Tensor de Ricci

[Richard R Richard]

Re: Tensor de Ricci

2.- Creo que Richard tiene un 'gazapo' de signo en el termino
$\dst{2\frac{\dot{c}}{c}\frac{\dot{a}}{a}}$ en su blog 'Ecuacion de estado en la metrica FLRW
con velocidad de la luz variable' en la 2ª ecuacion de Friedmann modificada.

Hola hoy he revisado nuevamente lo que alriga ya me había hecho comentario, y modifique en su momento...

yo no encontré errores en la formula final, modifique la deducción para ser mas claro, si puedes ser mas especifico , si aun lo encuentras erróneo, hazme el comentario en el blog, que intento corregir...

Y esto SI funciona correctamente. (Las he probado con varios Modelos y son
coherentes).

pues genial!!!!, si puedes y quieres, pasa alguno de los resultados de los que probaste, que funciones $c=f(t)$ probaste ? lineales, hiperbólicas, exponenciales hiperbólicas, que te arrojan?

alguno se condice con la constante Ho actual?, alguno no?

Si los haces abre otro hilo para debatirlo coloca el enlace y dejemos este hilo para hablar del tensor de Ricci

Re: Tensor de Ricci

Hola.

Re.abro este hilo para eliminar errores.

Hace 2 años generalizamos junto con Richard y algunos mas, las ecuaciones de
Friedmann para el caso que la velocidad de la luz fuese una variable en función
del factor de escala. De esto salieron 2 ecuaciones: (Solo para Modelos planos.)

$\dst{H^2=H_0^2\frac{c_0^2}{c(a)^2}(\sum_{i}\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})}$

$\dst{\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{1}{2}H^2-\frac{3}{2}H_0^2(\sum_{i}w_i\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})+H\frac{\dot{c}(t)}{c}}$

Y decia que en la practica estas 2 ecuaciones eran incoherentes siempre que
la velocidad de la luz no fuese constante.Es decir, la aceleracion del factor de
escala deducida de la 1ª ecuacion era diferente de la aceleracion del factor de
escala de la 2ª ecuacion.

Ahora, repasando la deduccion de las formulas que hice, me he dado cuenta
que la 2ª formula contiene 2 errores. Y al final, realmente es asi:

$\dst{\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{1}{2}H^2-\frac{3}{2}H_0^2\frac{c_0^2}{c(a)^2}(\sum_{i}w_i\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})-H\frac{\dot{c}(t)}{c}}$

Y esto SI funciona correctamente. (Las he probado con varios Modelos y son
coherentes).

Y para finalizar:

1.- Disculpas a Cequiel porque mi post #3 de su hilo 'El universo no se expande, es la
luz que disminuye' es falso.

2.- Creo que Richard tiene un 'gazapo' de signo en el termino
$\dst{2\frac{\dot{c}}{c}\frac{\dot{a}}{a}}$ en su blog 'Ecuacion de estado en la metrica FLRW
con velocidad de la luz variable' en la 2ª ecuacion de Friedmann modificada.

3.- Como estos modelos son tan validos como los modelos normales con c = cte,
creo que podrian ser interesantes porque tienen la propiedad de 'simular' una
constante de Hubble diferente de la constante de Hubble base (H0). Es decir,
Cuanto mas pequeño es el factor de escala, mas pequeña es la constante de Hubble
'simulada'. Es decir, por ejemplo:
Si yo tomo un Modelo Standart con H0 = 73 Km/seg/MPc y c = c0 a^(-1/64),
para a = 0.001 (CMB)...'simula' una constante de Hubble aprox.= 65 Km/seg/MPc...
y c aprox.= 1.11 c0.

Un saludo.

Re: Tensor de Ricci

Hola.

Bien...Para finalizar, yo casi podría asegurar que estos modelos cosmologicos en base
a la RG, con velocidad de la luz variable, a pesar que la teoria te deja 'jugar' con ellos,
luego, cuando los 'ejecutas'...no funcionan...es decir, son incoherentes.

Voy a tratar de explicarme:

En la RG con c=cte:

$\dst{H^2=H_0^2(\sum_{i}\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})}$

$\dst{\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{1}{2}H^2-\frac{3}{2}H_0^2(\sum_{i}w_i\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})}$

Esto funciona siempre. Es decir, siempre cumple:

$\dst{\frac{\Delta\dot{a}}{\Delta t}\simeq \ddot{a}=\frac{d\dot{a}}{dt}}$

(Aqui hay unos coeficientes 'w_i' que solo pueden tener valores (+1, +2/3, +1/3, 0,
-1/3, -2/3, -1). Esto hace que los exponentes de '1/a' sean siempre enteros y positivos y que
haya una correspondencia coherente entre la primera ecuacion y la segunda ecuacion.

