Velocidad de la luz para observadores no inerciales

[Weip]

Hola de nuevo.

Debo decir que mi objetivo inicial era imaginarme un observador en el espacio, como una persona que viaja en su pequeña nave espacial, con sus aparatos para medir la velocidad de la luz que le llega. Esta persona puede acelerar o frenar la nave, irse a zonas del espacio en las que la gravedad es despreciable, y también someterse a gravedades intensas, entrando en la proximidad de agujeros negros.

Por recuperar el tema principal del hilo, mi argumentación es que estás en lo correcto, siempre y cuando se hagan medidas locales. Ya que Richard ha dado con un hilo donde pod explica lo mismo pero con otras palabras y un ejemplo más general, pongo otra vez el link para que no se pierda con tanto mensaje. La conclusión final a la que llegas en ese hilo en la página 2 yo la comparto.

Las coordenadas de Rindler mencionadas por Weip a las que nos referimos no parecen contener ninguna aceleración. Quizás nos puedas dar una referencia adicional.

Lo comentó guibix pero en todo caso la wikipedia española elimina la aceleración de las ecuaciones haciéndola $1$. Como es constante siempre podemos hacerlo, como cuando tenemos una masa y hacemos $m=1$ para no preocuparnos de constantes. Lo dije de palabra pero no puse link así que aprovecho para poner la referencia a la wikipedia inglesa, que recupera la aceleración propia en todas las ecuaciones.

Entiendo que uses unidades naturales, en la que X y T tienen las mismas dimensiones (digamos distancias), con lo que c es adimensional. No obstante, cuando defines la coordenada x como $\mbox{arctanh} (X/T)$, mientras que t es $\sqrt{T^2 - X^2}$, entonces x es adimensional, mientras que t tiene dimensiones de longitud, con lo que $\tilde c$ tendria dimesniones de 1/distancia. Esto me resulta preocupante, si queremos entender la relación de c con $\tilde c$. Quizás la cuestión es expresar una métrica de Rindler, en la que aparece explíctamente una aceleración. Agradecería mucho alguna aclaración en ese sentido.

Al revés, la arcotangente es $t$ y la raíz es $x$. Pero bueno eso no es importante, la cuestión es que, recuperando la aceleración suprimida por la wikipedia española (que quizás es la causa de la confusión) y usando unidades naturales, $X$ y $T$ se miden en inverso de energía $1/E$. Como resultado $x$ se mide en $1/E$. Para $t$ la arcotangente queda adimensional, pero como tiene inverso de aceleración multiplicando, la aceleración se mide en $E$, por tanto $t$ se mide en unidades de $1/E$ también. Conclusión, $x, t$ se miden en las mismas unidades que $X, T$ y por tanto $c$ y $\tilde{c}$ son adimensionales. En todo caso también comenté que si no queremos líos con unidades podemos quedarnos con unidades del sistema internacional. Entonces $\tilde{c}=|gx|/c$ tiene unidades de velocidad: $(m/s^ 2) m / (m/s)=(m/s)^2/(m/s)=m/s$. Espero que no haya despistado en exceso el tema de las unidades.

[carroza]

Ok, Gracias, Weip, por las aclaraciones sobre el sistema acelerado y por recordar el hilo de hace 10 años!

Creo que ya me queda claro el sistema de Rindler y su relevancia para el sistema con aceleración uniforme. En cualquier caso, entiendo que estamos de acuerdo en que la velocidad física, que mediría un observador, local, para medir la luz que le llega es siempre $c$. La expresión $\tilde c = |g x|/c$, es el cociente entre la variación de una coordenada x y la de una cierta coordendada t, que no tienen por qué ser las distanctas medidas con una regla y los tiempos con un cronómetro. Por tanto, es una "velocidad", pero no es la velocidad física que infeririamos, por ejemplo, de multiplicar la longitud de onda por la frecuencia.

Un saludo

[carroza]

Muchas gracias, guibix .

Voy a usar tus fórmulas, para poner números concretos , y de paso teatralizar un poco el hilo.

El intrépido astronauta Azorrac ha construido una nave que proporciona una aceleración constante $g = 9.8 m/s^2$. Con dicha nave Arrozac dice al afamado experto en relatividad Xibiug:
"Viajando en mi nave, cómodamente ya que sentirá una gravedad aparente igual que la de la tierra, podré alcanzar la velocidad de la luz en un tiempo $\tau = c/g$ de aproximadamente 0,97 años."

