Otras carreras Fuerza de gravedad y energía

[Pola]

Buenas tardes.

Tenía dudas en volver a dar la lata sobre un asunto que plateé una vez hace ya tiempo, pero que aún no tengo claro en mi cabeza. Al ver el hilo “masa en relatividad” me he animado, porque veo que en realidad es un asunto complejo.

Voy a tratar de plantear una pregunta concreta, que a efectos de que yo pueda entenderlo, me gustaría que se contestara en primer lugar en términos de “si” o “no”, añadiendo luego las explicaciones que se consideren necesarias.

Supongamos una masa M₁ que tiene situada a 100 metros a su “izquierda” una masa M₂.

Las dos masas se están moviendo a una velocidad muy próxima a la de la luz: 299.999,99999999 kms/s.

Se aproximan a una tercera masa M₃, que se encuentra a 100 metros a la “derecha” de M₁.

La pregunta es : cuando se cruzan, ¿la fuerza gravitatoria que experimenta M₃ se debe sólo a la masa del sistema M₁ + M₂, o por el contrario, la altísima energía de ése sistema afecta a la intensidad del campo gravitatorio que experimenta M₃?

Gracias y un saludo

[Richard R Richard]

Re: Fuerza de gravedad y energía

Si,

en relatividad lo que crea "gravedad" o mejor expresado curvatura espacio temporal, es la energía, en particular la masa, que es una forma en que la energía se distribuye, por otro lado si la masa se mueve respecto al sistema de referencia su masa es mayor que en reposo y M3 registrará
mas gravedad proporcional a este nuevo valor de masa ,100/c segundos de la situación detallada y a los 100/299999.99999999 M1 ya lo habrá alcanzado, durante el trayecto la gravedad sigue aumentando con el cuadrado de la distancia.

Siempre es mejor expresar una velocidad cercana a la de la luz porcentualmente ya que no es 300000 km/s su valor sino 299792.458 km/s "exactamente".

Para completar M1 recibe la reciproca de M3 ,pero su interacción con M2 es "constante". Esto último que te explico es muy idealizado, ya que suponemos constancia de velocidades y además posiciones relativas constantes, que dinámicamente no lo son, para mantenerlas hace falta o bien fuerzas o bien velocidad orbital, alejándose levemente del enunciado, ya que la interacción gravitatoria produce fuerzas y hay aceleraciones a adicionales.

[Pola]

Re: Fuerza de gravedad y energía

Gracias, Richard.

Suponía que las cosas eran tal como tú las describes. Pero esa situación no la entiendo, por lo siguiente:

Por un lado, tenemos que hay un aumento del valor de la fuerza de la gravedad que M₃ experimenta. Entiendo por tanto que es un aumento real en la fuerza gravitatoria.

Y sin embargo, ése aumento de la fuerza gravitatoria no afecta a la atracción que hay entre M₁ y M₂.


¿?

[Richard R Richard]

Re: Fuerza de gravedad y energía

En cuanto a que $M_3$ experimenta una mayor o menor fuerza respecto de $M_1$ es correcta y que $M_1$ experimenta la misma fuerza igual y contraria debida a M3, pero nada cambia para M1 respecto de M2 ni de M2 respecto de $M_1$,

es mas $M_2$ ve a $M_3$ con la misma masa que lo hace $M_1$ es decir $\gamma M_3$ y viceversa y aun así los tres tienen la misma masa en reposo por definición de tu duda...

La masa que detecta $M_1$ en el instante $t$ es que sus posiciones relativas son las que describiesen el enunciado hacen que $M_2= Cte$ la información a $M_1$ de que esto es asi partio tiempo $\dfrac{100}{c}$ antes ,

supongamos que el factor relativista a velocidad $v$ es de valor $\gamma$

en esa misma cantidad de tiempo previo tiene que haber recibido la información gravitatoria de $M_3$ que se hallaba también a $c\Delta t$ en ese sistema de referencia, pero la curvatura del espacio en reposo cumple la ley de newton, y la distancia a la que se generó esa curvatura debe ser medida en el otro sistema de referencia es decir $\gamma c\Delta t$

la masa de $M_3$ la calcula como $M_3'=\gamma M_3$ , y las fuerzas gravitatorias que percibe serán( aplicando la aproximación Newtoniana mas sencilla)


$F_{1-2}=\dfrac{GM_1M_2}{100^2}=Cte$

y la de la masa $M_3$ veremos

como primer intento sabemos que en ese lapso de tiempo la gravedad viaja una distancia $c\Delta t$ para el sistema de referencia de $M_1$ esa distancia es $\dfrac{c\Delta t}{\gamma}$

