Avanzado Grupo de isometrías de la Relatividad General

[Lorentz]

Buenas tardes compañeros,

Estoy tratando de entender cuál es el grupo de isometrías de la RG. Voy a comentar lo que sé del tema hasta ahora, puesto que tengo cuatro posibilidades distintas.

1) He leído que la RG puede verse como una teoría gauge del grupo $SL(2,C)$, pero ¿no debería ser en todo caso $S \rtimes SL(2,C)$? Es decir el recubridor universal del grupo de Poincaré?

2) Otra opción, sería el grupo $GL(4,\mathbb{R})$, puesto que si no me equivoco el grupo de Poincaré es un subgrupo de este.

3) También, tendría la opción de que sea el grupo de difeomorfismos $\text{Diff}(M)$, ya que la RG es invariante bajo difeomorfismos.

4) Por último se me ocurre que podría ser el siguiente grupo $\text{Diff}(M) \rtimes \mathcal{P}$, es decir el producto semidirecto del grupo de difeomorfismos con el grupo de Poincaré.

¿Podríais echarme una mano para entender por qué uno u otro es la opción correcta?

Un saludo

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Hola Lorentz. El grupo de isometrías de un espaciotiempo general $M$ es subgrupo de $\text{Diff}(M)$ pues las isometrías son difeomorfismos que preservan la métrica. Hasta lo que sé para ver qué grupo es necesitarías tener condiciones adicionales sobre $M$ o sobre la métrica. De 1) no sé muy bien porqué lo preguntas pero solo quiero comentar por si acaso que el grupo de isometrías y los grupos gauge no son lo mismo, de hecho el grupo gauge de RG depende de cómo escribas la teoría. Sobre la pregunta en sí no te sabría decir. ¿Qué motiva el punto 1) exactamente?

[Lorentz]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Hola Weip, muchas gracias

Disculpa por mi pésima redacción y las posibles confusiones. Voy a intentar expresarme mejor.

En relatividad especial todas las simetrías están incluidas dentro del grupo de Poincaré. Pero las únicas representaciones irreducibles unitarias que dejan el cuadrimomento invariante son las del grupo pequeño, es decir $SU(2)$, y estas vienen determinadas por su spin y su masa.

Busco algo similar para la RG, un grupo que incluya todas las isometrías del espaciotiempo en RG y cuáles serían sus IRs.

El tema de tratarlo como una teoría gauge me resulta lioso. Por eso puede que haya dicho alguna tontería. (Sólo he estudiado una asignatura de teoría de grupos y otra de teoría cuántica de campos, así que seguramente tenga que aprender muchos más conceptos)

[carroza]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Hola.

Yo no soy experto en relatividad general, pero voy a tratar de responder esta pregunta desde una perspectiva más general.

En teoría cuántica de campos se diferencia entre las simetrías gauge globales, y las simetrías gauge locales. Por ejemplo, tendriamos la simetria gauge U(1), en la que hay un grupo con un unico generador, Q, y un unico parámetro $\alpha$ . Los elementos del grupo se expresan como $\exp( i \alpha Q)$. Cuando $\alpha$ es un parámetro independiente de la posición y del tiempo, tenemos una simetría gauge global, que lleva a la conservación de la carga. Cuando $\alpha$ es un parámetro que depende arbitrariamente de la posición y del tiempo, tenemos una simetría gauge global, que lleva, además, a la existencia del campo electromagnético, y a la electrodinámica cuántica en toda su gloria. En ambos casos, el grupo es el mismo, U(1).

En relatividad especial, el grupo de simetría es el grupo de Poincaré, con 10 generadores (3 rotaciones, 3 boosts de lorentz, y el cuadrimomento). Tiene, por tanto, 10 parámetros (tres ángulos de rotación, tres componentes de la velocidad del sistema, y cuatro desplazamientos espacio temporales. Cuando esos 10 parámetros son independientes de la psicion y el tiempo, tenemos las transformaciones de la relatividad especial. Cuando esos parámetros los hacemos funciones arbitrarias del espacio y el tiempo, aparece de forma natural el campo gravitatorio, y tenemos la
relatividad general en toda su gloria. Por tanto, yo diría que el grupo asociado a la relatividad general es el mismo grupo de Poincaré, de la relatividad especial.

Un saludo

[Lorentz]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Muchas gracias,

Tiene bastante sentido, porque además eso nos permite seguir con la misma descripción de las partículas elementales como IRs del grupo de Poincaré, a grandes escalas.

Cuando esos parámetros los hacemos funciones arbitrarias del espacio y el tiempo, aparece de forma natural el campo gravitatorio, y tenemos la relatividad general en toda su gloria

Pero, ¿Podrías detallarme un poco esto? No veo claro cómo, haciendo que los parámetros dependan del tiempo y la posición, aparece la RG.