Xibiug responde pacientemente: "Bueno, la velocidad de la luz no la podrás alcanzar. Yo calculo que, cuando pasen 0,97 años (c/g) para tí, es decir, para tu tiempo propio, para mí habrán transcurrido un tiempo $t = c/g \sinh(1)$, o sea de 1,14 años , y estarás a una distancia a de mí $x = c^2/g (\cosh(1)-1)$, o sea de 0,527 años-luz. En ese punto, te estará moviendo a una velocidad $v = \tanh(1) c = 0.761 c$"

Azorrac responde: "Vale, vale. Pero entones, dada mi aceleración, podré ver como se viola la relatividad especial, y mediré velocidades de la luz diferentes de c con mi espectrómetro que tengo a bordo.

Xibiug responde: "Eso no está nada claro. Si quieres, para probarlo, te enviaré un pulso de luz, de manera que te alcance precisamente dentro de 1.14 años, para mí, cuando estés precisamente a 0,527 años luz. Así, puedes medir la velocidad de mi pulso desde tu nave, y me das tus resultados.

En ese momento, pasa por allí y escucha la conversación el astronauta Piew, que tiene una nave idéntica a la de Azorrac, Piex dice "Si no os importa, yo voy a salir un poco antes, voy a acelerar mi nave, de forma que pararé mis motores, para estar a una velocidad constante de 0,761 c, en el punto con posición 0,527 años luz desde Xibiug, y en elinstante 1,14 años, medido por Xibiug. Mediré la velocidad del pulso de luz que envía Xibiug,


Conforme Azorrac, 0,97 años después (para el), se va acercando al punto acordado, a una velocidad que (para Xibiug) se acerca a 0,761 c, pero está por debajo. El está comodamente sentado en su sillón, experimentando una gravedad g.

Puntual a la cita, ve acercarse por detrás a Peiw, que va a velocidad constante de 0,761 c (para Xibiug). Piew está flotando en su nave, ya que está en "caida libre", Cuando llega el instante acordado, ambos están a la misma distancia 0,527 años-luz, ambos a la misma velocidad, 0,761 c, y ambos reciben el pulso de luz que les envió Xibiug.

Ambos miden la velocidad de dicho pulso, y continuan su viaje. Peiw a velocidad constante, 0,761 c , y Arrozac acelerando, ya a velocidades mayores a 0,761 c , con lo que ve cómo Piew vuelve a quedarse atrás.

¿Qué velocidad de la luz mide Piew? ¿Qué velocidad de la luz mide Azorrac?

Un saludos

[Richard R Richard]

Azorrac tiene que alcanzar a Peiw, así que lo ve llegar por delante , lo pasa justo a los 0.97 años de Arrozac y luego lo deja atrás.No?

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Mi apuesta
Xibuig envió el pulso a $c$.
Piew lo mide y le da $c$.
Azorrac lo mide y le da menos de $c$...
si Azorrac tiene dos relojes separados 1 m en la línea de viaje los pulsos le llegan con $1/c$ de diferencia de tiempos.

Voy por palomitas.

[javisot20]

Azorrac responde: "Vale, vale. Pero entones, dada mi aceleración, podré ver como se viola la relatividad especial, y mediré velocidades de la luz diferentes de c con mi espectrómetro que tengo a bordo.
Un saludos

La aceleración de Azorrac hemos dicho que es constante, por tanto,

Xibiug responde: "Eso no está nada claro. Si quieres, para probarlo, te enviaré un pulso de luz, de manera que te alcance precisamente dentro de 1.14 años, para mí, cuando estés precisamente a 0,527 años luz. Así, puedes medir la velocidad de mi pulso desde tu nave, y me das tus resultados.

"y me das tus resultados" no quiere decir instantáneamente, Azorrac deberá emitir la información del resultado de vuelta, lo que le tomará un tiempo.

En ese momento, pasa por allí y escucha la conversación el astronauta Piew, que tiene una nave idéntica a la de Azorrac, Piex dice "Si no os importa, yo voy a salir un poco antes, voy a acelerar mi nave, de forma que pararé mis motores, para estar a una velocidad constante de 0,761 c, en el punto con posición 0,527 años luz desde Xibiug, y en elinstante 1,14 años, medido por Xibiug. Mediré la velocidad del pulso de luz que envía Xibiug,
Un saludos

En el instante que Piew y Azorrac tiene las mismas condiciones son observadores equivalentes, Piew y Azorrac confirman la misma velocidad de la luz.

