Divulgación ¿Porque las ecuaciones de campo de Einstein conducen a un universo dinámico?

[inakigarber]

Buenas noches;

Siempre he pensado que un universo dominado por la gravedad tiene que conducir a un universo dinámico por el hecho de que la gravedad es siempre una fuerza atractiva, pero esto es algo tan evidente que no da lugar a dudas. El hecho de que el mismísimo Einstein no se sintiera a gusto e introdujera la constante cosmológica $\Lambda$ para tratar de hacerla encajar en un universo estático como él creía (aunque después se retractó), demuestra que el tema no es tan sencillo como lo había pensado anteriormente. ¿Cómo podría enfocar el tema?

Saludos y gracias.

[Jaime Rudas]

Siempre he pensado que un universo dominado por la gravedad tiene que conducir a un universo dinámico por el hecho de que la gravedad es siempre una fuerza atractiva, pero esto es algo tan evidente que no da lugar a dudas. El hecho de que el mismísimo Einstein no se sintiera a gusto e introdujera la constante cosmológica $\Lambda$ para tratar de hacerla encajar en un universo estático como él creía (aunque después se retractó), demuestra que el tema no es tan sencillo como lo había pensado anteriormente. ¿Cómo podría enfocar el tema?

A ver, la única solución estacionaria de las ecuaciones de campo se presenta cuando el espacio es esférico, homogéneo e isótropo, y la constante cosmológica está finamente ajustada para que contrarreste la contracción de la gravedad, o sea, el modelo que presentó Einstein en 1917. El problema es que ese modelo es inestable, como lo mostró implícitamente Lemaître en 1927 y explícitamente Eddington en 1931. El que sea inestable implica que cualquier leve desviación local de la homogeneidad convertiría el modelo en dinámico en forma irreversible.

Saludos

[Alriga]

Con la nomenclatura que se usa actualmente, las ecuaciones originales que manejaba Einstein en 1917 a partir de su Relatividad General más homogeneidad e isotropía son estas:

$\dot a^2=\left ( \dfrac{8\pi G \rho}3-K\dfrac{c^2}{a^2}\right ) a^2$

$\ddot a=-\dfrac{4\pi G}3 \left ( \rho +\dfrac{3p}{c^2} \right ) a$

Si miramos la 2ª ecuación de arriba, como todos los parámetros físicos a la derecha de la igualdad son positivos, vemos que la aceleración es siempre negativa y no nula. Ello es debido a la presencia de la gravedad y por lo tanto como $\boldsymbol{\ddot a \neq 0}$ siempre, el universo de las ecuaciones originales de la Relatividad General de 1915 no puede ser estático, debe ser necesariamente dinámico. Eso responde a la pregunta "¿Por qué las ecuaciones de campo originales de Einstein conducen a un universo dinámico?"

La clave está en que los prejuicios de Einstein, que creía "porque sí" que el universo era estático, le impidieron estudiar y valorar esas soluciones dinámicas que estaban dando sus ecuaciones originales, y pensó que lo que sucedía era que algo debía estar mal en esas ecuaciones. Para forzar alguna manera en la que el universo pudiese ser estático como él creía, es decir que las ecuaciones tuviesen la posibilidad de tener soluciones que sí cumpliesen $\ddot a=0$ , Einstein modifica en 1917 las ecuaciones originales introduciendo en ellas la constante cosmológica:

$$\dot a^2=\left ( \dfrac{8\pi G \rho+\Lambda c^2}3-K\dfrac{c^2}{a^2}\right ) a^2$$

$$\ddot a=\left [\dfrac{\Lambda c^2}3- \dfrac{4\pi G}3 \left ( \rho +\dfrac{3p}{c^2} \right ) \right ] a$$

Si despreciamos la pequeña contribución de la radiación, la densidad $\rho$ corresponde a la de la materia cuya presión $p=0$ es nula.

Con esta nueva forma de las ecuaciones, ahora sí podemos forzar en la ecuación (2) que $\ddot a=0$, condición de universo estático y despejamos la constante cosmológica:

$\Lambda_e=\dfrac{4\pi G}{c^2} \ \rho$

Solo para este valor "finamente ajustado" de la constante cosmológica el universo puede ser estático.