Un saludo

[carroza]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Hola.

En teoria cuántica de campos, por ejemplo QED (grupo U(1)), para imponer la invariancia gauge local en la densidad lagrangiana, se midifiva el operafor derivada para introducir el campo electromagnético $\partial_\mu \to \partial_\mu + i a A_\mu$.

En relatividad general, se cambian las derivadas normales con respecto a las coordenadas por unas derivadas covariantes, que contienen simbolos de Cristoffel https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_derivative . Estos dependen de las derivadas dele tensor métrico con respecto a las coordenadas, que están en el origen del campo gravitatorio.

Saludos

[Lorentz]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Sí sí, ese no es el problema.

Lo que quería decir es que cómo puedes relacionar los generadores infinitesimales del grupo de Poincaré con las simetrías de la RG. Ya que esos generadores inicialmente se refieren a los vectores de Killing de la Relatividad Especial.

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Hola de nuevo.

Por tanto, yo diría que el grupo asociado a la relatividad general es el mismo grupo de Poincaré, de la relatividad especial.

Dejadme insistir en lo que dije en mi primer mensaje: el grupo de isometrías no es lo mismo que un grupo gauge. A ambos se les llama "grupo de simetrías" en sus respectivos contextos y es por eso que usualmente se distinguen entre simetrías internas (de las que hablas en el primer párrafo) y simetrías externas (las isometrías) para evitar confusiones. En este sentido el grupo de Poincaré no es el grupo de isometrías de la Relatividad General porque entonces todos los espaciotiempos serían planos.

Muchas gracias,
Tiene bastante sentido, porque además eso nos permite seguir con la misma descripción de las partículas elementales como IRs del grupo de Poincaré, a grandes escalas.

En general las partículas elementales no están identificadas con representaciones unitarias irreducibles del grupo de Poincaré a menos que el espaciotiempo sea Minkowski. Realmente las partículas elementales están identificadas con las representaciones unitarias irreducibles del grupo de isometrías.

[Lorentz]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

En este sentido el grupo de Poincaré no es el grupo de isometrías de la Relatividad General porque entonces todos los espaciotiempos serían planos.

Entonces vuelvo a mi primer mensaje. ¿Cuál sería el grupo de isometrías de un espaciotiempo general?

Realmente las partículas elementales están identificadas con las representaciones unitarias irreducibles del grupo de isometrías.

Sí, tienes razón. Lo que quería transmitir en ese mensaje es que en el caso en el que el grupo de isometrías de un espaciotiempo general fuera el de Poincaré entonces las IRs determinarían las partículas elementales del mismo modo que ocurre en un espaciotiempo de Minkowski.

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Entonces vuelvo a mi primer mensaje. ¿Cuál sería el grupo de isometrías de un espaciotiempo general?

La historia es que no se puede clasificar el grupo de isometrías $\text{Iso}(M, g)$ si no se sabe nada acerca del espaciotiempo. Es decir, como mucho sabes que $\text{Iso}(M, g)$ es subgrupo de $\text{Diff}(M)$ pero para saber qué grupo es necesitas saber algo sobre la topología de $M$, su curvatura, o tener directamente la métrica escrita de forma explícita. Por ejemplo si estás en un espaciotiempo de Minkowski entonces el grupo de isometrías es el de Poincaré, si estás en un espaciotiempo de Sitter entonces su grupo de isometrías es $\text{SO}(4,1)$, si es anti de Sitter entonces es $\text{SO}(3,2)$... Pero si no sabes la métrica, la curvatura o algo del espaciotiempo, no se puede decir más. Es por eso que existen teoremas que intentan caracterizar o como mínimo decir algo del grupo de isometrías bajo condiciones más o menos concretas: compacidad, curvatura seccional constante... condiciones del estilo. Ya que han salido las teorías gauge en el hilo, se puede hacer la siguiente comparación (salvando las distancias porque son cosas diferentes): ¿Cuál es el grupo gauge de la teoría gauge? No existe respuesta a esta pregunta porque cualquier grupo de Lie sirve en tanto que la teoría gauge no describe una única teoría, si no muchas, cada una con su grupo gauge. De la misma forma RG no describe un único espaciotiempo, si no muchos, cada uno de ellos con su grupo de isometrías. No sé si me explico.

[carroza]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Ya que han salido las teorías gauge en el hilo, se puede hacer la siguiente comparación (salvando las distancias porque son cosas diferentes): ¿Cuál es el grupo gauge de la teoría gauge? No existe respuesta a esta pregunta porque cualquier grupo de Lie sirve en tanto que la teoría gauge no describe una única teoría, si no muchas, cada una con su grupo gauge. De la misma forma RG no describe un único espaciotiempo, si no muchos, cada uno de ellos con su grupo de isometrías. No sé si me explico.