$F_{1-3}=\dfrac{GM_1\gamma^3 M_3}{\left(\gamma c\Delta t\right)^2}$

$F_{1-3}=\dfrac{GM_1 M_3}{\gamma\left(\dfrac{100c}{c}\right)^2}$

o bien

$F_{1-3}=Cte \dfrac{1}{\gamma}$

el caso de la igualdad se da con velocidad nula como es obvio, pero para velocidades no nula la expresión variable es menor que la unidad, por lo que la gravedad detectada sería menor, que lo que se espera por la ley de newton.... pero no es cierto

lo mismo sucede para $M_3$ cuando $M_1$ está a $\gamma c\Delta t$ recibe $F_{3-1}=\dfrac{GM_3M_1}{100^2}\dfrac{1}{\gamma}$

Eso sería simple pero en relatividad no se usa el concepto newtoniano sino

$\vec{F}=\dfrac{\partial \vec{p}}{\partial t}=\gamma m_0<br /> \dfrac{\partial \vec{v}}{\partial t} +\gamma^3\dfrac{m_0\vec {v} }{c^2}<br /> \left (\vec{v} \cdot<br /> \dfrac{\partial \vec v}{\partial t} \right )<br />$

se ve que como a (aceleración local, aquí si usamos la de Newton) y v son colineales entonces la fuerza también lo será y reemplazando

$F=\gamma \dfrac{GM_{3M_1}}{100^2}\dfrac{1}{\gamma}+\gamma^3\dfrac{{v} }{c^2}\left (v \cdot \dfrac{GM_{3M_1}}{100^2}\dfrac{1}{\gamma}\right )$

entonces si $M_3=M_2$ en reposo $F_{1-2}=F_{1-3}$ a igual distancia solo en reposo y usamos esta igualdad para hacer una comparativa

$F=\gamma \dfrac{GM_{2M_1}}{100^2}\dfrac{1}{\gamma}+\gamma^3\dfrac{v}{c^2}\left (v \cdot \dfrac{GM_{2M_1}}{100^2}\dfrac{1}{\gamma}\right )$

$F=F_{1-2}+\gamma^2\dfrac{m_0{v^2} }{c^2} F_{1-2}=F_{1-2}\left (1+ \gamma^2\dfrac{{v^2} }{c^2} \right )$

$F=F_{1-2}\left (\dfrac{{c^2} }{c^2-v^2} \right )$

por lo que$F$ es mayor que $F_{1-2}$ asi que si $M_1$ mide mas fuerza de gravedad sobre $M_3$ que sobre $M_2$

[Pola]

Re: Fuerza de gravedad y energía

Muchas gracias, Richard.

Estoy seguro de que las cosas son como tú dices, pero no deja de ser chocante. Cuando se cruzan las trayectoria de las tres masas, visto desde M₁, podría decirse que se encuentra conque hay dos masas iguales, una a su izquierda M₂ y otra a su derecha M₃. Y que sin embargo, la atracción gravitatoria hacia una, es mayor que la atracción gravitatoria hacia la otra.

[Alriga]

Re: Fuerza de gravedad y energía

Hola, en lo que voy a decir podría estar completamente equivocado, si es así y se me demuestra pediré disculpas. Pero ver coger la ecuación de Newton:

$\vec F=G\dfrac{M_1 M_2}{r^3} \ \vec r$

y que se sustituya en ella una de las masas por ejemplo $M_2$ por $\gamma M_2$ a la brava y se empiece a calcular, me enciende todas las alarmas.

¿Eso se puede hacer? Es que a mí se me ocurre, que si el Sr. Einstein tardó 10 años en construir el Tensor energía-impulso, en el que separa en 10 componentes distintas las contribuciones de las diferentes energías a la gravedad según sean sus características específicas, por algo debió hacerlo.

Si todo era tan fácil como hallar una masa equivalente, (en este caso del ejemplo, multiplicar la masa por gamma) y ponerla en la ecuación de Newton, Einstein perdió 10 años de su vida.

Cuanto más leo en esta web sobre la "masa" menos entiendo. Aunque repito, admito que tal vez sea un simple caso de incompetencia por mi parte.

Saludos.

[Weip]

Re: Fuerza de gravedad y energía

La pregunta es : cuando se cruzan, ¿la fuerza gravitatoria que experimenta M₃ se debe sólo a la masa del sistema M₁ + M₂, o por el contrario, la altísima energía de ése sistema afecta a la intensidad del campo gravitatorio que experimenta M₃?

