Curvatura y tamaño del universo

[Alriga]

...De esto yo intuyo que si calculando en una dimensión nos da 46,106 y calculando en dos dimensiones nos da 46,176, cuando calculemos en la tres dimensiones nos dará todavía más cerca a 46,2, o sea, con una diferencia muy por debajo del margen de error de $r_{hp}$.

$r_{1_{eq}}=46.106$ Gal

$r_{2_{eq}}=46.176$ Gal

Del hilo Volumen de una esfera en geometría no euclídea nos sale que el volumen correcto es:

$V_3=412048 \ Gal^3$

El "radio equivalente" para este volumen es:

$r_{3_{eq}}=\sqrt[3]{\dfrac{3V_3}{4\pi}}=46.162$ Gal

Un valor que está comprendido entre los dos anteriores.

Saludos.

[Jaime Rudas]

No sé demostrar matemáticamente la expresión para el cálculo exacto, pero intuyo que quizás una aproximación válida para ángulos “$A$” pequeños (ver dibujo) tal vez podría ser:

Yo estaba pensando en algo parecido, pero en dos dimensiones, o sea, equiparando el área de un casquete con el área de una circunferencia equivalente, y tu idea del radio equivalente me dio la clave para redondear el cálculo:



$r_{hp}$ - radio de universo observable (46,2 Gal)

$R$ - radio del universo 3-esférico (417 Gal)

$A_c$ - área del casquete

$r_{eq}$ - radio que tendría una circunferencia con un área equivalente

$\beta=\dfrac {r_{hp}}R = \dfrac {46,2}{417}= 0,1108$

$a=R \sin \beta=46,106$

$h=R-R\cos \beta=R(1-\cos \beta)=2,5567$

$A_c= \pi (a^2+h^2)=6698,68$

$r_{eq}=\sqrt {\dfrac {A _c}{\pi}}=46,176\approx 46,2$

De esto yo intuyo que si calculando en una dimensión nos da 46,106 y calculando en dos dimensiones nos da 46,176, cuando calculemos en la tres dimensiones nos dará todavía más cerca a 46,2, o sea, con una diferencia muy por debajo del margen de error de $r_{hp}$.

[Alriga]

Dándole una vuelta más a la tuerca, me hacen caer en cuenta de que el volumen de una esfera de radio R en un espacio de curvatura positiva es menor que el volumen de una esfera de radio R en un espacio de curvatura nula y, dado que el radio de curvatura del universo que estamos analizando es apenas 9 veces el radio del universo observable, supongo que la diferencia debe ser apreciable. ¿Alguien sabe cómo se calcula el volumen de una esfera en un espacio curvo?

No sé demostrar matemáticamente la expresión para el cálculo exacto, pero intuyo que quizás una aproximación válida para ángulos “$A$” pequeños (ver dibujo) tal vez podría ser:

$R$ es el radio del universo 3-esférico

$d_{hp}$ es el diámetro del universo observable

$r_{eq}$ es el “radio equivalente” para el cálculo del volumen de la 2-esfera

$A=\dfrac{d_{hp}}R$

$r_{eq}=R \sin \dfrac A 2$

$V_{hp} \simeq \dfrac 4 3 \pi r_{eq}^3$

Con los números del hilo:

$R=417$ Gal

$d_{hp}=2\cdot 46.2=92.4$ Gal

$\boldsymbol{A}=\dfrac{92.4}{417}=0.2216 \ rad = \boldsymbol{ 12.7^o}$

$r_{eq}=417 \sin \dfrac{0.2216}2=46.1$ Gal

$2\cdot r_{eq}=92.2 < 92.4=d_{hp}$

$V_{hp} \simeq \dfrac 4 3 \pi \ 46.1^3=410533 \ Gal^3$

Con los números de este caso, el error relativo en el cálculo del volumen que se comete si usamos $d_{hp}$ en vez de $2 r_{eq}$ es muy pequeño:

$\boldsymbol{e_{rr}}=\dfrac{92.4^3-92.2^3}{92.2^3} < \boldsymbol{0.7\%}$

Saludos.

[Richard R Richard]

es que si yo tengo un universo particular de densidad exactamente igual a $\Omega =1.0012$ tengo un universo que es una 3-Esfera de R=417 Gal

En esa 3-esfera particular yo puedo trazar circunferencias, por ejemplo una circunferencia de longitud 1 metro. Otra de longitud 40000 km, otra de longitud 1 año luz, otra de longitud …

¿Hay algún límite al tamaño máximo de la circunferencia que yo puedo trazar en esta 3-esfera particular? Sí, el tamaño máximo es la longitud que recorre un rayo de luz que regresa al punto de partida después de dar la vuelta completa a la 3-esfera. La trayectoria circular de ese rayo de luz es una geodésica de la 3-esfera.