[guibix]

carroza Primero de todo felicidades por la dramatización, Me ha traído viejos recuerdos de nuestros debates.

Piex dice "Si no os importa, yo voy a salir un poco antes, voy a acelerar mi nave, de forma que pararé mis motores, para estar a una velocidad constante de 0,761 c, en el punto con posición 0,527 años luz desde Xibiug, y en elinstante 1,14 años, medido por Xibiug. Mediré la velocidad del pulso de luz que envía Xibiug,

Entiendo que Piex es un SRI a 0,761c del de Xibiug y que acelera “instantáneamente”. ¿No debería salir después de Azorrac para atraparlo justo cuando Azorrac alcanza 0,761c?

Azorrac responde: "Vale, vale. Pero entones, dada mi aceleración, podré ver como se viola la relatividad especial, y mediré velocidades de la luz diferentes de c con mi espectrómetro que tengo a bordo.

Si Azorrac quiere medir variaciones de $c$ es que usa coordenadas de Rindler o similares. En tal caso, con la medida del pulso hay que hacer las trasformaciones apropiadas.

Azorrac sabe donde esta en el SRI de Xibiug, por lo tanto sabe qué marcaba del reloj de Xibiug en el momento que lanzó el pulso. Pero el tema está en qué momento ocurre esto para Azorrac. Si usa coordenadas de Rindler debe centrarlas a $-c^2/a$, mirar en qué ángulo hiperbólico sale el pulso y tendrás el tiempo propio en el que Azorrac mide como simultaneo al evento. Luego se tiene que medir la distancia propia a Xibuig que será la que había en el momento $\tau,$ el momento de lanzar el pulso. Esa distancia sería la del SRI asociado al SRA en aquel momento.

No me he puesto a hacer las cuentas aún pero me jugaría un guisante a que mide una $c$ inferior. Y Piex mediria exactametne la $c$ de toda la vida.


Es cierto que parece extraño usar esas coordenadas pero si te paras a pensar, aquí en la Tierra vivimos y medimos dentro de un sistema de referencia acelerado. Medimos distancias y tiempos mientras sufrimos aceleración constante.

En un primer orden de aproximación (campo uniforme plano), la RG te dirá que existen unas coordenadas donde la caída libre está en reposo y todo se explica con un solo SRI sin gravedad donde todo sigue trayectorias aceleradas con la misma aceleración constante.

El principio de equivalencia nos permite pasar de coordenadas de Minkovski a coordenadas de Rindler y veceversa. Si bien es más "realista" tomar las de Minkowski como las buenas no es práctico para los que vivimos en aceleración constante.

Las coordenadas de Rindler son la solución de la RG para un sistema de coordenadas en reposo con un campo gravitatorio uniforme y plano. Y es también el primer orden de aproximación de las coordenadas de Schwarzschild centradas en el horizonte de sucesos.

Actualmente se usa en modelos de gravedad cuántica, ya que para un sistema acelerado existe una radiación hawking asociada y supongo que ayuda a simplificar cálculos para observadores muy cercanos al horizonte y en reposo.

También se usan para estudiar colisiones de agujeros negros. Para aproximar como un agujero negro super mini colisiona con uno super gigante para un observador en reposo y muy cercano al grande.

Voy a usar tus fórmulas, para poner números concretos, y de paso teatralizar un poco el hilo.

Si te gusta jugar con estas expresiones intenta aplicar las generales con la ecuación de cohetes de Tsiolkovsky

$$\Delta v=u\log\frac{m_0}{m}$$

y lo pasas a

$$\Delta\theta=u\log\frac{m_0}{m}$$

En ese caso, $u$ (velocidad de expulsión) está restringido a $c$ pero $c$ está incluido. Si $u=c$ es la solución con un cohete 100% eficiente, el mejor que puede ofrecer la RE.

Solo con esta solución puedes sacar un montón de información. Puedes buscar cosas como la relación entre potencia y aceleración, índice de eficiencia con respecto de $u$ o buscar como es la derivada de la masa expulsada respecto del tiempo propio para mantener una aceleración constante, etc.

Es divertido comprobar que un cohete 100% eficiente de 1kg que quisiera generar una g, necesitaría liberar una potencia de $3*10^9W.$ Pensad bien a qué potencia apuntáis al suelo cuando despeguéis.


