Avanzado Velocidad de la luz para observadores no inerciales

[carroza]

Hola.

En un hilo reciente Weip indicaba:

No invalida TRE en ningún aspecto porque el móvil que mide una velocidad distinta a c es no inercial, está acelerando por la trayectoria curva que toma. Por tanto está dentro de los supuestos de la teoría: la velocidad de la luz ha de ser la misma para todos los observadores inerciales. Para los no inerciales no aplica el postulado.

Temgo problemas para entender esto. En concreto, el concepto de observador no inercial. Yo diría que, cualquier observador sometido a fuerzas no gravitatorias, y por tanto, en movimiento no inercial, tiene, en cualquier instante de tiempo, un sistema inercial acompañante, con el origen en el mismo punto, y con la misma velocidad instantanea. Entiendo que cualquier medida de posición, tiempo o velocidad instantánea que hiciera el observador "no inercial", realizada en un intervalo de tiempos suficientemente corto, debería coincidir con la que realiza el sistema inercial acompañante. Conforme el sistema no inercial evoluciona, hay que ir cambiando los sistemas inerciales acompañantes, realizando las transformaciones de Lorentz relevantes para cambiar de un sistema inercial a otro.

En cualquier caso, si hago una medida, en un tiempo corto, de la velocidad de la luz para un observador acelerado, debería salirme el mismo valor que para el sistema inercial acompañante, o sea c.

¿Dónde me equivoco?

Un saludo

[javisot20]

Saludos Carroza, diría que no te equivocas, si el tiempo que tardas en hacer las medidas fuese 0 debería dar el mismo resultado porque lo que has hecho es eliminar la distinción entre inercial/no inercial.

La distinción entre inercial/no inercial además se ve afectada por tomar como cierto o falso el principio de equivalencia. Puede resultar engorroso distinguir entre inercial/no inercial asumiendo que la diferencia es encontrarse o no en presencia de fuerzas gravitatorias, debido al principio.

[Weip]

Hola carroza, estando de acuerdo con lo dicho por javisot20, matizaré más en detalle lo que dije en el otro hilo.

Temgo problemas para entender esto. En concreto, el concepto de observador no inercial. Yo diría que, cualquier observador sometido a fuerzas no gravitatorias, y por tanto, en movimiento no inercial, tiene, en cualquier instante de tiempo, un sistema inercial acompañante, con el origen en el mismo punto, y con la misma velocidad instantanea. Entiendo que cualquier medida de posición, tiempo o velocidad instantánea que hiciera el observador "no inercial", realizada en un intervalo de tiempos suficientemente corto, debería coincidir con la que realiza el sistema inercial acompañante.

Yo creo que lo estás entendiendo bien. Puesto en otras palabras, de la misma manera que el espaciotiempo curvo es siempre localmente plano, a un sistema de referencia no inercial le puedes asignar un sistema de referencia inercial aproximado. Como dices, en intervalos de tiempo suficientemente cortos los dos observadores coincidirán con sus medidas.

Conforme el sistema no inercial evoluciona, hay que ir cambiando los sistemas inerciales acompañantes, realizando las transformaciones de Lorentz relevantes para cambiar de un sistema inercial a otro.

Aquí hay una sutileza, y es que funciona solo cuando recorres distancias infinitesimales. Cuando el sistema de referencia no inercial se distinga del inercial a causa de la aceleración, el sistema de referencia inercial no podrá seguirle porque está "anclado" en un entorno pequeño del espaciotiempo donde estaba antes el sistema no inercial. Para poder "seguirle" necesitamos definir una conexión (la de Levi-Civita en gravedad pura) para poder trasladar el sistema inercial de la región anterior a la nueva.

Siendo más técnico, lo que estoy diciendo es que el espacio tangente inicial y cualquier otro al que te desplaces no son equivalentes porque tienen origenes distintos. La equivalencia la podrás establecer con el transporte paralelo / conexión de Levi-Civita / como quieras llamarlo. Si estos espacios tangentes están a una distancia infinitesimal entre ellos, el error que se comete al establecer su equivalencia sin conexiones es muy pequeño.

En cualquier caso, si hago una medida, en un tiempo corto, de la velocidad de la luz para un observador acelerado, debería salirme el mismo valor que para el sistema inercial acompañante, o sea c.

Sí, estoy de acuerdo. Pasa que en el otro hilo hacíamos medidas en tiempos que no eran cortos. Por tanto el observador no inercial puede medir velocidades de la luz distintas de $c$. Pero eso no es un problema en relatividad especial, pues la velocidad de la luz es constante solamente para sistemas de referencia inerciales.

[carroza]

Hola.

Gracias, Weip por la respuesta. Aquí me gustaría profundizar algo más

Aquí hay una sutileza, y es que funciona solo cuando recorres distancias infinitesimales. Cuando el sistema de referencia no inercial se distinga del inercial a causa de la aceleración, el sistema de referencia inercial no podrá seguirle porque está "anclado" en un entorno pequeño del espaciotiempo donde estaba antes el sistema no inercial. Para poder "seguirle" necesitamos definir una conexión (la de Levi-Civita en gravedad pura) para poder trasladar el sistema inercial de la región anterior a la nueva.

Siendo más técnico, lo que estoy diciendo es que el espacio tangente inicial y cualquier otro al que te desplaces no son equivalentes porque tienen origenes distintos. La equivalencia la podrás establecer con el transporte paralelo / conexión de Levi-Civita / como quieras llamarlo. Si estos espacios tangentes están a una distancia infinitesimal entre ellos, el error que se comete al establecer su equivalencia sin conexiones es muy pequeño.

A ver, yo quisiera entender que, si consideramos el caso en el que hay una distancia no infinitesimal, o que consideramos tiempos o distancias suficientemenre grandes, de forma que el efecto de la aceleración o de la curvatura sean apreciables, siempre podemos dividir este intervalo de tiempos o distancias en intervalos infinitesimales, de manera que tengamos un numero arbitrariamente grande de sistemas acompañantes, que pasan de uno al siguiente cumpliendo las condiciones de que el salto en distancias o tiempos sean arbitrariamente pequeños.

