\right\}$. Pues bien, como aquí aclara que se trata de los símbolos de Christoffel, parece ser que la ecuación (B) se puede traducir parcialmente así:

$$R_{ik}=\frac{\partial^2\mathrm{lg}\sqrt g}{\partial x_i\ \partial x_k}-\frac{\partial \mathrm{lg}\sqrt g}{\partial x_\sigma}\Gamma_{ik}^\sigma-\frac{\partial}{\partial x_\sigma}\Gamma_{i k}^\sigma+\Gamma_{i \alpha}^\sigma \Gamma_{k \sigma}^\alpha$$

Y digo parcialmente porque aún le falta para equipararse a la fórmula del tensor de curvatura de Ricci $R_{\sigma \nu }$ que se muestra aquí:

${\displaystyle R_{\sigma \nu }={R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }=\partial _{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\rho \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho \sigma }^{\lambda }}$

Además, ese extraño $\mathrm{lg}\sqrt g$ sospecho que no se refiere a $\ln \sqrt g$ porque habría sido más lógico representarlo como $\frac {\ln g} 2$

[Weip]

Hola de nuevo.

Además, ese extraño $\mathrm{lg}\sqrt g$ sospecho que no se refiere a $\ln \sqrt g$ porque habría sido más lógico representarlo como $\frac {\ln g} 2$

Sí que es un logaritmo sí, los símbolos de Christoffel se pueden calcular como la derivada del logaritmo de $\sqrt{g}$. El $2$ de hecho no tendría lógica ponerlo fuera del logaritmo dividiendo porque $\sqrt{g}$ es la medida que se pone en las integrales para dar cuenta de que estamos integrando en un espaciotiempo curvado, así que es más o menos importante arrastrar el término $\sqrt{g}$ allá donde vayamos para poder interpretar correctamente cada término en las ecuaciones. Aunque en el caso de esta fórmula con el tensor de Ricci no sirve de mucho expresarlo así, tampoco es práctico así que se puede entender que en la fórmula moderna ya no salgan esos logaritmos.

[Jaime Rudas]

Además, ese extraño $\mathrm{lg}\sqrt g$ sospecho que no se refiere a $\ln \sqrt g$ porque habría sido más lógico representarlo como $\frac {\ln g} 2$

Indagando sobre el asunto, encuentro que en la conferencia titulada Die Feldgleichungen der Gravitation [Las ecuaciones de campo de la Gravitación] dictada por Einstein el 25 de noviembre de 1915 ante la Academia Prusiana de Ciencias y en la que por primera vez presentara sus ecuaciones de campo (existe traducción al castellano), se encuentra (en la ecuación que está entre la 7a y la 8) el término $\frac{\partial \mathrm{lg}\sqrt {-g}}{\partial x_\sigma}$, muy parecido al término $\frac{\partial \mathrm{lg}\sqrt g}{\partial x_\sigma}$ que aparece en la ecuación (B) de Fridman.

[Jaime Rudas]

Hola de nuevo.

Sí que es un logaritmo sí, los símbolos de Christoffel se pueden calcular como la derivada del logaritmo de $\sqrt{g}$. El $2$ de hecho no tendría lógica ponerlo fuera del logaritmo dividiendo porque $\sqrt{g}$ es la medida que se pone en las integrales para dar cuenta de que estamos integrando en un espaciotiempo curvado, así que es más o menos importante arrastrar el término $\sqrt{g}$ allá donde vayamos para poder interpretar correctamente cada término en las ecuaciones. Aunque en el caso de esta fórmula con el tensor de Ricci no sirve de mucho expresarlo así, tampoco es práctico así que se puede entender que en la fórmula moderna ya no salgan esos logaritmos.

Gracias, nuevamente, Weip.
Desafortunadamente, mis conocimientos no dan para entender esto, pero, siendo así, ¿cuál sería la notación actual del término $\frac{\partial \mathrm{lg}\sqrt g}{\partial x_\sigma}$ ?

[Weip]

Indagando sobre el asunto, encuentro que en la conferencia titulada Die Feldgleichungen der Gravitation [Las ecuaciones de campo de la Gravitación] dictada por Einstein el 25 de noviembre de 1915 ante la Academia Prusiana de Ciencias y en la que por primera vez presentara sus ecuaciones de campo (existe traducción al castellano), se encuentra (en la ecuación que está entre la 7a y la 8) el término $\frac{\partial \mathrm{lg}\sqrt {-g}}{\partial x_\sigma}$, muy parecido al término $\frac{\partial \mathrm{lg}\sqrt g}{\partial x_\sigma}$ que aparece en la ecuación (B) de Fridman.

Realmente son el mismo término pero cambiando notación. En el primero $g=\text{det } g_{\mu\nu}$ y en el segundo $g=|\text{det } g_{\mu\nu}|$. Como en el primero no hay valor absoluto se debe escribir $\sqrt{-g}$ o $\sqrt{|g|}$ para cambiar el signo del determinante, que es negativo. En la actualidad se utiliza cualquiera de estas dos con menos o con valor absoluto. Quizás más habitual $\sqrt{-g}$ pero tampoco me he fijado mucho. Al menos yo lo escribo siempre con el menos.

