Distancia radial en métrica de Schwarzschild.

[leo_ro]

Tengo una duda de como la gravedad en la cercanía de la tierra apunta hacia el centro. Quizás es dificil de describir esta duda pero si vemos un cuerpo como un satelite o la lunta o la ISS estos orbitan y de esta manera se ve claro cual es la geodesia.

La siguiente imagen muestra la trayectoria en el espacio tiempo de la tierra y el sol, ahi vemos como la tierra tiene una 4-velocidad inicial tal que no "cae" al sol. En cambio nosotros si saltamos del suelo terminaremos nuevamente en el suelo, entonces ¿Cómo es la geodesia para nosotros?


${x}^{u} = ct, r, \rho, \phi$

Una distancia en el espacio tiempo está dada por.

${dS}^{2} = {g}_{uv} d{x}^{u} d{x}^{u} = {c}^{2}{dt}^{2} - {dr}^{2} - {r}^{2}{d \rho}^{2} - {r}^{2} {sin (\rho)}^{2} {d \phi }^{2}<br />$
Si vemos el tiempo propio:

$\tau = frac{ dt}{\gamma} = \sqrt{1 - \frac{{{v}_{r}}^{2} + {{v}_{\rho}}^{2} + {{v}_{\phi}}^{2}}{{c}^{2}}} dt<br />$
La 4-velocidad es:

$v= \frac{dS}{d \tau }$

Si en el sistema de referencia que elegimos estamos quietos:

$v = \frac{c dt}{d t } = c$

Por lo tanto nos movemos en linea recta en el tiempo. Pero si la tierra está cerca nuestro

${dS}^{2} = {g}_{uv} d{x}^{u} d{x}^{u} = (1 - \frac{{r}_{s}}{r}) {c}^{2}{dt}^{2} - \frac{1}{(1 - \frac{{r}_{2}}{r})} {dr}^{2} - {r}^{2}{d \rho}^{2} - {r}^{2} {sin (\rho)}^{2} {d \phi }^{2}<br />$
donde ${r}_{s}=\frac{2 G M }{{c}^{2}}$

Nuevamente si estamos "quietos" en la tierra

$v = \frac{ (1 - \frac{ {r}_{s} }{ r } ) c dt }{dt } = c - \frac{2 G M}{c r}$

Ahi podemos ver que mientras mas cerca de la tierra mas lento será el reloj pero veo que existe una relación con la coordenada r, por lo que debo tenerla en cuenta en la velocidad:

$dS = \sqrt{ (1 - \frac{{r}_{s}}{r}) {c}^{2}{dt}^{2} - \frac{1}{(1 - \frac{{r}_{2}}{r})} {dr}^{2} }$

$v = \frac{dS}{dt} = \sqrt{ (1 - \frac{{r}_{s}}{r}) {c}^{2}- \frac{1}{(1 - \frac{{r}_{2}}{r})} \frac{{dr}^{2}}{{dt}^{2}} }$

Entonces: Si tengo que los componentes del vector son:

$t = (1 - \frac{{r}_{s}}{r}) c dt$

$r = \frac{1}{(1 - \frac{{r}_{2}}{r})} dr$

y la distancia entre 2 puntos es:

$dS = \sqrt{ (1 - \frac{{r}_{s}}{r}) {c}^{2}{dt}^{2} - \frac{1}{(1 - \frac{{r}_{2}}{r})} {dr}^{2} }$

y la velocidad es:

$v = \sqrt{ (1 - \frac{{r}_{s}}{r}) {c}^{2}- \frac{1}{(1 - \frac{{r}_{2}}{r})} \frac{{dr}^{2}}{{dt}^{2}} }$

¿Cómo coloco r en función de t? por lo que quiero hacer es una piedra en la posición r=100, soltarla y ver como es la posición radial.

¿Es simplemente $r = \int \frac{ {r}_{s} }{ (1 - \frac{t}{c dt}) }$ ?

[Richard R Richard]

¿Es simplemente $r = \int \frac{ {r}_{s} }{ (1 - \frac{t}{c dt}) }$ ?

No, no ese eso quiza te sirva que sigas los últimos hilos sobre estos temas

Calculo de geodésicas en una caida libre radial

Jugando con geodésicas en la métrica de Schwarzschild

El radio de Schwarzschild y la velocidad de escape de la mecánica clásica

Caída libre de un objeto relativista

También puedes ver

Método para graficar órbita geodésicas y trayectorias en el espacio métrico de Schwarzchild.

Saludos

[leo_ro]

Gracias Richard.

Permiteme consultarle. Los símbolos de Christoffel indican como cambia la base al desplazarse en una cordenada.

$x = {x}^{u} {e}_{u} = ct {x}_{0} , r {x}_{1}, \rho {x}_{2} , \phi {x}_{3}$

tal es así que si

$\frac{d{x}_{u}}{d {x}^{0} } = { \alpha}^{0}_{00} {x}_{0} + { \alpha}^{1}_{10} {x}_{1} + { \alpha}^{2}_{20} {x}_{2} + { \alpha}^{3}_{30} {x}_{3} = { \alpha}^{u}_{v 0} {x}_{u}$

Es decir, vemos como varían las bases por un cambio diferencial en la dirección temporal, generalizamos:

$\frac{d{x}_{u}}{d {x}^{\alpha} } = { \alpha}^{u}_{v \alpha} {x}_{u}$

Los símbolos de Christoffel nos indican como cambian las bases pero ¿Por qué lo utilizan para la métrica? ¿Son los mismo que para el cambio de base?