Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

[Richard R Richard]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Hola Sater, quizá sea yo el no entienda pero veo una contradicción

Tu asientes que el área del agujero negro es A=$4 \pi R_s^2$ que se correspondería con la de una esfera cuya coordenada $r=R_s$ pero usas para medirla una métrica que no esta definida en esa coordenada pues la métrica es valida para $r>R_s=\frac{2GM}{c^2}$ poniendo las constantes visibles...

Segun esa integral, a distancia radial desde cualquier punto hasta el horizonte de sucesos puede ser vista como

$d=\dst\int_{R_s}^{r_2}\dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{R_s}{r}}} dr$

cuya solución es

$d=\dst { r\sqrt{1 - \dfrac{R_s}{r}} +\left.\dfrac 12R_s \,ln\left[-R_s + 2 r \left(1 + \sqrt{1 - \dfrac{R_s}{r}}\right ) \right]\right\vert_{R_s}^{r_2}}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

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esto es aproximadamente

$d\cong r_2+0.7R_s\,ln \left(\dfrac{R_s}{r_2}\right)\geqslant r_2$

que significa esto que lo que podemos pensar como una circunferencia a coordenada $r=r_2$ constante mediria $2\pi r_2$ pero en realidad mide $2\pi (d+R_s)$ , esta dilatada la circunferencia como suponiamos.

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Volviendo al Principio holográfico, si permitimos que un Agujero Negro, pueda absorber cualquier cosa cuya longitud de onda Compton sea menor que $2 R_s$, Suponiendo que el area es $4\pi R_s^2$

Cuanto incrementa el área del AN por haber capturado 1 electron? Se puede medir Y cuantos Bit equivalen a un electron?

Con ellas se puede ver que si se traga un fotón de longitud de onda $\lambda$, crecerá un $dA$ proporcional a esa masa, que sale lo que he puesto arriba.

de todo lo que veo que de todo esto algo no cuadra.....

Para poder tragar el primer electrón tiene que tener un $R_s$ igual a la mitad de la longitud de onda Compton del electrón $\notcien{1,21315511835}{-12}m$ y para que lo pueda hacer el calculo de FVPI dice que ya tiene una masa de $\notcien{1}{10}$ toneladas, segun mis calculo $M=\dfrac{R_sc^2}{2G}=\notcien{8.173}{11}$Toneladas....

si hago el mismo calculo para el proton o el neutrón puede comérselo teniendo un $R_s$1000 veces mas pequeño ....mmmmmm

pero entonces Que es lo que ha "comido" hasta ahora para llegar a tener $\notcien{81}{10}$ toneladas ..... $\notcien{81}{10}$ toneladas de fotones ???????????

porque materia formada por electrones, protones y neutrones no pudo haber "tragado", si no pudo tragar materia algo no cuadra como crece un Agujero Negro hasta alcanzar esa masa?????

y si sigo buscando ejemplos... la longitud de onda compton de un elefante debe ser muy pequeña, así que un agujero negro muy pequeño se lo puedo comer, pero ojo solo se comerá lo que no sean ni electrones, ni protones ni neutrones,????? que será entonces lo que se come del elefante? Pero que cosa pasa aca, que es lo que no veo, o no cuadra de relacionar la longitud de onda compton con el Rs del AN....

Si creen que esto desvia el hilo, por favor pasarlo a uno nuevo.

[Weip]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Hola Sater, quizá sea yo el no entienda pero veo una contradicción

Tu asientes que el área del agujero negro es A=$4 \pi R_s^2$ que se correspondería con la de una esfera cuya coordenada $r=R_s$ pero usas para medirla una métrica que no esta definida en esa coordenada pues la métrica es valida para $r>R_s=\frac{2GM}{c^2}$ poniendo las constantes visibles, según tu aporte.

Si en vez de la métrica de Schwarzschild usas la métrica de Kruskal, que es regular en el horizonte de sucesos, obtendrás el mismo resultado que ha explicado sater integrando $\sqrt{g}$. De todas formas, la métrica inducida no es singular en $R_s$.

[Visitante]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Hola.
Varios comentarios:

1.- Yo creo que realmente no es importante que forma ni que superficie tiene el horizonte
de sucesos de un ANC...(Visto desde un observador u otro)...Yo creo que realmente lo que nos importa
es que para pasar de un nivel 'n' a otro 'n+1' de Entropia, Masa, Energia...necesita incrementar su superficie un
área equivalente a 1 bit...sea cual sea la superficie minima de 1 bit porque esto debe ser coherente para un
observador u otro.

2.-

Y cuantos Bit equivalen a un electron?

Excelente pregunta.(???)

3.-

como crece un Agujero Negro hasta alcanzar esa masa?????

Esta ya es una pregunta que formulé en el mensaje # 15.
¿Por fusión de micro-minis ANC's ???