Si ahora forzamos en la ecuación (1) que $\dot a=0$ teniendo en cuenta que debe ser K=+1 (universo esférico cerrado, ya que si K=0 ó K=-1 no podremos conseguir $\dot a=0$) y teniendo en cuenta el valor de $\Lambda_e$ que acabamos de obtener, despejamos:

$a_e=\dfrac c{\sqrt{4\pi G \rho}}$

$a_e=\dfrac 1{\sqrt{\Lambda_e}}$

Este valor de $a_e$ es lo que se conoce como radio del universo esférico de Einstein: si el universo es estático, para una densidad dada solo puede tener un único valor de la constante cosmológica y un único tamaño. Einstein estaba feliz porque por fin, gracias a esta modificación, sus ecuaciones ahora sí permitían un resultado de un universo estático y según sus prejuicios, ese debía ser el que describía al universo real.

Sin embargo, como demostró Eddington posteriormente, este universo finamente ajustado no es estable. La constante cosmológica actúa como una fuerza repulsiva que contrarresta la atracción gravitatoria de la materia. Para que el universo sea estático, ambas cantidades deben compensarse exactamente. Cualquier pequeña discrepancia a escala local, que resulta fácil que se produzca en un universo donde la materia se encuentra distribuida en forma discreta y tiene movimientos peculiares no ordenados, causaría una expansión o contracción progresivamente crecientes. La demostración de Eddington de este hecho se publicó en 1930 con el título On the Instability of Einstein's Spherical World

Los trabajos de los 1920s de Friedman y Lemaitre y el descubrimiento del desplazamiento al rojo de las galaxias por parte de Slipher motivaron que dicho modelo estático fuera rechazado, y que Einstein renegase de la introducción de la constante cosmológica calificándola según la leyenda como «la mayor equivocación de su vida», puesto que su introducción fue motivada ad hoc y a posteriori de la teoría general de la relatividad, a fin de forzar un universo estático. Si Einstein no hubiera partido de ideas preconcebidas, (que el Universo debía ser estático) y "le hubiese hecho caso" a lo que realmente decían sus ecuaciones originales, habría podido predecir la expansión del universo antes de que ésta se descubriera, y hubiese realizado una de las más espectaculares predicciones de la historia de la Ciencia.

A partir de 1930 la constante cosmológica prácticamente desapareció de la Cosmología hasta el descubrimiento de la expansión acelerada del universo a finales de los 1990s.

Puede interesar repasar el hilo El cambio de opinión de Einstein sobre la Expansión del Universo y también El inicio de la expansión acelerada del Universo: la aceleración del factor de escala

Saludos.

[inakigarber]

Gracias por vuestras respuestas.

Con la nomenclatura que se usa actualmente, las ecuaciones que manejaba Einstein en 1917 a partir de su Relatividad General más homogeneidad e isotropía son:

$\dot a^2=\left ( \dfrac{8\pi G \rho}3-K\dfrac{c^2}{a^2}\right ) a^2$

$\ddot a=-\dfrac{4\pi G}3 \left ( \rho +\dfrac{3p}{c^2} \right ) a$

Si miramos la 2ª ecuación de arriba (en la que todos los parámetros físicos a la derecha de la igualdad son positivos) vemos que la aceleración es siempre negativa y no nula. Ello debido a la presencia de la gravedad y por lo tanto el universo no puede ser estático. Eso responde a la pregunta "¿Por qué las ecuaciones de campo originales de Einstein conducen a un universo dinámico?"

Entiendo que $a$ es un factor de escala que determina el cómo cambia la "escala" en la medida de la distancia y que es un factor adimensional, es decir, un valor númerico.
Que $\rho$ es la densidad de masa del universo (expresada en unidades de $\dfrac{Kg}{x^3}$. Que "p" es la presión de masa-energía del universo. Si hiciera $\ddot a=0$, entonces me encontraría con que $\rho +\dfrac{3p}{c^2}=0$, lo cual es imposible porque tanto $\rho$ como p son positivos por lo que esa suma no puede dar 0.
De manera que $\ddot a$ no puede ser nulo, pero aun no entiendo bien a donde me lleva esto.