Todo esto que me dices ,no lo he debatido de modo alguno, pero tampoco es a lo que me refería, la circunferencia máxima que puedes trazar en ese espacio es la que me indicas,todo claro, nada más que decir al respecto, solo que creo no se ha comprendido la idea detrás de ese rango que propone experimento Planck.

El mínimo radio del que te hablo es el que determina justamente ese valor de curvatura,$|\Omega_k|=0.0012$ pues cuando tienes la máxima curvatura esférica, tienes el mínimo radio por ser una relación inversamente proporcional, todo hace pensar que si el error en la medida comienza a reducirse a futuro, incluso manteniendo el valor central, el radio necesario del universo crece , osea que hoy no tienes es un máximo , sino el minimo radio de universo y para ese universo de radio mínimo tu le calculaste la circunferencia de máximo radio que puede ser inscrita y lo sacas de los datos actuales.

Tienes que notar dentro de ese rango de medidas es posible tener a futuro el valor el mismo valor central 0.0007, pero si los instrumentos mejoran y son mas precisos al medir, se tiene una incertidumbre menor , o un error menor , como por ejemplo con $\pm 0.001$ en vez de $\pm0.0019$ achicas la barra del rango medidas y lo que obtienes es un universo mas plano, pues $|0.0007-0.001|=0.0003$ y tienes un universo exactamente un diámetro 4 veces mas grande, 4 veces el largo de circunferencia y 64 veces mas volumen. Por eso digo que es el mínimo radio que puede tener y aun pertenecer a la barra, con una curvatura mayor estas fuera de la barra, el máximo radio esta en el valor central de curvatura 0, que pertenece a la barra. Si los datos de hoy son coherentes con los de mañana y el valor de curvatura 0 continua dentro del rango seguiremos sin poder confirmar con cierto grado de seguridad que tipo de curvatura tiene el universo.

Reitero con 0.0012 es un valor extremo del rango donde el universo es lo más pequeño posible y a ese universo tu le calculaste la máxima circunferencia que puedes inscribir en él. Pero cuanto mas se acerque el valor central a 0 y la incertidumbre tienda a 0 , tanto mas grande es el radio del universo, es la misma situación que por analogía se puede aplicar a la masa medida del fotón, si tiene un valor que se acerca a 0, que esta dentro del rango de la barra, mas precisa hacemos la medida, mas pequeño el error, menor la masa limite que tiene el el fotón pretendemos llegue a cero, y en analogía de razonamiento tenemos menor curvatura, y a menor curvatura mayor radio.

Espero haberme aclarado.

Pd $\Omega$ es la densidad de curvatura pero $\Omega_k$ es la curvatura geométrica del espacio.... los valores centrados en 1 son los que refieren al dato del ratio de densidades, pero los centrados en 0 son los referidos a la geometria <0 esferica, 0 plana y >0 hiperbólica, los valores presentados por la Colaboración Planck son centrados en 0 es decir una medida de $\Omega_k$ no del ratio de densidades.

[Alriga]

A ver, el radio mínimo para que el universo sea 3-esférico es de $R=$ 417 Gal. Ahora bien, para ese universo en particular, hay una circunferencia máxima, o sea, un 'ecuador' con una longitud de $L = 2 \pi R$ = 2 621 Gal.

Correcto Jaime, es eso. Nota Richard que lo que estoy diciendo, es que si yo tengo un universo particular de densidad exactamente igual a $\Omega =1.0012$ tengo un universo que es una 3-Esfera de R=417 Gal

En esa 3-esfera particular yo puedo trazar circunferencias, por ejemplo una circunferencia de longitud 1 metro. Otra de longitud 40000 km, otra de longitud 1 año luz, otra de longitud …

¿Hay algún límite al tamaño máximo de la circunferencia que yo puedo trazar en esta 3-esfera particular? Sí, el tamaño máximo es la longitud que recorre un rayo de luz que regresa al punto de partida después de dar la vuelta completa a la 3-esfera. La trayectoria circular de ese rayo de luz es una geodésica de la 3-esfera.