Entiendo que eso es lo que se hace cuando se quiere considerar el tiempo propio de una partícula, que se mueve en un sistema en el que hay aceleradicones arbitrariamente grandes (por ejemplo, un muón sometido a los campos eléctricos y magnéticos de un anillo de almacenamiento). En ese caso, el tiempo propio $\tau$ viene dado, en función de la velocidad $v(t')$ medida por un sistema inercial externo, por la expresión

$\tau = \int_0^t d t' \sqrt{ 1 - {v(t')^2 \over c^2}}$

Entiendo que esta expresión no tiene ninguna limitación práctica, de forma que $v(t')$ puede variar con el tiempo de la forma tan salvaje como queramos. Argumentos similares los usamos en su momento para explicar la paradoja de los gemelos, usando puramente la relatividad especial, pero cambiando de sistema de referencia acompañante.

Agradecería alguna explicación o referencia para entender en este caso la relevancia del transporte paralelo.

Sí, estoy de acuerdo. Pasa que en el otro hilo hacíamos medidas en tiempos que no eran cortos. Por tanto el observador no inercial puede medir velocidades de la luz distintas de $c$. Pero eso no es un problema en relatividad especial, pues la velocidad de la luz es constante solamente para sistemas de referencia inerciales.

Yo entiendo que si uno quiere medir la velocidad de la luz, no mide una trayectoria muy grande y la divide por un tiempo muy largo. Eso sería una velocidad media. Para medir la velocidad de la luz, entiendo que uno toma un pulso de luz, y con algun aparato, tipo espectrómetro de Michelson, mide el paso del pulso por una distancia muy pequeña, y la divide por el tiempo, muy corto, en el que tarda en atravesarlo. Con esa definición de velocidad, la velocidad instantanea que todos vimos en el bachillerato, la velocidad de la luz sale siempre c.


javisot20 , Gracias por tu mensaje. Yo no estoy muy de acuerdo en que la diferencia entre un sistema inercial y uno no inercial desaparezca en el límite en el que los tiempos son pequeños. En uno hay fuerzas de inercia, y en el otro no, sea cual fuere la escala de tiempos. Tampoco parece util especular en si el principio de equivalencia es válido o no. Lo es, siempre, no? Yo, en cualquier caso, no pretendía entrar en relatividad general. En situaciones en las que la gravedad es irrelevante, hay sistemas inerciales, hay sistemas no inerciales, y mi argumento es que ambos, que son diferentes en general, debieran dar las mismas medidas de velocidades instantaneas, si coinciden localmente.

Un saludo.

[javisot20]

javisot20 , Gracias por tu mensaje. Yo no estoy muy de acuerdo en que la diferencia entre un sistema inercial y uno no inercial desaparezca en el límite en el que los tiempos son pequeños. En uno hay fuerzas de inercia, y en el otro no, sea cual fuere la escala de tiempos. Tampoco parece util especular en si el principio de equivalencia es válido o no. Lo es, siempre, no? Yo, en cualquier caso, no pretendía entrar en relatividad general. En situaciones en las que la gravedad es irrelevante, hay sistemas inerciales, hay sistemas no inerciales, y mi argumento es que ambos, que son diferentes en general, debieran dar las mismas medidas de velocidades instantaneas, si coinciden localmente.

Un saludo.

Un observador estático respecto de un universo y otro observador que se mueve con v=0 respecto del primer observador, no puedo decir que uno sea inercial y el otro no. Fíjate que el concepto moverse con v=0 no tiene sentido. Ninguno de los 2 experimenta fuerzas de inercia, entiendo

Si me muevo con v=0 respecto de un universo y otro observador se mueve con v=0 respecto de mí, dicho observador también se mueve con v=0 respecto del universo.


Es útil especular sobre el principio de equivalencia, de hecho Einstein especuló con que era cierto. Puedes tomarlo por falso y eso te conduce a otros constructos simplemente.
Si lo tomas por falso no tendría sentido decir que puedes llegar a las mismas conclusiones en un régimen curvo que en uno plano, de ninguna manera.

[Weip]

A ver, yo quisiera entender que, si consideramos el caso en el que hay una distancia no infinitesimal, o que consideramos tiempos o distancias suficientemenre grandes, de forma que el efecto de la aceleración o de la curvatura sean apreciables, siempre podemos dividir este intervalo de tiempos o distancias en intervalos infinitesimales, de manera que tengamos un numero arbitrariamente grande de sistemas acompañantes, que pasan de uno al siguiente cumpliendo las condiciones de que el salto en distancias o tiempos sean arbitrariamente pequeños.

Yo entiendo que si uno quiere medir la velocidad de la luz, no mide una trayectoria muy grande y la divide por un tiempo muy largo. Eso sería una velocidad media. Para medir la velocidad de la luz, entiendo que uno toma un pulso de luz, y con algun aparato, tipo espectrómetro de Michelson, mide el paso del pulso por una distancia muy pequeña, y la divide por el tiempo, muy corto, en el que tarda en atravesarlo. Con esa definición de velocidad, la velocidad instantanea que todos vimos en el bachillerato, la velocidad de la luz sale siempre c.

Puedes hacerlo, pero el sistema de referencia no inercial coincidirá sus medidas con el inercial solo localmente. Porque para pasar de un sistema inercial a uno no inercial se ha de efectuar una transformación que no es de Lorentz. Por ponerlo en ecuaciones, suponemos un observador acelerado en coordenadas de Rindler. La métrica es:

$ds^ 2=-x^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$

Por simplicidad nos quedamos con el movimiento de un rayo de luz en una dirección espacial. Al ser luz obedece $ds^2=0$, por lo que su velocidad será:

$\tilde{c}=\displaystyle\frac{dx}{dt}=|x|$

Esta velocidad $\tilde{c}$ no es constante y en general no es igual a $c=1$ (la tilde la pongo para distinguir las dos velocidades; no es notación estándar ni nada). A veces se le llama "velocidad coordenada" para distinguirla de la habitual, puesto que no tienen la misma interpretación física. Ahora bien, si se hace una medición local, el observador no inercial se parecerá a uno incercial así que medirá $c=1$, tal como has descrito en la parte final de tu mensaje.

Entiendo que eso es lo que se hace cuando se quiere considerar el tiempo propio de una partícula, que se mueve en un sistema en el que hay aceleradicones arbitrariamente grandes

No lo entiendo de la misma manera: aquí haces la medición desde un sistema de referencia inercial que no está asociado al muón de ninguna manera. O quizás no te estoy entendiendo bien, que podría ser.

[carroza]

Hola.

