Divulgación Consulta sobre matrices de Lorentz

[inakigarber]

Buenas tardes;
Quisiera saber como puedo determinar si la siguiente matriz en una matriz de Lorentz;$A=\begin{pmatrix}<br /> \sqrt{3} & \sqrt{2} &0 &0 \\1 & \sqrt{6}/2&1/2&1/2\\1&\sqrt{6}/2&-1/2&-1/2\\0&0&-\sqrt{2}/2&\sqrt{2}/2<br /> \end{pmatrix}$
Bien, si no estoy equivocado una de las condiciones de las matrices de Lorentz es que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . En este caso se cumple, pero no sé como podría reducir esta matriz a esta otra situación;
$\begin{pmatrix} a & -b \\-b & a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} a & b \\b & a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix}$. En resumen ¿Que caracteristicas distintivas tienen estas matrices? ¿son todas las matrices de Lorentz cuadradas? (aparte de la ya mencionada [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ).
Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre matrices de Lorentz

Hola.

Bien, si no estoy equivocado una de las condiciones de las matrices de Lorentz es que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

En realidad, esa condición la cumplen todas las matrices invertibles. La condición que ha de cumplir una matriz para ser de Lorentz es dejar invariante la métrica de Minkowski. En notación matricial $A^TgA=g$.

¿son todas las matrices de Lorentz cuadradas?

Sí, sino no serían invertibles.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre matrices de Lorentz

En realidad, esa condición la cumplen todas las matrices invertibles. La condición que ha de cumplir una matriz para ser de Lorentz es dejar invariante la métrica de Minkowski. En notación matricial $A^TgA=g$.

Gracias por tu respuesta, de momento solo quisiera añadir dos detalles.
En la notación que pones, para que la igualdad permanezca constante y tenga sentido físico, si lo que tengo a la izquierda es el producto de dos matrices cuadradas, el resultado de la derecha también tiene de ser otra matriz cuadrada del mismo orden. Yo lo entiendo así (a ver si no me equivoco) $A^TgA=gI$, por otra parte si g es siempre un escalar (cosa que no estoy seguro), entonces ¿no podríamos expresarlo asi?
$A^TA=I$

Por otra parte, revisando esta última expresión, me da la impresión de que está mal. Ya que solo sería valida para A=I (es decir A=matriz identidad), no ¿debería tener la segunda matriz un exponente negativo?
Tal como este $A^TA^{-T}=I$.
En fin, no tengo mas que dudas y más dudas.

[Weip]

Re: Consulta sobre matrices de Lorentz

Hola de nuevo.

Yo lo entiendo así (a ver si no me equivoco) $A^TgA=gI$, por otra parte si g es siempre un escalar (cosa que no estoy seguro), entonces ¿no podríamos expresarlo asi?
$A^TA=I$

No no, $g$ es la matriz de la métrica de Minkowski $ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$, es una matriz 4x4:

$g=\left( \begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)$

Entonces $A^TgA=g$ es una matriz 4x4. ¿Esta matriz la habías visto anteriormente? Si no entonces me entretengo más en la explicación.

Por otra parte, revisando esta última expresión, me da la impresión de que está mal. Ya que solo sería valida para A=I (es decir A=matriz identidad)

Existen muchas matrices que cumplen $A^TA=I$ con $A$ distinta de la matriz identidad. Las matrices que cumplen $A^TA=I$ se les llama matrices ortogonales. Por ejemplo la matriz $A=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right)$ es una matriz ortogonal, y no es la matriz identidad. Compruébalo a ver si te sale. He puesto una matriz 2x2 por simplificar, pero existen matrices ortogonales de cualquier orden.

Espero haberte ayudado.

Edito: En este enlace puedes ver más ejemplos de matrices ortogonales.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre matrices de Lorentz

Buenas tardes.
He sido victima de mi propia ignorancia, cuando leía $A^TA=I$, interpretaba $A^T$, donde entendía que T era un número, pero no $A^T$ significa matriz transpuesta de A. Creo que ahora el asunto adquiere un cariz bastante diferente.
Seguiré repasando el post.

[Weip]

Re: Consulta sobre matrices de Lorentz

Buenas. Si ha sido mucha información de golpe entonces céntrate mejor en que las transformaciones de Lorentz son aquellas que cumplen $A^TgA=g$ e intenta comprobar que la matriz que pusiste al principio es de Lorentz. Ya en otro momento entramos en el tema de las matrices ortogonales y la condición $A^TA=I$, que es un tema muy relacionado con las transformaciones de Lorentz, pero también es muy amplio y es fácil perderse.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre matrices de Lorentz

Si, la matriz que puse al principio es una matriz de Lorentz.

$$A=\begin{pmatrix}\sqrt{3} & \sqrt{2} &0 &0 \\1 & \sqrt{6}/2&1/2&1/2\\1&\sqrt{6}/2&-1/2&-1/2\\0&0&-\sqrt{2}/2&\sqrt{2}/2\end{pmatrix}$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$g=\left( \begin{matrix}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)$$

Bien, ahora hacemos el producto, premultiplicando primero $gA$, y luego postmultiplicando $A^T$ por el producto anteriormente obtenido, y el resultado que obtengo es g, Luego en este caso si se da $A^TgA=g$.
Otra cosa es que alguna vez alcance a entender la consistencia física que esta ecuación matricial tiene, pero eso depende de mi neurona alcance a entenderlo.


Saludos y gracias.