Hola. Las teorías gauge (en plural) que usamos en física claro que tienen asociado un grupo. La electrodinámica cuántica tiene asociado el grupo U(1). La cromodinámica cuántica tiene asociado el grupo SU(3). La teoría electrodébil tiene asociado el grupo U(2). El modelo estándar tiene asociado U(2)xSU(3). La teoría mínima de gran unificación tiene asociado SU(5).

Creo que aquí la sutileza es que en física distinguimos un "marco", como puede ser la mecánica clásica, de una teoría concreta, como puede ser la gravitación de Newton, o la teoría general de la gravitación de Einstein. Un "marco" no permite calcular cosas. Una teoría sí.
En este sentido la "teoría cuántica de campos" es un "marco", no es una teoría concreta. La "teoría gauge", en el sentido general en el que la mencionas, es un "marco" (contenido dentro de la teoría cuántica de campos), y obviamente no tiene grupo asociado. La electrodinámica cuántica si es una teoría concreta, y por supuesto que tiene su grupo.

Vamos ahora a la teoría general de la gravitación. En el sentido en el que mencionaba antes, es una teoría concreta, que permite calcular cosas. No es un marco, como la mecánica clásica. Tal como yo la entiendo, la teoría general de la gravitación nos dice que una partícula, en un campo gravitatorio, se mueve a través de una trayectoria que es la geodésica, que es la línea que hace mínimo el intervalo. El intervalo es la integral de elementos $ds$, dados por $ds^2 = \sum_{ij} g^{ij} dx_i dx_j$.


Las simetrías, o si prefieres isometrías, de la teoría general de la gravitación serían las transformaciones que dejan a $ds$ invariante. Considerando, ahora, que $ds$ puede tomarse arbitrariamente pequeño, comparado con el rango de variación del tensor métrico $g^{ij}$, y considerando que siempre podemos considerar unas nuevas coordenadas $X_i=(ct, x,y,z)$ en que el tensor métrico tome la forma diagonal (1,-1,-1,-1), sin perdida de generalidad podemos escribir $ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 -dy^2 -dz^2$ . Aquí tenemos para el diferencial de intervalo la misma expresión que en relatividad especial. No obstante, como en relatividad general el tensor métrico varía con la posición y el tiempo, el intervalo (la integral de elementos $ds$) es diferente que en relatividad especial, y las trayectorias son geodésicas, en lugar de lineas rectas.

El grupo que deja invariante $ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 -dy^2 -dz^2$ es el grupo de Poincaré. Por tanto, yo diría que el grupo que describe las isometrías de la relatividad general (refiriendonos siempre a transformaciones infinitesimales), es el grupo de Poincaré.

Estoy de acuerdo contigo en que, si en lugar de considerar solamente transformaciones infinitesimales, quisieramos considerar transformaciones finitas, el grupo podría ser diferente. Por ejemplo, si el universo fuera cerrado, con curvatura positiva (como imaginaba einstein), las traslaciones nos llevarian de vuelta al punto de partida, de forma análoga a las rotaciones, y el grupo sería compacto frente a las traslaciones, dando algo de tipo $SO(4,1)$. No obstante, si nos referimos a situaciones en las que, asintóticamente, la geormetría es plana, creo que es más adecuado considerar el grupo de Poincaré como grupo de isometría de la relatividad general.

Repito que no soy experto en relatividad general, ni en teoría de grupos, por lo que agradecería correcciones.

Un saludo

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Buenos días.

Creo que aquí la sutileza es que en física distinguimos un "marco", como puede ser la mecánica clásica, de una teoría concreta, como puede ser la gravitación de Newton, o la teoría general de la gravitación de Einstein. Un "marco" no permite calcular cosas. Una teoría sí.
En este sentido la "teoría cuántica de campos" es un "marco", no es una teoría concreta. La "teoría gauge", en el sentido general en el que la mencionas, es un "marco" (contenido dentro de la teoría cuántica de campos), y obviamente no tiene grupo asociado. La electrodinámica cuántica si es una teoría concreta, y por supuesto que tiene su grupo.

Vamos ahora a la teoría general de la gravitación. En el sentido en el que mencionaba antes, es una teoría concreta, que permite calcular cosas. No es un marco, como la mecánica clásica. Tal como yo la entiendo, la teoría general de la gravitación nos dice que una partícula, en un campo gravitatorio, se mueve a través de una trayectoria que es la geodésica, que es la línea que hace mínimo el intervalo. El intervalo es la integral de elementos $ds$, dados por $ds^2 = \sum_{ij} g^{ij} dx_i dx_j$.