[Richard R Richard]

Gracias por vuestras respuestas.

lo cual es imposible porque tanto $/rho$ como p son positivos por lo que esa suma no puede dar 0.
De manera que $\ddot a$ no puede ser nulo, pero aun no entiendo bien a donde me lleva esto.

Es que si la aceleración del factor de escala es nula $\ddot a=0$, quiere decir que el universo no se agrandará ni achicará en función del tiempo, mejor dicho no cambiara la tasa con la que se agranda o achica, que si esta fuese nula en principio, es lo mismo que decir será estático. Como ya ves que la aceleración no puede ser nula, entonces el universo no puede ser estático, luego A. Einstein introdujo la constante cosmológica para que resultase en una aceleración nula, dado su preconcepto de estaticidad, pero lo datos experimentales lo contradijeron, así pronunció su frase sobre que la propuesta de la constante cosmológica fue su peor error. Dados los resultados modernos de la experimentación vuelve a resultar útil incorporar la constante cosmológica, como un factor que contribuye a explicar la aceleración del factor de escala.

[Jaime Rudas]

Con la nomenclatura que se usa actualmente, las ecuaciones que manejaba Einstein en 1917 a partir de su Relatividad General más homogeneidad e isotropía son:

$\dot a^2=\left ( \dfrac{8\pi G \rho}3-K\dfrac{c^2}{a^2}\right ) a^2$

$\ddot a=-\dfrac{4\pi G}3 \left ( \rho +\dfrac{3p}{c^2} \right ) a$

Si miramos la 2ª ecuación de arriba (en la que todos los parámetros físicos a la derecha de la igualdad son positivos) vemos que la aceleración es siempre negativa y no nula.

Entiendo que $a$ es un factor de escala que determina el cómo cambia la "escala" en la medida de la distancia y que es un factor adimensional, es decir, un valor númerico.
[...]
De manera que $\ddot a$ no puede ser nulo, pero aun no entiendo bien a donde me lleva esto.

Sí, eso es correcto, y conduce a lo que explica Alriga a continuación:

Para forzar alguna manera en la que pudiese ser estático, Einstein introduce en las ecuaciones la constante cosmológica:

$$\dot a^2=\left ( \dfrac{8\pi G \rho+\Lambda c^2}3-K\dfrac{c^2}{a^2}\right ) a^2$$

$$\ddot a=\left [\dfrac{\Lambda c^2}3- \dfrac{4\pi G}3 \left ( \rho +\dfrac{3p}{c^2} \right ) \right ] a$$

Con lo que nos resultan las ecuaciones de Fridman y ahora sí podemos hacer cero tanto la tasa de expansión $\dot a$, como su aceleración $\ddot a$ y obtenemos que, para una densidad $\rho$ (y una presión $p$) determinadas, hay un único valor de $\Lambda$ que nos garantiza un universo estacionario.

Pero, además, si no restringimos $\dot a$ y $\ddot a$ a cero, nos pueden resultar universos en expansión o contracción, acelerados o desacelerados, dependiendo de los valores $\Lambda$ y de $\rho$ y $p$ (la ecuación de estado) que asignemos

Es que si la aceleración del factor de escala es nula $\ddot a=0$, quiere decir que el universo no se agrandará ni achicará en función del tiempo

Entiendo lo que quieres decir, pero, dicho así, en rigor, no es correcto: para que el universo sea estacionario se requiere no solo que $\ddot a$ sea nula, sino que también lo sea $\dot a$.

Saludos

[inakigarber]

Entiendo lo que quieres decir, pero, dicho así, en rigor, no es correcto: para que el universo sea estacionario se requiere no solo que $\ddot a$ sea nula, sino que también lo sea $\dot a$.

Esto sería el equivalente a la velocidad y a la aceleración. Podríamos comparar $a$ con la distancia entre dos cuerpos. Esta "distancia" debe cambiar en el tiempo de modo acelerado. El universo no solamente no puede ser estático, $a$ debe ser dependiente del tiempo, por eso a veces se escribe $a_{(t)}$ sino que además $\dot a$ también debe de ser dependiente del tiempo y por tanto el valor de $\ddot a$ debe ser no nulo, (al menos así lo he interpretado yo).
¿Es esto correcto?