Creo que tu pregunta tiene un sabor muy newtoniano. Quizás pudiera ser respondida en el marco de la Relatividad Especial pues según tengo entendido se puede tratar a la gravedad como una fuerza al igual que se hace en la mecánica clásica pero la verdad es que es algo que no he visto nunca en ningún libro y es un camino del cual no se habla nunca tampoco pues existe una teoría mejor para tratar estos temas. Siguiendo la línea de Alriga creo que la pregunta debiera ser respondida en el marco de la Relatividad General pues es la teoría más avanzada que existe en cuanto a la gravedad pero entonces habría que reformular tu pregunta porque hay conceptos que cambian radicalmente en esta teoría. De hecho en RG hay espaciotiempos en los cuales no tiene sentido hablar del concepto de masa. Hay otros en los que sí, pero entonces dependiendo de las propiedades geométricas del espaciotiempo existen distintos conceptos de masa no necesariamente equivalentes entre sí. En ese caso creo que la esencia de tu duda quedaría en un segundo lugar.

Siento no poder ayudar más, pero si hablamos en términos de fuerzas y masas no creo que podamos avanzar mucho en la cuestión, esa es mi opinión.

[sater]

Re: Fuerza de gravedad y energía

Buenas. El gran problema de la gravedad newtoniana es que no es relativista (acción a distancia, velocidad de propagación infinita, amén de que sólo es válida para campos gravitatorios débiles). La ecuación de la que surge el potencial gravitatorio (del cual deriva la fuerza gravitatoria) es la de Poisson:

$$\nabla^2\phi(x,t)=\pi G\rho_m (x,t)$$

en la cual se ve que un cambio en la distribución de materia $\rho_m$ afecta instantáneamente al potencial $\phi$, lo que entra en conflicto con la relatividad especial. Esto se resuelve en la teoría de Maxwell con soluciones de potenciales retardados. Esa es la tarea que pretendía realizar Einstein. Partiendo del principio de equivalencia y con un par de consideraciones extras se puede ver que la solución que da (sus ecuaciones de campo) son la única salida.

Tengo unos apuntes buenos acerca de esta discusión (la sacada a colación por Alriga, no la original del hilo) de mi tutor de TFM, pero tendría que pedirle el permiso para compartirlos por la web. Preguntaré e informo.

Un saludo.

[Richard R Richard]

Re: Fuerza de gravedad y energía

Hola, en lo que voy a decir podría estar completamente equivocado, si es así y se me demuestra pediré disculpas. Pero ver coger la ecuación de Newton:

$\vec F=G\dfrac{M_1 M_2}{r^3} \ \vec r$

y que se sustituya en ella una de las masas por ejemplo $M_2$ por $\gamma M_2$ a la brava y se empiece a calcular, me enciende todas las alarmas.

¿Eso se puede hacer? Es que a mí se me ocurre, que si el Sr. Einstein tardó 10 años en construir el Tensor energía-impulso, en el que separa en 10 componentes distintas las contribuciones de las diferentes energías a la gravedad según sean sus características específicas, por algo debió hacerlo.

Si todo era tan fácil como hallar una masa equivalente, (en este caso del ejemplo, multiplicar la masa por gamma) y ponerla en la ecuación de Newton, Einstein perdió 10 años de su vida.

Cuanto más leo en esta web sobre la "masa" menos entiendo. Aunque repito, admito que tal vez sea un simple caso de incompetencia por mi parte.

Saludos.

Hola alriga, que yo no soy Einstein ,Jajaja, y lo mejor que "yo" encuentro para aproximar la aceleración local,"que se debe obtener como tu dices" aplicando la TRG con sus tensores, símbolos Christoffel , geodesicas y sus yerbas, es lo que la TRE nos aporta, que es la corrección de la newtoniana por el factor gamma. Fíjate como encare el texto puse que se "puede usar" no que sea lo exacto sino lo aproximado...

Si alguien me enseña como calcular la aceleración usando métrica de Schwarzchild, para una partícula en movimiento, de seguro que haré con sumo gusto el calculo para ver, no, si tiene Einstein razón, solo para hacer lo que él hizo 110 años después, bastante me llevo entender la deducción ,pero como se usa lo he preguntado en el foro , creo que nadie me ha respondido y si alguien lo hizo no lo entendí,pues fue hace tantísimo tiempo, sino lo hubiera aplicado a este post.




Edito :

......