Weip , las coordenadas de Rindler provienen de un espacio-tiempo plano, con sus coordenadas cartesianas, "físicas", X y T, sobre el cual redefinimos unas coordenadas x, t que son función de las anteriores. Tal como pone en la referencia que indicas, $x = \mbox{arctanh} (X/T) , t = \sqrt{X^2 - T^2}$,

El tiempo físico, es decir, el que mediría un péndulo, corresponde a la coordenada T, no a la t. La distancia física, es decir, la que mide una regla, corresponde a la coordenada X, no a la x. Si queremos hablar de la velocidad de la luz, deberemos definirla como $c = dX/dT$, no como $\tilde c = dx/dt$, Fijate que ambas expresiones, ni siquiera tienen las mismas dimensiones.

Lo que hacen las coordenadas de Rindler es definir un "tiempo", t, que depende de la coordenada física X. Si me aceptas la comparación humorística, es como si el ayuntamiento de Cuenca definiera un "segundo conquense", que fuera la mitad del segundo que se usa en Barcelona. Obviamente, la velocidad de la luz vendría dada por un numero diferente en Cuenca que en Barcelona, pero no es problema de la relatividad, sino de la política municipal.


Explico mejor lo de los muones. Imagina que eres un investigador en un laboratorio de aceleradores en las que produces un pulso de muones, que aceleras de forma arbitraria. Tu laboratorio está en un sistema de referencia razonablemente inercial, en el que mides unos tiempos t, y determinas que en cada instante de tiempo el pulso de muones tiene una velocidad $\vec v(t)$ . Sabes que los muones tienen una vida media de 2,2 $\mu$s, por lo cual tus muones se van desintegrando con esa escala de tiempos. Sin embargo, la vida media de los muones se refiere a su tiempo propio, es decir, al tiempo medido en el sistema de referencia que acompaña al pulso de muones confome se mueven en el acelerador.

¿Cómo determinar este tiempo propio de los muones, teniendo en cuenta que su sistema de referencia acompañante es no inercial? ¿Debemos usar la relatividad general, o una métrica complicada? Lo que se hace es más sencillo:

La relación entre el tiempo propio de los muones, $\tau$, y el tiempo medido desde el laboratorio, $t$, es la expresión

$\tau = \int_0^t dt' \sqrt{1 - v(t')^2/c^2}$

Esto se deduce considerando que el sistema de referencia no inercial que acompaña a los muones, puede describirse, a efectos de transformaciones de Lorentz, en cada instante de tiempo $t'$, y durante un corto intervalo de tiempo $dt'$, como un sistema inercial con velocidad $\vec v(t')$ con respecto al laboratorio. Esto nos permite determinar el tiempo propio $d \tau$ que corresponde al tiempo medido en el laboratorio $d t'$. Integrando, tenemos la expresión anterior.

Saludos

[guibix]

Hola a todos!

Este tema me fascina y algo de esto discutimos hace tiempo.

Al considerar un SR acelerado (SRA) con una sucesión de SRIs hay que tener en cuenta que cada SRI tiene un diagrama propio y único con toda la historia de todos los eventos y todas las trayectorias temporales de todos los objetos de interés en el problema. Eso hace que todas las trayectorias cambiarán con cada cambio de SRI. En principio eso no sería ningún problema si no le pides al SRA que diga cuando y dónde sucedieron los eventos en su propio SR. El problema es que para cada tiempo propio del SRA existe un SRI equivalente pero cada SRI tiene coordenadas diferentes para un mismo evento. Esto hace que nuestro SRA no sea siquiera un SR porqué no tiene un sistema de coordenadas propio que le permita definir el cuando y donde ocurren los eventos de manera única para él.

Existe un problema para definir la historia del Universo para un SRA y está en definir qué eventos ocurrieron simultáneamente con cada momento $\tau$ del SRA. Y como SRA que soy, reivindico que pueda explicar una historia del Universo acorde únicamente a mi SRA.

Una solución parcial a ese problema pasa por construir un único SRA a partir de los SRIs.

Se parte de un SRI $S$ neutro que es el que describe los movimientos del objeto acelerado con $(t(\tau),x(\tau))$. Después creamos SRIs $S'(\tau)$ que son SRIs centrados en el observador acelerado en “reposo instantáneo” en cada momento $\tau$. El $(0,0)$ de $S'(\tau)$ está en la posición del objeto en el momento $\tau.$ Si tomamos el hiperplano espacial en el momento 0 de $S'(\tau)$, lo podemos usar para mapear las posiciones espaciales de los eventos en el momento $\tau$. O sea, todos los eventos en el hiperplano de simultaneidad de $S'(\tau)$ son los que ocurren en el momento $\tau$. Se puede construir una historia del Universo propia de SRA ordenando los hiperplanos de cada SRI como coordenadas espaciales y cada $\tau$ como coordenada temporal.

Si se aplica esto con una aceleración propia constante, se obtienen las ya mencionadas coordenadas de Rindler.

Weip , las coordenadas de Rindler provienen de un espacio-tiempo plano, con sus coordenadas cartesianas, "físicas", X y T, sobre el cual redefinimos unas coordenadas x, t que son función de las anteriores. Tal como pone en la referencia que indicas, $x = \mbox{arctanh} (X/T) , t = \sqrt{X^2 - T^2}$,

El tiempo físico, es decir, el que mediría un péndulo, corresponde a la coordenada T, no a la t. La distancia física, es decir, la que mide una regla, corresponde a la coordenada X, no a la x. Si queremos hablar de la velocidad de la luz, deberemos definirla como $c = dX/dT$, no como $\tilde c = dx/dt$, Fijate que ambas expresiones, ni siquiera tienen las mismas dimensiones.

Lo que hacen las coordenadas de Rindler es definir un "tiempo", t, que depende de la coordenada física X. Si me aceptas la comparación humorística, es como si el ayuntamiento de Cuenca definiera un "segundo conquense", que fuera la mitad del segundo que se usa en Barcelona. Obviamente, la velocidad de la luz vendría dada por un numero diferente en Cuenca que en Barcelona, pero no es problema de la relatividad, sino de la política municipal.