PD in: Xibug diría a Azorrac y a Piex algo que deberían saber:

"Para que sus naves de masa $m$ generen un impulso para lograr una aceleración $\alpha$ los propulsores deberían liberar una potencia de"

$$P=\dfrac{\mu mc^2}{u}$$

"Siendo $\mu=1-\sqrt{1-u^2/c^2}$ la eficiencia del cohete. Aseguraos de saber a qué potencia disparáis a qué cosas con vuestros cohetes.
Cuanto más eficiente el cohete, más destructivo es. Parece contradictorio pero no lo es."

PD out


Lo de “meter” las soluciones para $v$ de Newton tratadas como ángulos hiperbólicos $\theta$ permite afrontar problemas que no nos atreveríamos a afrontar de otra manera. Y sorprende la de soluciones analíticas y elegantes que salen al probar funciones básicas para $\theta(\tau).$ Pero evidentemente solo sirve para una dimensión espacial. Se pueden añadir las demás pero es un poco complicado y debería repasarlo.

El espacio de cuadrivelocidades $U^\mu$ es un hiperplano hiperbólico. Lo que mide un SRI es una proyección de Klein de ese hiperplano y por eso vemos el límite de $c$ (el círculo exterior de la proyección). Pero dentro del hiperplano c es infinito y uno puede moverse tanto como quiera en la dirección que quiera.

Todos los efectos relativistas que conocemos en RE son debidos a que cada SR mide una proyección de Klein distinta del mismo hiperplano. Además, como cada observador está siempre en el centro de la proyección y nada de lo que haga lo sacará de allí, entonces su “física propia” es la de Newton. Dicho de otra manera: ningún observador sentirá nunca ningún efecto relativista sobre si mismo y la transformación de Lorentz sobre si mismo de dará siempre las soluciones de Newton.

Al final, el hiperplano es el objeto invariante de Lorenz y es en lo que todos deberíamos estar de acuerdo el sistema de coordenadas que elijas solo cambiará la forma de proyectar de manera cartesiana lo que ocurre en un espacio hiperbólico.

Tema muy interesante y que da para mucho, desde luego.
Un saludo!

[javisot20]

[USER="508"]
Entiendo que Piex es un SRI a 0,761c del de Xibiug y que acelera “instantáneamente”. ¿No debería salir después de Azorrac para atraparlo justo cuando Azorrac alcanza 0,761c?

Saludos Guibix, igual lo he entendido mal, Carroza dice que:

-Xibuig es un observador estático.

-Peiw, que se encuentra con Xibuig, acelera de manera constante en una dirección con aceleración menor que la resultante en la superficie del planera tierra.

-Un tiempo después, sale Azorrac con un aceleración constante igual a la de la gravedad en la superficie terrestre, en la misma dirección que Piew.

-Xibuig hace unos cálculos desde su punto de vista de observador estático y lanza un pulso de manera que, según él, Azorrac y Piew reciben el pulso a la vez.


¿Es correcto?, (Carroza no lo dijo exactamente así, primero mencionó a Azorrac, pero el primero que se mueve es Piew que salió antes)

[carroza]

Hola.

Gracias a todos los que habeis participado en este juego.

Alguna aclaración: Xiep alcanza a Azorrac, ya que tiene, antes del punto de encuentro, una velocidad constante más alta que la de Azorrac. Hay muchas formas de llegar a esta situación, sin tener que recurrir a cosas no físicas como una aceleración instantanea. Xiep puede comenzar elk viaje más tarde, y acelerar más rápido (digamos 2g), o bien comenzar el viaje antes, pero desde un puntos más atrasado, para alcanzar a Arrozac con velocidad constante en el punto indicado.

Para fijar ideas, consideremos que Xiep y Arrozac son astronautas, y saben usar sus aparatos, locales en la nave, para medir la velocidad de la luz. En concreto, ambos tienen una red de interferencia, que les permite medir la longitud de onda de la radiación que les manda Xibiug , y un osciloscopio, que les permite medir la frecuencia. El producto de longitud de onda y fecuencia da la velocidad de la luz. A la pregunta de si usan coordenadas de Rindler, ambos contestarían: Queee? O sea, que Xiep y Arrozac no saben nada de relatividad general, pero saben usar sus aparatos.