Ahora , con mas tiempo para dedicarle, he investigado un poco de las lineas de pensamiento por así decirlo dentro del foro en estos hilos y articulos

Duda sobre la fuerza en mecánica relativista.

"Masa en reposo" y "masa relativista"

Masa relativista, invariante, en reposo

Duda sobre la velocidad máxima a la que se puede llegar

La masa varia con la velocidad

Relatividad especial
¿Crece la masa con la velocidad?


expongo con un pequeño cuento como entiendo el aumento de masa de una particula en movimiento...

Vamos a suponer que un dia , los científicos seleccionan a unos cuantos de sus mejores exponentes para subirlos a una nave espacial para que haga experimentos allí.

Montan una nave con toda la tecnología necesaria por ejemplo para determinar la masa del electrón y del Protón, no importa lo grande que sea entra en la nave, y los recursos tecnológicos para hacerla funcionar, también entran.

La nave partió y adquirió velocidad relativista $v$ con $\gamma$ como factor de Lorentz y con comunicaciones cada vez con mayor delay , se proponen a calcular la masa de ambas partículas.

Aquí sobre la superficie terrestre,* la masa en reposo de partículas elementales como las del electrón las llamamos $m_{e0}$ y de la compuesta como la del proton $m_{p0}$
Allí sobre la nave, la masa en reposo del electrón las llamamos $m_{e1}$ y la del protón $m_{p1}$

Suponemos que como hoy día tenemos un nuevo patrón de unidades internacionales, ambos equipos conseguirán resultados de magnitudes comparables.

A que resultado llega cada equipo, ...... si claro, seguro, el mismo, 0,511 MeV/c² y 938,27 MeV/c².

Pero no era que la masa crece con la velocidad? si pero con respecto a la velocidad relativa del electrón respecto al propio sistema de referencia, si ambos equipos de medición estan a la misma velocidad relativa con respecto al electrón y al protón medirán siempre la misma masa y calcularan la misma masa en reposo.

Supongamos también que de alguna manera se las arreglan para que algunos electrones y protones que participan en cada experimento sean lanzados desde tierra hacia la nave y viceversa a la velocidad del experimento,(mayor que la de la nave claro) la pregunta sobre cuanto mide la masa detecta cada equipo de estas partículas (descontando relativamente la velocidad de envío, que es anecdótica y se elimina de los cálculos por sustracción relativista).

Claro seguro , $M_e=\gamma m_{e1}=\gamma m_{e0}$ y $M_p=\gamma m_{p1}=\gamma m_{p0}$

pero como es que hay electrones y protones más pesados, pues no, solo hay electrones con masa en reposo, y el resto es energía cinetica en su equivalente de masa a través de $E=mc^2$

Si esto no es así he entendido mal el cuento de la relatividad.



No es para tirarle el fardo a él.... pero solo he observado aqui en el foro como aplicar la métrica de schwarzschild en calculo directo , entre dos posiciones y tiempos con diferente curvaturas usando la misma métrica, en su momento ha divulgado carroza, pero solo obtuvo numéricamente posición y tiempo, ...aceleración no, supongo que de algún modo hay que derivar la posición dos veces, pero como se obtiene la función a derivar , para mi sigue siendo un misterio

¿cuanto vale la velocidad de la luz en un campo gravitatorio?

Como influye la velocidad del observador en el calculo de distancia propia en presencia de un campo gravitatorio



Por otro lado suponer que la curvatura espacio temporal no es simétrica en las tres dimensiones, porque la masa de prueba viaja a velocidad relativista, y la observa contraída en la dirección del movimiento, es un error, si la gravedad viaja a la misma velocidad que la luz entonces se tiene que dar el Efecto Penrose-Terrell , entonces todo el andamiaje de la RG se resuelve con la misma métrica de Schwarzchild , y repito, como se saca una aceleración de allí , ni idea.

Suponer que porque los quarks que componen al protón tienen velocidad relativa al CM, su masa debe comportarse diferente a la una elemental, no le he encontrado fundamento.

*(despeciemos el efecto gravitatorio por ahora) supongamos a la tierra un SR inercial

[Pola]

Re: Fuerza de gravedad y energía

Sin entrar en la formulación relativista que se me hace compleja, ya me doy cuenta de que lo que sucede es que visto desde M1, la masa M3 es la que se acerca a una velocidad muy elevada, y por tanto, su energía incrementa la intensidad de su campo gravitatorio, que afecta al sistema M1 + M2.

Como dice Weip, la pregunta estaba planteada desde un punto de vista Newtoniano.