Gracias, nuevamente, Weip.
Desafortunadamente, mis conocimientos no dan para entender esto, pero, siendo así, ¿cuál sería la notación actual del término $\frac{\partial \mathrm{lg}\sqrt g}{\partial x_\sigma}$ ?

Yo lo había visto como $(1/\sqrt{-g})\partial_{\sigma}\sqrt{-g}$ en notación actual. Supongo que el logaritmo al final del día es opaco y por eso se deshace.

[Jaime Rudas]

Yo lo había visto como $(1/\sqrt{-g})\partial_{\sigma}\sqrt{-g}$ en notación actual. Supongo que el logaritmo al final del día es opaco y por eso se deshace.

Retomando el tema y considerando esa notación, ¿podríamos escribir la ecuación (B) así?:

$$R_{ik}=(1/\sqrt{-g})\partial_{ik}\sqrt{-g}-(1/\sqrt{-g})\partial_{\sigma}\sqrt{-g}\Gamma_{ik}^\sigma-\partial_{\sigma}\Gamma_{i k}^\sigma+\Gamma_{i \alpha}^\sigma \Gamma_{k \sigma}^\alpha$$

¿O así?:

$$R_{ik}=\frac{\partial_{ik}\sqrt{-g}}{\sqrt{-g}}-\frac{\partial_{\sigma}\sqrt{-g}}{\sqrt{-g}}\Gamma_{ik}^\sigma-\partial_{\sigma}\Gamma_{i k}^\sigma+\Gamma_{i \alpha}^\sigma \Gamma_{k \sigma}^\alpha$$

[Weip]

Retomando el tema y considerando esa notación, ¿podríamos escribir la ecuación (B) así?:

$$R_{ik}=(1/\sqrt{-g})\partial_{ik}\sqrt{-g}-(1/\sqrt{-g})\partial_{\sigma}\sqrt{-g}\Gamma_{ik}^\sigma-\partial_{\sigma}\Gamma_{i k}^\sigma+\Gamma_{i \alpha}^\sigma \Gamma_{k \sigma}^\alpha$$

¿O así?:

$$R_{ik}=\frac{\partial_{ik}\sqrt{-g}}{\sqrt{-g}}-\frac{\partial_{\sigma}\sqrt{-g}}{\sqrt{-g}}\Gamma_{ik}^\sigma-\partial_{\sigma}\Gamma_{i k}^\sigma+\Gamma_{i \alpha}^\sigma \Gamma_{k \sigma}^\alpha$$

Mmm no bien bien. Entiendo que $\partial_{ik}$ quiere decir $\partial_i \partial_k$. En ese caso has sacado fuera $\frac{1}{\sqrt{-g}}$ como si fuera constante pero no lo es. La fórmula correcta sería:

$R_{ik}=\partial_{i}\left(\dst\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{k}\sqrt{-g}\right)-\dst\frac{1}{\sqrt{-g}}\left(\partial_{\sigma}\sqrt{-g}\right)\Gamma_{ik}^\sigma-\partial_{\sigma}\Gamma_{i k}^\sigma+\Gamma_{i \alpha}^\sigma \Gamma_{k \sigma}^\alpha$

Pequeño comentario: todos los índices aquí van de 1 a 4 independientemente de si son latinos o griegos. Lo tenemos presente pero por si acaso conviene subrayarlo de nuevo.

[Jaime Rudas]

Mmm no bien bien. Entiendo que $\partial_{ik}$ quiere decir $\partial_i \partial_k$. En ese caso has sacado fuera $\frac{1}{\sqrt{-g}}$ como si fuera constante pero no lo es. La fórmula correcta sería:

$R_{ik}=\partial_{i}\left(\dst\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{k}\sqrt{-g}\right)-\dst\frac{1}{\sqrt{-g}}\left(\partial_{\sigma}\sqrt{-g}\right)\Gamma_{ik}^\sigma-\partial_{\sigma}\Gamma_{i k}^\sigma+\Gamma_{i \alpha}^\sigma \Gamma_{k \sigma}^\alpha$

Perfecto, gracias.

Pequeño comentario: todos los índices aquí van de 1 a 4 independientemente de si son latinos o griegos. Lo tenemos presente pero por si acaso conviene subrayarlo de nuevo.

Sí, ese podría ser el siguiente paso:

$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }}$$

$$R_{\mu \nu}=\partial_{\mu}\left(\dst\frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\nu}\sqrt{-g}\right)-\dst\frac{1}{\sqrt{-g}}\left(\partial_{\sigma}\sqrt{-g}\right)\Gamma_{\mu \nu}^\sigma-\partial_{\sigma}\Gamma_{\mu \nu}^\sigma+\Gamma_{\mu \alpha}^\sigma \Gamma_{\nu \sigma}^\alpha$$