Lo dices como si fuera algo arbitrario pero la coordenada temporal se elige como el plano de simultaneidad de cada $\tau,$ se usa el tiempo propio del mismo SRA. Y las coordenadas espaciales son espacios propios en cada $\tau$ (el hiperplano $t=0$ de $S'(\tau)$). En realidad son las coordenadas curvas de un observador en reposo en un campo gravitatorio “uniforme” relativista (o lo más parecido a él que puede deducirse con solo RE)

Claro que esto genera otros “problemas”. Si tomas una aceleración propia constante $\alpha$ en una dirección, en la dirección opuesta se crea un horizonte de sucesos a $c^2/\alpha$ de distancia propia donde un evento queda congelado en el tiempo. Por no mencionar que objetos aún más lejanos viajarían “atrás en el tiempo” para ese SRA en particular (te suena carroza? Jeje). Aunque en el caso de aceleración constante todos estos eventos están fuera de toda conexión causal con el observador y puede describirse sin problema todo lo que hay dentro del espacio conectado causalmente, no es el caso de un SRA con según qué variaciones en la aceleración. Si un objeto con aceleración constante cambia completamente el sentido de la aceleración, el horizonte de las coordenadas Rindler entra en conexión causal con el objeto y su descripción se vuelve “anti-causal” (todos los objetos más allá del horizonte tendrán trayectorias temporales invertidas en algún momento).

Desde un contexto puramente de RE, se pueden crear SRAs para darle coordenadas propias. Y aunque el SRI $S$ ya nos sirve para “ordenar” eventos, debe existir una manera única para cada SRA para ordenarlos.

Pero no nos gusta que en nuestra historia de SRA existan horizontes de eventos y objetos que viajan atrás en el tiempo y tendríamos que preguntar a la RG qué tiene que decir al respecto.

Existe otra forma de ordenar eventos que creo es más “natural” en el contexto de RE y es a partir de coordenadas lumínicas. Si ordenamos los eventos a partir de su “contacto” con el cono pasado, no debería haber problema porque el cono pasado siempre crece y no hay “causalidades inversas” (siempre observamos crecimientos de tiempo positivos). Parece prudente partir de lo que observamos, del momento $\tau$ en que entramos en contacto causal con el evento. Solo con esto ya tenemos una forma de ordenar eventos. Sabremos la dirección y el momento de observación pero sus distancias y tiempos dependerán de $S'(\tau)$, otra vez. Por suerte eso no provoca la misma suerte de “problemas causales” porque nuestra $S'(\tau)$ es en el momento \tau en la que se tiene contacto causal y en la cadena de SRIs no se puede parar o invertir la causalidad. Pero lo que sí ocurre es que las trayectorias lumínicas se deforman y $c$ ya no es una constante lejos del observador. Los objetos pueden parecer superar $c$ pero nunca rebasan la $c$ asociada a su localización.

Desconozco su validez o si hay algún formalismo para describir esto último y no he indagado en sus matemáticas para ver como funciona. Pero me parece como mínimo razonable plantearlo.

¿De qué otra forma podríamos crear una descripción única para cada SRA dado?

Esto me lleva a pensar que el sistema de coordenadas de un SRI toma como base lo que es simultaneo al observador para definir sus coordenadas espaciales. Es solo un “constructo” de lo que es el “ahora” (“ahora” estalla una estrella y en 500 años nos enteramos). Ese “ahora” no es algo fundamental, no es precisamente un valor que se conserve en una transformación Lorentz. Pero el momento \tau en que se entra en contacto causal con un evento es una invariante Lorentz y todos los observadores estarán de acuerdo en ello. Y es ese “ahora” el que al final cuenta la historia de cualquier SR.

Pero eso nos llevaría a un debate filosófico entre tiempo y contacto causal en el que no quiero entrar pero creo que esas ideas pueden aportar algo al debate.

[Richard R Richard]

Tengo problemas para entender esto. En concreto, el concepto de observador no inercial.

Aporto mi punto de vista al debate, en RG, un observador inercial es aquel que describe una geodésica, una trayectoria donde la aceleración intrínseca respecto de todas las coordenadas es nula.

Ej : a un objeto de masa despreciable orbitando un objeto masivo le puedes asociar un observador que se halle en reposo respecto a él y este será inercial. pues la órbita es una geodésica.

Pero para el mismo objeto estático en las 3 coordenadas espaciales , un observador en reposo respecto a él sería un observador no inercial, ya que el objeto necesita estar acelerado en la dirección radial para mantener su posición en el tiempo.

A ver, yo quisiera entender que, si consideramos el caso en el que hay una distancia no infinitesimal, o que consideramos tiempos o distancias suficientemente grandes, de forma que el efecto de la aceleración o de la curvatura sean apreciables, siempre podemos dividir este intervalo de tiempos o distancias en intervalos infinitesimales, de manera que tengamos un numero arbitrariamente grande de sistemas acompañantes, que pasan de uno al siguiente cumpliendo las condiciones de que el salto en distancias o tiempos sean arbitrariamente pequeños.

Entiendo que eso es lo que se hace cuando se quiere considerar el tiempo propio de una partícula, que se mueve en un sistema en el que hay aceleraciones arbitrariamente grandes (por ejemplo, un muón sometido a los campos eléctricos y magnéticos de un anillo de almacenamiento). En ese caso, el tiempo propio $\tau$ viene dado, en función de la velocidad $v(t')$ medida por un sistema inercial externo, por la expresión

$\tau = \int_0^t d t' \sqrt{ 1 - {v(t')^2 \over c^2}}$

Entiendo que esta expresión no tiene ninguna limitación práctica, de forma que $v(t')$ puede variar con el tiempo de la forma tan salvaje como queramos. Argumentos similares los usamos en su momento para explicar la paradoja de los gemelos, usando puramente la relatividad especial, pero cambiando de sistema de referencia acompañante.

Yo entiendo que es correcto todo lo que expresas en esos párrafos de tu cita.

no pretendía entrar en relatividad general. En situaciones en las que la gravedad es irrelevante, hay sistemas inerciales, hay sistemas no inerciales, y mi argumento es que ambos, que son diferentes en general, debieran dar las mismas medidas de velocidades instantáneas, si coinciden localmente.