Gracias a todos por las respuestas.

Lo que no entiendo del cuento de Richard, es que se obtenga el mismo valor de las masas del electrón y del protón desde la Tierra y desde la nave. Según yo lo veo, desde la Tierra tendría que obtenerse un valor algo mayor.

[Richard R Richard]

Re: Fuerza de gravedad y energía

la ecuación de las geodésicas

$\ddot x^{\mu}+\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}\dot x^{\nu}\dot x^{\rho}=0<br />$


permite hacer sumación de Einstein subíndice por subíndice, para hallar la aceleración, vere si llego a algo interesante para mostrar a futuro o quizá se animen ustedes a calcular antes.

Lo que no entiendo del cuento de Richard, es que se obtenga el mismo valor de las masas del electrón y del protón desde la Tierra y desde la nave. Según yo lo veo, desde la Tierra tendría que obtenerse un valor algo mayor.

Explicate mejor , puede que no te esté entendiendo, para determinar las masas, según entiendo el método consiste en acelerar las partículas , hacerlas chocar con otras (no se si es que son de masa conocida o como es el método, retroceso de algún detector etc.) y determinar la energía del impacto $E$ y el momento lineal $p$ en las tres direcciones espaciales de cadaa partícula previo al choque y luego aplicando

$\left(m_0c^2\right)^2=E^2-\|\mathbf{p}\|^2c^2 = E^2 - (p_x^2+p_y^2+p_z^2)c^2$

se calcula la masa en reposo, eso se puede hacer perfectamente del mismo modo en ambos laboratorios tierra y espacio, arribando a los mismos resultados, si las velocidades relativas de las partículas son del mismo valor respecto a laboratorio en la tierra o en la nave respectivamente, y aclaro por un lado que esta velocidad no tiene nada que ver con la velocidad relativa Nave Vs Tierra y por otro lado la gravedad terrestre hace que un SR en tierra no sea exactamente inercial, por lo que hice una aclaración con un asterisco.

Pero puedes hacerte la idea que cualquier laboratorio solidario a un SR inercial medirá la misma masa en reposo de las partículas , no importa a que velocidad se mueva este laboratorio respecto de infinidad de otros laboratorios a otras velocidades que siempre obtendrán 0,511 MeV/c² y 938,27 MeV/c² para sus propias masas en reposo.
El tema es que si cada laboratorio, pudiese recolectar muestras de las partículas que están probando otros laboratorios sin alterar su velocidad, y miden a estas partículas siempre encontrarán masas mayores, en relación proporcional al factor gamma de la velocidad relativa entre ese laboratorio y el que envió la muestra.

- - - Actualizado - - -

estos son los Christoffels no triviales de la métrica de Schwarzchild

$\dd s^2=-c^2(1-\dfrac {rs}{r}) \dd t^2+\dfrac 1{1-\dfrac {rs}{r}} \dd r^2+r^2\dd {\theta}^2+r^2sin^2\theta \dd {\phi}^2<br />$

para subindices $(t,r,\theta ,\phi)=(0,1,2,3)<br />$


$\Gamma^2_{12}=\dfrac1r$


$\Gamma^2_{21}=\dfrac1r$


$\Gamma^3_{13}=\dfrac1r$


$\Gamma^3_{31}=\dfrac1r$


$\Gamma^1_{22}=-\cancel2(r-rs)$


$\Gamma^1_{33}=-\cancel2(r-rs)\sin^2\theta$


$\Gamma^1_{00}=\dfrac{c^2rs(1-\dfrac{rs}{r})}{2r^2}$


$\Gamma^3_{23}=\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}$


$\Gamma^3_{32}=\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}$


$\Gamma^1_{11}=-\dfrac{rs}{(2r (r-rs)) }$


$\Gamma^0_{01}=-\dfrac{rs}{(2r (r-rs)) }$


$\Gamma^0_{10}=-\dfrac{rs}{(2r (r-rs)) }$


$\Gamma^2_{33}=-\sin\theta\cos \theta$

con $rs=\dfrac{2GM}{c^2}$

[Pola]

Re: Fuerza de gravedad y energía

Gracias, Richard.

Creo que ha sido un malentendido. Me pareció que decías que la masa (no la masa en reposo) de las partículas en el cohete, medida desde la Tierra, coincidiría con la masa de ésas partículas medida desde el propio cohete. Como bien dices, hay que tener en cuenta en aumento de energía debido a la velocidad del cohete.

Gracias por tus explicaciones y un saludo