[inakigarber]

La clave está en que los prejuicios de Einstein, que creía "porque sí" que el universo era estático, le impidieron estudiar y valorar esas soluciones dinámicas que estaban dando sus ecuaciones originales, y pensó que lo que sucedía era que algo debía estar mal en esas ecuaciones. Para forzar alguna manera en la que el universo pudiese ser estático como él creía, es decir que las ecuaciones tuviesen la posibilidad de tener soluciones que sí cumpliesen $\ddot a=0$ , Einstein modifica en 1917 las ecuaciones originales introduciendo en ellas la constante cosmológica:

$$\dot a^2=\left ( \dfrac{8\pi G \rho+\Lambda c^2}3-K\dfrac{c^2}{a^2}\right ) a^2$$

$$\ddot a=\left [\dfrac{\Lambda c^2}3- \dfrac{4\pi G}3 \left ( \rho +\dfrac{3p}{c^2} \right ) \right ] a$$

Si despreciamos la pequeña contribución de la radiación, la densidad $\rho$ corresponde a la de la materia cuya presión $p=0$ es nula.

Con esta nueva forma de las ecuaciones, ahora sí podemos forzar en la ecuación (2) que $\ddot a=0$, condición de universo estático y despejamos la constante cosmológica:

$\Lambda_e=\dfrac{4\pi G}{c^2} \ \rho$

Solo para este valor "finamente ajustado" de la constante cosmológica el universo puede ser estático.

Si ahora forzamos en la ecuación (1) que $\dot a=0$ teniendo en cuenta que debe ser K=+1 (universo esférico cerrado, ya que si K=0 ó K=-1 no podremos conseguir $\dot a=0$) y teniendo en cuenta el valor de $\Lambda_e$ que acabamos de obtener, despejamos:

$a_e=\dfrac c{\sqrt{4\pi G \rho}}$

$a_e=\dfrac 1{\sqrt{\Lambda_e}}$

Este valor de $a_e$ es lo que se conoce como radio del universo esférico de Einstein: si el universo es estático, para una densidad dada solo puede tener un único valor de la constante cosmológica y un único tamaño. Einstein estaba feliz porque por fin, gracias a esta modificación, sus ecuaciones ahora sí permitían un resultado de un universo estático y según sus prejuicios, ese debía ser el que describía al universo real.

Partiendo de la ecuación para $(\dot a)^2$ y del valor de $\Lambda$ dado a mí me sale la expresión $a=\dfrac{\sqrt{k} c}{\sqrt{4\pi G \rho}}$ que equivale a la que tu obtienes, pero como queda dicho K tiene tres posibles valores 1, 0 o -1. En el tercer caso me saldría un valor imaginario ¿Tiene algún sentido físico este valor imaginario?

Saludos.

[Jaime Rudas]

Esto sería el equivalente a la velocidad y a la aceleración. Podríamos comparar $a$ con la distancia entre dos cuerpos

Sí, se puede ver así como analogía

Esta "distancia" debe cambiar en el tiempo de modo acelerado. El universo no solamente no puede ser estático, $a$ debe ser dependiente del tiempo, por eso a veces se escribe $a_{(t)}$ sino que además $\dot a$ también debe de ser dependiente del tiempo y por tanto el valor de $\ddot a$ debe ser no nulo, (al menos así lo he interpretado yo).
¿Es esto correcto?

Es correcto, pero solo como caso particular. Me explico: siguiendo con la analogía de la velocidad y la aceleración, fíjate que decimos que algo es estático si tanto la velocidad, como la aceleración son nulas. En cualquier otro caso, diremos que es dinámico. Por ejemplo, un auto con velocidad constante, es dinámico, pero, al ser constante, su velocidad no depende del tiempo y, por tanto, su aceleración es nula. También hay el caso dinámico en que la velocidad es nula, pero no la aceleración, como cuando lanzamos una piedra verticalmente y llega a su altura máxima.

[Jaime Rudas]

K tiene tres posibles valores 1, 0 o -1. En el tercer caso me saldría un valor imaginario ¿Tiene algún sentido físico este valor imaginario?

No, no lo tiene. Precisamente por eso, en el espacio de Einstein, k tiene que ser 1, o sea, de curvatura positiva.