Un observador inercial (en un espacio plano o bien en el que asumimos no hay gravedad o la despreciamos, ni expansión de espacio, etc) tiene que observar que la luz proveniente de un objeto no local coincide en velocidad con la que mide localmente y vale $c$.
Un observador no inercial (en el mismo espacio ) tiene que observar que la velocidad de luz proveniente de un objeto no local no coincide en velocidad con la que mide localmente , si acelera hacia la fuente debería ser mayor obtener a $c$ y si aleja menor, eso con independencia del Doppler que varía la frecuencia de la luz recibida.
Porqué? Por que, por el principio de equivalencia acelerar "es lo mismo que" estar inmerso en un campo gravitatorio (esto sí, no lo puedes despreciar) con sentido inverso a la aceleración, la luz que viene de objetos lejanos por delante calculas que viaja más rápido que $c$ , la proveniente de detrás mas lento, pero la local sigue $c$, si la local no fuera $c$ el experimento de M-M hubiese arrojado diferentes velocidades en diferentes direcciones (logrando modificar el patrón de interferencia), y estaríamos en la disyuntiva si la causa es el "eter" o la aceleración, y fácilmente también se hubiera dirimido eso hacia la aceleración, al girar el experimento.

¿Cómo determinar este tiempo propio de los muones, teniendo en cuenta que su sistema de referencia acompañante es no inercial? ¿Debemos usar la relatividad general, o una métrica complicada?

He entendido tu punto de vista con la RE.
Pero , porque no con RG? he pensado en lo que planteas , en el caso de los muones entrando a la atmósfera se justifica su largo alcance debido a la dilatación temporal provocada por su alta velocidad en una métrica plana tipo Minkowsky, a la que no afecta la gravedad terrestre, ni el choque con átomos en su carrera.

En el laboratorio $\tau$ debería llegar resultar a una constante sea cual fuere la integral de $v(t')$ el valor esperado medio de $2.2\mu s$ para el tiempo propio debería ser el mismo sin importar la velocidad inicial del muón ni las aceleraciones a las que es sometido durante el experimento, ya que esa es la medida de su vida por un observador solidario o en reposo al propio muón y no podría ser función de otras variables del experimento. $t'$ puede variar en función de como se haga el experimento pero $\tau$ debe tender a un cierto número sin importar cómo se haga el experimento.
En comparativa RG lo que te aportará es como variará v(t') en función de t' en sobre alguna coordenada espacial ese espacio tiempo curvo , para ese observador (en este caso dependerá del tensor energía momento y no de los campos según experimento que hagas en laboratorio).
La diferencia entre observadores en RG obedece a que la direccion de la fuerza o aceleración tiene o no componentes en común con los vectores transportados,(los no inerciales sí y los inerciales no) es decir registran o no aceleración sobre alguna de las direcciones espacio temporales de la geodésica. En una esfera S2 puedes recorrer circunferencias (meridianos y ecuador) de radio máximo a velocidad constante, aunque la direccion de la aceleración no pertenece al plano tangente de la esfera en el punto de análisis, pues siempre es radial y te mantiene por sobre la esfera.
En ese espacio puedes acelerar "espacialmente" cambiar el módulo de la velocidad o su dirección si afectas a la velocidad de alguna coordenada espacial valga la redundancia, se esta la latitud, la longitud o ambas, pero no la radial, que no pertenece al espacio.

Lo que vemos como aceleración radial "debido a la gravedad" de un objeto masivo en $\mathbb R3$, sería la consecuencia de ir en línea recta en un espacio curvo tipo Schwarzchild inmerso en espacio de dimensión mayor donde una derivada segunda de la componente espacial radial no es nula sobre la coordenada paramétrica y a la vez tampoco es nula la del tiempo.

La relación entre el tiempo propio de los muones, $\tau$, y el tiempo medido desde el laboratorio, $t$, es la expresión

$\tau = \int_0^t dt' \sqrt{1 - v(t')^2/c^2}$

Esto se deduce considerando que el sistema de referencia no inercial que acompaña a los muones, puede describirse, a efectos de transformaciones de Lorentz, en cada instante de tiempo $t'$, y durante un corto intervalo de tiempo $dt'$, como un sistema inercial con velocidad $\vec v(t')$ con respecto al laboratorio. Esto nos permite determinar el tiempo propio $d \tau$ que corresponde al tiempo medido en el laboratorio $d t'$. Integrando, tenemos la expresión anterior.

Reescribiendo lo que nos dices empleando RE entiendo que la integral resulta de plantear el sumatorio de esos diferenciales de tiempo divididos el factor de Lorentz evaluado a la velocidad de ese momento , este factor resulta que es variable dependiente del tiempo pues es una función de la velocidad previa y de la aceleración que le provoque la fuerza impulsora instantes previos y en ese instante.

$d\tau =\dfrac{d t'}{\gamma(v(t'))}$

conociendo la función de la velocidad en función del tiempo se puede integrar entre dos tiempos dados y llegar a tu expresión.

Pero interpreto que el resultado $\tau$ debe tender siempre a un resultado coincidente independientemente de la evolución del muón respecto del laboratorio, experimento tras experimento debe de coincidir o tender a un valor, puesto $\tau$ es la vida media o tiempo hasta que su población se reduce a la mitad medido por un reloj solidario a los muones de prueba, no puede variar en función de como hagas el experimento. Yo supongo esto lo sabes, pero lo hago mas literario para el que no.

Espero te haya aportado algo.

Saludos

[Weip]

Hola de nuevo.

El tiempo físico, es decir, el que mediría un péndulo, corresponde a la coordenada T, no a la t. La distancia física, es decir, la que mide una regla, corresponde a la coordenada X, no a la x. Si queremos hablar de la velocidad de la luz, deberemos definirla como $c = dX/dT$, no como $\tilde c = dx/dt$, Fijate que ambas expresiones, ni siquiera tienen las mismas dimensiones.

Lo que hacen las coordenadas de Rindler es definir un "tiempo", t, que depende de la coordenada física X. Si me aceptas la comparación humorística, es como si el ayuntamiento de Cuenca definiera un "segundo conquense", que fuera la mitad del segundo que se usa en Barcelona. Obviamente, la velocidad de la luz vendría dada por un numero diferente en Cuenca que en Barcelona, pero no es problema de la relatividad, sino de la política municipal.

Está claro que la velocidad coordenada y la velocidad de la luz usual no tienen la misma interpretación física, ya lo dije en mi mensaje. Pero en el hilo del cuál me citaste en tu primer mensaje se estaba hablando justamente de esto; por tanto creo que es conveniente ponerlo en ecuaciones.

Además, fíjate que es una buena medida de en qué sistema de referencia estamos. Un observador inercial siempre medirá una velocidad de la luz $c=1$, un observador no inercial nunca lo hará, pues no existe transformación de Lorentz que lleve su métrica a Minkowski de manera global. Ahora, está claro que localmente sí medirá $c=1$, eso no lo discute nadie.