Cuando hacemos c = f(a):

$\dst{H^2=H_0^2\frac{c_0^2}{c(a)^2}(\sum_{i}\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})}$

$\dst{\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{1}{2}H^2-\frac{3}{2}H_0^2(\sum_{i}w_i\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})+H\frac{\dot{c}(t)}{c}}$

El factor $\dst{\frac{c_0^2}{c(a)^2}}$ ,lo que hace es 'modificar' el 'modelo' (1) de la 1ª ecuacion.

Si uso una c = f(a), entonces, los exponentes de la 2ª ecuación no se corresponden con
los exponentes de la 1ª ecuación y el sumando $\dst{H\frac{\dot{c}(t)}{c}}$ no compensa la diferencia.

Si uso los mismos exponentes en el modelo.1 y en el modelo.2 con sus 'w_i' correspondientes entonces:

$\dst{H\frac{\dot{c}(t)}{c}=0}$

Y entonces, c = cte...

En todos los casos:

$\dst{\frac{\Delta\dot{a}}{\Delta t}\simeq \frac{d\dot{a}}{dt}}$

$\dst{\ddot{a} \neq \frac{d\dot{a}}{dt}}$

Yo creo que esto, tal como está planteado, no tiene solución coherente.
(Hay una serie de resultados con modelos simples, de un solo componente, que me
hacen pensar que el sumando $\dst{H\frac{\dot{c}(t)}{c}}$ no es así...(como minimo
es $\dst{-H\frac{\dot{c}(t)}{c}}$ ))

Gracias y un saludo.

Re: Tensor de Ricci

Hola

1.- Para la 1ª ecuacion de Friedmann, yo hago:

$\dst{\frac{3\dot{a}}{a^2}=T_{00}\:g_{00}\:\:;\:\:T_{00}=-\frac{8 \pi G}{c^4}\delta_E}$

Y para la 2ª ecuacion de Friedmann:

$\dst{\frac{2a\dot{a}\dot{c}}{c^3}-\frac{\dot{a}^2}{c^2}-\frac{2a\ddot{a}}{c^2}=T_{11}\:g_{11}}$

$\dst{T_{11}=\frac{8 \pi G}{c^4}\:p}$

Y sus derivados:

$\dst{H^2=H_0^2\frac{c_0^2}{c(a)^2}(\sum_{i}\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})}$

$\dst{\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{1}{2}H^2-\frac{3}{2}H_0^2(\sum_{i}w_i\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})+H\frac{\dot{c}(t)}{c}}$

2.-

$\dst{\dot{a}=a\:H\:\:;\:\:\frac{d\dot{a}}{dt}=a\frac{dH}{dt}+H\frac{da}{dt}=a\frac{dH}{da}\frac{da}{dt}+H\frac{da}{dt}}$

Y conocemos $\dst{\frac{da}{dt}}$ y H = f(a).

$\dst{\dot{c}=\frac{dc}{dt}=\frac{dc}{da}\frac{da}{dt}}$

3.- No sé. Por mucho que repaso y repito el desarrollo de ecuaciones y el programa que las
ejecuta no consigo que esto funcione.

Me explico:

3.1.- Si tomo el Modelo Standard, con c= cte y ejecuto las ecuaciones:

Todo concuerda, es decir, siempre, para cualquier factor de escala:

$\dst{\frac{\Delta\dot{a}}{\Delta t}\simeq \ddot{a}=\frac{d\dot{a}}{dt}}$

Y el punto de inflexion de $\dst{\dot{a}}$ coincide con el cambio de signo de $\dst{\ddot{a}}$.

3.2.- Si tomo el mismo Modelo Standard, con $\dst{c=c_0\:a^{-\frac{1}{4}}}$ y ejecuto las ecuaciones:

NO concuerda, es decir, para cualquier factor de escala:

$\dst{\frac{\Delta\dot{a}}{\Delta t}\neq \ddot{a}\neq \frac{d\dot{a}}{dt}}$

Ni el punto de inflexion de $\dst{\dot{a}}$ coincide con el cambio de signo de $\dst{\ddot{a}}$.