Finalmente, a la hora de contrastar sus resultados, ambos miden, ambos obtienen su velocidad de la luz, ambos la escriben en un papel, y ambos la comparten con Xibiug , por el método que consideren más oportuno.

Por ahora, tenemos que javisot20 opina que ambas velocidades son C, mientras que Richard R Richard y guibix opinan que Xiep mide una velocidad más alta que Arrozac. Weip , que oponas? Y podremos tener la opinión de pod 10 años más tarde?

Un saludo

[guibix]

Hola.
Para fijar ideas, consideremos que Xiep y Arrozac son astronautas, y saben usar sus aparatos, locales en la nave, para medir la velocidad de la luz. En concreto, ambos tienen una red de interferencia, que les permite medir la longitud de onda de la radiación que les manda Xibiug , y un osciloscopio, que les permite medir la frecuencia. El producto de longitud de onda y fecuencia da la velocidad de la luz. A la pregunta de si usan coordenadas de Rindler, ambos contestarían: Queee? O sea, que Xiep y Arrozac no saben nada de relatividad general, pero saben usar sus aparatos.

Pero esa medida de velocidad es local. Localmente, todos los observadores inerciales o no, miden la misma velocidad para c. Los diferentes valores para la medida de c surgen cuando intentamos trazar la trayectoria de la luz lejos del observador que use coordenadas "aceleradas". Ese observador describe las trayectorias de la luz como curvas y por lo tanto mide distintos valores de c para distintos puntos de su sistema de coordenadas..

[carroza]

Ok. Richard R Richard, algo que matizar?

[Richard R Richard]

Hola, Rindler me tiene entre las cuerdas, no he desistido pero la voy asimilando por otro lado integrando a la vieja usansa como proponías en el otro hilo, no he llegado a tus 0.527c (si tienes tiempo pon el cálculo ), así que por ahora sigo siendo todo oídos. en concreto quiero extraer ideas , para confirmar o no si dos eventos conectados causalmente a velocidad local c en la localía de Xibiug , el ratio entre distancia medida y tiempo medido para esos mismos eventos es o no igual a c, para Arrozac, que es la duda que entiendo todos tenemos.

[carroza]

Pero esa medida de velocidad es local. Localmente, todos los observadores inerciales o no, miden la misma velocidad para c. Los diferentes valores para la medida de c surgen cuando intentamos trazar la trayectoria de la luz lejos del observador que use coordenadas "aceleradas". Ese observador describe las trayectorias de la luz como curvas y por lo tanto mide distintos valores de c para distintos puntos de su sistema de coordenadas..

Ok. Continuamos la historia introduciendo a observadores no locales

Xibiug, como observador no local del suceso en el que el pulso de luz llega a la posición en la que están Arrozac y Xeip, deduce, una vez que le llegan las imágenes del suceso, que la velocidad del pulso de luz es: (a)
Por otro lado, la velocidad que determina para Xiep es (b). La velocidad de Arrozac es (d), La velocidad relativa del pulso de luz con respecto a Xiep es (e), y la velocidad relativa de la luz con respecto a Arrozac es (f).

Adelantándome a que concluyamos que (a), (e) y (f) sean c, ya que Xibiug estla en un sistema inercial, consideremos también el caso en que Xibuig tenga un primo llamado Tosivaj, que se monta en una nave, con aceleración g, y que está a la misma velocidad y en la misma posición que Xibiug en el momento en el que este hace las medidas.

Tosivaj, como observador no local, y no inercial, del suceso en el que el pulso de luz llega a la posición en la que están Arrozac y Xeip, deduce, una vez que le llega las imágenes del proceso, que la velocidad del pulso de luz es: (h)
Por otro lado, la velocidad que determina para Xiep es (i). La velocidad de Arrozac es (j), La velocidad relativa del pulso de luz con respecto a Xiep es (k), y la velocidad relativa de la luz con respecto a Arrozac es (l).

¿Qué velocidad (h), (k), (j) sería distinta de c?

Saludos

[javisot20]

Entiendo Carroza que Xibuig y Tosivaj son el mismo observador realmente, me explico, creo que has intentando expresar que Xibuig es un observador que no experimenta aceleración o curvatura alguna mientras que Tosivaj, que se encuentra en un momento dado en la misma posición y condiciones que Xibuig, experimenta una cierta curvatura o aceleración, por tanto, lo analiza todo desde otra métrica.