Estoy de acuerdo. La comparación que quiero hacer es que la RG como describe muchos espaciotiempos haría el papel de marco de las teorías gauge mientras que un espaciotiempo concreto haría el papel de una teoría gauge como pudiera ser QED. Al leer tu mensaje también se me ha ocurrido otra comparación, ¿cómo son las geodésicas en un espaciotiempo general? Al igual que pasa con el grupo de isometrías, si no sabemos nada acerca del espaciotiempo o de su métrica, no se puede contestar la pregunta más allá de comentar que siempre son mínimos locales de la longitud. Su expresión explícita requiere saber más cosas.

Las simetrías, o si prefieres isometrías, de la teoría general de la gravitación serían las transformaciones que dejan a $ds$ invariante. Considerando, ahora, que $ds$ puede tomarse arbitrariamente pequeño, comparado con el rango de variación del tensor métrico $g^{ij}$, y considerando que siempre podemos considerar unas nuevas coordenadas $X_i=(ct, x,y,z)$ en que el tensor métrico tome la forma diagonal (1,-1,-1,-1), sin perdida de generalidad podemos escribir $ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 -dy^2 -dz^2$ . Aquí tenemos para el diferencial de intervalo la misma expresión que en relatividad especial. No obstante, como en relatividad general el tensor métrico varía con la posición y el tiempo, el intervalo (la integral de elementos $ds$) es diferente que en relatividad especial, y las trayectorias son geodésicas, en lugar de lineas rectas.

El grupo que deja invariante $ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 -dy^2 -dz^2$ es el grupo de Poincaré. Por tanto, yo diría que el grupo que describe las isometrías de la relatividad general (refiriendonos siempre a transformaciones infinitesimales), es el grupo de Poincaré.

Estoy de acuerdo contigo en que, si en lugar de considerar solamente transformaciones infinitesimales, quisieramos considerar transformaciones finitas, el grupo podría ser diferente. Por ejemplo, si el universo fuera cerrado, con curvatura positiva (como imaginaba einstein), las traslaciones nos llevarian de vuelta al punto de partida, de forma análoga a las rotaciones, y el grupo sería compacto frente a las traslaciones, dando algo de tipo $SO(4,1)$. No obstante, si nos referimos a situaciones en las que, asintóticamente, la geormetría es plana, creo que es más adecuado considerar el grupo de Poincaré como grupo de isometría de la relatividad general.

También estoy de acuerdo aunque aquí quizás tenemos una diferencia de lenguaje. Por supuesto, uno puede tomar coordenadas y expresar localmente la métrica como $\text{diag}(+1,-1,-1,-1)$, esto es equivalente a decir que localmente la Relatividad Especial se cumple, o que el grupo local de isometrías es el de Poincaré, pero lo que quiero decir es que este grupo es distinto al de isometrías. Pero bueno, no digo más porque es lo que he dicho, son cosas más de lenguaje que otra cosa. En el fondo coincido.

[Lorentz]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Muchas gracias a ambos,

Estoy de acuerdo con todas vuestras afirmaciones, y me habéis ayudado a comprender un poquito más en qué contextos usar una u otra denominación.

La conclusión a la que he llegado es que globalmente sólo podemos afirmar que el grupo de isometrías de un espaciotiempo general es un subgrupo de $\text{Diff}(M)$, pero no podemos concretar más a menos que impongamos condiciones sobre la métrica.

Si esto que he entendido es verdad, aún me queda una duda, ahora más concreta, acerca de cuál sería el grupo de isometrías global de una métrica tipo FLRW (porque obviamente como dice Carroza, localmente es el de Poincaré).

Un saludo

[Weip]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Si esto que he entendido es verdad, aún me queda una duda, ahora más concreta, acerca de cuál sería el grupo de isometrías global de una métrica tipo FLRW (porque obviamente como dice Carroza, localmente es el de Poincaré).

El grupo de isometrías de la métrica FLRW es $G_6$ porque hay seis campos de Killing linealmente independientes. Tres de ellos dependen de la curvatura así que teniendo en cuenta las tres posibilidades los grupos de isometría son los siguientes: $SO(3)\rtimes \mathbb{R}^3$ si $k=0$, $SO(4)$ si $k>0$ y $SO(3,1)$ si $k<0$.

[Lorentz]

Re: Grupo de isometrías de la Relatividad General

Gracias Weip,

Le daré un par de vueltas en cuenta vuelva a ponerme con este tema, y en caso de tener alguna duda os pregunto.

De nuevo, gracias por las molestias

Un saludo