Caída libre en una nave en órbita

[Lorentz]

Permitidme volver a intentar dar un poco más de claridad al asunto, esta vez desde la gravedad newtoniana para complementar a Richard. Pola, ¿qué entiendes tú por un objeto que esté en caída libre? De forma sencilla sería "un objeto sobre el que actúa sólo la fuerza gravitatoria". Si te das cuenta esto también lo cumple un objeto en órbita, no hay ninguna otra fuerza (asumamos una vaca esférica en el vacío) que actúe sobre ella. Es decir, en la segunda ley de Newton sólo tenemos la fuerza gravitatoria:

$\dst m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = -\frac{GMm}{r^2} \hat{r}$

Creo que tu problema viene en cómo entiendes el sistema de referencia. Si estás usando coordenadas cartesianas, claro que necesitas sumar la velocidad horizontal y la vertical para obtener la velocidad total del objeto, si no, no podría seguir una trayectoria distinta a una recta. Sin embargo, en estas circunstancias habitualmente se utilizan coordenadas polares y si estamos en una órbita circular solamente tendremos una componente angular no nula (sólo varía en $\theta$), que es justamente la velocidad $\dst v= \sqrt{\frac{GM}{r}}$

No necesitas ninguna fuerza distinta a la gravitatoria para tener un objeto en órbita.
Del mismo modo, no hay ninguna fuerza que no sea gravitatoria actuando sobre un objeto en caída libre.

Pero veamos una última cosa. Si la distancia no cambia mucho con respecto al radio de la tierra, como cuando lanzamos un balón hacia arriba, es decir $\dst R = r + h$ siendo $\dst h \ll r$ puedes asumir que la fuerza gravitacional es esencialmente la misma, simplificando mucho la ecuación diferencial, ahora siendo g el valor de la gravedad una "constante" de en torno a 9.81 m/s^2 en la superficie terrestre:

$\dst m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = -mg \hat{r}$

Y esta es la expresión clásica que se utiliza para entender el movimiento de un balón que dejas caer desde un edificio por ejemplo. Es interesante ver que la masa no juega ningún papel en esta última ecuación, es decir, una pluma y un martillo caen igual, si no hay otras fuerzas en juego. Me estoy desviando pero es que me parece muy bonito. Adjunto el video en el que muestran el experimento de la pluma y el martillo en la luna.

https://youtu.be/Oo8TaPVsn9Y?si=IvYJw5zJY9eUxiSu

En mi primer mensaje fui directo a la Relatividad General porque cuando yo la estudié, fue cuando yo entendí de manera más intuitiva lo que pasaba, pero me parece que sólo lo compliqué, y me disculpo. Espero que esta explicación te haya servido más. Por otra parte, si te quedas con ganas de más, puedes echar un ojo a la ecuación de Binet, en el que se ve claramente que un objeto sobre el que actúa sólo la fuerza newtoniana tiene como solución general una cónica y dependiendo de la excentricidad se tienen círculos, elipses, parábolas o hipérbolas. Recuerdo que cuando empecé la carrera hace 10 años este fue uno de los problemas que más me cautivaron.
Un saludo, si puedo echar algún cable más, dímelo sin problemas

[Pola]

Muchas gracias por la reseña, Lorentz.
Perdona en primer lugar el retraso en la respuesta
pero la verdad es que no la esperaba y no he vuelto a entrar hasta hoy, que me ha venido el asunto otra vez a la cabeza.
La he leído con atención, tratando de entenderla.
Hay en ella alguna idea que me queda clara. En las dos situaciones sólo influye la fuerza de la gravedad. Entonces me pregunto: y por qué razón dos objetos que se mueven únicamente por causa de la misma fuerza tienen trayectorias / movimientos diferentes?
Otra pregunta que me hago. Creo entender, por tu respuesta, que parte del problema que tengo se debe al sistema de referencia. Y entonces pienso que como rs posible que la realidad cambie según el sistema de referencia. No me entra esa idea en la cabeza.
Va por delante que te agradezco de verdad tu atención y tu tiempo para intentar ayudarme a comprender.
Te pido que entiendas que mi respuesta no es en absoluto por discutir tus argumentos. Son solo las dudas que se me presentan cuando trato de entender tu explicación.
Si puedes seguir ayudándome, pues genial.
Una última cosa. Tengo en la cabeza que un objeto que se mueve siguiendo una geodésica no experimenta fuerza alguna. Es correcto?