Igual estoy completamente equivocado y no logro ver cual es la diferencia entre Xibuig y Tosivaj, pero si los dos en un momento dado tienen las mismas condiciones entonces son el mismo, ¿no?, no logro distinguir que Xibiug sea inercial y Tosivaj no inercial.

[Richard R Richard]

Bueno voy con mi versión interpretativa de las coordenadas de Rindler.

Edito :Tenemos un movil que acelera según su propio acelerómetro, con aceleración constante $\alpha=\dfrac{a}{c}$(gracias carroza), como buenos relativistas le adosamos un sistema de referencia , y para convertir las mediciones locales de ese sistema de referencia , a uno inercial, y en particular en reposo. aplicamos el sistema de coordenadas de Rindler.

Aquí es donde por enésima vez enunciaré mi queja a presentar ecuaciones en coordenadas reducida, si $c$ existe pues ponla!!!

Así que la posición descripta por el observador fijo para ese móvil es

$X=x \cosh\left(\alpha t \right)$

$T= \dfrac xc \sinh\left(\alpha t \right)$

$Y=y$

$Z=z$

veamos como salen las métricas en estas coordenadas

$dX=\alpha x \sinh\left(\alpha t \right) dt+ \cosh\left(\alpha t \right) dx$

$dT=\dfrac{\alpha x}{c} \cosh\left(\alpha t \right) dt+ \dfrac 1c\sinh\left(\alpha t \right) dx$

$dY=dy$

$dZ=dz$

asumiendo la métrica plana de Minkowsky en el espacio estático

$ds^2=-c^2dT^2+dX^2+dY^2+dZ^2$

si se reemplazan los valores y se calcula, he comprobado que

el invariante queda expresado en las coordenadas móviles como

$ds^2=-\alpha^2 x^2 dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$

la anti transformación queda

$t =\frac{c}{\alpha}arctanh\left(\frac{cT}{X}\right)$

$x=\sqrt{X^2-c^2T^2}$

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Editado ,lo siguiente esta mal (errado en una constante, creo hasta el momento de la edición) volveré a revisar los datos del problema .

Si acelera constantemente hasta 1 segundo menos antes de alcanzar la velocidad de la luz $t=\dfrac{c}{g}-1= 30570321,99511s$ y sabiendo que hay $365.25\cdot 86400$ segundos en un año $t= 0,9687150795723$ años y se habrá desplazado $\Delta x=\dfrac12gt^2= 0,4843575397861$ años luz de que cree es su espacio.

con esos datos no he conseguido cuando vale X me da error el coseno hiperbólico

pero si hago la integral

$\Delta X=\displaystyle \int\limits_0^t \gamma(t)v(t)dt=\int\limits_0^{30570321,99511} \dfrac{\alpha t}{\sqrt{1-\dfrac{\alpha^2t^2}{c^2}}} dt=9162408120331860s= 0,968467$años luz

$\Delta T=\displaystyle \int\limits_0^t \dfrac1{\gamma(t)}dt=\int\limits_0^{30570321,99511} \sqrt{1-\dfrac{\alpha^2t^2}{c^2}} dt=2.4009875534656454\times 10^7s= 0.7608270$años

Estos resultados me parecen ilógicos ... hasta allí llegue.

[carroza]

Entiendo Carroza que Xibuig y Tosivaj son el mismo observador realmente, me explico, creo que has intentando expresar que Xibuig es un observador que no experimenta aceleración o curvatura alguna mientras que Tosivaj, que se encuentra en un momento dado en la misma posición y condiciones que Xibuig, experimenta una cierta curvatura o aceleración, por tanto, lo analiza todo desde otra métrica.

Igual estoy completamente equivocado y no logro ver cual es la diferencia entre Xibuig y Tosivaj, pero si los dos en un momento dado tienen las mismas condiciones entonces son el mismo, ¿no?, no logro distinguir que Xibiug sea inercial y Tosivaj no inercial.

Ok. Un ejemplo literario que quizás ayude.

Xibuig-Julieta está su observatorio, que a la sazón está en el balcón del palacio de los Capuletos en Verona.

Tosivaj-Romeo se cuela en el jardín del palacio de los Capuletos, provisto de una cama elástica, sobre la que salta, para describir una trayectoria acelerada, de subida y caida libre, que lo hace coindidir en un instante dado, en el que tiene la misma posición (casi) y la misma velocidad que Xibuig-Julieta. Ese instante pueden utilizarlo para intercambiar un casto beso, o bien para tomar las medidas del suceso de Azorrac y Piex.