Como también expliqué en el hilo, pod tenia un mensaje en un hilo de hace años que explicaba esto mismo muy bien, pero no logré encontrarlo.

Sobre las dimensiones, estamos usando unidades naturales, como ya indiqué cuando puse $c=1$ en mi anterior mensaje. La aceleración propia se ha obviado en las fórmulas de la wikipedia española, quizás pueden ser más cómodas las notaciones de la wikipedia inglesa. En ese caso $\tilde{c}=|gx|$, mismas unidades que $c=1$. Si quieres usar otras unidades habría que recuperar un factor $c$ dividiendo porque el numerador sería velocidad al cuadrado.

La comparación con los péndulos y las reglas es poco conveniente, puesto que la luz sigue una trayectoria tipo luz, y no tipo tiempo. Por tanto lo que normalmente consideras tiempo físico para un péndulo y distancia física para una regla, para la luz no lo es.

Aún teniendo en cuenta todas estas observaciones la cita original sigue siendo cierta: un observador inercial mide $c$ de acuerdo con la relatividad especial. Un observador no inercial medirá $\tilde{c}$, pero no hay ningún problema con el anterior postulado, teniendo en cuenta la interpretación física de esta velocidad coordenada que ya hemos comentado. Y localmente medirá $c$, tal como debe ser.

¿Cómo determinar este tiempo propio de los muones, teniendo en cuenta que su sistema de referencia acompañante es no inercial? ¿Debemos usar la relatividad general, o una métrica complicada? Lo que se hace es más sencillo:

La relación entre el tiempo propio de los muones, $\tau$, y el tiempo medido desde el laboratorio, $t$, es la expresión

$\tau = \int_0^t dt' \sqrt{1 - v(t')^2/c^2}$

Esto se deduce considerando que el sistema de referencia no inercial que acompaña a los muones, puede describirse, a efectos de transformaciones de Lorentz, en cada instante de tiempo $t'$, y durante un corto intervalo de tiempo $dt'$, como un sistema inercial con velocidad $\vec v(t')$ con respecto al laboratorio. Esto nos permite determinar el tiempo propio $d \tau$ que corresponde al tiempo medido en el laboratorio $d t'$. Integrando, tenemos la expresión anterior.

Más sencillo o no, es exactamente el mismo resultado que se deriva si usas RG o si usas un sistema acelerado. Todos los caminos cuadran, incluyendo el que describes, porque estamos haciendo una medida local, que es la cuestión que explicaba en otros mensajes.

Sobre los mensajes de Richard y guibix no me da tiempo a comentarlos pero son muy interesantes por lo que he podido leer.

[Richard R Richard]

Creo que te refieres a este hilo https://forum.lawebdefisica.com/foru...ma-no-inercial

[Weip]

No era ese hilo exactamente pero me sirve, explica exactamente lo que quiero decir. ¡Gracias Richard!

[carroza]

Hola.

Muchas gracias a todos por vuestras contribuciones.

Debo decir que mi objetivo inicial era imaginarme un observador en el espacio, como una persona que viaja en su pequeña nave espacial, con sus aparatos para medir la velocidad de la luz que le llega. Esta persona puede acelerar o frenar la nave, irse a zonas del espacio en las que la gravedad es despreciable, y también someterse a gravedades intensas, entrando en la proximidad de agujeros negros.

Al considerar un SR acelerado (SRA) con una sucesión de SRIs hay que tener en cuenta que cada SRI tiene un diagrama propio y único con toda la historia de todos los eventos y todas las trayectorias temporales de todos los objetos de interés en el problema. Eso hace que todas las trayectorias cambiarán con cada cambio de SRI. En principio eso no sería ningún problema si no le pides al SRA que diga cuando y dónde sucedieron los eventos en su propio SR. El problema es que para cada tiempo propio del SRA existe un SRI equivalente pero cada SRI tiene coordenadas diferentes para un mismo evento. Esto hace que nuestro SRA no sea siquiera un SR porqué no tiene un sistema de coordenadas propio que le permita definir el cuando y donde ocurren los eventos de manera única para él.

Existe un problema para definir la historia del Universo para un SRA y está en definir qué eventos ocurrieron simultáneamente con cada momento $\tau$ del SRA. Y como SRA que soy, reivindico que pueda explicar una historia del Universo acorde únicamente a mi SRA.

Me encanta el SRA reivindicativo. Es una figura literaria llamada Personificación.

Una solución parcial a ese problema pasa por construir un único SRA a partir de los SRIs.

Se parte de un SRI $S$ neutro que es el que describe los movimientos del objeto acelerado con $(t(\tau),x(\tau))$. Después creamos SRIs $S'(\tau)$ que son SRIs centrados en el observador acelerado en “reposo instantáneo” en cada momento $\tau$. El $(0,0)$ de $S'(\tau)$ está en la posición del objeto en el momento $\tau.$ Si tomamos el hiperplano espacial en el momento 0 de $S'(\tau)$, lo podemos usar para mapear las posiciones espaciales de los eventos en el momento $\tau$. O sea, todos los eventos en el hiperplano de simultaneidad de $S'(\tau)$ son los que ocurren en el momento $\tau$. Se puede construir una historia del Universo propia de SRA ordenando los hiperplanos de cada SRI como coordenadas espaciales y cada $\tau$ como coordenada temporal.

Si se aplica esto con una aceleración propia constante, se obtienen las ya mencionadas coordenadas de Rindler.

Las coordenadas de Rindler mencionadas por Weip a las que nos referimos no parecen contener ninguna aceleración. Quizás nos puedas dar una referencia adicional.

Lo dices como si fuera algo arbitrario pero la coordenada temporal se elige como el plano de simultaneidad de cada $\tau,$ se usa el tiempo propio del mismo SRA. Y las coordenadas espaciales son espacios propios en cada $\tau$ (el hiperplano $t=0$ de $S'(\tau)$). En realidad son las coordenadas curvas de un observador en reposo en un campo gravitatorio “uniforme” relativista (o lo más parecido a él que puede deducirse con solo RE)

Claro que esto genera otros “problemas”. Si tomas una aceleración propia constante $\alpha$ en una dirección, en la dirección opuesta se crea un horizonte de sucesos a $c^2/\alpha$ de distancia propia donde un evento queda congelado en el tiempo. Por no mencionar que objetos aún más lejanos viajarían “atrás en el tiempo” para ese SRA en particular (te suena carroza? Jeje). Aunque en el caso de aceleración constante todos estos eventos están fuera de toda conexión causal con el observador y puede describirse sin problema todo lo que hay dentro del espacio conectado causalmente, no es el caso de un SRA con según qué variaciones en la aceleración. Si un objeto con aceleración constante cambia completamente el sentido de la aceleración, el horizonte de las coordenadas Rindler entra en conexión causal con el objeto y su descripción se vuelve “anti-causal” (todos los objetos más allá del horizonte tendrán trayectorias temporales invertidas en algún momento).