Ni tan siquiera esto:

$\dst{\frac{\Delta \dot{a}}{\Delta t}\simeq \frac{d \dot{a}}{dt}}$

Esto solo se cumple para a = 1:

$\dst{\frac{\Delta\dot{a}}{\Delta t}\simeq \ddot{a}=\frac{d\dot{a}}{dt}}$

Quizas esto no es correcto:

$\dst{\frac{dH}{da}=\frac{d}{da} H_0 (\Omega_m a^\frac{-5}{2}+\Omega_ra^\frac{-7}{2}+\Omega_\Lambda a^\frac{1}{2})^\frac{1}{2}=}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero esto es lo que me dice WolframAlfa para Omegas y 'a' positivas.

O quizas es que la RG tiene la condicion previa que c = cte...???

O quizás es que también hay que hacer G = f(a) para que compense la c = f(a) y G/c^4 = cte...??? (Pero esto yo creo que es mucho mas especulativo...)

Un misterio!!!
Gracias y un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Tensor de Ricci

Y R_11 que difiere en 2 signos...

creo que era un error de latex, o mas bien como formule el lenguaje para escribir la formula,

Aun así no veo porque el Ricci queda con los signos invertidos, lo que en definitiva,me deja invertido el signo de ambas ecuaciones de friedmann en la relacion del tensor energia momento

3.- Estoy haciendo una prueba .....

$\dfrac{d\dot{a}}{dt}=+0.4603058E-36\:\:(1/seg^2)\:\:$(acelerando)}

disculpa paro no veo de donde surge la que forma en que calculas $\dfrac{d\dot{a}}{dt}$

[CharlesMcAndrew]

Re: Tensor de Ricci

Simplemente dejo constancia de que para el cálculo tensorial habitual aparte de mathematica se puede usar máxima, que lo lleva de serie y no necesita pacakages externos. En particular Ctensor permite cálcular el tensor de Ricci de manera muy directa.

http://maxima.sourceforge.net/docs/m...maxima_26.html

Una gran ventaja de máxima sobre mathematica (aparte de ser software gratuito) es que está disponible para android y lo puedes usra en el tablet o móvil. https://play.google.com/store/apps/d...p.yhonda&hl=es

Re: Tensor de Ricci

Hola.

1.- Hago k = 0 y constante cosmológica = 0 porque solo quiero trabajar con modelos
planos. De cualquier forma, no tiene importancia porque luego las incluiré cuando cambie las
ecuaciones de Friedmann con las ecuaciones de estado. (w = - 1/3 para la curvatura y
w = -1 para la cte cosmologica))

2.- Con Richard tenemos R_00, R y las 2 ecuaciones de Friedmann invertidas en signos.
Y R_11 que difiere en 2 signos...

3.- Estoy haciendo una prueba con un modelo que me ha parecido interesante.

He hecho:

$\dst{c=\frac{c_0}{a^\frac{1}{4}}}$

$\dst{\Omega_{masa}=0.3088244\:;w=0}$

$\dst{\Omega_{radiacion}=0.0000756\:;w=\frac{1}{3}}$

$\dst{\Omega_{curvatura}=0.6911\:;w=-\frac{1}{3}}$

Y anulo:

$\dst{\Omega_{\Lambda }=0.0\:;w=-1}$

Y obteniendo de la 1ª de Friedmann:

$\dst{H^2=H_0^2\frac{c_0^2}{c(a)^2}(\sum_{i}\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})}$

Y de la 2ª de Friedmann:

$\dst{\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{1}{2}H^2-\frac{3}{2}H_0^2(\sum_{i}w_i\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})+H\frac{\dot{c}(t)}{c}}$

Y calculando...

Pero no me funciona !!!

Por ejemplo:

a = 0.9999
t = 14340.23 (Ma) = 0.4522334E+18 seg
H=0.2195499E-17 (1/ seg)
c=1.000025 x c0 (cm/seg)
H0 = 2.1953E-18 (1/seg)

$\dst{\dot{a}=0.2195279E-17\:\:(1/seg)}$

$\dst{\ddot{a}=-0.5280472E-35\:\:(1/seg^2)\:\:(desacelerando)}$

$\dst{\frac{d\dot{a}}{dt}=+0.4602918E-36\:\:(1/seg^2)\:\:(acelerando)}$

Y:

a = 1.0000
t = 14341.67 (Ma) = 0.4522790E+18 seg
H=0.2195300E-17 (1/ seg)
c=1.000000 x c0 (cm/seg)
H0 = 2.1953E-18 (1/seg)

$\dst{\dot{a}=0.2195300E-17\:\:(1/seg)}$

$\dst{\ddot{a}=-0.5280012E-35\:\:(1/seg^2)\:\:(desacelerando)}$

$\dst{\frac{d\dot{a}}{dt}=+0.4603058E-36\:\:(1/seg^2)\:\:(acelerando)}$

Un mismo parámetro, calculado de 2 formas diferentes, con diferentes valores...???
No sé porque ni encuentro el error...