4.- Podemos hacer los calculos correspondientes...Segun esta teoria, los ANC de gran
masa, que se forman por colapso estelar, etc...Comen todo lo que les entra y tienen
tiempos de evaporacion extremadamente largos. Pero los mini-micro ANC no pueden
comer mas que las particulas, fotones...con mas energia que la diferencia de energía
entre niveles. Por otra parte, los mini ANC (sub.sub.lunares) ya tienen tiempos de
evaporacion del orden de 10^18 seg. y estos, si se formaron en tiempos del BigBang
podrian estar aun presentes.

(Un elefante no se daria cuenta si un micro ANC le atravesase...Aparte de la bofetada...)

5.- Me supongo que cuando os referís a la longitud Compton os estais refiriendo a la
longitud de onda Compton reducida. Porque entonces, SI:

$\dst{R_S = 2 \cdot\lambda_{Cr} \cdot n}$

Pero si os estais refiriendo a la longitud Compton 'normal', entonces,
tenemos un problema grave porque:

$\dst{R_S =\frac{1}{\pi} \cdot \lambda_C \cdot n}$

Un saludo.

[Visitante]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Hola.
Algunos comentarios mas y dos preguntas:

1.-Un articulo algo relacionado con el tema:
'Primordial black holes as dark matter'. (Carr et al.) (22/3/17).

2.-En cuanto al libro, 'Black holes, Information and the string theory revolution',
(Susskind-Lindesay)(2005).

2.1.-Duro de leer y entender y visto por encima, creo que no llega a plantear la idea de
Cristofano et al. (2013)

2.2.-Cuando analiza la metrica de Schw...dice:
'La coordenada 'r' es llamada la coordenada radial de Schw. No mide la distancia espacial
propia desde el origen, pero está definida de forma que el area de una 2-esfera en 'r' es
(4x pi x r^2).

2.3.-Mas adelante dice:
Todas las componentes de la curvatura son finitas y del orden de:

$\dst{R_{horizonte}\sim\frac{1}{M^2 G^2}}$

(???)

3.-En cuanto a la curvatura y al area de Planck-Wheeler:
Wheeler plantea en su libro ' Un viaje por la gravedad y el espacio-tiempo',(1990)
que la curvatura espacio-temporal 'l_w' en el horizonte de sucesos de un AN según la
metricade Schw...vale:

$\dst{l_W= \frac{c^4}{8 M^2 G^2}}$

Y según Cristofano, el area del horizonte de sucesos de un ANC vale:

$\dst{A= \frac{8 h G n}{c^3}}$

Relacionando las 2 formulas me dá:

$\dst{l= \frac{1}{2 \pi } l_W = \frac{1}{A}}$

$\dst{l= \frac{c^4}{16 \pi M^2 G^2}= \frac{c^3}{8 h G n}}$

Y esto implica que hay una curvatura maxima = 0.761 x 10^64 (1 / cm^2)
para n = 1.

4.-Y dos preguntas:

4.1.-Segun la metrica FLRW y los parametros del modelo LamdaCDM...¿Cuánto vale
el Tiempo propio cuando la curvatura vale 0.761 x 10^64 ?
¿Cuándo el area de su horizonte de sucesos vale 1 / (0.761 10^64) ???

4.2.-' La maxima cantidad de Informacion que puede haber en un volumen es
la Informacion que cabe en la superficie que lo envuelve...'¿Se puede
aplicar esto a la metrica FLRW y a su horizonte de sucesos?

Un saludo

[sater]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Buenas de nuevo.

2.-En cuanto al libro, 'Black holes, Information and the string theory revolution',
(Susskind-Lindesay)(2005).

2.1.-Duro de leer y entender y visto por encima, creo que no llega a plantear la idea de
Cristofano et al. (2013)

2.2.-Cuando analiza la metrica de Schw...dice:
'La coordenada 'r' es llamada la coordenada radial de Schw. No mide la distancia espacial
propia desde el origen, pero está definida de forma que el area de una 2-esfera en 'r' es
(4x pi x r^2).

2.3.-Mas adelante dice:
Todas las componentes de la curvatura son finitas y del orden de:

$\dst{R_{horizonte}\sim\frac{1}{M^2 G^2}}$

(???)

Sobre el libro de Susskind, FVPI, lamento si no fui del todo claro, pero es cierto que su nivel es alto, como el de un artículo de investigación. Aun así espero que te sirva de ayuda. Como dices, no toca para nada temas de cuantizar área en agujeros negros, etc (aunque a fondo solo he leído los 9 primeros temas).

Respecto al radio, coincide con lo dicho (era aplicable tanto a la circunferencia como al área). Por otro lado, lo que el menciona de la curvatura (auguro que) es el valor de una de las entradas del tensor de Riemann una vez que lo calculas con la métrica de Schwarzschild. De hecho, fijate que coincide con lo que dices que menciona Wheeler:

3.-En cuanto a la curvatura y al area de Planck-Wheeler:
Wheeler plantea en su libro ' Un viaje por la gravedad y el espacio-tiempo',(1990)
que la curvatura espacio-temporal 'l_w' en el horizonte de sucesos de un AN según la
metricade Schw...vale:

$\dst{l_W= \frac{c^4}{8 M^2 G^2}}$

Sobre la relación con el artículo que mencionas no te sé decir más pues aun no lo he leído.