Desde un contexto puramente de RE, se pueden crear SRAs para darle coordenadas propias. Y aunque el SRI $S$ ya nos sirve para “ordenar” eventos, debe existir una manera única para cada SRA para ordenarlos.

Pero no nos gusta que en nuestra historia de SRA existan horizontes de eventos y objetos que viajan atrás en el tiempo y tendríamos que preguntar a la RG qué tiene que decir al respecto.

Existe otra forma de ordenar eventos que creo es más “natural” en el contexto de RE y es a partir de coordenadas lumínicas. Si ordenamos los eventos a partir de su “contacto” con el cono pasado, no debería haber problema porque el cono pasado siempre crece y no hay “causalidades inversas” (siempre observamos crecimientos de tiempo positivos). Parece prudente partir de lo que observamos, del momento $\tau$ en que entramos en contacto causal con el evento. Solo con esto ya tenemos una forma de ordenar eventos. Sabremos la dirección y el momento de observación pero sus distancias y tiempos dependerán de $S'(\tau)$, otra vez. Por suerte eso no provoca la misma suerte de “problemas causales” porque nuestra $S'(\tau)$ es en el momento \tau en la que se tiene contacto causal y en la cadena de SRIs no se puede parar o invertir la causalidad. Pero lo que sí ocurre es que las trayectorias lumínicas se deforman y $c$ ya no es una constante lejos del observador. Los objetos pueden parecer superar $c$ pero nunca rebasan la $c$ asociada a su localización.

He estado intentando derivar las expresiones de las coordenadas (X,T) de un suceso, según se verían desde los diferentes SRI que acompañan a un SRA. No he podido resolverlo completamente, pero intuyo que habría problemas como los que indicas, en especial a distancias X grandes, ya que el tiempo en las transformaciones de Lorentz se modifica tanto dependiendo del tiempo T como de la posición X.

No obstante, para el problema que querría resolver (i.e, qué velocidad de la luz mide un observador viajando por el espacio, con sus pequeños aparatos contenidos en la nave), los problemas de X grande debieran ser irrelevantes, no? Hacemos medidas locales, y las dimensiones de nuestro aparato (unos metros), son siempre muy inferiores a $c^2/a$

[carroza]

Sobre las dimensiones, estamos usando unidades naturales, como ya indiqué cuando puse $c=1$ en mi anterior mensaje. La aceleración propia se ha obviado en las fórmulas de la wikipedia española, quizás pueden ser más cómodas las notaciones de la wikipedia inglesa. En ese caso $\tilde{c}=|gx|$, mismas unidades que $c=1$. Si quieres usar otras unidades habría que recuperar un factor $c$ dividiendo porque el numerador sería velocidad al cuadrado.

Entiendo que uses unidades naturales, en la que X y T tienen las mismas dimensiones (digamos distancias), con lo que c es adimensional. No obstante, cuando defines la coordenada x como $\mbox{arctanh} (X/T)$, mientras que t es $\sqrt{T^2 - X^2}$, entonces x es adimensional, mientras que t tiene dimensiones de longitud, con lo que $\tilde c$ tendria dimesniones de 1/distancia. Esto me resulta preocupante, si queremos entender la relación de c con $\tilde c$. Quizás la cuestión es expresar una métrica de Rindler, en la que aparece explíctamente una aceleración. Agradecería mucho alguna aclaración en ese sentido.

[carroza]

Reescribiendo lo que nos dices empleando RE entiendo que la integral resulta de plantear el sumatorio de esos diferenciales de tiempo divididos el factor de Lorentz evaluado a la velocidad de ese momento , este factor resulta que es variable dependiente del tiempo pues es una función de la velocidad previa y de la aceleración que le provoque la fuerza impulsora instantes previos y en ese instante.

$d\tau =\dfrac{d t'}{\gamma(v(t'))}$

conociendo la función de la velocidad en función del tiempo se puede integrar entre dos tiempos dados y llegar a tu expresión.

Pero interpreto que el resultado $\tau$ debe tender siempre a un resultado coincidente independientemente de la evolución del muón respecto del laboratorio, experimento tras experimento debe de coincidir o tender a un valor, puesto $\tau$ es la vida media o tiempo hasta que su población se reduce a la mitad medido por un reloj solidario a los muones de prueba, no puede variar en función de como hagas el experimento. Yo supongo esto lo sabes, pero lo hago mas literario para el que no.

Espero te haya aportado algo.

Lo que expresas sobre el factor gamma es corerecto. No obstante, el valor de $\tau$ no es la vida media del muón, sino el tiempo propio en el que el pulso de muones está viajando. Es cueto que, en muchos casos, se usa $\tau$ para indicar la vida media de una partícula, pero no es el caso aqui. La idea es que, cuando el tiempo propio del pulos de muones sea$\tau = 2.2 \mu s$, es decir, cuando sea igual a la vida media de los muones, el numero inicial de muones se reduce en un factor 1/e. Cuando sea $\tau = 4.4 \mu s$, es decir, cuando sea igual a dos veces la vida media de los muones, el numero de muones será $1/e^2$. Con este ejemplo quería indicar que el tiempo propio de los muones es perfectamente medible.

Un saludo

(PS creia que los tres mensajes iban a aparecer en uno solo. No estoy muy ducho con el multicitar. Pero bueno, consideradlos como uno conjunto)

[javisot20]

Debo decir que mi objetivo inicial era imaginarme un observador en el espacio, como una persona que viaja en su pequeña nave espacial, con sus aparatos para medir la velocidad de la luz que le llega. Esta persona puede acelerar o frenar la nave, irse a zonas del espacio en las que la gravedad es despreciable, y también someterse a gravedades intensas, entrando en la proximidad de agujeros negros.