Gracias y un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Tensor de Ricci

Hola FVPI no he revisado todo pero las componentes 11,22,33 del tensor dependen de k , factor que no inclyes en tu formula.

Re: Tensor de Ricci

Hola Richard.
Si hacemos:

$\dst{g_{00}=-c^2\:;\:g_{11}=a^2\:;\:g_{22}=a^2r^2\:;\:g_{33}=a^2r^2sen^2\theta}$

$\dst{R_{00}=-\frac{3\ddot{a}}{a}+\frac{3\dot{a}c'}{ac}}$

$\dst{R_{11}=-\frac{a\dot{a}c'}{c^3}+\frac{2\dot{a}^2}{c^2}+\frac{a\ddot{a}}{c^2}}$

$\dst{R_{22}=R_{11}\:r^2\:;R_{33}=R_{11}\:r^2\:sen^2\theta}$

Me sale un escalar de Ricci:

$\dst{R=+\frac{6}{a^2c^2}(\ddot{a}a-\frac{a\dot{a}c'}{c}+\dot{a}^2)}$

Y aplicando las ecuaciones de Einstein:

$\dst{R_{00}-\frac{1}{2}R\:g_{00}=T_{00}\:g_{00}}$

$\dst{R_{11}-\frac{1}{2}R\:g_{11}=T_{11}\:g_{11}}$

Y:

$\dst{T_{00}=-\frac{8\pi G}{c^4}\:\delta_{E}}$

$\dst{T_{11}=\frac{8\pi G}{c^4}\:p}$

Me salen las 2 ecuaciones de Friedmann modificadas:

(Conservacion de la Energia)

$\dst{(\frac{\dot{a}}{a})^2=\frac{8\pi}{3}\:\frac{G}{c^2}\:\delta_E}$

(Equilibrio de Fuerzas)

$\dst{(\frac{\dot{a}}{a})^2+\frac{2\ddot{a}}{a}-\frac{2\dot{a}c'}{ac}=-\frac{8\pi\:G}{c^2}\:p}$

(El hecho que considere curvatura = 0 y constante cosmologica = 0, para mi, no tiene
importancia porque luego las puedo incluir cuando cambie estas ecuaciones con las
ecuaciones de estado. (w = - 1/3 para la curvatura y w = -1 para la cte cosmologica))

Repasalo si tienes un momento.
Gracias y un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Tensor de Ricci

Hola FVPI en base a los errores que marcaste he revisado el Blog, que he hecho a mano y algo de excel para que la memoria no falle, pero falla...
las derivaciones de los errores, cambian otros resultados, y me llevo tiempo revisar y mas que nada me llevo tiempo encontrar los apuntes para ver donde meti la pata.

Revisa a ver si coincidimos Gracias

Saludos

Re: Tensor de Ricci

Hola Richard.
Creo que en tu blog que menciona Alriga tienes 1 error...(En un momento
escribes el termino de Ricci (R_00) de una forma y mas abajo, cuando planteas
la ecuacion de Einstein, la escribes y la calculas de otra...)
Y seguramente debe haber algún problema con los signos...
Esto hace que ese termino extra que te aparece en la primera ecuacion de
Friedmann tenga un coeficiente de 4...Cuando en realidad deberia ser 6...ó 0...
A mi, me sale 0...O sea, que el termino geometrico de la primera ecuacion
de Friedmann es independiente de la funcion c = f(a)...
(Esto me parece logico).
No pasa lo mismo con el termino de Energia, porque aquí si interviene la
funcion c(a)...
(Ten en cuenta que yo considero curvatura = 0 e integro la constante cosmologica
dentro del termino sumatorio de densidades de Energia).
Al final, a mi, me sale:

$\dst{H^2=H_0^2\frac{c_0^2}{c(a)^2}(\sum_{i}\Omega_i(\frac{1}{a})^{3(1+w_i)})}$

Gracias y un saludo.

Re: Tensor de Ricci

Hola Weip y Richard.
He comparado vuestros 2 terminos de Ricci y he visto diferencias:
Disculpad si me equivoco.