Esa longitud según Weinberg es

$L=2 \pi R = 2 \pi \cdot 417 = 2621 \ Gal$

A esa circunferencia de longitud máxima posible en esa 3-esfera particular, se le llama circunferencia máxima.

Es igual que en la superficie de la Tierra. Tú puedes trazar circunferencias ¿del tamaño que quieras? No, la circunferencia de longitud máxima que puedes trazar es una de 40000 km. Por ejemplo, el ecuador y los meridianos son circunferencias máximas de la Tierra. Un paralelo distinto del paralelo cero=ecuador, por ejemplo el paralelo de latitud 60º, es una circunferencia, pero no es una circunferencia máxima de la Tierra. Si la superficie de la Tierra es una 2-esfera, las circunferencias máximas son las geodésicas.

Es únicamente en este sentido y no en otro en el que he utilizado la expresión “circunferencia máxima”

Saludos.

PD

...la curvatura esferica el ratio de densidad de curvatura no es mayor (en valor absoluto) a |0.0007-0.0019|=|-0.0012| con este dato sacas el radio mínimo, el máximo está dentro del rango cuando la curvatura tiende a 0...

Sí, eso es lo que he dicho ya antes en el hilo:

...Puntualizo que 417 Gal no es el radio del universo si este es esférico, 417 Gal es el valor mínimo posible con los datos que manejamos. Si realmente el universo es esférico, seguramente su radio no estará en el valor mínimo posible, lo normal es que sea mayor de 417 Gal, es decir que la curvatura real será probablemente menor que la correspondiente a ese radio mínimo posible...

[Richard R Richard]

Entiendo que apartir del cálculo de post #33 de Alriga La maxima curvatura en valor absoluto debe darnos el mínimo radio para esa circunferencia, no el máximo, si omega k tiende a cero se tiende a ser mas plano aumentando el radio, osea lo que obtienen es el mínimo radio.

[Jaime Rudas]

$R=\dfrac c{H_0} \cdot \dfrac 1{\sqrt{- \Omega_k}}$ = 417 Gal para el radio de ese universo 3-esférico

$L = 2 \pi R$ = 2 621 Gal para la longitud de la circunferencia máxima de ese universo 3-esférico

Perdona, ya me mareo más de la cuenta, porqué dices máxima,? no es acaso mínima? Cuando la densidad tienda a ser igual a la crítica no sería más plano el universo?
[...]
tenemos 68% de certeza que la curvatura esferica no es mayor (en valor absoluto) a |0.0007-0.0019|=|-0.0012| con este dato sacas el radio mínimo, el máximo está dentro del rango cuando la curvatura tiende a 0.

A ver, el radio mínimo para que el universo sea 3-esférico es de $R=$ 417 Gal. Ahora bien, para ese universo en particular, hay una circunferencia máxima, o sea, un 'ecuador' con una longitud de $L = 2 \pi R$ = 2 621 Gal.

[Richard R Richard]

, tendría una circunferencia máxima de 2621 Giga años-luz y un volumen de 1433486966 Gal cúbicos.


Saludos.

Perdona, ya me mareo más de la cuenta, porqué dices máxima,? no es acaso mínima? Cuando la densidad tienda a ser igual a la crítica no sería más plano el universo? ,pues más me acerco a 1 y más cuando más pequeño el error , más plano es ,
luego si acaso no fuera plano, $1-\Omega$ tendría un valor absoluto mayor al del error, por lo que el "cero" queda por fuera de las medidas posibles y se sabría con certeza que no es plano.

Más cerca de 1 mas grande la esfera, por lo tanto el radio debería ser más grande que un mínimo... En que falla ese razonamiento?

Los posibles juegos de $dato\pm error$ los entiendo de este modo

Pongo cuatro ejemplos anecdóticos



Para el caso A , tendríamos el 68% de probabilidades, si 0.006 representara 1 sigma, para estar dentro de la barra de la izquierda , es decir tendriamos ese grado de seguridad de estar en un universo con curvatura esférica, si seguimos una recta y olvidando adrede lo que ya sabemos sobre la expansión, llegaríamos alguna vez a vernos la nuca. La curvatura mínima (en valor absoluto) será para el extremo inferior de la barra, pero el radio mínimo estará en el extremo superior.

Para el caso D tendríamos el 68% de probabilidades, para estar dentro de la barra de la derecha , es decir tendriamos ese grado de seguridad de estar en un universo con curvatura hiperbólica, si seguimos una recta jamás llegaríamos alguna vez a vernos la nuca sin importar la curvatura que será mínima para el extremo superior de la barra. Más curvatura más rápido divergen dos rectas paralelas.