[Richard R Richard]

Muchas gracias por la reseña, Lorentz.

Una última cosa. Tengo en la cabeza que un objeto que se mueve siguiendo una geodésica no experimenta fuerza alguna. Es correcto?

Claro que es correcto, y si te puedes dar cuenta de ello, te puedes preguntar porque existen diferentes geodesias o trayectorias diferentes,... pues la respuesta es que cada inicia con una velocidad y/o posición diferentes.

Revisa la ecuacion de una geodesica obtenida por calculo diferencial en RG, fijate si es independiente del valor y dirección de la velocidad inicial y saca tus conclusiones.

Como ayuda te digo, lanza una pelota de tenis verticalmente hacia arriba, y esta vuelve y te pega, si la lanzas oblicuo no sucede... cambian la fuerzas que actúan sobre la pelota en el vuelo? (desprecia el rozamiento del aire )

[Lorentz]

Por supuesto que no hay ningún problema, es un placer, y en ningún momento me he tomado a mal tus dudas. Lo único que estoy bastante ocupado así que puedo tardar en responder.
De hecho, no es para nada una pregunta trivial la que haces, y lo que ha dicho Richard es un punto clave para entenderlo bien. Efectivamente una geodésica es la trayectoria que sigue un objeto sobre una superficie cuando no está actuando ninguna fuerza sobre él. Y en este caso esa superficie es el propio espacio-tiempo.

Antes de volver al tema permíteme desviarme tangencialmente y ponerte un ejemplo de otra circunstancia en la que el sistema de referencia parece implicar una "realidad física distinta". Resulta que puedes escoger un sistema de referencia en el que un campo eléctrico se vea como un campo magnético. Esto me fascinó cuando lo estudié. En relatividad especial se ve cómo los campos eléctricos y magnéticos se transforman al cambiar de sistema de referencia inercial. Lo curioso es que están relacionados entre sí. Imagina, por poner un ejemplo, que tienes un sistema en el que no tienes campo magnético $B = (0,0,0)$, pero sí eléctrico $E = (0, E_y,E_z)$. ¿Qué verías desde otro sistema que se mueve a velocidad constante respecto al primero? En primer lugar, el campo eléctrico estaría escalado por un factor dependiente de la velocidad, el factor de Lorentz, $E’ = \gamma (0, E_y, E_z)$, pero ahora viene lo más curioso, también verías un campo magnético $\dst B’ = \frac{\gamma \beta}{c} (0, E_z, -E_y)$. Parece cosa de magia, ¡simplemente por cambiar de sistema de referencia ha aparecido un campo magnético! Pero no, no es que los campos magnéticos y eléctricos correspondan a realidades distintas, sino que esta correspondencia nos indica una idea subyacente mucho más intrigante, y es que son parte de la misma cosa. Es decir, para entender el fenómeno por completo es necesario considerar todo el conjunto. Es como cuando lanzas una moneda. No tienes dos realidades distintas en las que en una la moneda es cara y otra en la que es cruz (y otra tercera en canto). Lo que existe es la moneda. Pues del mismo modo lo que existe es el campo electromagnético y dependiendo del sistema de referencia que escojas verás uno, otro o los dos a la vez.