1.- En cuanto a R_00:
Yo creo que el termino correcto debe ser:

$\dst{R_{00}=\frac{3\dot{a}\dot{c}}{ac}-\frac{3\ddot{a}}{a}}$

(El R_00 de Weip creo que no es dimensionalmente correcto y el R_00 de
Richard tiene un problema de signos y probablemente le falta un '3')

2.- Y en cuanto al factor comun de R_11, R_22 y R_33:
Yo creo que el factor correcto debe ser:

$\dst{\frac{-a\dot{a}\dot{c}+2c\dot{a}^2+ac\ddot{a}}{c^3}}$

(El factor de Weip creo que no es dimensionalmente correcto y el factor
de Richard tiene un problema de signos)

3.- Si fuese asi, cuadraria tambien con el tensor de Ricci clasico FLRW haciendo
c(a) = c = cte.

Gracias y un saludo.

P.S. Yo creo que es mejor plantear c(a) en vez de c(t) porque al final me voy a encontrar con
una integral dt = f(a) da, que tendrá fácil solución, en vez de una integral f(t) dt = f(a) da,
que puede tener una solución complicada...

[Richard R Richard]

Re: Tensor de Ricci

Usando este código de Mathematica me ha salido esto:

Nahhh....me esta cachando y yo al estilo 1906....

Gracias Weip.
Una forma que se me ocurre para comprobar estos terminos es hacer:

$\dst{c(a)\:=\:c\:=\:cte}$

Con respecto a lo que calcule hace tiempo en mi blog hay una inversión de signos, que no influye en nada al significado físico.

Cuando haces $c=cte$ hay sumandos que dependen de $\dot c$ que se vuelven nulos, y observando las ecuaciones de Friedmann entonces

$-8\:\pi\:G\:\delta = 3 \dfrac{\dot{a}^2}{a^2} + 3 \dfrac {k\:c^2}{a^2} \mathbf{+4 \dfrac{\dot{a}\dot{c}}{ac}}+ \Lambda c^2$

y

$\dfrac{8\:\pi\:G\:p}{c^2} = 2 \dfrac{\ddot{a}}{a}\mathbf{+ 2 \dfrac{\dot a \dot c}{ac}}+\dfrac{\dot{a}^2 }{a^2}+\dfrac{ k\:c^2}{a^2} + \Lambda\:c^2$

lo que esta en negritas se vuelve 0 y obtienes las ecuaciones de Friedmann originales

Sí, pero, para el caso de la mecánica clásica, Ho y, en general, H no dependen de c, por lo que, aun siendo c infinito, Ho no es necesariamente cero, como puedes ver aquí.

Pues claro tienes razón Jaime si $c=\infty$ si hubiera una una función $H=f(c,t)$ es evidente que H en definitiva converge a un único valor para cada $t$ y esto es significa que es independiente de $c$.




En definitiva lo que altera el modelo de velocidad de la luz variable, es una función de $\dfrac{\dot{a}\dot{c}}{ac}$

es decir una función de las tasas de variación del factor de escala y la velocidad de la luz con respecto a los valores actuales.

Un problema es determinar cual es la funcion c(a) porque no parece que 'c'
haya variado mucho entre la epoca del CMB y la actual...
(Quizas en las transiciones de fase...)

En realidad te refieres a determinar como es $c(t$) y con los datos experimentales se podría especular sobre $c(a)$, si $a$ es $a=f(t)$ puede existir su inversa $t =f^{-1}(a)$ y entonces $c(t)=c(f^{-1}(a))=g(a)\cong c(a)$

ya que en el modelo matemático $a$ y $c$ son funciones independientes de la misma variable $t$.

Y como tu dices , se ha visto aparentemente que $\dot c$ es muy pequeña y entonces este termino quiza influya sobre las predicciones del modelo a velocidad constante.

[Jaime Rudas]

Re: Tensor de Ricci

Y SI Jaime, c = 0 no tiene mucho sentido pero c = infinito es lo que presupone la Mecanica Clasica.

Sí, pero, para el caso de la mecánica clásica, Ho y, en general, H no dependen de c, por lo que, aun siendo c infinito, Ho no es necesariamente cero, como puedes ver aquí.

Re: Tensor de Ricci

Gracias Alriga y Jaime.
Pues...NO. No habia visto el blog de Richard...
Voy a leerlo detenidamente pero tiene toda la apariencia de lo que yo pretendia hacer...
Si lo que escribe Richard es correcto...
Un problema es determinar cual es la funcion c(a) porque no parece que 'c'
haya variado mucho entre la epoca del CMB y la actual...
(Quizas en las transiciones de fase...)
Y SI Jaime, c = 0 no tiene mucho sentido pero c = infinito es lo que presupone
la Mecanica Clasica. Y SI...H = 0 no supone un modelo estatico...
Lo que si me parece claro es que tanto H, G, c y $\dst{\delta_{E0}$
deben estár ligadas por una teoría subyacente a la RG.
Un saludo.