Consulta sobre principio de Hamilton y caída libre

[inakigarber]

Buenas noches;

Me he encontrado con la siguiente definición del Principio de Hamilton que me causa problemas, supongo que a causa de mi ignorancia;

“De todos los caminos posibles a lo largo de los cuales se puede mover un sistema físico de un punto a otro dentro de un intervalo especificado de tiempo, el camino que será recorrido es aquél que minimiza la integral de tiempo de la diferencia entre las energías cinética y potencial del sistema.”

El problema me viene cuando pienso en un objeto en caída libre como podría ser una piedra que acabo de soltar, un planeta en órbita o un objeto en un tiro balístico. El objeto que está en caída libre está en la ingravidez. Estar en la ingravidez es el equivalente a estar muy alejado de un pozo de gravedad y la métrica de Schwarszchild nos dice que el tiempo transcurre más rápido en la ingravidez. Luego los objetos en caída libre envejecen más rápido que los que no están en caída libre. Si no estoy equivocado en el caso de la caída libre el objeto en caída libre experimenta el mayor tiempo posible, lo cual supone una contradicción aparente con el texto subrayado.

¿Cómo podría explicarse esto?

Saludos.

[Weip]

Hola inakigarber.

Recordar que el principio de mínima acción es un simple nombre. El principio real lo que te dice es que la acción debe ser estacionaria, esto es, que tenga derivada (funcional) igual a cero en la trayectoria física del sistema. Esto es equivalente a decir que se cumplen las ecuaciones del movimiento. Por tanto, la acción no tiene porqué ser mínima en la trayectoria física del sistema. De hecho en relatividad necesariamente la acción debe ser máxima. También servirían puntos de silla por ejemplo, no son ni máximos ni mínimos, pero la acción tendrá derivada cero en ese punto de silla. Por eso en algun texto podrás ver el nombre de "principio de la acción estacionaria" o "principio de acción extremal" en vez del más popular "principio de mínima acción". Depende un poco del libro.

[Alriga]

Me ha costado encontrarlo, pero recordaba que se había comentado en algún hilo anterior que en Relatividad "las geodésicas maximizan el tiempo propio", mira este hilo ¿Es la geodésica la distancia más corta posible en el espaciotiempo?

Saludos.

[carroza]

“De todos los caminos posibles a lo largo de los cuales se puede mover un sistema físico de un punto a otro dentro de un intervalo especificado de tiempo, el camino que será recorrido es aquél que minimiza la integral de tiempo de la diferencia entre las energías cinética y potencial del sistema.”

La integral "de tiempo" a la que aqui se refiere no es la integral que da lugar a un tiempo, sino la integral del lagrangiano por diferencial de t, para la hipotética trayectoria posible. Esto es lo que da la acción, que debe ser extremal (mínima, en la gran mayoría de los casos, en las que las trayectorias no están acotadas). Por tanto, esto no está relacionado con situaciones en las que el tiempopropio sea más o menos grande.
Entiendo que la expresión "integral de tiempo" es poco afortunada.

saludos

[inakigarber]

Me ha costado encontrarlo, pero recordaba que se había comentado en algún hilo anterior que en Relatividad "las geodésicas maximizan el tiempo propio", mira este hilo ¿Es la geodésica la distancia más corta posible en el espaciotiempo?

Saludos.

Sin duda, el hilo que abrí hace unos dos años no me quedó todo lo claro que quería y como un viejo fantasma ha vuelto a resurgir.

[inakigarber]

Buenas noches;

Creo que sigo tan atascado como dos años atrás. La comparación más clara que me sale, por decir algo, es que un objeto en caída libre así como un objeto en un tiro parabólico ambos se encuentran en la ingravidez. Encontrarse en la ingravidez sería el equivalente a estar lejos de un pozo de potencial gravitatorio y según la métrica de Schwarszchild el observador lejano al pozo comprobará que su tiempo fluye más rápido que aquel que se encuentra próximo al pozo de potencial gravitatorio. ¿es esta una forma correcta de encarar este problema?

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Hola, iñaki, creo que confundes el principio de mínima acción ,con los tiempos observados de un sistema que se mueve cumpliendo dicho principio.

https://es.wikipedia.org/wiki/Princi...ma_acci%C3%B3n

De todas las trayectorias posibles que puedas imaginarte que pueda realizar un cuerpo que se mueve en un espacio tiempo, la trayectoria que seguirá (la que observes) es la que minimiza la acción. ¿Que es acción ?,la integral de los lagrangianos (energías y potenciales) entre dos tiempos dados. Reitero la trayectoria que cursa es la que minimizó la acción. Luego si eres un observador solidario a ese objeto el tiempo propio transcurre mas rápido, que si lo mide un observador externo. Pero son cosas diferentes.

Ejemplo
Si en la métrica de Schwarzchild partes con velocidad nula desde un punto a una distancia mayor a RS, caerás en línea recta hacia el objeto que curva el espacio tiempo, y si tienes algo de velocidad la trayectoria obtenida depende de la dirección y sentido de la velocidad inicial. La órbita que realice ese objeto en caída libre,(la recta o cualquier otra órbita) ha cumplido con el principio de mínima acción, la integral de esos lagrangianos sobre dicha trayectoria fue el resultado mínimo de todos los otros posibles siguiendo cualquier otra trayectoria que imagines, ese es el principio de Hamilton.

