Consulta sobre Lagrangiano en Relatividad especial y en relatividad General

[Richard R Richard]

Resultados parciales

$\dst\frac{\partial L}{\partial \dot t}=c^2(1-\dfrac ar)\dot t$

$\dst\frac{\partial L}{\partial \dot r}=-\dfrac{\dot r}{(1-\dfrac ar)}$ corregido

$\dst\frac{\partial L}{\partial t}=c^2(1-\dfrac ar)\ddot t$

$\dst\frac{\partial L}{\partial r}=\dfrac{ac^2\dot t^2}{2r^2}+\dfrac{a \dot r^2}{2(r-a)^2}$ corregido nuevamente

luego

$\dst\frac{d}{d \tau}\frac{\partial L}{\partial \dot{t}}=c^2(\dfrac{a\dot t}{r^2}+(1-\frac{a}{r})\ddot t)$


$\dst\frac{d}{d \tau}\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=-\dfrac{\ddot r(1-\frac{a}{r})+\dfrac{\dot r^2a}{r^2}}{(1-\frac{a}{r})^2}$corregido


solo queda reemplazar e igualar a cero

$$\cancel {c^2(\dfrac{a\dot t}{r^2}+(1-\frac{a}{r})\ddot t)-c^2(1-\dfrac ar)\ddot t=0}$$

a simple vista no pinta bien

$$\cancel{\dfrac{\ddot r(1-\frac{a}{r})-\dfrac{\dot r^2a}{r^2}}{(1-\frac{a}{r})^2}=0}$$

que no se parecen a las geodésicas que hemos calculado en el hilo

las geodésicas

${{\ensuremath{\mathrm{geod}}}_1}=0=\dfrac{a\, \left( \dfrac{d}{d \lambda} \ensuremath{\mathrm{ct}}\right) \, \left( \dfrac{d}{d \lambda} r\right) +\left( \dfrac{{{d}^{2}}}{d {{\lambda}^{2}}} \ensuremath{\mathrm{ct}}\right) {{r}^{2}}-a\, \left( \dfrac{{{d}^{2}}}{d {{\lambda}^{2}}} \ensuremath{\mathrm{ct}}\right) r}{r\, \left( r-a\right) }$

${{\ensuremath{\mathrm{geod}}}_2}=0=\dfrac{2 {{r}^{4}} \left( \dfrac{{{d}^{2}}}{d {{\lambda}^{2}}} r\right) -2 a {{r}^{3}} \left( \dfrac{{{d}^{2}}}{d {{\lambda}^{2}}} r\right) -a {{r}^{2}} {{\left( \dfrac{d}{d \lambda} r\right) }^{2}}+a {{\left( \dfrac{d}{d \lambda} \ensuremath{\mathrm{ct}}\right) }^{2}} {{r}^{2}}-2 {{a}^{2}} {{\left( \dfrac{d}{d \lambda} \ensuremath{\mathrm{ct}}\right) }^{2}} r+{{a}^{3}} {{\left( \dfrac{d}{d \lambda} \ensuremath{\mathrm{ct}}\right) }^{2}}}{2 {{r}^{3}} \left( r-a\right) }$

[inakigarber]

Gracias por la corrección.

[Richard R Richard]

corregido de nuevo gracias, quizá por esos errores que no llego a fórmulas parecidas

[Weip]

Hola Richard.

$\dst\frac{\partial L}{\partial r}=0$ ???

Esta derivada es distinta de cero, la métrica de Schwarzschild depende de $r$ en todas sus componentes explícitamente, así que $L$ también depende de $r$. Es decir, los factores estos $c^2(1-a/r)...$ habría que derivarlos. Sé que es un egorro pero bueno estas cosas se hacen solo una vez en la vida. Luego ya mejor usar notación de Einstein para ir rápido.

[inakigarber]

solo queda reemplazar e igualar a cero

$$c^2(\dfrac{a\dot t}{r^2}+(1-\frac{a}{r})\ddot t)-c^2(1-\dfrac ar)\ddot t=0$$

a simple vista no pinta bien

Esta ecuación me lleva a que $\dot t=0$.

[inakigarber]

Resultados parciales

$\dst\frac{\partial L}{\partial \dot r}=\dfrac{\dot r}{(1-\dfrac ar)}$

A mi me sale;
$\dst\frac{\partial L}{\partial \dot r}=-\dfrac{\dot r}{(1-\dfrac ar)}$

[inakigarber]

Resultados parciales



$\dst\frac{\partial L}{\partial r}=\dfrac{ac^2\dot t^2}{2r^2}+\dfrac{a \dot r^2}{(r-a)^2}$ corregido

Buenas noches, llevo un tiempo revisando estos cálculos, y no se si hay un error o si el sueño me está jugando una mala pasada, pero a mí me sale, considerando que el Lagrangiano tiene el factor 1/2 multiplicando a todo el conjunto lo siguiente.

$\dst\frac{\partial L}{\partial r}=\dfrac{ac^2\dot t^2}{2r^2}+\dfrac{a \dot r^2}{2(r-a)^2}$

[inakigarber]

Buenas noches, siento por insistir, pero hay una serie de resultados que a mi no me salen a pesar de que llevo días intentando conserguirlos.

$\dst\frac{\partial L}{\partial t}=c^2(1-\dfrac ar)\ddot t$

$\dst\frac{\partial L}{\partial r}=\dfrac{ac^2\dot t^2}{2r^2}+\dfrac{a \dot r^2}{2(r-a)^2}$ corregido nuevamente

luego

Concretamente, en este segundo me sale;

$\dst\frac{\partial L}{\partial r}=\dfrac{ac^2\dot t^2}{2r^2}-\dfrac{2 \ddot {r}(1-\dfrac{a}{r})-\dfrac{a \dot r^2}{r^2}}{2\left(r-\dfrac{a}{r}\right)^2}$

[inakigarber]

Buenas noches;

He abierto este hilo, que aunque en un principio pensaba tenerlo como un hilo independiente de este, creo que es mejor relacionarlos.