Saludos Carroza, interesante imagen, un observador moviéndose por distintas regiones del espacio-tiempo de menor a mayor curvatura, por tanto, experimentando distintas distribuciones de materia y energía. Dicho observador pasa por todas las distintas distribuciones y curvaturas que permitan soluciones físicas.

El observador pasa por regiones en las que la TRE puede ser confirmada local y globalmente, también pasa por regiones donde se confirma localmente pero no globlamente.

No pasará por regiones donde la TRE no puede ser confirmada ni local ni globlamente, o confirmables solo globalmente.

[guibix]

Respondo una parte y ya responderé el resto más adelante.

Hola.

Muchas gracias a todos por vuestras contribuciones.

Debo decir que mi objetivo inicial era imaginarme un observador en el espacio, como una persona que viaja en su pequeña nave espacial, con sus aparatos para medir la velocidad de la luz que le llega. Esta persona puede acelerar o frenar la nave, irse a zonas del espacio en las que la gravedad es despreciable, y también someterse a gravedades intensas, entrando en la proximidad de agujeros negros.

Vale, creo que ya veo por donde vas. En un extremo de aproximación podemos tener un mapa de la galaxia en donde todas las estrellas se puedan considerar en reposo entre ellas. También omitiremos la gravedad para no salir de RE. En ese caso nos interesa crear un SRA para nuestra nave con el objetivo de saber cuando acelerar y frenar y llegar a al destino deseado a la velocidad deseada.

Existe un truco en RE cuando tenemos funciones de aceleración propia que dependen del tiempo propio. O sea, lo que nos interesa: Yo estoy en mi SRA y elijo hacia donde, cuando y cuanto acelerar mi nave para ir donde quiero. El truco es debido a un fenómeno súper interesante. Y es que en tu propio SR estás en reposo contigo mismo y localmente se puede aplicar la física de Newton. Me explico: para facilitar definiremos $c=1$ y una dimensión espacial para simplificar, La ecuación newtoniana

$$\Delta v=\int_{t_0}^t a(t)\dd t$$

cuando el tiempo es el propio y la aceleración es propia, adquiere otro significado en RE. Y es que esa $v$ es lo llamado "rapidez" o "rapidity". Que corresponde al ángulo hiperbólico $\theta$. De manera que con una aceleración propia $\alpha$ la ecuación quedaría como

$$\Delta\theta=\int_{\tau_0}^{\tau}\alpha(\tau)\dd\tau$$

Esto es muy útil porque por definición, el cuadrivector $U^\mu$ es

$$U^\mu=(\gamma,\gamma v)=(\cosh\theta,\sinh\theta)$$

y eso nos permite formular la siguiente definición:

$$U^\mu=\left(\cosh\left(\theta_0+\int_{\tau_0}^{\tau}\alpha(\tau)\dd\tau\right),\sinh\left(\theta_0+\int_{\tau_0}^{\tau}\alpha(\tau)\dd\tau\right)\right)$$

Si se integran las componentes con respecto de $\tau$ se obtiene la posición en el SRI "universal" con respecto del tiempo propio.

Si $U^\mu=(U^0,U^1),$ entonces la cuadriposición $X^\mu$ es

$$X^\mu=(t,x)=\left(\int_{\tau_0}^\tau U^0\dd\tau,\int_{\tau_0}^\tau U^1\dd\tau\right)$$

Esta forma general te permite saber donde y cuando acabará la nave en un tiempo $\tau$ así como su velocidad final.

Con una aceleración propia constante y con velocidad inicial igual a 0 obtenemos que

$$U^\mu=\left(\cosh \alpha\tau,\sinh\alpha\tau\right)$$

Y las posiciones serían

$$X^\mu=\left(\frac{1}{\alpha}\sinh\alpha\tau,\frac{1}{\alpha}\cosh\alpha\tau-\frac{1}{\alpha}\right)$$

Si elegimos una posición inicial igual a $\frac{c^2}{\alpha}$ o $\frac{1}{\alpha}$ tenemos que

$$X^\mu=\left(\frac{1}{\alpha}\sinh\alpha\tau,\frac{1}{\alpha}\cosh\alpha\tau\right)$$

.

Con todo esto deberías poder aislar $\tau$ para saber en que momento propio se alcanza cierta posición y velocidad en el SRI "universal".

Las coordenadas de Rindler mencionadas por Weip a las que nos referimos no parecen contener ninguna aceleración. Quizás nos puedas dar una referencia adicional.

He estado intentando derivar las expresiones de las coordenadas (X,T) de un suceso, según se verían desde los diferentes SRI que acompañan a un SRA. No he podido resolverlo completamente, pero intuyo que habría problemas como los que indicas, en especial a distancias X grandes, ya que el tiempo en las transformaciones de Lorentz se modifica tanto dependiendo del tiempo T como de la posición X.
[/TEX]

Quizás el problema es que la aceleración está implícita en las coordenadas de Rindler. No hay aceleraciones “extra” y esa aceleración propia queda “diluida” en las coordenadas. Quedaría como una curvatura intrínseca en la métrica donde la curvatura es proporcional a la aceleración propia. Es una constante en la métrica y por eso no “parece” una aceleración, ya que normalmente se considera igual a 1.

Si tomamos lo de antes como partida

$$U^\mu=\left(\cosh \alpha\tau,\sinh\alpha\tau\right)$$

$$X^\mu=\left(\frac{1}{\alpha}\sinh\alpha\tau,\frac{1}{\alpha}\cosh\alpha\tau\right)$$

,

entonces obtenemos una rotación hiperbólica para el SRA. Por lo tanto, las coordenadas de Rindler son unas coordenadas polares hiperbólicas para un sistema con aceleración constante, donde $\alpha\tau$ son las coordenadas angulares ($\alpha$ hace de "velocidad angular") y donde tu $X$ es la distancia propia de cada evento simultaneo al SRI asociado al SRA en el momento $\tau.$ Esto ocurre cuando un radio de la rotación intersecta con el evento y se mapea su posición en el momento $\tau$ correspondiente a su ángulo $\alpha\tau$. Como el dominio de $\theta$ es $(-\infty,\infty)$ por ser una rotación abierta, las coordenadas polares son isomorfas a unas coordenadas cartesianas. Pero como los radios solo pueden ser positivos, cualquier evento más allá de $\frac{1}{\alpha}$ del SRA tiene ese comportamiento "anti-causal".

Seguiré mi respuesta en otros mensajes,

Un saludo!