4.-Y dos preguntas:

4.1.-Segun la metrica FLRW y los parametros del modelo LamdaCDM...¿Cuánto vale
el Tiempo propio cuando la curvatura vale 0.761 x 10^64 ?
¿Cuándo el area de su horizonte de sucesos vale 1 / (0.761 10^64) ???

4.2.-' La maxima cantidad de Informacion que puede haber en un volumen es
la Informacion que cabe en la superficie que lo envuelve...'¿Se puede
aplicar esto a la metrica FLRW y a su horizonte de sucesos?

Un saludo

Creo que el principio holográfico se puede aplicar a más tipos de horizontes, no solo a agujeros negros, pero no he avanzado en el tema (estoy muy liado con el resto del máster). Pero al menos de eso si se habla, si no recuerdo mal, en el libro de Susskind.

Siento no poder ser de más ayuda, un saludo.

[Visitante]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

Hola.
Aqui hay algo que no me convence. (A ver si me explico bien...)
De las ecuaciones de Cristofano:

$\dst{\frac{S}{\kappa_B}= \frac{R_S}{4 \lambda_C}= \pi n}$

Se deduce que para un nivel 'n', entero y mayor o igual a 1, hay una serie de
valores concretos:

El Area de su Horizonte de sucesos:

$\dst{A = \frac{8hG}{c^3}n}$

$\dst{A_{n+1}> A_n}$

El Radio de Schwarzschild:

$\dst{R_S = (\frac{2hG}{\pi c^3}n)^{\frac{1}{2}}}$

$\dst{R_{S(n+1)}> R_{S(n)}}$

La Energia:

$\dst{E = (\frac{c^5 h}{2\pi G}n)^{\frac{1}{2}}}$

$\dst{E_{(n+1)}> E_{(n)}}$

La Entropia:

$\dst{S = \pi n \kappa_B}$

$\dst{S_{(n+1)}> S_{(n)}}$

La Temperatura de Hawking:

$\dst{T_H = (\frac{h \cdot c^5}{128 \cdot \pi^3 \cdot G \cdot \kappa^2 \cdot n})^{\frac{1}{2}}}$

$\dst{T_{H(n+1)} < T_{H(n)}}$

Para que un AN pase de un nivel 'n' a un nivel 'n+1' necesita obsorber un paquete
concreto de Energia...O sea, no admite un paquete de Energia menor que la diferencia
de Energia entre niveles porque es insuficiente para hacerlo saltar de un nivel a otro...

Pero al pasar de un nivel 'n+1' a un nivel 'n'...lo hace emitiendo radiacion de cuerpo
negro de forma continua. O sea, crece discontinuamente y decrece de forma continua
entre niveles y esto, creo, no tiene mucho sentido...(???)

¿O es que mantiene el Area y el Radio del nivel 'n+1' a pesar que la Energia y Entropia
son menores que las correspondientes al nivel 'n+1' hasta llegar al nivel 'n' ???

¿Podriamos calcular cuanto tiempo tarda en pasar de un nivel 'n+1' a un nivel 'n'
a partir de la Ley de Stefan-Boltzmann?

Un saludo.

[Visitante]

Re: Holografia, entropia, agujeros negros e informacion.

El tiempo de evaporación de un nivel 'n', a mi, me dá:


$\dst{t_{e,n}=\frac{\Delta E}{\sigma T^4 A}}$


$\dst{\sigma}$ es la constante de Stefan-Boltzmann


$\dst{\Delta E = \frac{1}{2} m_P c^2\sqrt{\frac{K_1}{n}}}$


$\dst{K_1 = \frac{2 \pi G}{c h}}$


$\dst{T^2 = \frac{h c^5}{128 \pi^3 G \kappa_B^2 n}}$


$\dst{A = \frac{8 h G}{c^3} n}$


Y en resumen:


$\dst{t_{e,n}= 1.3037 \cdot 10^{-39} \cdot \sqrt{n}}$


Y el tiempo de evaporación total:


$\dst{t_e = \sum_{n=1}^{N} 1.3037 \cdot 10^{-39} \cdot \sqrt{n}}$


Esto, para N = 10^40 dá:


$\dst{t_e = 0.86913 \cdot 10^{21} \;\;\; seg}$


Y según la formula 'clasica' del tiempo de evaporacion:


$\dst{t_{eC} = \frac{5120 \cdot 4 \cdot \pi^2 \cdot G^2 \cdot m^3}{h \cdot c^4}}$


$\dst{m^2 = \frac{n}{K_1}}$


$\dst{t_{eC} = 1.7289 \cdot 10^{21} \;\;\; seg}$


Esto representa un error absoluto enorme...(= 0.86 10^21 seg).
Pero un error relativo...(= 1.9892).


Y para N = 1 dá:


$\dst{t_e = 1.3097 \cdot 10^{-39} \;\;\; seg}$


Y según la formula 'clasica' del tiempo de evaporacion:


$\dst{t_{eC} = 1.7288 \cdot 10^{-39} \;\;\; seg}$


¿Tolerable?
Un saludo.