Tosivaj-Romeo y Xibuig-Julieta tienen, en un instante dado, la misma posición y velocidad, aunque uno está acelerado, y el otro no.

Saludos

[carroza]

Bueno voy con mi versión interpretativa de las coordenadas de Rindler.

tenemos un movil que acelera según su propio acelerómetro, con aceleración constante $\alpha$, como buenos relativistas le adosamos un sistema de referencia , y para convertir las mediciones locales de ese sistema de referencia , a uno inercial, y en particular en reposo. aplicamos el sistema de coordenadas de Rindler.

Aquí es donde por enésima vez enunciaré mi queja a presentar ecuaciones en coordenadas reducida, si $c$ existe pues ponla!!!

Hola.

Toda la información relevante está en el post #15 de guibix . La aceleración, constante, que observaría un observador inercial que coincida instantaneamente, con la misma velocidad, con la nave que acelera, es $a$. A partir de ahi, podemos definir una cantidad $\alpha = a/c$, con dimensiones de inversa del tiempo. Si usamos ahora como $\tau$ el tiempo propio del observador acelerado, se obtienen todas las fórmilas que da guibix, en términos de senos y cosenos hiperbilicos de $\alpha \tau$ para posiciones y velocidades del objeto "uniformemente" acelerado. Todos los calculos de mi post corresponden al instante en el que $\alpha \tau = 1$

Aqui hay que entender que la aceleración es uniforme, desde un observador inercial que se mueva a una velocidad muy próxima a la que tiene el acelerado. Un acelerador a velocidad muy diferente verá que la masa aumenta por un factor gamma con la velocidad, de forma que la aceleración disminiye conforme la velocidad se acerca a c

Saludos

[guibix]

Ok. Continuamos la historia introduciendo a observadores no locales

Creo que añadir más observadores supone un reto mayor si quieres resolver un problema difícil. Pero no creo que ayude a comprender porqué un SRA puede medir distintas c.

La necesidad de unas coordenadas de Rindler viene de un problema mucho más simple: ¿Cómo aceleras constantemente una regla hacia la dirección que marca? Si tienes en cuenta la longitud de la regla, se puede ver de que los dos extremos no pueden acelerar con la misma aceleración y mantener la regla en su tamaño propio. Si dos cohetes aceleran igual, uno detrás de otro y atados por una cuerda, sentirán una tensión en la cuerda y deberán romperla si quieren mantener la misma aceleración.

Para que la regla (o la cuerda) no se "estire", cada punto de la regla deberá tener una aceleración diferente. El extremo delantero acelerará menos que el extremo trasero. Así podemos decir que, a pesar de que cada punto de la regla está acelerando con distinta aceleración, toda la regla está en reposo consigo misma.

Lo que hacen las coordenadas de Rindler es considerar la regla en reposo como su coordenada espacial.

Pues bien, Xibuig propone un experimento donde, usando coordenadas de Rindler para un observador con aceleración constante $\alpha,$ podamos medir variaciones en c.

Como nos sobra presupuesto y tiempo, Xibuig propone construir un tren interestelar con infinidad de pequeños vagones. Cada vagón tiene un reloj, una regla que lo cruza, propulsores propios y cualquier instrumento para medir lo que sea que se quiera. El tren medirá $c^2/\alpha_0$ metros por lo que los vagones pueden considerarse infinitesimales. El $\alpha_0$ es la aceleración que usaremos como referencia, la del SRA que queremos construir con Rindler.

Definimos un SRI $S$ donde la tierra está en reposo centrado en $(x=c^2/\alpha_0)$ y el tren va desde $\frac{c^2}{2\alpha_0}$ a $\frac{3c^2}{2\alpha_0}.$

Este SRI será el de Xibuig. Nuestro tres héroes ocuparán los vagones en cada extremo del tren y en el centro. Tosivaj se situará detrás en $\frac{c^2}{2\alpha_0},$ Arrozac en $\frac{c^2}{\alpha_0}$ junto a Xibuig y en $\frac{3c^2}{2\alpha_0}$ se situará Piex Todos en su sitio y en reposo entre ellos en S, sincronizarán sus relojes para que todos reinicien sus relojes a 0 en cierto momento de S. En ese momento todo el tren se pone en marcha a la vez y cada vagón acelera con una aceleración $\alpha=c^2/x.$

Por lo tanto Tosivaj acelera a $2\alpha_0$, Azorrac a $\alpha_0$ y Piex a $2\alpha_0/3.$. Además, en el mismo instante 0 cada vagón emite un pulso de luz en todas direcciones. Con esto, los tres viajeros crean su sistema de coordenadas. El tren mismo hace de regla para la dimensión espacial.