Para el B que podría pero no es el simil a los resultados presentados en el paper, hay más probabilidad de estar en un universo esférico que hiperbólico, puesto que la media de la curvatura es negativa, y no podemos descartar que pudiese ser plano. La curvatura mínima será para el límite acercandose al valor 0 en la escala de $\Omega_k$ y allí el radio del universo tenderá a infinito en el interior de la barra, pero el radio mínimo sigue estando en el extremo superior. La barra por debajo de nos dice la probabilidad que nos queda para una posible curvatura hiperbólica.

Para el C que es el simil a los resultados presentados en el paper, hay más probabilidad de estar en un universo hiperbólico que esférico, puesto que la media de la curvatura es positiva, y no podemos descartar que pudiese ser plano. La curvatura mínima será para el límite acercandose al valor 0 en la escala de $\Omega_k$ y allí el radio del universo tenderá a infinito en el interior de la barra, pero el radio mínimo continua estando en el extremo superior.

Es erronea mi interpretación? , reitero para mi , los datos presentados corresponden a un caso tipo C.

$\Omega_k=0.0007 \pm 0.0019$ (68%, TT,TE,EE+lowE+lensing+BAO).

The joint results suggests our Universe is spatially flat to a 1σ accuracy of 0.2 %

tenemos 68% de certeza que la curvatura esferica no es mayor (en valor absoluto) a |0.0007-0.0019|=|-0.0012| con este dato sacas el radio mínimo, el máximo está dentro del rango cuando la curvatura tiende a 0.

Saludos

[carroza]

Para mi, la forma ideal de entender espacios no euclideos es admirar a Escher. Busca, por ejemplo "escher angeles y demonios", y cuenta cuantos ángeles, o demonios, caben en un "circulo" de radio dos ángeles.

[carroza]

Bueno, la idea de tomar $\Omega$ para caracterizar la curvatura en lugar de $\Omega_k$ es para sacarle algún sentido a la expresión de que la desviación de la curvatura con respecto al caso plano es un 0.2 %.

Si usamos el concepto de $\Omega_k$ , que es cero en el caso plano, no hay manera de definir porcentajes.

[Richard R Richard]

¿Alguien sabe cómo se calcula el volumen de una esfera en un espacio curvo?

Te comento para que te orientes sobre que buscar.
Recuerdas que cuando integras en tres dimensiones en coordenadas esféricas multiplicas por un jacobiano $(\rho^2 sin\theta)$, es decir el resultado de operar con una matriz de transformacion entre el coordenadas cartesianas y las esfericas?
Bueno, de modo similar ese jaobiano se construye con calculos sobre la metrica del espacio tiempo, hallas el analogo al volumen cartesiano en otras coordenadas... lo he leido pocas veces para recordarlo a la primera sin buscar nada en libros,
https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz...nte_jacobianos

Aplicaciones de la matriz Jacobiana


La matriz Jacobiana establece una relación entre dos sistemas de referencia (espacios vectoriales), de manera que mediante una transformación (el jacobiano o matriz jacobiana), se pueda expresar un vector de un primer sistema, a otro sistema. Algo así como un traductor de un espacio vectorial a otro.

o mira en https://es.wikipedia.org/wiki/Tensor...gulo_y_volumen

[Jaime Rudas]

El volumen del universo observable es el del interior de la 2-Esfera centrada en nosotros de radio 46.2 Gal

$V_{hp}=\dfrac 43 \pi (HP)^3=413061 \ Gal^3$

La relación de tamaños entre este universo 3-esférico total y el universo observable es:

$\dfrac V{V_{hp}}=3470$

Dándole una vuelta más a la tuerca, me hacen caer en cuenta de que el volumen de una esfera de radio R en un espacio de curvatura positiva es menor que el volumen de una esfera de radio R en un espacio de curvatura nula y, dado que el radio de curvatura del universo que estamos analizando es apenas 9 veces el radio del universo observable, supongo que la diferencia debe ser apreciable. ¿Alguien sabe cómo se calcula el volumen de una esfera en un espacio curvo?

[Alriga]

...Saludos, para entender el hilo debo preguntar,...