Y por otro lado cualquier observador solidario a uno de estos objetos en caída libre registra que su tiempo transcurre mas rápido , que lo que pueden registrar otros observadores, tanto estáticos como con movimiento relativo en ese espaciotiempo. Es decir los observadores externos ven el tiempo del que cae pasar mas lento y ven pasar mas rápido el tiempo propio, como no podía ser de otra manera.

Esa es la forma en que entiendo el tema , no están relacionados tan directamente.

[inakigarber]

Muchas gracias por tú explicación y perdón por la tardanza en responder, otras cuestiones personales han desviado mi atención.

Hola, iñaki, creo que confundes el principio de mínima acción ,con los tiempos observados de un sistema que se mueve cumpliendo dicho principio.

https://es.wikipedia.org/wiki/Princi...ma_acci%C3%B3n

De todas las trayectorias posibles que puedas imaginarte que pueda realizar un cuerpo que se mueve en un espacio tiempo, la trayectoria que seguirá (la que observes) es la que minimiza la acción. ¿Que es acción ?,la integral de los lagrangianos (energías y potenciales) entre dos tiempos dados. Reitero la trayectoria que cursa es la que minimizó la acción. Luego si eres un observador solidario a ese objeto el tiempo propio transcurre mas rápido, que si lo mide un observador externo. Pero son cosas diferentes.

Si, sin duda creo que aun estoy confundido. Las dudas que motivaron mi pregunta vinieron a partir de empezar a leer el siguiente blog (con el que aún continuo). Por lo que deduzco, el concepto de Lagrangiano se relacionaría (al menos en la mecánica clásica) con la conservación de las energías potencial y cinética. En mecánica clásica y despreciando otro tipo de interacciones como el rozamiento sería una cantidad invariante. El principio de Hamilton entiendo que vendría a decirnos que un objeto en caída libre recorrería una trayectoria tal que en el intervalo de tiempos entre $t_1$ y $t_2$ la integral definida de dicho Lagrangiano (en este caso la suma de energías potencial y cinética ambas definidas con respecto al tiempo) tenga el menor valor posible.

¿Es esto correcto?

Saludos.

[Weip]

Pequeño comentario: Normalmente, el lagrangiano es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial, no la suma. Luego hay sistemas en los que no es así, pero en todo caso, es la diferencia. La suma sería, normalmente, el hamiltoniano.

[Richard R Richard]

.

¿Es esto correcto?

Saludos.

Correcto, eso determina la trayectoria seguida por un objeto y su observador en reposo. .
Ahora tienes que ver que pasa con los tiempos propios del observador en reposo, solidario a este movimiento , con el tiempo medido con cualquier otro observador,
que puede estar estático, con movimiento acelerado incluso en caida libre muy cerca o muy lejos en el espacio con aguna velocidad relativa,tambien más cerca o más lejos de la masa que gravita.
Cada escenario puede o no darte las mismas conclusiones sobre cual tiempo discurre más rápido.

Espera la confirmación o refutación de otros que han participado, mi relación con la relatividad es autodidacta, y puedo pasarme cosas por alto o no haberlas entendido correctamente nunca.

[inakigarber]

#8.1
Weip comentado
02/04/2023, 19:47:49
Pequeño comentario: Normalmente, el lagrangiano es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial, no la suma. Luego hay sistemas en los que no es así, pero en todo caso, es la diferencia. La suma sería, normalmente, el hamiltoniano.

Creo que este concepto, debido a mi formación autodidacta en física no lo tenía muy claro. Veamos un ejemplo, a ver si lo tengo claro.

Supongamos que dejo caer un objeto de masa $m=10Kg$ desde una altura $h=50m$ con una velocidad inicial $v_i=0m/seg$ con una aceleración de la gravedad $g=9.81m/seg^2$. Consideremos a) el instante inicial, b) a mitad de su caída y c) el momento final.

A) $E_k=0$, $U=mgh=10*9.81*50=4905J$
Lagrangiano; $L=E_k-U=-4905$
Hamiltoniano; $H=E_k+U=4905$

B) Cuando el objeto está a mitad de su caída;
$U=10*9.81*25=2452,5J$

Energía cinética;
Como la velocidad final de caída es $v=\sqrt{2gh}$ (donde h es la altura que ya ha caído el objeto), tendremos que la energía cinética para esa caida será;
$\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{m2gh}{2}=mgh=2452,5$, lo cual es lógico ya que la energía se conserva. Tendremos entonces que;

Lagrangiano; $L=E_k-U=2452,5-2452,5=0$
Hamiltoniano; $H=E_k+U=2452,5+2452,5=4905$

C) En este caso el objeto ha caído toda su altura y toda su energía será cinética, por tanto tendremos;

Lagrangiano; $L=E_k-U=4905-0=4905$
Hamiltoniano; $H=E_k+U=4905+0=4905$

De manera que tendría que el Lagrangiano va aumentando de valor mientras que el Hamiltoniano permanece constante. ¿Es esto así?