Aquí ocurre algo curioso, cada vagón tiene distinta aceleración del resto y sus relojes de irán des-sincronizando. Pero como para todo observador en el tren, todo el tren estará en todo instante en reposo, cada instante se definirá como el momento en que todos los observadores van a una misma velocidad.

Desde el SRI de Xibuig (azul), las coordenadas de Azorrac (verde) se verán así:






El naranja representa pulsos de luz lanzados en t=0 en todo el SRI (no solo el tren). La línea vertical central azul es la trayectoria de Xibiug.

Transcurrida una unidad de tiempo propio de Azorrac, la troyectoria del tren sería algo así:



Si bien cada observador no tiene el mismo tiempo propio que Azorrac, La recta inclinada de la posición final del tren indica que todos los SRIs comóviles construidos en ella están de acuerdo que están en reposo entre ellos y que la recta inclinada es un mismo instante para todos ellos. Todos medirán ese instante como distinto. Para Tosivaj habrá pasado media unidad de tiempo, para Azorrac una y para Piex 3/2 unidades.

Pero esto es precisamente lo que ocurre en un campo gravitatorio: los relojes de "arriba" van más rápido que los de "abajo". Pero si cambias el concepto de tiempo propio por ángulo propio, todos están de acuerdo que todos tienen el mismo ángulo (la misma velocidad) en cada instante. Y aunque los tres tienen tiempos diferentes se puede pasar de un observador al otro por un factor correspondiente a su posición en el tren y puede considerarse un solo sistema dse coordenadas.


Al trasformar las coordenadas obtenemos


Esto es lo que mides como observador de Rindler. Azorrac sigue la trayectoria verde central y Tosivaj y Piex las de la izquierda y derecha respectivamente.
Como ves los conos de luz solo están a 45º en la trayectoria de Azorrac y se deforman cuando te alejas de él.

Como ya he dicho anteriormente, son las coordenadas para un observador en reposo en un campo gravitatorio plano y uniforme (es uniforme en la perpendicular del eje de aceleración pero no puede ser uniforme en ese eje porque... RE). Las trayectorias temporales del SRI (azul) serían las geodésicas en caída libre.

También puedes ver que la luz emitida por Tosivaj y Piex en el tiempo 0 llegan a Azorrac en distintos momentos cuando han salido de la misma distancia (un rayo va más rápido que c y el otro menos)

No voy a meterme en números que se me alarga y complica el asunto y creo que con los gráficos puede verse. El tema es que todos los sistemas de coordenadas (Minkowski, Rindler, Schwarzschild, etc.) son sistemas "eternos". Tienen sentido porqué el tiempo pasado y futuro se extienda al infinito en las mismas condiciones.

Para cambios de sistemas de coordenadas debe plantearse como se plantea en los diagramas de Penrose. En nuestro ejemplo, los tres viajeros viven en un mismo SRI y al empezar a acelerar pasan a sus respectivas coordenadas de Rindler. Puedes simplemente juntarlo pero tendrás problemas con lo que ocurre más allá de los horizontes de sucesos.

Se puede crear un SRA para distintas aceleraciones pasando de un sistema de Rindler a otro y a SRIs para cuando no se acelera. Pero se tiene que restringir el tiempo propio hasta el momento de entrar en contacto causal con un horizonte de sucesos. El espacio a medir tampoco puede rebasar ningún horizonte.

Con estas restricciones, se puede considerar un SRA "legítimo". Pero no más allá por los evidentes problemas causales.
Por esto me preguntaba en otro mensaje si existe una forma de describir relativísticamente un Universo único para un SRA único que no conlleve estos problemas. Unas coordenadas donde el observador siempre está en $(\tau,0)$ y todo evento tiene una única posición $(\tau,x)$

Por eso propuse lo de reconstruir las coordenadas de un evento a partir de medidas del SRI asociado en el momento de la observación del evento. Pero no encuentro información de algo así y tengo que desarrollarlo para ver si serviría. Estoy en ello y ya veremos que sale.

¿Alguna otra idea?