Hola javisot20 perdona, me había olvidado de ti. Resolviendo las Ecuaciones de Campo de la Relatividad General con las condiciones de que todo el universo sea a gran escala homogéneo e isótropo se obtiene como solución:

1. Que el universo todo, debe estar en expansión o contracción
2. Y que el universo todo, debe ser geométricamente de una de estas 3 maneras

• Hiperbólico $\Omega < 1$ Dos rayos de luz que parten inicialmente paralelos se irían separando al avanzar grandes distancias, como las geodésicas de un paraboloide hiperbólico. El universo hiperbólico en su topología sencilla, es infinito en tamaño.
• Plano. $\Omega = 1$ Dos rayos de luz que parten inicialmente paralelos mantendrán siempre la misma separación al avanzar grandes distancias, como dos rectas paralelas en un plano. El universo plano en su topología sencilla, es infinito en tamaño.
• Esférico. $\Omega > 1$ Dos rayos de luz que parten inicialmente paralelos van disminuyendo su separación al avanzar grandes distancias y finalmente se cortan, como dos meridianos que parten paralelos del ecuador, pero se cortan en el polo de una esfera. El universo esférico en su topología sencilla, es finito en tamaño.

El parámetro $\Omega =\dfrac{\rho}{\rho_c}$ es el cociente entre la densidad real del universo y una densidad llamada “crítica”. La densidad del universo solo podemos medirla dentro del universo observable, pero por la premisa de homogeneidad e isotropía, la densidad será la misma en el universo observable que en el universo completo.

Si midiésemos la densidad del universo y nos saliese que es mayor que la crítica, por ejemplo, nos saliese $\Omega= 1.0012$ sabríamos que el universo es esférico y por lo tanto finito. Entonces es lícito preguntarse ¿Cuán grande es? Y de eso va el hilo. Si miras el post#33 verás que, si esa fuese la densidad, tendría una circunferencia máxima de 2621 Giga años-luz y un volumen de 1433486966 Gal cúbicos.

Pero como esos números tal cual son muy fríos, los comparamos con el tamaño del universo observable, es eso, una simple comparación. Como el diámetro del universo observable es 92.4 Gal, si miras el post#24 del hilo verás que lo que sale es que la circunferencia del universo completo sería 28.4 veces el diámetro del universo observable y el volumen 3470 veces el del universo observable.

Saludos.

[Weip]

Sobre el análisis en sí coincido contigo, no he sacado la calculadora para comprobar los números pero vamos que no he participado antes en el hilo porque estoy de acuerdo con lo dicho. Aunque he podido comprobar que de estadística voy un poco mal.

[Alriga]

Este cambio de lenguaje que propones es peligroso porque $\Omega_k$ es proporcional al parámetro de curvatura $k$ que sale en la métrica FLRW...

Gracias por comentar Weip , tienes razón no he estado acertado al decir "si llamamos K a la curvatura del universo se cumple" $K=\dfrac{H_0}c \ \sqrt{-\Omega_k}$

Por otro lado puntualizar, que la "k" que sale en la expresión del enlace que adjuntas:

$\Omega_k = - \dfrac{k c^2}{H_0^2 R^2}$

Para un universo esférico es la curvatura adimensional normalizada de la métrica, que toma el valor $k=+1$

$\Omega_k = - \dfrac{1 \cdot c^2}{H_0^2 R^2}$

Y despejando R se obtiene la expresión que hemos estado manejando en todo el hilo:

$R=\dfrac c{H_0} \cdot \dfrac 1{\sqrt{- \Omega_k}}$

...Tal cual has definido $K$ no se puede interpretar como una curvatura de ninguna forma y creo podría ser una fuente de confusión para vuestro debate...

Entiendo que sí se puede interpretar como una curvatura, es la curvatura de la circunferencia máxima del universo 3-esférico de radio R

$L_{cir}=2 \pi R$

$K_{cir}=\dfrac 1 R$

De todas maneras, esta $K_{cir}$ si no gusta es obviable, olvidémoslo, lo que a mi me parece importante es el resultado de los cálculos del post#24 en donde se deduce que, si partimos de que la constante de Hubble es $H_0=67.66$ (km/s)/Mpc y el ratio de densidad de curvatura es $\Omega_k=-0.0012$ se obtiene:

$R=\dfrac c{H_0} \cdot \dfrac 1{\sqrt{- \Omega_k}}$ = 417 Gal para el radio de ese universo 3-esférico

$L = 2 \pi R$ = 2 621 Gal para la longitud de la circunferencia máxima de ese universo 3-esférico

$V=2 \pi^2 R^3$ = 1 433 486 966 $Gal^3$ para el volumen de ese universo 3-esférico

Espero que esto esté bien, saludos.