Otro ejemplo, imaginemos que vas en un tren y lanzas una pelota hacia arriba y cae en tu mano. Vale la pelota va en línea recta, sube y baja, easy peasy lemon squeezy. Pero un observador en reposo verá que primero tenía una velocidad horizontal (la del tren) y luego una vertical (cuando la lanzas), de modo que la pelota para él seguirá una trayectoria en forma de arco. La realidad sigue siendo la misma, sólo que la percibes de manera distinta.

Eso es lo que pasa con el caso de la caída libre y orbitar. Es el mismo fenómeno percibido de manera distinta. No es una realidad diferente, sino que, dependiendo del sistema de referencia, la manera en cómo lo percibas será distinta. Desde el punto de vista de la nave del astronauta que orbita alrededor de la Tierra el fenómeno que siente es el de caer, permanentemente. Desde el punto de vista del observador en la Tierra, la nave orbita. Misma realidad, distinta percepción, ninguna es más real que la otra.

De nuevo aquí se nos plantea otra realidad subyacente mucho más interesante, al igual que en el caso del campo electromagnético hay algo más profundo que explica lo que está pasando en esta situación. Y eso es lo que nos desvelan las ecuaciones de Einstein. La energía (o masa) curva el espacio-tiempo y esa masa se mueve por ese espacio-tiempo curvado. Pero nosotros lo interpretamos como caer o como orbitar.

[Pola]

Genial la explicación, Lorentz! Me ha encantado. Muchas gracias!
Y Gracias por supuesto también a Richard. Y pensando en su respuesta.

Perdonar una última pregunta: me imagino un avión volando muy alto que va en linea recta y a velocidad constante desde España a la costa oeste de EEUU. Imagino que también sigue una geodesica. En qué se diferencia ésa situación de una nave en órbita que hace la misma trayectoria un poco más arriba? Por qué una siente la gravedad y la otra no? Quiero decir: por qué si un pasajero del avión suelta una moneda en el aire, cae sl suelo del avión y en la nave no?

[Richard R Richard]

Hola,Pola, el avión no viaja sobre una geodesia de espacio tiempo, las trayectorias geodésicas son aquellas en la que el objeto de prueba no está sometido a ninguna fuerza, es decir para el caso Newtoniano, solo actuaría la gravedad, y para la relatividad , sigue la trayectoria es la que permite la métrica del espacio, sin que se provea otra energía o fuerza. Pero el avión está continuamente acelerado hacia arriba, por la fuerza de sustentación, esa aceleración hacia arriba es la que te hace ver que la moneda (que sí sigue una geodésica) la veas ir hacia abajo ,cuando eres tú el que va hacia arriba en ese espacio tiempo.

Recuerda que permanecer estático o a la misma altura en un espacio tiempo es similar a estar acelerando en un lugar sin gravedad o espacio métrico de Minkowsky.

Volviendo en el caso del avión esa aceleración la da la sustentación, (no hay caida libre pues hay fuerza, justamente el termino libre significa libre de otras fuerzas), pero en el espacio exterior no hay sustentación , la nave cae pero continuamente esquiva a la tierra debido a la componente de velocidad transversal, por otro lado si el avión deja de tener sustentación inevitablemente cae pero no esquiva la tierra.*

Del mismo modo las monedas caen al suelo sobre la superficie de la tierra, porque continuamente el suelo nos acelera hacia arriba en el espacio tiempo, por eso estar parado sobre la tierra es lo mismo que acelerar a 1g en una nave espacial, salvo fuerzas despreciables de marea.

* para esquivarla debe ir tan rápido mucho mas de 8 km/s (mach 20, lo mas rápido hoy es mach 6) que el rozamiento del aire calentaría el fuselaje derritiendolo y haciendolo una bola de fuego

[Pola]

Entendido.
Pues muchas gracias a los dos por vuestra paciencia y vuestro tiempo. A veces se lía uno solo con ejemplos que le confunden.
Creo que ya lo tengo claro.
Gracias de nuevo y un saludo.